華師版九年級上冊數(shù)學知識點總結(jié)

二次根式

1.二次根式的概念：形如的式子叫做二次根式．2.二次根式的性質(zhì)：

___(a0)（1）(a)2（a≥0）；（2）a0(a≥0)；（3）a2_______(a0)

___(a0)3.二次根式的乘除：

乘法運算：ab___(a0,b0)計算公式：a除法運算：___(a0,b0)b4.概念：1.最簡二次根式：(1)(2)(3)2.同類二次根式：

5.二次根式的加減：(一化，二找，三合并)

（1）將每個二次根式化為最簡二次根式；（2）找出其中的同類二次根式；（3）合并同類二次根式．

6.二次根式化簡求值步驟：(1)“一分”：分解因數(shù)（因式）、平方數(shù)（式）；(2)“二移”：

根據(jù)算術(shù)平方根的概念，把根號內(nèi)的平方數(shù)或者平方式移到根號外面；(3)“三化”：化去被開方數(shù)中的分母．7.二次根式的混合運算：

（1）二次根式的混合運算順序與實數(shù)運算類似，先算乘方，再算乘除，最后算加減，有括號先算括號里面的．

（2）對于二次根式混合運算，原來學過的所有運算律、運算法則及乘法公式仍然適用．（3）在二次根式混合運算中，如能結(jié)合題目特點，靈活運用二次根式的性質(zhì)，選擇恰當?shù)慕忸}途徑，往往能事半功倍．

一元二次方程

1.一元二次方程：

1)一元二次方程：含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程．2)一元二次方程的一般形式：ax2bxc0(a0)．

它的特征：等式左邊是一個關(guān)于未知數(shù)x的二次多項式，等式右邊是零．

ax2叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)

項．

2.一元二次方程的解法：

1)直接開平方法：利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法．

直接開平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程．根據(jù)平方根的定義可知，

xa是b的平方根，當b0時，xab，xab，當b做未知數(shù)x，并用x代替，則有x22bxb2(xb)2．

配方法的步驟：先把常數(shù)項移到方程的右邊，再把二次項的系數(shù)化為1，再同時加上1次項的系數(shù)的一半的平方，最后配成完全平方公式．3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法．

bb24ac2(b4ac0)一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式：x2a24)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法．

分解因式法的步驟：把方程右邊化為0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（這里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化為乘積的形式．

3.一元二次方程根的判別式：

一元二次方程ax2bxc0(a0)中，b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式，通常用“”來表示，即b24ac．1)當△>0時，一元二次方程有2個不相等的實數(shù)根；2)當△=0時，一元二次方程有2個相同的實數(shù)根；3)當△abcd(交換內(nèi)項)dc(交換外項)baacbddb(同時交換內(nèi)外項)cabd(同時交換比的前項和后項)acaca±bc±dbdbdacmacma③等比性質(zhì)：(bdn≠0)

bdnbdnb②合比性質(zhì)：3．黃金分割

在線段AB上，點C把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），如果

ACBC，即ABACAC2=AB×BC，那么稱線段AB被點C黃金分割，點C叫做線段AB的黃金分割點，AC與AB的比叫做黃金比．其中AC4．平行線分線段成比例定理

①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例，如圖：

ABDEABDEBCEF，，，BCEFACDFACDF②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所

51AB≈0.618AB．2l1∥l2∥l3．則得的對應線段成比例．

③定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊．5．相似三角形的判定

①兩角對應相等，兩個三角形相似；②兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；③三邊對應成比例，兩三角形相似．6．相似三角形的性質(zhì)

①相似三角形的對應角相等,對應邊成比例；

②相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比；③相似三角形周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方．7．六種相似基本模型：

ADDBECBECBADCA

DE∥BC∠B∠AED∠B∠ACDDOABCOCADBABDC

AC∥BD

8．射影定理

X型∠B∠C母子型

AD是Rt△ABC斜邊上的高

由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________；由_____________，得______________，即_______________．

AB9．中位線

1)三角形的中位線：連結(jié)三角形兩邊中點的線段．三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半．

三角形三條邊上的中線交于一點，這個點就是三角形的重心，重心與一邊中點的線段的

1長是對應中線長的．

32)梯形的中位線：連結(jié)梯形兩腰中點的線段．

梯形的中位線平行于兩底邊，并且等于兩底邊和的一半．10．位似

①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經(jīng)過同一個點，那么這

樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱為位似比．②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比．

DC解直角三角形

考點一、直角三角形的性質(zhì)1.直角三角形的兩個銳角互余．

可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°

2.在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．

A301BCDAB

C9023.直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

ACB901CDABBDADD為AB的中點24.勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c2．5.攝影定理

在直角三角形中，斜邊上的高線是兩直角邊在斜邊上的攝影的比例中項，每條直角邊是它們在斜邊上的攝影和斜邊的比例中項．

CD2ADBDACB902

ACADABCDAB2BCBDAB6.常用關(guān)系式

由三角形面積公式可得：ABCD=ACBC考點二、直角三角形的判定

1.有一個角是直角的三角形是直角三角形．

2.如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．3.勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個三角形是直角三角形．考點三、銳角三角函數(shù)的概念1.如圖，在△ABC中，∠C=90°

①銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記為sinA，即sinAA的對邊a

斜邊cA的鄰邊b

斜邊cA的對邊a

A的鄰邊bA的鄰邊b

A的對邊a②銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記為cosA，即cosA③銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記為tanA，即tanA④銳角A的鄰邊與對邊的比叫做∠A的余切，記為cotA，即cotA2.銳角三角函數(shù)的概念

銳角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的銳角三角函數(shù)．3.各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系

（1）互余關(guān)系：sinA=cos(90°A)，cosA=sin(90°A)

tanA=cot(90°A)，cotA=tan(90°A)

（2）平方關(guān)系：sin2Acos2A1（3）倒數(shù)關(guān)系：tanAcotA=1

sinAcosA；cotA=cosAsinA4.銳角三角函數(shù)的增減性：當角度在0°~90°之間變化時，

（4）弦切關(guān)系：tanA=

（1）正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）（2）余弦值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�（3）正切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。�（4）余切值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅�5.一些特殊角的三角函數(shù)值

三角函數(shù)sinαcosα0°0130°45°60°123222223290°101tanαcotα考點四、解直角三角形1.解直角三角形的概念：

0不存在33113不存在3330在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形．2.解直角三角形的理論依據(jù)

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c（1）三邊之間的關(guān)系：a2b2c2（勾股定理）（2）銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°（3）邊角之間的關(guān)系：

abab,cosA,tanA,cotAccbababasinB,cosB,tanB,cotBccabsinA隨機事件的概率

1.概率

（1）表示一個事件發(fā)生的可能性大小的這個數(shù)，叫做該事件的概率．P(所關(guān)注的事件)=所關(guān)注的結(jié)果/所有等可能的結(jié)果．2.概率的預測

（1）要清楚我們關(guān)注的是發(fā)生哪個或哪些結(jié)果．（2）要清楚所有機會的結(jié)果．

（1）、（2）兩個結(jié)果個數(shù)之比就是關(guān)注的結(jié)果發(fā)生的概率．方法：畫樹狀圖、列表法．

擴展閱讀：華師大版數(shù)學九年級下冊《圓》知識點總結(jié)

圓

1．圓的認識

（1）當一條線段OA繞著它的一個端點O在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周時，它的另一個端點A的軌跡叫做圓。或到一個定點的距離等于定長的點的集合。這個以點O為圓心的圓叫作“圓O”，記為“⊙O”。（2）線段OA、OB、OC都是圓的半徑，線段AC為直徑。

（3）連結(jié)圓上任意兩點之間的線段叫做弦如線段AB、BC、AC都是圓O中的弦。

、BAC其中像弧BC這樣（4）圓上任意兩點間的部分叫做弧。如曲線BC、BAC都是圓中的弧，分別記作BC，這樣的大于半圓周的圓弧叫做優(yōu)弧。小于半圓周的圓叫做劣弧。像弧BAC（3）圓心角：頂點在圓心，兩邊與圓相交的角叫做圓心角。如∠AOB、∠AOC、∠BOC就是圓心角。2．圓的對稱性

（1）在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等、所對的弦相等。在同圓或等圓中，如果弦相等，那么所對的圓心角、所對的弧相等。

在同圓或等圓中，如果弧相等，那么所對的圓心角，所對的弦相等。（2）圓是軸對稱圖形，它的任意一條直徑所在的直線都是它的對稱軸。3．垂徑定理

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。

推論：平分弦的直徑垂直于這條弦，并且平分弦所對的��；平分弧的直徑垂直平分這條弧所對的弦。4．圓周角

（1）圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫做圓周角。（2）半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90°（直角）。

90°的圓周角所對的弦是圓的直徑。

（3）同圓或等圓中，一條弧所對的任意一個圓周角的大小都等于該弧所對的圓心角的一半。（4）同�。ɑ虻然。┧鶎Φ膱A周角相等；相等的圓周角所對的弧相等。5．點與圓的位置關(guān)系

設⊙O的半徑為r，點圓心O的距離為d，則（1）點在圓外dr（2）點在圓上dr（3）點在圓內(nèi)dr6．（1）過一點可以畫無數(shù)個圓；

過兩點可以畫無數(shù)個圓，圓心在兩點連線的垂直平分線上；過不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓。

（2）三角形的外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，三角形外接圓的圓心叫做這個三角形的外心。這個三角形叫做這個圓的內(nèi)接三角形。三角形的外心就是三角形三條邊的垂直平分線的交點。（3）一個三角形的外接圓是唯一的。7．直線與圓的位置關(guān)系

（1）如果一條直線與一個圓沒有公共點，那么就說這條直線與這個圓相離。

（2）如果一條直線與一個圓只有一個公共點，那么就說這條直線與這個圓相切。此時這條直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點．

（3）如果一條直線與一個圓有兩個公共點，那么就說這條直線與這個圓相交，此時這條直線叫做圓的割線．

如上圖，設⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，從圖中可以看出：若dr直線l與⊙O相離；若dr直線l與⊙O相切；若dr直線l與⊙O相交；8．切線

（1）判定定理：經(jīng)過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑。

推論：1）經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點。2）經(jīng)過切點且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（3）切線長：把切線上某一點與切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長。

性質(zhì)：從圓外一點可以引圓的兩條切線，切線長相等。這一點與圓心的連線平分兩條切線的夾角。（4）三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做這個三角形的內(nèi)切圓。三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個三角形的內(nèi)心。這個三角形叫做這個圓的外切三角形，三角形的內(nèi)心就是三角形三條角平分線的交點。9．圓和圓的位置關(guān)系

1）兩個圓沒有公共點，那么就說兩個圓相離，其中（1）又叫做外離，（2）、（3）又叫做內(nèi)含。（3）中兩圓的圓心相同，這兩個圓還可以叫做同心圓。

2）如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，如（4）、（5）所示．其中（4）又叫做外切，（5）又叫做內(nèi)切。

3）如果兩個圓有兩個公共點，那么就說這兩個圓相交，如（6）所示。

（1）兩圓外離dRr；（2）兩圓外切dRr；（3）兩圓外離RrdRr；（4）兩圓外離dRr；

10．圓中的計算問題（1）弧長的計算公式為：l（5）兩圓外離0dRrnr180（2）扇形：由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形。

nr21lr扇形面積的計算公式：S3602（3）圓錐的母線：把圓錐底面圓周上的任意一點與圓錐頂點的連線叫做圓錐的母線。

圓錐的高：連結(jié)頂點與底面圓心的線段叫做圓錐的高，如圖中a，而h就是圓錐的高。

（4）圓錐的底面周長就是其側(cè)面展開圖扇形的弧長，圓錐的母線就是其側(cè)面展開圖扇形的半徑。

圓錐的側(cè)面積就是弧長為圓錐底面的周長、半徑為圓錐的一條母線的長的扇形面積，而圓錐的全面積就是它的側(cè)面積與它的底面積的和。

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