高中數(shù)學(xué)人教版選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點(diǎn)必記

1．函數(shù)的平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動的平均速度。

2、導(dǎo)函數(shù)的概念:函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是

f(x0x)f(x0)y，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫l(wèi)imx0xx0xlim做

yf(x)在

x0處的導(dǎo)數(shù)，記作

f"(x0)或

y"|xx0，即

f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的

斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxxxedxeyexylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式:若fx，gx均可導(dǎo)（可積），則有：和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算特別地：Cfx"Cf"x商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地："2gxgx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的積分運(yùn)算[f(x)f(x)]dxa12bbaf1(x)dxf2(x)dxabab特別地：積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))cbacbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟:①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f"(x)②令f"(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)9．求曲邊梯形的思想和步驟:分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質(zhì)

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1

1dxba

ab性質(zhì)5若f(x)0,xa,b，則f(x)dx0

ab①推廣：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaabbbb②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況:定積分的值可能取正值，也可能取負(fù)值，還可能是0.

(l）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負(fù)值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；

（3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．

12．物理中常用的微積分知識（1）位移的導(dǎo)數(shù)為速度，速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

推理與證明知識點(diǎn)

13.歸納推理的定義：從個別事實(shí)中推演出一般性的．．．．．．．結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。．．．．14.歸納推理的思維過程大致如圖：

實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論15.歸納推理的特點(diǎn):①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。

16.類比推理的定義：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.類比推理的思維過程

觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結(jié)論18.演繹推理的定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到．．特殊的推理。．．19．演繹推理的主要形式：三段論

20.“三段論”可以表示為：①大前題：M是P②小前提：S是M③結(jié)論：S是P。其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。

21.直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。

22.綜合法就是“由因?qū)Ч�”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。

23.分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。24反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。

25.反證法的一般步驟（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設(shè)不正確，即所求．．．證命題正確。

26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”原結(jié)論詞反義詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個一個也沒有至少有兩個至多有n-1個至少有n+1個原結(jié)論詞對任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立對所有的x都成立存在x使不成立p且qp或q27.反證法的思維方法:正難則反．．．．

28.歸繆矛盾（1）與已知條件矛盾:（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）．．．．．．．．．．．．．．自相矛盾．．．29．?dāng)?shù)學(xué)歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題）的步驟(1)證明：當(dāng)n�。�．．*nnN第一個值時命題成立；(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N，且k≥n0)時命題成立，00．．．．證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n．．．．．都正確[注]：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識點(diǎn)30.復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫實(shí)部，b叫．．．．虛部，數(shù)集Cabi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定：abicdia=c且，強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

實(shí)數(shù)(b0)31．?dāng)?shù)集的關(guān)系：復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復(fù)數(shù)的幾何意義：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

33.復(fù)平面：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個復(fù)數(shù)zabi，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對(a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對應(yīng)，因此復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)。這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。

34.求復(fù)數(shù)的模(絕對值)與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模(也叫絕對值)記作z或abi。由模的定義可知：zabia2b235.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義①復(fù)數(shù)的加、減法法則：z1abi與z2cdi，則z1z2ac(bd)i。注：復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按向量的加、減法來進(jìn)．．行。

②復(fù)數(shù)的乘法法則：(abi)(cdi)acbdadbci。③復(fù)數(shù)的除法法則：因子

36.共軛復(fù)數(shù):兩復(fù)數(shù)abi與abi互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)b0時，它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運(yùn)算規(guī)律

abi(abi)(cdi)acbdbcad22i其中cdi叫做實(shí)數(shù)化22cdi(cdi)(cdi)cdcd(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根，則10，2(9)設(shè)

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數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識點(diǎn)必記

1．函數(shù)的平均變化率是什么？答：平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動的平均速度。2、導(dǎo)函數(shù)的概念是什么？

答：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是limf(x0x)f(x0)y，則稱limx0xx0x函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個極限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？

答：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線的斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景是什么？

答：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。5、常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式有哪些？函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式有哪些？答：若fx，gx均可導(dǎo)（可積），則有：和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算特別地：Cfx"Cf"x商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地："2gxgx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的積分運(yùn)算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地：積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是什么？答：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)8.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在a,b上的極值；

⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

注：實(shí)際問題的開區(qū)間唯一極值點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn)；9．求曲邊梯形的思想和步驟是什么？

答：分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質(zhì)有哪些？

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1

1dxba

ababbbbb性質(zhì)5若f(x)0,xa,b，則f(x)dx0

①推廣：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種？

答：定積分的值可能取正值，也可能取負(fù)值，還可能是0.

(l）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；

（2）當(dāng)對應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負(fù)值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；

（3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．

12．物理中常用的微積分知識有哪些？答：（1）位移的導(dǎo)數(shù)為速度，速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明知識點(diǎn)必記

13.歸納推理的定義是什么？答：從個別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。．．．．．．．歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。．．．．14.歸納推理的思維過程是什么？答：大致如圖：

實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測一般性結(jié)論15.歸納推理的特點(diǎn)有哪些？

答：①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16.類比推理的定義是什么？

答：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.類比推理的思維過程是什么？答：

觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結(jié)論18.演繹推理的定義是什么？

答：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演繹推理的主要形式是什么？答：三段論20.“三段論”可以表示為什么？

答：①大前題：M是P②小前提：S是M③結(jié)論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21.什么是直接證明？它包括哪幾種證明方法？

答：直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。22.什么是綜合法？

答：綜合法就是“由因?qū)Ч�”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。23.什么是分析法？答：分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。

要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。24什么是間接證明？

答：即反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟是什么？

答：（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設(shè)不正確，即所求證命題正確。．．．26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”有哪些？原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個一個也沒有至少有兩個至多有n-1個至少有n+1個對任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對所有的x都成立存在x使不成立27.反證法的思維方法是什么？答：正難則反．．．．

28.如何歸繆矛盾？

答：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．?dāng)?shù)學(xué)歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題）的步驟是什么？．．．nnN答：(1)證明：當(dāng)n取第一個值時命題成立；00．．．．(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識點(diǎn)必記

30.復(fù)數(shù)的概念是什么？答：形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫實(shí)部，b叫虛部，數(shù)集．．．．

Cabi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定：abicdia=c且，強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

實(shí)數(shù)(b0)31．?dāng)?shù)集的關(guān)系有哪些？答：復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？答：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)。

33.什么是復(fù)平面？

答：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個復(fù)數(shù)zabi，都可以由一個有序?qū)崝?shù)對

(a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對應(yīng)，因此

復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對應(yīng)。這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。34.如何求復(fù)數(shù)的模(絕對值)？答：與復(fù)數(shù)z對應(yīng)的向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模(也叫絕對值)記作

z或abi。由模的定義可知：zabia2b2

35.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義是什么？

答：①復(fù)數(shù)的加、減法法則：z1abi與z2cdi，則z1z2ac(bd)i。

注：復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按向量的加、減法來進(jìn)行。．．②復(fù)數(shù)的乘法法則：(abi)(cdi)acbdadbci。③復(fù)數(shù)的除法法則：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實(shí)數(shù)化因子36.什么是共軛復(fù)數(shù)？

答：兩復(fù)數(shù)abi與abi互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)b0時，它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運(yùn)算規(guī)律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根，則10，2(9)設(shè)

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