九年級上冊數(shù)學(xué)知識點(diǎn)梳理總結(jié)(全)

九（上）數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

第一章證明（一）

1、你能證明它嗎？

（1）三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對等角）

判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。

判定定理：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。或者三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

第二章一元二次方程

1、花邊有多寬

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；

2

一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

2

一般式：ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。2、配方法

（1）直接開平方法的定義

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平

2

方，把原方程化為（x+m）=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式

bb24acb-4ac≥0時(shí)，x=

2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

22

一、將方程化為一元二次方程的一般ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b-4ac

2

的值，當(dāng)b-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個(gè)根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元二次方程；四、解這兩個(gè)一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（1）什么叫黃金比

線段AB上一點(diǎn)C分線段AB成兩條線段AC，BC，若分割點(diǎn)，其中

ACBC=，則C點(diǎn)叫線段AB的黃金ABACAC叫黃金比，其值為0.618。AB（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗(yàn)；七、答

第三章證明（三）

1、平行四邊行

（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形

性質(zhì)：平行四邊形的對邊分別平行；平行四邊形的對邊分別相等；平行四邊形的對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分。判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

判定：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質(zhì)

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定

第四章視圖與投影

1、視圖

（1）三視圖的種類及三種視圖之間的關(guān)系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖；三種視圖間的關(guān)系：主、俯長對正；主、左高平齊；俯、左寬相等；（2）會畫圓柱、圓錐、球的三視圖

2、太陽光與影子

（1）投影與平行投影的含義、平行投影的性質(zhì)

一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做投影；由平行光線形成的投影是平行投影。

平行投影的性質(zhì)：物體上的點(diǎn)以及影子上的對應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行；當(dāng)物體與投影面平行時(shí)，所形成的影子與物體全等；同一時(shí)刻，在平行光線下，互相平行的物體的高度與影子長度的比值相等。

（2）物體影長的變化規(guī)律，會將影長與相似結(jié)合起來進(jìn)行計(jì)算

在太陽光的照射下，不同時(shí)刻，物體影子的長短也不一樣，早晚影子長，中午影子短。（3）平行投影與視圖之間的關(guān)系

視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線下的投影。3、燈光與影子

（1）中心投影的概念及應(yīng)用，區(qū)別平行投影與中心投影從一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影稱為中心投影。（2）視點(diǎn)、視線與盲區(qū)的概念

眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。

第五章反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)

（1）反比例函數(shù)的概念

一般地，如果兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為0。（2）掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法

將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。

k的形式，那么稱y是x的反比例x2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）反比例函數(shù)圖象的畫法

一般采用描點(diǎn)法：先列表，再描點(diǎn)，再連線。

（2）反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，其表達(dá)式與圖象的關(guān)系，函數(shù)值大小的比較（表5-1）3、反比例函數(shù)的應(yīng)用

（1）用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的一般思路

1、根據(jù)問題情境，設(shè)出所求的反比例函數(shù)表達(dá)式；

2、由問題中的已知數(shù)據(jù)，代入所求表達(dá)式，列出方程（或方程組），求出方程的解，確定出待定系數(shù)的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式；3、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，去解決實(shí)際問題。

（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別及綜合應(yīng)用（表5-1）

表5-1

擴(kuò)展閱讀：初三九年級上冊人教版數(shù)學(xué)知識點(diǎn)歸納

21．1二次根式

第一課時(shí)

(1)了解二次根式的概念,初步理解二次根式有意義的條件.(2)通過具體問題探求并掌握二次根式的基本性質(zhì)：當(dāng)a≥0時(shí)，a運(yùn)用這個(gè)性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的計(jì)算。

132例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、3、x、2=a；能

x14（x>0）、0、2、-2、xy、xy（x≥0，y≥0）．

解：二次根式有：2、x（x>0）、0、-2、xy（x≥0，y≥0）；不是

1314二次根式的有：3、x、2、xy．

例2．當(dāng)x是多少時(shí)，3x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

分析：由二次根式的定義可知，被開方數(shù)一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，3x1才能有意義．

1解：由3x-1≥0，得：x≥3

1當(dāng)x≥3時(shí)，3x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．

1例3．當(dāng)x是多少時(shí)，2x3+x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義？

1分析：要使2x3+x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須同時(shí)滿足2x3中的

1≥0和x1中的x+1≠0．

2x30x10解：依題意，得3由①得：x≥-2由②得：x≠-1

31當(dāng)x≥-2且x≠-1時(shí)，2x3+x1在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義．

x例4(1)已知y=2x+x2+5，求y的值．(答案:0.4)(2)若a1+b1=0，求a201*+b201*的值．(答案:2)21.1二次根式(2)第二課時(shí)

1．a(chǎn)（a≥0）是一個(gè)非負(fù)數(shù)；2．（a）2=a（a≥0）．3、a2＝a（a≥0）．

例3在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:

（1）x2-3（2）x4-4(3)2x2-3答案

1)x3x3;2)x22x2x2;3)2x32x3

21.1二次根式(3)掌握

a2aa(a0)

a(0)

（3）例題：1、

4242、(1.5)1.53、

(x1)2x-1（x≥1）

(3)2;24、=(2)π-35x6x9、

(xx23)4x4x-2（x2）

（4）如果(x-2)2=2-x那么x取值范圍是（A）

A、x≤2B.x＜2C.x≥2D.x＞2（5）實(shí)數(shù)p在數(shù)軸上的位置如圖所示：

01p2：

化簡：

(1p)2(2p)2=p-1+2-p=1

一、選擇題

12(2)31．12(2)3的值是（C）．

22A．0B．3C．43D．以上都不對2．a(chǎn)≥0時(shí)，確的是（A）．A．C．a(chǎn)a2a2、2(a)22、-a，比較它們的結(jié)果，下面四個(gè)選項(xiàng)中正=-a22D．->a2=(a)2二、填空題

1．-0.0004=___-0．02_____．

2．若20m是一個(gè)正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是____5____．三、綜合提高題

21．先化簡再求值：當(dāng)a=9時(shí)，求a+12aa的值，甲乙兩人的解答如下：

2甲的解答為：原式=a+乙的解答為：原式=a+(1a)2=a+（1-a）=1；

(1a)=a+（a-1）=2a-1=17．

兩種解答中，____甲___的解答是錯誤的，錯誤的原因是____甲沒有先判定1-a是正數(shù)還是負(fù)數(shù)_．

2．若│1995-a│+a201*=a，求a-19952的值．

（提示：先由a-201*≥0，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，去掉絕對值）由已知得a-201*≥0，a≥201*

所以a-1995+a201*=a，a201*=1995，a-201*=19952，所以a-19952=201*．

3.若-3≤x≤2時(shí)，試化簡│x-2│+

第三講二次根式的乘法教學(xué)目標(biāo)：

(x3)2+x10x25。答案(10-x)

ab使學(xué)生能掌握并能運(yùn)用二次根式的乘法法則

ab=

aaba0,bb(a0)并進(jìn)行

b(a0,b0)相關(guān)計(jì)算；同時(shí)掌握積的算術(shù)平方根的性質(zhì)：ab；能熟

練應(yīng)用。

利用二次根式的乘法法則，化簡二次根式，使被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式。（最簡二次根式）

二次根式相乘,實(shí)際上就是把被開方數(shù)相乘,而根號不變.

例3．判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正：（1）(4)(9)494122525=4122525=4122525=412=83

（2）解：（1）不正確．

改正：(4)(9)=49＝49=23=6（2）不正確．

4122525=1122525=1122525改正：=112=167＝47

一、選擇題

1．若直角三角形兩條直角邊的邊長分別為15cm和12cm，那么此直角三角形斜邊長是（B）．

A．32cmB．33cmC．9cmD．27cm

1a的結(jié)果是（C）．

2．化簡a

A．a(chǎn)B．a(chǎn)C．-aD．-ax1成立的條件是（A）3．等式

A．x≥1B．x≥-1C．-1≤x≤1D．x≥1或x≤-14．下列各等式成立的是（D）．A．4525=85B．5342=205C．4332=75D．5342=206二、填空題

1．1014=136_______．

x1x12．自由落體的公式為S=2gt2（g為重力加速度，它的值為10m/s2），若物體下落的高度為720m，則下落的時(shí)間是___12s______．第四講二次根式除法一、教學(xué)目標(biāo)：

aaaa1、b=b（a≥0，b>0），反過來b=b（a≥0，b>0）及利用它們進(jìn)行計(jì)算和化簡．

教學(xué)目標(biāo)

2、二次根式運(yùn)算的結(jié)果必須是最簡二次根式，理解最簡二次根式必須滿足的條件。

例2．化簡：

364b9a229x5x2（1）64（2）（3）64y（4）169y2

aa分析：直接利用b=b（a≥0，b>0）就可以達(dá)到化簡之目的．

333864b264b2解：（1）64=649x2（2）

3x8y9a2=9a5x28b3a

5x29x（3）164y=21364y25x13y（4）169y2=169y

132125的結(jié)果是（A）．

21．計(jì)算2A．75B．7C．2D．7

2、化去分母中的根號：

315b3（1）5（2）8（3）12a(a0,b0)

例3．觀察下列各式，通過分母有理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：

11(21)21=(21)(21)132121=2-1，

33221(32=(32)2)2)(3=3-2，1同理可得：43=4-3，

從計(jì)算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計(jì)算

1111（21+32+43+201*201*）（201*+1）的值．分析：由題意可知，本題所給的是一組分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以達(dá)到化簡的目的．

解：原式=（2-1+3-2+4-3++201*-201*）（201*+1）=（201*-1）（201*+1）

=201*-1=201*

第五講二次根式的加減法（1）教學(xué)目標(biāo)：

(1)使學(xué)生了解同類二次根式的概念,掌握判斷同類二次根式的方法。(2)使學(xué)生能正確合并同類二次根式,進(jìn)行二次根式的加減運(yùn)算。

首先要對二次根式進(jìn)行化簡，然后考察根號下的被開方數(shù)：被開方數(shù)相同的就是同類二次根式；被開方數(shù)不同的就不是同類二次根式。1、在二次根式：①12,②

2③323；④27和3是同類二次根式的是（C）

A．①和③B．②和③C．①和④D．③和④

2、下列說法正確的是（C）

A、被開方數(shù)不同的兩個(gè)二次根式一定不是同類二次根式；B、3與33不是同類二次根式；

1C、a與a不是同類二次根式；

D、被開方數(shù)完全相同的二次根式是同類二次根式。

3、兩個(gè)正方形的面積分別為2和8.則這兩個(gè)正方形邊長和為__32________

35a25、已知最簡二次根式21和7a1是同類二次根式：

162①求a的值②求它們合并后的結(jié)果(a=1

或-1,合并后結(jié)果為2)

多項(xiàng)式的乘法法則和乘法公式同樣適用于二次根式的多項(xiàng)式乘法（1）(ab)(ab)(a0,b0)（a-b）例1．計(jì)算:（1）（6+8）3（2）（46-32）÷22

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式仍然滿足整式的運(yùn)算規(guī)律，所以直接可用整式的運(yùn)算規(guī)律．

解：（1）（6+8）3=63+83=18+24=32+26解：（46-32）÷22=46÷22-32÷223=23-2例2．計(jì)算

（1）（5+6）（3-5）（2）（10+7）（10-7）

分析：剛才已經(jīng)分析，二次根式的多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算在乘法公式運(yùn)算中仍然成立．

解：（1）（5+6）（3-5）=35-（5）2+18-65=13-35（2）（10+7）（10-7）=（10）2-（7）2=10-7=3教學(xué)內(nèi)容

一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有關(guān)概念．教學(xué)目標(biāo)

了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；應(yīng)用一元二次方程概念解決一些簡單題目．例1．將方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并寫出其中的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)．解：去括號，得：40-16x-10x+4x2=18

移項(xiàng)化簡，得：2x2-13x+11=0

其中二次項(xiàng)系數(shù)為2，一次項(xiàng)系數(shù)為-13，常數(shù)項(xiàng)為11．1．在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是（A）．

5①3x2+7=0②ax2+bx+c=0③（x-2）（x+5）=x2-1④3x2-x=0A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2．方程2x2=3（x-6）化為一般形式后二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)分別為（B）．

A．2，3，-6B．2，-3，18C．2，-3，6D．2，3，63．px2-3x+p2-q=0是關(guān)于x的一元二次方程，則（C）．A．p=1B．p>0C．p≠0D．p為任意實(shí)數(shù)22.2.1直接開平方法

教學(xué)內(nèi)容","p":{"h":18,"w":72.112,"x":171.225,"y":180.468,C．x2+8x+42=1D．x2-4x+4=-11

二、填空題

1．方程x2+4x-5=0的解是___x1=1，x2=-5_____．

xx222．代數(shù)式

x12的值為0，則x的值為____2____．

3．已知（x+y）（x+y+2）-8=0，求x+y的值，若設(shè)x+y=z，則原方程可變?yōu)開_z2+2z-8=0_____，所以求出z的值即為x+y的值，所以x+y的值為_2，-422.2.3公式法

教學(xué)內(nèi)容

1．一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過程；2．公式法的概念；

3．利用公式法解一元二次方程．

bb4ac2a2已知ax2+bx+c=0（a≠0）且b2-4ac≥0，它的兩個(gè)根x1=

bb4ac2a2，

x2=用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代

入公式即可．

例1．用公式法解下列方程．

（1）2x2-4x-1=0（2）5x+2=3x2（3）（x-2）（3x-5）=0（4）4x2-3x+1=0解：（1）a=2，b=-4，c=-1

b2-4ac=（-4）2-42（-1）=24>0

(4)242226426426226x=

∴x1=

2，x2=

2

（2）將方程化為一般形式3x2-5x-2=0

a=3，b=-5，c=-2

b2-4ac=（-5）2-43（-2）=49>0

(5)49231x=

576

x1=2，x2=-3

（3）將方程化為一般形式3x2-11x+9=0

a=3，b=-11，c=9

b2-4ac=（-11）2-439=13>0

(11)13231113116111313∴x=

∴x1=

6，x2=

6

（3）a=4，b=-3，c=1

b2-4ac=（-3）2-441=-70（2）△=0（3）△Ａ．3

Ｂ．0

Ｃ．1Ｄ．-4、

分析：因?yàn)閤1+x2=-2，x1x2=-1，所以x1x22x1x2=-2+2（-1）=-4，所以選D。

22例3、已知a，b是方程x2x10的兩個(gè)根，則aa3b的值是（）

Ａ．7Ｂ．5Ｃ．72

Ｄ．2

2分析：因?yàn)閍，b是方程x2x10的兩個(gè)根，所以a+b=2，又因?yàn)閍是方程

x2x10的根，所以a2-2a-1=0,所以

22a2-2a=1,所以aa3b

=a2-2a+3a+3b=1+3*2=7，所以選Ａ。

2例4、已知一元二次方程x2x10的兩個(gè)根是x1、x2，則

x12+x22=，x1-x2=．

分析：由根和系數(shù)的關(guān)系，有x1+x2=2，x1x2=-1，只要能用x1+x2、x1x2來表示x12+x22、x1-x2就可以實(shí)現(xiàn)由已知向未知的轉(zhuǎn)化．容易x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=6，（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1","p":{"h":18,"w":18,"x":488.849,"y":642.137,"z":256},"ps":null,"t":"word","r":[3]},{又∵當(dāng)m2時(shí)，原方程的△170，∴m的值為2．

例6、已知：關(guān)于x的一元二次方程x(2m1)xmm20．（1）求證：不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

122（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1，x2滿足x1解：（1）

(2m1)4(mm2)221x211m2，求m的值．

224m4m14m4m8

90

∴不論m取何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根

x1，2(2m1)29（2）解法一：由原方程可得或

x(m1)x(m2)0

x1m2，x2m1

1又∵x111x2111m21

m2m1

m2

1m2經(jīng)檢驗(yàn)：m2符合題意．m的值為2．

22.3實(shí)際問題與一元二次方程

教學(xué)內(nèi)容

1、由“倍數(shù)關(guān)系”等問題建立數(shù)學(xué)模型，并通過配方法或公式法或分解因式法解決實(shí)際問題．

2、建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，解決如何全面地比較幾個(gè)對象的變化狀況．

3、根據(jù)面積與面積之間的關(guān)系建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型并解決這類問題．4、運(yùn)用速度、時(shí)間、路程的關(guān)系建立一元二次方程數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題．例1．某電腦公司201*年的各項(xiàng)經(jīng)營中，一月份的營業(yè)額為200萬元，一月、二月、三月的營業(yè)額共950萬元，如果平均每月營業(yè)額的增長率相同，求這個(gè)增長率．

分析：設(shè)這個(gè)增長率為x，由一月份的營業(yè)額就可列出用x表示的二、三月份的營業(yè)額，又由三月份的總營業(yè)額列出等量關(guān)系．解：設(shè)平均增長率為x

則200+200（1+x）+200（1+x）2=950整理，得：x2+3x-1.75=0解得：x=50%

答：所求的增長率為50%．例2．某人將201*元人民幣按一年定期存入銀行，到期后支取1000元用于購物，剩下的1000元及應(yīng)得利息又全部按一年定期存入銀行，若存款的利率不變，到期后本金和利息共1320元，求這種存款方式的年利率．

分析：設(shè)這種存款方式的年利率為x，第一次存201*元取1000元，剩下的本金和利息是1000+201*x80%；第二次存，本金就變?yōu)?000+201*x80%，其它依此類推．

解：設(shè)這種存款方式的年利率為x

則：1000+201*x80%+（1000+201*x8%）x80%=1320整理，得：1280x2+800x+1600x=320，即8x2+15x-2=0

1解得：x1=-2（不符，舍去），x2=8=0.125=12.5%

答：所求的年利率是12．5%．

例3某商場禮品柜臺春節(jié)期間購進(jìn)大量賀年卡，一種賀年卡平均每天可售出500張，每張盈利0.3元，為了盡快減少庫存，商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r(jià)措施，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，如果這種賀年卡的售價(jià)每降低0.1元，那么商場平均每天可多售出100張，商場要想平均每天盈利120元，每張賀年卡應(yīng)降價(jià)多少元?

老師點(diǎn)評：總利潤=每件平均利潤總件數(shù)．設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元，

x則每件平均利潤應(yīng)是（0.3-x）元，總件數(shù)應(yīng)是（500+0.1100）解：設(shè)每張賀年卡應(yīng)降價(jià)x元

100x則（0.3-x）（500+0.1）=120

解得：x=0.1

答：每張賀年卡應(yīng)降價(jià)0.1元．

例4．某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品，據(jù)市場分析，若每千克50元銷售，一個(gè)月能售出500kg，銷售單價(jià)每漲1元，月銷售量就減少10kg，針對這種水產(chǎn)品情況，請解答以下問題：

（1）當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí)，計(jì)算銷售量和月銷售利潤．

（2）設(shè)銷售單價(jià)為每千克x元，月銷售利潤為y元，求y與x的關(guān)系式．（3）商品想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少?分析：（1）銷售單價(jià)定為55元，比原來的銷售價(jià)50元提高5元，因此，銷售量就減少510kg．

（2）銷售利潤y=（銷售單價(jià)x-銷售成本40）銷售量[500-10（x-50）]

10000（3）月銷售成本不超過10000元，那么銷售量就不超過40=250kg，在

這個(gè)提前下，求月銷售利潤達(dá)到8000元，銷售單價(jià)應(yīng)為多少．解：（1）銷售量：500-510=450（kg）；銷售利潤：450（55-40）=45015=6750元

（2）y=（x-40）[500-10（x-50）]=-10x2+1400x-40000（3）由于水產(chǎn)品不超過10000÷40=250kg，定價(jià)為x元，則（x-400）[500-10（x-50）]=8000

解得：x1=80，x2=60

當(dāng)x1=80時(shí)，進(jìn)貨500-10（80-50）=200kg250kg，（舍去）．

cm，例5：要做一個(gè)容積為750cm，高6底面的長比寬多5cm的無蓋長方體鐵盒，

3應(yīng)選用多大尺寸的長方形鐵片？（精確到1cm）解：如圖1，設(shè)長方體鐵盒底面寬為xcm，則底面長為(x5)cm，根據(jù)題意，得

6x(x5)750．

整理，得

x5x1250．

2解這個(gè)方程，得

x1≈9，

x2≈14（不合題意，舍去）．

當(dāng)x9時(shí)，x1726，x1221．

答：選用長為26cm，寬為21cm的長方形鐵片．

例6．如圖（a）、（b）所示，在△ABC中∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿AB邊向點(diǎn)B以1cm/s的速度運(yùn)動，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿BC邊向點(diǎn)C以2cm/s的速度運(yùn)動．

（1）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，使S△PBQ=8cm2．（2）如果P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，并且P到B后又繼續(xù)在BC邊上前進(jìn)，Q到C后又繼續(xù)在CA邊上前進(jìn)，經(jīng)過幾秒鐘，使△PCQ的面積等于12.6cm2．（友

DQ情提示：過點(diǎn)Q作DQ⊥CB，垂足為D，則：ABCQAC）CCQQDPAA(a)B(b)

分析：（1）設(shè)經(jīng)過x秒鐘，使S△PBQ=8cm2，那么AP=x，PB=6-x，QB=2x，

PB由面積公式便可得到一元二次方程的數(shù)學(xué)模型．

（2）設(shè)經(jīng)過y秒鐘，這里的y>6使△PCQ的面積等于12.6cm2．因?yàn)锳B=6，BC=8，由勾股定理得：AC=10，又由于PA=y，CP=（14-y），CQ=（2y-8），又由友情提示，便可得到DQ，那么根據(jù)三角形的面積公式即可建模．解：（1）設(shè)x秒，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)Q在BC上，且使△PBQ的面積為8cm2．

1則：2（6-x）2x=8

整理，得：x2-6x+8=0解得：x1=2，x2=4

∴經(jīng)過2秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)12=2cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)22=4cm處，經(jīng)過4秒，點(diǎn)P到離A點(diǎn)14=4cm處，點(diǎn)Q離B點(diǎn)24=8cm處，所以它們都符合要求．（2）設(shè)y秒后點(diǎn)P移到BC上，且有CP=（14-y）cm，點(diǎn)Q在CA上移動，

DQ且使CQ=（2y-8）cm，過點(diǎn)Q作DQ⊥CB，垂足為D，則有AB∵AB=6，BC=8

∴由勾股定理，得：AC=68=10

6(2y8)6(y4)56(y4)522CQAC

∴DQ=

110

則：2（14-y）

=12.6

整理，得：y2-18y+77=0

解得：y1=7，y2=11

即經(jīng)過7秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)7cm處（CP=14-y=7），點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)6cm處（CQ=2y-8=6），使△PCD的面積為12.6cm2．

經(jīng)過11秒，點(diǎn)P在BC上距C點(diǎn)3cm處，點(diǎn)Q在CA上距C點(diǎn)14cm>10，∴點(diǎn)Q已超過CA的范圍，即此解不存在．∴本小題只有一解y1=7．23.1圖形的旋轉(zhuǎn)（1）

1．什么叫旋轉(zhuǎn)？旋轉(zhuǎn)中心？旋轉(zhuǎn)角？2．什么叫旋轉(zhuǎn)的對應(yīng)點(diǎn)？3、性質(zhì)：1）．對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．2）．對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角．3）．旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等及其它們的運(yùn)用．

4、理解選擇不同的旋轉(zhuǎn)中心、不同的旋轉(zhuǎn)角度，會出現(xiàn)不同的效果，掌握根據(jù)需要用旋轉(zhuǎn)的知識設(shè)計(jì)出美麗的圖案．

例1．兩個(gè)邊長為1的正方形，如圖所示，讓一個(gè)正方形的頂點(diǎn)與另一個(gè)正方

1形中心重合，不難知道重合部分的面積為4，現(xiàn)把其中一個(gè)正方形固定不動，另一個(gè)正方形繞其中心旋轉(zhuǎn)，問在旋轉(zhuǎn)過程中，兩個(gè)正方形重疊部分面積是否發(fā)生變化？說明理由．

分析：設(shè)任轉(zhuǎn)一角度，如圖中的虛線部分，要說明旋轉(zhuǎn)后正方形重疊部分面積不變，只要說明S△OEE`=S△ODD`，那么只要說明△OEF′≌△ODD′．解：面積不變．

理由：設(shè)任轉(zhuǎn)一角度，如圖所示．在Rt△ODD′和Rt△OEE′中∠ODD′=∠OEE′=90°∠DOD′=∠EOE′=90°-∠BOEOD=OD∴△ODD′≌△OEE′∴S△ODD`=S△OEE`∴S四邊形OE`BD`=S

1正方形OEBD=4

一、選擇題

1．在26個(gè)英文大寫字母中，通過旋轉(zhuǎn)180°后能與原字母重合的有（B）．A．6個(gè)B．7個(gè)C．8個(gè)D．9個(gè)

2．從5點(diǎn)15分到5點(diǎn)20分，分針旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為（C）．A．20°B．26°C．30°D．36°

3．如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以直角頂點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABC旋轉(zhuǎn)到△A′B′C的位置，其中A′、B′分別是A、B的對應(yīng)點(diǎn)，且點(diǎn)B在斜邊A′B′上，直角邊CA′交AB于D，則旋轉(zhuǎn)角等于（B）．A．70°B．80°C．60°D．50°

4．一塊等邊三角形木塊，邊長為1，如圖，現(xiàn)將木塊沿水平線翻滾五個(gè)三角形，那么B點(diǎn)從開始至結(jié)束所走過的路徑長是多少？

(答案:翻滾一次滾120°翻滾五個(gè)三角形，正好翻滾一個(gè)圓，所以所走路徑是2π．)

1例2．如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且DE=4，△ABF是△ADE的旋轉(zhuǎn)圖形．（1）旋轉(zhuǎn)中心是哪一點(diǎn)？（2）旋轉(zhuǎn)了多少度？（3）AF的長度是多少？

（4）如果連結(jié)EF，那么△AEF是怎樣的三角形？

分析：由△ABF是△ADE的旋轉(zhuǎn)圖形，可直接得出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角，要求AF的長度，根據(jù)旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)線段相等，只要求AE的長度，由勾股定理很容易得到．△ABF與△ADE是完全重合的，所以它是直角三角形．解：（1）旋轉(zhuǎn)中心是A點(diǎn)．","p":{"h":18,"w":9,"x":387.495,"y":275.042,"z":53}（3）旋轉(zhuǎn)后的對應(yīng)點(diǎn)，便是中心的對稱點(diǎn)．解：作法：（1）延長AD，并且使得DA′=AD（2）同樣可得：BD=B′D，CD=C′D

（3）連結(jié)A′B′、B′C′、C′D，則四邊形A′B′C′D為所求的四邊形，如圖23-44所示．答：（1）根據(jù)中心對稱的定義便知這兩個(gè)圖形是中心對稱圖形，對稱中","p":{"h":18,"w":504.63,"x":198.27,"y":227.762,"z":59},"ps":null,"s":{"letter間線段最短）來說明，因此要應(yīng)用旋轉(zhuǎn)．以A為旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)60°，便可把OA、OB、OC轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形內(nèi)．","p":{"h":18,"w":18wenku_20({"font":{"8827068702d276a201*92e1f0010014":"TimesNewRomanBold","8827068702d276a201*92e1f00201*4":"宋體","8827068702d276a201*92e1f0030014":"宋體","8827068702d276a201*92e1f00EAODCEBBOFDAC

(4)(5)

2．P為⊙O內(nèi)一點(diǎn)，OP=3cm，⊙O半徑為5cm，則經(jīng)過P點(diǎn)的最短弦長為___8__；最長弦長為10____．3．如圖5，OE、OF分別為⊙O的弦AB、CD的弦心距，如果OE=OF，那么_AB=CD______（只需寫一個(gè)正確的結(jié)論）4．（開放題）AB是⊙O的直徑，AC、AD是⊙O的兩弦，已知AB=16，AC=8，AD=8，求∠DAC的度數(shù)．

解答（1）AC、AD在AB的同旁，如右圖所示:∵AB=16，AC=8，AD=83，∴

121212AC=（AB），∴∠CAB=60°，

同理可得∠DAB=30°，

∴∠DAC=30°．

（2）AC、AD在AB的異旁，同理可得：∠DAC=60°+30°=90°．

24.1圓(第2課時(shí))

教學(xué)內(nèi)容

1．圓心角的概念．

2．有關(guān)弧、弦、圓心角關(guān)系的定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3．定理的推論：在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．一、選擇題．

1．如果兩個(gè)圓心角相等，那么（）

A．這兩個(gè)圓心角所對的弦相等;B．這兩個(gè)圓心角所對的弧相等C．這兩個(gè)圓心角所對的弦的弦心距相等;D．以上說法都不對

2．在同圓中，圓心角∠AOB=2∠COD，則兩條弧AB與CD關(guān)系是（）

DB．DC．DD．不能確定A．AB=2CAB>CAB1．交通工具上的輪子都是做圓的，這是運(yùn)用了圓的性質(zhì)中的_________．2．一條弦長恰好為半徑長，則此弦所對的弧是半圓的_________．

3．如圖6，AB和DE是⊙O的直徑，弦AC∥DE，若弦BE=3，則弦CE=________．答案：一、1．D2．A3．C二、1．圓的旋轉(zhuǎn)不變形2．

13或

533．3

24.1圓(第3課時(shí))

教學(xué)內(nèi)容

1．圓周角的概念．

2．圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弦所對的圓心角的一半．

推論：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑及其它們的應(yīng)用．

例2．如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠A、∠B、∠C的對邊分別設(shè)為a，b，c，⊙O半徑為R，求證：

asinAsinBsinCcabsinAb2R=

b=

c=2R．

=2R，只要證明

asinA分析：要證明即sinA=

a2R=

sinB=

，sinB=，sinC=

sinCc2R=2R，

bsinB=2R，

csinC=2R，

，因此，十分明顯要在直角三角形中進(jìn)行．

證明：連接CO并延長交⊙O于D，連接DB

∵CD是直徑∴∠DBC=90°又∵∠A=∠D在Rt△DBC中，sinD=同理可證：∴

asinAbsinBbBCDC，即2R=

casinA

=2R，

csinCsinC=2R

=

sinB==2R

一、選擇題

1．如圖1，A、B、C三點(diǎn)在⊙O上，∠AOC=100°，則∠ABC等于（）．

A．140°B．110°C．120°D．130°

A4213BCDO

(1)(2)(3)

2．如圖2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小關(guān)系是（）A．∠4A．2.5B．2.5cmC．3cmD．4cm

CAAODB

3．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，則弦AD

長為（）

A．

5252BC2B．C．2D．3

二、填空題．

1．經(jīng)過一點(diǎn)P可以作_______個(gè)圓；經(jīng)過兩點(diǎn)P、Q可以作________個(gè)圓，圓心在

_________上；經(jīng)過不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)可以作________個(gè)圓，圓心是________的交點(diǎn)．

2．邊長為a的等邊三角形外接圓半徑為_______，圓心到邊的距離為________．

3．直角三角形的外心是______的中點(diǎn)，銳角三角形外心在三角形______，鈍角三角形

外心在三角形_________．

答案：一、1．B2．B3．A

二、1．無數(shù)，無數(shù)，線段PQ的垂直平分線，一個(gè)，三邊中垂線2．33a

36a

3．斜邊內(nèi)外

24.2直線和圓的位置關(guān)系

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點(diǎn)

1．理解直線與圓有相交、相切、相離三種位置關(guān)系．

2．了解切線的概念，探索切線與過切點(diǎn)的直徑之間的關(guān)系．

直線和圓有三種位置關(guān)系，如下圖：

(1)從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來判斷：

直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相交；直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相切；直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，直線與圓相離．

(2)從點(diǎn)到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來判斷：d＜r時(shí)，直線與圓相交；d＝r時(shí)，直線與圓相切；d＞r時(shí)，直線與圓相離．

如下圖，A城氣象臺測得臺風(fēng)中心在A城正西方向300千米的B處，并以每小時(shí)107千米的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風(fēng)中心200千米的范圍是受臺風(fēng)影響的區(qū)域．

(1)A城是否會受到這次臺風(fēng)的影響？為什么？

(2)若A城受到這次臺風(fēng)的影響，試計(jì)算A城遭受這次臺風(fēng)影響的時(shí)間有多長？

分析：因?yàn)榕_風(fēng)影響的范圍可以看成以臺風(fēng)中心為圓心，半徑為200千米的圓，A城能否受到影響，即比較A到直線BF的距離d與半徑200千米的大�。�若d＞200，則無影響，若d≤200，則有影響．

解：(1)過A作AC⊥BF于C．

在Rt△ABC中，∵∠CBA＝30°，BA＝300，

∴AC＝ABsin30°＝300

12

＝150(千米)．

∵AC＜200，∴A城受到這次臺風(fēng)的影響．

(2)設(shè)BF上D、E兩點(diǎn)到A的距離為200千米，則臺風(fēng)中心在線段DE上時(shí)，對A城均有影響，而在DE以外時(shí)，對A城沒有影響．

∵AC＝150，AD＝AE＝200，

∴DC＝201*50507．∴DE＝2DC＝1007．∴t＝

sv100710722＝10(小時(shí))．

答：A城受影響的時(shí)間為10小時(shí)．

24.2直線和圓的位置關(guān)系(2)

教學(xué)目標(biāo)

(一)教學(xué)知識點(diǎn)

1．能判定一條直線是否為圓的切線．2．會過圓上一點(diǎn)畫圓的切線．3．會作三角形的內(nèi)切圓．

判定圓的切線的又一種方法：切線的判定定理：

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．切線的性質(zhì)定理:

圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．例：已知AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD．

求證：DC是⊙O的切線．

分析：要證DC是⊙O的切線，需證DC垂直于過切點(diǎn)的直徑或半徑，因此要作輔助線半徑OD，利用平行關(guān)系推出∠3＝∠4，又因?yàn)镺D＝OB，OC為公共邊，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

證明：連結(jié)OD．

∵OA＝OD，∴∠1＝∠2，

∵AD∥OC，∴∠1＝∠3，∠2＝∠4．∴∠3＝∠4．

∵OD＝OB，OC＝OC，∴△ODC≌△OBC．∴∠ODC＝∠OBC．∵BC是⊙O的切線，∴∠OBC＝90°．∴∠ODC＝90°．∴DC是⊙O的切線．

練習(xí)1．如圖，AB與⊙O切于點(diǎn)C，OA=OB，若⊙O的直徑為8cm，AB=10cm，那么OA

的長是（）

A．

41B．40C.14D.60

2．下列說法正確的是（）

A．與圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線．

B．和圓心距離等于圓的半徑的直線是圓的切線;C．垂直于圓的半徑的直線是圓的切線;

D．過圓的半徑的外端的直線是圓的切線

1．如圖，AB為⊙O直徑，BD切⊙O于B點(diǎn)，弦AC的延長線與BD交于D點(diǎn)，

若AB=10，AC=8，則DC長為________．

AAOCDBP

CBO

2．如圖，P為⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A、B為切點(diǎn)，弦AB與PO交于C，⊙O半徑為1，PO=2，則PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．

3．設(shè)I是△ABC的內(nèi)心，O是△ABC的外心，∠A=80°，則∠BIC=________，∠BOC=________．2．設(shè)a、b、c分別為△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊，面積為S，則內(nèi)切圓半徑r=其中P=

12SP，

（a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，則r=

12（a+b-c）

答案:

一、1．A2．B二、1．4三、

2．（1）設(shè)I為△ABC內(nèi)心，內(nèi)切圓半徑為r，

則S△ABC=

12122．33

3232

32120°3．130°160°

ABr+

12BCr+

12ACr，則r=

sp；

（2）設(shè)內(nèi)切圓與各邊切于D、E、F，連結(jié)ID、IE，

如圖，則ID⊥AC，IE⊥BC，又∠C=90°，ID=IE，∴DIEC為正方形，∴CE=CD=r，

∴AD=AF=b-r，BE=BF=a-r，∴b-r+a-r=c，∴r=

12（a+b-c）．

ADlFBCE

24.2與圓有關(guān)的位置關(guān)系(第3課時(shí))

教學(xué)內(nèi)容

1．切線長的概念．

2．切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

3．三角形的內(nèi)切圓及三角形內(nèi)心的概念．切線長定理：

從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角．

與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心．

例2．如圖，已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，切點(diǎn)為D、E、F，如果AE=1，CD=2，BF=3，且△ABC的面積為6．求內(nèi)切圓的半徑r．分析：直接求內(nèi)切圓的半徑有困難，由于面積是已知的，因此要轉(zhuǎn)化為面積法來求．就需添加輔助線，如果連結(jié)AO、BO、CO，就可把三角形ABC分為三塊，那么就可解決．解：連結(jié)AO、BO、CO

∵⊙O是△ABC的內(nèi)切圓且D、E、F是切點(diǎn)．∴AF=AE=1，BD=BF=3，CE=CD=2∴AB=4，BC=5，AC=3又∵S△ABC=6∴

12AFOBDEC（4+5+3）r=6

∴r=1

答：所求的內(nèi)切圓的半徑為1．一、選擇題．

1．如圖1，PA、PB分別切圓O于A、B兩點(diǎn)，C為劣弧AB上一點(diǎn)，∠APB=30°，則∠ACB=（）．

A．60°B．75°C．105°D．120°

OACPBPDAOCBADOAEC

BCBF(1)(2)(3)(4)

2．從圓外一點(diǎn)向半徑為9的圓作切線，已知切線長為18，從這點(diǎn)到圓的最短距離為

（）．A．93B．9（3-1）C．9（5-1）D．9

3．圓外一點(diǎn)P，PA、PB分別切⊙O于A、B，C為優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，若∠ACB=a，則∠APB=（）

A．180°-aB．90°-aC．90°+aD．180°-2a二、填空題

1．如圖2，PA、PB分別切圓O于A、B，并與圓O的切線，分別相交于C、D，已知PA=7cm，則△PCD的周長等于_________．2．如圖3，邊長為a的正三角形的內(nèi)切圓半徑是_________．

3．如圖4，圓O內(nèi)切Rt△ABC，切點(diǎn)分別是D、E、F，則四邊形OECF是_______．答案：一、1．C2．C3．D二、1．14cm2．

36a3．正方形

24.3圓和圓的位置關(guān)系

(一)教學(xué)知識點(diǎn)

1．了解圓與圓之間的幾種位置關(guān)系．

2．了解兩圓外切、內(nèi)切與兩圓圓心距d、半徑R和r的數(shù)量關(guān)系的聯(lián)系．五種位置關(guān)系，如下圖：

(1)如果從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，和一個(gè)圓上的點(diǎn)在另一個(gè)圓的外部還是內(nèi)部來考慮，兩個(gè)圓的位置關(guān)系有五種：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含．

外離(2)如果只從公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮分三種：相離、相切、相交，并且相離，相切

內(nèi)含外切內(nèi)切．設(shè)兩圓的半徑為r1，r2，圓心距為d（r1r1+r2外切d=r1+r2

相交r2-r1

(1)(2)(3)

2．兩圓半徑R=5，r=3，則當(dāng)兩圓的圓心距d滿足______時(shí)，兩圓相交；當(dāng)d滿足_______時(shí)，兩圓不外離．

3．如圖2所示，⊙O1和⊙O2內(nèi)切于T，則T在直線________上，理由是

_________________；若過O2的弦AB與⊙O2交于C、D兩點(diǎn)，若AC：CD：BD=2：4：3，則⊙O2與⊙O1半徑之比為________．

3．如圖所示，點(diǎn)A坐標(biāo)為（0，3），OA半徑為1，點(diǎn)B在x軸上．

（1）若點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，0），⊙B半徑為3，試判斷⊙A與⊙B位置關(guān)系；（2）若⊙B過M（-2，0）且與⊙A相切，求B點(diǎn)坐標(biāo)．

yAO答案:

一、1．B2．D3．B

x

二、1．垂直平分線

2．2-2時(shí)，9x=x+3，平方化簡得：x=0符題意，∴B（0，0），當(dāng)x-2（舍），②設(shè)⊙B與⊙A內(nèi)切，則9x=│x+2│-1，

當(dāng)x>-2時(shí)，9x=x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），當(dāng)x-2，∴應(yīng)舍去．

綜上所述：B（0，0）或B（4，0）．

2222224.3正多邊形和圓

教學(xué)內(nèi)容

1．正多邊形和圓的有關(guān)概念：正多邊形的外接圓，正多邊形的中心，正多邊形的半徑，正多邊形的中心角，正多邊形的邊心距．

2．在正多邊形和圓中，圓的半徑、邊長、邊心距中心角之間的等量關(guān)系．3．正多邊形的畫法．

我們把一個(gè)正多邊形的外接圓的圓心叫做這個(gè)多邊形的中心．外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．一、選擇題

1．如圖1所示，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則∠ADB的度數(shù)是（）．

A．60°B．45°C．30°D．22．5°

(1)(2)(3)2．圓內(nèi)接正五邊形ABCDE中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)P，則∠APB的度數(shù)是（）．A．36°B．60°C．72°D．108°

3．若半徑為5cm的一段弧長等于半徑為2cm的圓的周長，則這段弧所對的圓心角為

（）A．18°B．36°C．72°D．144°二、填空題

1．已知正六邊形邊長為a，則它的內(nèi)切圓面積為_______．

2．在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C為圓心，CA長為半徑的圓交AB于

D，如圖2所示，若AC=6，則AD的長為________．3．四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接梯形，如圖3所示，AB∥CD，且CD為直徑，如果

⊙O的半徑等于r，∠C=60°，那圖中△OAB的邊長AB是______；△ODA的周長

是_______；∠BOC的度數(shù)是________．

答案:

一、1．C2．C3．D二、1．

34a22．3．r3r60°

24.4弧長和扇形面積(第1課時(shí))

教學(xué)內(nèi)容

1．n°的圓心角所對的弧長L=2．扇形的概念；

nR13．圓心角為n°的扇形面積是S

扇形

=

nR3602；

4．應(yīng)用以上內(nèi)容解決一些具體題目．

一、選擇題

1．已知扇形的圓心角為120°，半徑為6，則扇形的弧長是（）．A．3B．4C．5D．6

2．如圖1所示，把邊長為2的正方形ABCD的一邊放在定直線L上，按順時(shí)針方向繞

點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到如圖的位置，則點(diǎn)B運(yùn)動到點(diǎn)B′所經(jīng)過的路線長度為（）

A．1B．C．2D．2

(1)(2)(3)

3．如圖2所示，實(shí)數(shù)部分是半徑為9m的兩條等弧組成的游泳池，若每條弧所在的圓

都經(jīng)過另一個(gè)圓的圓心，則游泳池的周長為（）

A．12mB．18mC．20mD．24m二、填空題

1．如果一條弧長等于

4R，它的半徑是R，那么這條弧所對的圓心角度數(shù)為______，

當(dāng)圓心角增加30°時(shí)，這條弧長增加________．

的長的_____倍．2．如圖3所示，OA=30B，則AD的長是BC三、綜合提高題

1．已知如圖所示，AB所在圓的半徑為R，AB的長為R，⊙O′和OA、OB分別

3相切于點(diǎn)C、E，且與⊙O內(nèi)切于點(diǎn)D，求⊙O′的周長．

答案:

一、1．B2．D3．D二、1．45°

16R2．3

三、1．連結(jié)OD、O′C，則O′在OD上

由l=R，解得：∠AOB=60°，AB3由Rt△OO′C解得⊙O′的半徑r=

13R，所以⊙O′的周長為2r=

23R．24.4弧長和扇形面積(第2課時(shí))

教學(xué)內(nèi)容

1．圓錐母線的概念．

2．圓錐側(cè)面積的計(jì)算方法．3．計(jì)算圓錐全面積的計(jì)算方法．4．應(yīng)用它們解決實(shí)際問題．

設(shè)圓錐的母線長為a，底面圓的半徑為r圓錐的側(cè)面積=ra圓錐的全面積=ra+r2

一、選擇題

1．圓錐的母線長為13cm，底面半徑為5cm，則此圓錐的高線為（）

A．6cmB．8cmC．10cmD．12cm2．在半徑為50cm的圓形鐵皮上剪去一塊扇形鐵皮，用剩余部分制作成一個(gè)底面直徑為80cm，母線長為50cm的圓錐形煙囪帽，則剪去的扇形的圓心角度數(shù)為（）A．228°B．144°C．72°D．36°

3．如圖所示，圓錐的母線長是3，底面半徑是1，A是底面圓周上一點(diǎn)，從點(diǎn)A出發(fā)

繞側(cè)面一周，再回到點(diǎn)A的最短的路線長是（）

A．63B．

332C．33D．3

二、填空題

1．母線長為L，底面半徑為r的圓錐的表面積=_______．

2．矩形ABCD的邊AB=5cm，AD=8cm，以直線AD為軸旋轉(zhuǎn)一周，所得圓柱體的

表面積是__________（用含的代數(shù)式表示）3．糧倉頂部是一個(gè)圓錐形，其底面周長為36m，母線長為8m，為防雨需在糧倉頂部

鋪上油氈，如果按用料的10%計(jì)接頭的重合部分，那么這座糧倉實(shí)際需用________m2

的油氈．

答案:

一、1．D2．C3．C

22

二、1．r+rL2．130cm3．158.4

第二十五章概率

課題：25.1隨機(jī)事件

教學(xué)目標(biāo)：知識技能目標(biāo)

了解必然發(fā)生的事件、不可能發(fā)生的事件、隨機(jī)事件的特點(diǎn).

指出下列事件中哪些是必然發(fā)生的,哪些是不可能發(fā)生的，哪些是隨機(jī)事件？1.通常加熱到100°C時(shí)，水沸騰；（必然發(fā)生）2.姚明在罰球線上投籃一次，命中；（隨機(jī)事件）3.擲一次骰子，向上的一面是6點(diǎn)；（隨機(jī)事件）4.度量三角形的內(nèi)角和，結(jié)果是360°（不可能）；5.經(jīng)過城市中某一有交通信號燈的路口，遇到紅燈；（隨機(jī)事件）6.某射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心；（隨機(jī)事件）7.太陽東升西落；（必然發(fā)生）8.人離開水可以正常生活100天；（不可能）9.正月十五雪打燈；（隨機(jī)事件）10.宇宙飛船的速度比飛機(jī)快.（必然發(fā)生）

課題:25.1.2概率的意義

教學(xué)目標(biāo):

〈一〉知識與技能

1.知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)的頻率可以作為事件發(fā)生概率的估計(jì)值2.在具體情境中了解概率的意義

我們用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機(jī)事件的可能性的大小.概率定義：一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率

mn會穩(wěn)定在某個(gè)常

數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率（probability）,記作P（A）=p.

注意指出：1．概率是隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小的數(shù)量反映.

2．概率是事件在大量重復(fù)試驗(yàn)中頻率逐漸穩(wěn)定到的值，即可以用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率去估計(jì)得到事件發(fā)生的概率，但二者不能簡單地等同.

頻率與概率有什么區(qū)別與聯(lián)系?

從定義可以得到二者的聯(lián)系,可用大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生頻率來估計(jì)事件發(fā)生的概率.另一方面,大量重復(fù)試驗(yàn)中事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)(事件發(fā)生的概率)附近，說明概率是個(gè)定值,而頻率隨不同試驗(yàn)次數(shù)而有所不同,是概率的近似值,二者不能簡單地等同.

課題:25.2列舉法求概率

教學(xué)目標(biāo)：

知識與技能目標(biāo)

學(xué)習(xí)用列表法、畫樹形圖法計(jì)算概率，并通過比較概率大小作出合理的決策。

例題1、為活躍聯(lián)歡晚會的氣氛，組織者設(shè)計(jì)了以下轉(zhuǎn)盤游戲：A、B兩個(gè)帶指針的轉(zhuǎn)盤分別被分成三個(gè)面積相等的扇形，轉(zhuǎn)盤A上的數(shù)字分別是1，6，8，轉(zhuǎn)盤B上的數(shù)字分別是4，5，7（兩個(gè)轉(zhuǎn)盤除表面數(shù)字不同外，其他完全相同）。每次選擇2名同學(xué)分別撥動A、B兩個(gè)轉(zhuǎn)盤上的指針，使之產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)，指針停止后所指數(shù)字較大的一方為獲勝者，負(fù)者則表演一個(gè)節(jié)目（若箭頭恰好停留在分界線上，則重轉(zhuǎn)一次）。作為游戲者，你會選擇哪個(gè)裝置呢？并請說明理由。14

8765

解法1

ABA

圖2聯(lián)歡晚會游戲轉(zhuǎn)盤

B

451（1，4）（1，5）6（6，4）（6，5）8（8，4）（8，5）從表中可以發(fā)現(xiàn)：A盤數(shù)字大于B盤數(shù)字的結(jié)果共有5種。7（1，7）（6，7）（8，7）5∴P(A數(shù)較大)=

4,P(B數(shù)較大)=

99.

∴P(A數(shù)較大)＞P(B數(shù)較大)

∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。開始

解法二：

A裝置1

B裝置457457457

由圖知：可能的結(jié)果為：（1，4），（1，5），（1，7），（6，4），（6，5），（6，7），（8，4），（8，5），（8，7）。共計(jì)9種。

685∴P(A數(shù)較大)=

9,P(B數(shù)較大)=

49.

∴P(A數(shù)較大)＞P(B數(shù)較大)

∴選擇A裝置的獲勝可能性較大。

25．3利用頻率估計(jì)概率

疑難分析：

1．當(dāng)試驗(yàn)的可能結(jié)果不是有限個(gè)，或各種結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí)，一般用統(tǒng)計(jì)頻率的方法來估計(jì)概率．2．利用頻率估計(jì)概率的數(shù)學(xué)依據(jù)是大數(shù)定律：當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很大時(shí)，隨機(jī)事件A出現(xiàn)的頻率，穩(wěn)定地在某個(gè)數(shù)值P附近擺動．這個(gè)穩(wěn)定值P，叫做隨機(jī)事件A的概率，并記為P(A)=P．3．利用頻率估計(jì)出的概率是近似值.

一、選一選（請將唯一正確答案的代號填入題后的括號內(nèi)）

1．盒子中有白色乒乓球8個(gè)和黃色乒乓球若干個(gè)，為求得盒中黃色乒乓球的個(gè)數(shù)，某同學(xué)進(jìn)行了如下實(shí)驗(yàn)：每次摸出一個(gè)乒乓球記下它的顏色，如此重復(fù)360次，摸出白色乒乓球90次，則黃色乒乓球的個(gè)數(shù)估計(jì)為()

A．90個(gè)B．24個(gè)C．70個(gè)D．32個(gè)

2．從生產(chǎn)的一批螺釘中抽取1000個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢查，結(jié)果發(fā)現(xiàn)有5個(gè)是次品，那么從中任取1個(gè)是次品概率約為（）．A．

11000B．

1200C．

12D．

15

3．下列說法正確的是()．

A．拋一枚硬幣正面朝上的機(jī)會與拋一枚圖釘釘尖著地的機(jī)會一樣大；

B．為了解漢口火車站某一天中通過的列車車輛數(shù)，可采用全面調(diào)查的方式進(jìn)行；C．彩票中獎的機(jī)會是1％，買100張一定會中獎；

D．中學(xué)生小亮，對他所在的那棟住宅樓的家庭進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)擁有空調(diào)的家庭占100％，于是他得出全市擁有空調(diào)家庭的百分比為100％的結(jié)論．4．小亮把全班50名同學(xué)的期中數(shù)學(xué)測試成績，繪成如

人數(shù)圖所示的條形圖，其中從左起第一、二、三、四個(gè)小長

方形高的比是1∶3∶5∶1．從中同時(shí)抽一份最低分?jǐn)?shù)段和一份最高分?jǐn)?shù)段的成績的概率分別是（）．A．C．

11012、

1101B．

11012、、

1212

59.569.579.589.599.5分?jǐn)?shù)(分)、

10D．

5．某人把50粒黃豆染色后與一袋黃豆充分混勻，接著

抓出100黃豆，數(shù)出其中有10粒黃豆被染色，則這袋黃豆原來有（）．A．10粒B．160粒C．450粒D．500粒6．某校男生中，若隨機(jī)抽取若干名同學(xué)做“是否喜歡足球”的問卷調(diào)查，抽到喜歡足球的同學(xué)的概率是

35，這個(gè)

35的含義是（）．

A．只發(fā)出5份調(diào)查卷，其中三份是喜歡足球的答卷；

B．在答卷中，喜歡足球的答卷與總問卷的比為3∶8；C．在答卷中，喜歡足球的答卷占總答卷的

35；

D．在答卷中，每抽出100份問卷，恰有60份答卷是不喜歡足球．

7．要在一只口袋中裝入若干個(gè)形狀與大小都完全相同的球，使得從袋中摸到紅球的概率為

15，四位同學(xué)分別采用了下列裝法，你認(rèn)為他們中裝錯的是（）．

A．口袋中裝入10個(gè)小球，其中只有兩個(gè)紅球；

B．裝入1個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，1個(gè)黑球；C．裝入紅球5個(gè)，白球13個(gè)，黑球2個(gè)；

D．裝入紅球7個(gè)，白球13個(gè)，黑球2個(gè)，黃球13個(gè)．8．某學(xué)生調(diào)查了同班同學(xué)身上的零用錢數(shù)，將每位同學(xué)的零用錢數(shù)記錄了下來（單位：元）：2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5，5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0.

假如老師隨機(jī)問一個(gè)同學(xué)的零用錢，老師最有可能得到的回答是（）．A．2元B．5元C．6元D．0元二、填一填

9．同時(shí)拋擲兩枚硬幣，按照正面出現(xiàn)的次數(shù)，可以分為“2個(gè)正面”、“1個(gè)正面”和“沒有正面”這3種可能的結(jié)果，小紅與小明兩人共做了6組實(shí)驗(yàn)，每組實(shí)驗(yàn)都為同時(shí)拋擲兩枚硬幣10次，下表為實(shí)驗(yàn)記錄的統(tǒng)計(jì)表：結(jié)果第一組第二組第三組第四組第五組第六組兩個(gè)正面335142一個(gè)正面655557沒有正面120411由上表結(jié)果，計(jì)算得出現(xiàn)“2個(gè)正面”、“1個(gè)正面”和“沒有正面”這3種結(jié)果的頻率分別是___________________．當(dāng)試驗(yàn)組數(shù)增加到很大時(shí)，請你對這三種結(jié)果的可能性的大小作出預(yù)測：______________．

10．紅星養(yǎng)豬場400頭豬的質(zhì)量(質(zhì)量均為整數(shù)千克)頻率分布如下，其中數(shù)據(jù)不在分點(diǎn)上

組別頻數(shù)頻率46~504051~558056~6016061~658066~703071~7510從中任選一頭豬，質(zhì)量在65kg以上的概率是_____________．11．為配和新課程的實(shí)施，某市舉行了“應(yīng)用與創(chuàng)新”知識競賽，共有1萬名學(xué)生參加了這次競賽（滿分100分，得分全為整數(shù)）。為了解本次競賽成績情況，從中隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的競賽成績，進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，整理見下表：組別分組頻數(shù)頻率149.5～59.5600.12259.5～69.51200.24369.5～79.51800.36479.5～89.5130c589.5～99.5b0.合計(jì)a1.00表中a=________,b=________,c＝_______；若成績在90分以上（含90分）的學(xué)生獲一等獎，估計(jì)全市獲一等獎的人數(shù)為___________．三、做一做

12．小穎有20張大小相同的卡片，上面寫有1~20這20個(gè)數(shù)字，她把卡片放在一個(gè)盒子中攪勻，每次從盒中抽出一張卡片，記錄結(jié)果如下：實(shí)驗(yàn)次數(shù)204060801001201*0160180201*的倍數(shù)的頻數(shù)51317263236394955613的倍數(shù)的頻率（1）完成上表；（2）頻率隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，穩(wěn)定于什么值左右？

（3）從試驗(yàn)數(shù)據(jù)看，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率估計(jì)是多少？

（4）根據(jù)推理計(jì)算可知，從盒中摸出一張卡片是3的倍數(shù)的概率應(yīng)該是多少？

13．甲、乙兩同學(xué)開展“投球進(jìn)筐”比賽，雙方約定：①比賽分6局進(jìn)行，每局在指定區(qū)域內(nèi)將球投向筐中，只要投進(jìn)一次后該局便結(jié)束；②若一次未進(jìn)可再投第二次，以此類推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未進(jìn)，該局也結(jié)束；③計(jì)分規(guī)則如下：a.得分為正數(shù)或0；b.若8次都未投進(jìn)，該局得分為0","p":{"h":15.75,"w":7.875,"x":43012．（1）0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31；（2）0.31；（3）0.31；（4）0.3

13．解：(1)計(jì)分方案如下表：n(次)12345678M(分)87654321(用公式或語言表述正確，同樣給分.)(2)根據(jù)以上方案計(jì)算得6局比賽，甲共得24分，乙共得分23分，所以甲在這次比賽中獲勝．

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