三角形、四邊形知識點總結
相交線、平行線
一、相交線
1.線段的垂直平分線:
(1)定義:垂直且平分一條線段的直線,叫做線段的垂直平分線。(2)性質(zhì):線段垂直平分線上的點,到線段兩端點的距離相等。角的平分線性質(zhì):角平分線上的點到角兩邊的距離相等。二、平行線
1.定義:在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線,叫平行線。
2.性質(zhì):(1)兩直線平行,同位角相等。(2)兩直線平行,內(nèi)錯角相等(3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(4)平行線間的距離相等(5)平行線截相交兩條直線,對應線段成比例。
3.判定:(1)同位角相等,兩直線平行(2)內(nèi)錯角相等,兩直線平行(3)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行(4)平行于同一直線的兩直線平行。(5)垂直于同一直線的兩直線平行。第二節(jié)三角形一、三角形的分類
二、三角形的邊角關系1.邊與邊的關系
(1)△兩邊之和大于第三邊(2)△兩邊之差小于第三邊2.角與角關系
(1)△三個內(nèi)角的和等于180°
(2)△的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(3)△的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角五、特殊三角形1.等腰△
(1)性質(zhì):1)兩腰相等2)兩個底角相等3)底邊上“三線合一”4)軸對稱圖形(1條對稱軸)(2)判定:1)兩邊相等的三角形是等腰△2)兩個角相等的三角形是等腰△2.等邊△
性質(zhì):1)三邊相等2)三個角相等,都等于60°3)三邊上都有“三線合一”4)軸對稱圖形(3條對稱軸)
3.Rt△
(1)性質(zhì):1)兩個銳角互余2)勾股定理3)斜邊上中線等于斜邊的一半4)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半
(2)判定:1)有一個角是直角的三角形2)勾股定理逆定理
第三節(jié)全等三角形
1.對應邊相等2.對應角相等
3.對應線段(高線、中線、角平分線)相等4.全等三角形面積相等
三、判定:(SAS)(AAS)(ASA)(SSS)(HL)
第四節(jié)四邊形
一、特殊四邊形
二、平行四邊形
(1)性質(zhì):1)邊:對邊平行且相等2)角:對角相等,鄰角互補3)對角線:互相平分4)對稱性:中心對稱圖形
(2)判定:1)邊:兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等一組對邊平行且相等2)對角線:對角線互相平分3)角:兩組對角分別相等。三、矩形
1.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)4個角都是直角(3)對角線相等(4)既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形
2.判定:(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形(2)有三個角是直角的四邊形是矩形(3)對角線相等的平行四邊形是矩形四、菱形
1.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)四條邊都相等(3)對角線互相垂直,且平分內(nèi)對角2.判定:(1)鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)四邊都相等的四邊形是菱形(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。五、正方形:
(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。六、梯形
1.等腰梯形的性質(zhì):(1)兩腰相等(2)兩底角相等(3)兩條對角線相等(4)軸對稱圖形2.直角梯形的性質(zhì):一腰與底垂直3.梯形中常用輔助線
七、多邊形
1.n邊形內(nèi)角和(n-2)180°2.n邊形外角和為360°3.n邊形對角線條數(shù)
例1已知直線AB和CD相交于O點,射線OE⊥AB于O,射線OF⊥CD于O,且∠BOF=25°,求:∠AOC與∠EOD
的度數(shù)。(畫出圖形,結合圖形計算)
1.如圖:在□ABCD中,M和N分別為AD、BC的中點,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F。求證:四邊形ENFM是平行四邊形
2.如圖:在正方形ABCD中,AB=3,過邊AB上的一個三等分點N作NE//AD,交CD于E,以過A的一條直線為折痕,將點B折至NE上,這個落點為P,折痕與BC交于F,求:BF的長。
5.)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,EF分別是BC、AD上的點,∠1=∠2.求證:△ABE≌△CDF.
【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠B=∠D,AB=DC,又∵∠1=∠2,∴△ABE≌△CDF(ASA).
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.(1)求證:△ADF∽△DEC
(2)若AB=4,AD=33,AE=3,求AF的長.(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAB∥CD
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC
(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCCD=AB=4
又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中,DE=∵△ADF∽△DEC∴
AD2AE2(33)2326
ADAF33AFAF=23
∴64DECD
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相交線、平行線一、相交線
1.線段的垂直平分線:
(1)定義:垂直且平分一條線段的直線,叫做線段的垂直平分線。(2)性質(zhì):線段垂直平分線上的點,到線段兩端點的距離相等。角的平分線性質(zhì):角平分線上的點到角兩邊的距離相等。二、平行線
1.定義:在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線,叫平行線。
2.性質(zhì):(1)兩直線平行,同位角相等。(2)兩直線平行,內(nèi)錯角相等(3)兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(4)平行線間的距離相等(5)平行線截相交兩條直線,對應線段成比例。
3.判定:(1)同位角相等,兩直線平行(2)內(nèi)錯角相等,兩直線平行(3)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行(4)平行于同一直線的兩直線平行。(5)垂直于同一直線的兩直線平行。第二節(jié)三角形一、三角形的分類
二、三角形的邊角關系1.邊與邊的關系
(1)△兩邊之和大于第三邊(2)△兩邊之差小于第三邊2.角與角關系
(1)△三個內(nèi)角的和等于180°
(2)△的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和(3)△的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角五、特殊三角形1.等腰△
(1)性質(zhì):1)兩腰相等2)兩個底角相等3)底邊上“三線合一”4)軸對稱圖形(1條對稱軸)(2)判定:1)兩邊相等的三角形是等腰△2)兩個角相等的三角形是等腰△2.等邊△
性質(zhì):1)三邊相等2)三個角相等,都等于60°3)三邊上都有“三線合一”4)軸對稱圖形(3條對稱軸)
3.Rt△
(1)性質(zhì):1)兩個銳角互余2)勾股定理3)斜邊上中線等于斜邊的一半4)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半
(2)判定:1)有一個角是直角的三角形2)勾股定理逆定理
第三節(jié)全等三角形
1.對應邊相等2.對應角相等
3.對應線段(高線、中線、角平分線)相等4.全等三角形面積相等
三、判定:(SAS)(AAS)(ASA)(SSS)(HL)
第四節(jié)四邊形
一、特殊四邊形
二、平行四邊形
(1)性質(zhì):1)邊:對邊平行且相等2)角:對角相等,鄰角互補3)對角線:互相平分4)對稱性:中心對稱圖形
(2)判定:1)邊:兩組對邊分別平行兩組對邊分別相等一組對邊平行且相等2)對角線:對角線互相平分3)角:兩組對角分別相等。三、矩形
1.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)4個角都是直角(3)對角線相等(4)既是中心對稱圖形,又是軸對稱圖形
2.判定:(1)有一個角是直角的平行四邊形是矩形(2)有三個角是直角的四邊形是矩形(3)對角線相等的平行四邊形是矩形四、菱形
1.性質(zhì):(1)具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)四條邊都相等(3)對角線互相垂直,且平分內(nèi)對角2.判定:(1)鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)四邊都相等的四邊形是菱形(3)對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。五、正方形:
(1)具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。六、梯形
1.等腰梯形的性質(zhì):(1)兩腰相等(2)兩底角相等(3)兩條對角線相等(4)軸對稱圖形2.直角梯形的性質(zhì):一腰與底垂直3.梯形中常用輔助線
七、多邊形
1.n邊形內(nèi)角和(n-2)180°2.n邊形外角和為360°
3.n邊形對角線條數(shù)
例題分析例1已知直線AB和CD相交于O點,射線OE⊥AB于O,射線OF⊥CD于O,且∠BOF=25°,求:
∠AOC與∠EOD的度數(shù)。(畫出圖形,結合圖形計算)
1.如圖:在□ABCD中,M和N分別為AD、BC的中點,AE⊥BD于E,CF⊥BD于F。求證:四邊形ENFM是平行四邊形
2.如圖:在正方形ABCD中,AB=3,過邊AB上的一個三等分點N作NE//AD,交CD于E,以過A的一條直線為折痕,將點B折至NE上,這個落點為P,折痕與BC交于F,求:BF的長。
5.)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,EF分別是BC、AD上的點,∠1=∠2.求證:△ABE≌△CDF.
【答案】∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠B=∠D,AB=DC,又∵∠1=∠2,∴△ABE≌△CDF(ASA).
2.如圖,在平行四邊形ABCD中,過點A作AE⊥BC,垂足為E,連接DE,F(xiàn)為線段DE上一點,且∠AFE=∠B.(1)求證:△ADF∽△DEC
(2)若AB=4,AD=33,AE=3,求AF的長.(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCAB∥CD
∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC
(2)解:∵四邊形ABCD是平行四邊形∴AD∥BCCD=AB=4
又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中,DE=∵△ADF∽△DEC∴
ADDEAFCD
AD2AE2(33)3226
∴336AF4AF=23
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