人教版數(shù)學必修四1.4.1~1.5知識點總結+例題
Ch1三角函數(shù)
1.4.1正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像
1.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的定義域與值域
正弦函數(shù):y=sinx定義域:R值域:[-1,1]余弦函數(shù):y=cosx定義域:R值域:[-1,1]例1、求下列函數(shù)的定義域:
1)y12cosx;2sinx3;1tanx2)y3)ylogsin2x[12cos(x)]2
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的周期性
sin(x2k)sinx(kZ)
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)具有“周而復始”的變化規(guī)律,這可以從正弦線、余弦線、函數(shù)的圖象的變化規(guī)律及誘導公式中得到反映。
即自變量x的值增加2π的整數(shù)倍時,函數(shù)的值重復出現(xiàn),數(shù)學上用周期性,這個概念來定量地刻畫這種“周而復始”的變化規(guī)律.
一般地,對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期。注意事項:
(1)定義是對定義域中的每一個x的值來說的,如果只有個別的x值滿足f(xT)f(x),那么不能說T是f(x)的周期.例如:sin(42)sin4,但是sin(32)sinT(2)從等式f(xT)f(x)來看:自變量x本身加的常數(shù)才是周期;如:f(2xT)f(2x)的周期不是T,應該寫成f(2(x))f(2x)2T其周期應為。2(3)如果在它所有的周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期,今后提到的三角函數(shù)的周期,如無特別說明,就是最小正周期.(4)并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期。,不是sinx的周期.32(5)周期函數(shù)的周期不止一個。(6)正弦函數(shù)ysinx,xR,與余弦函數(shù)ycosx,xR都是周期函數(shù),2k為周期,最小正周期是2結論:
2一般地,函數(shù)yAsin(x),xR或yAcos(x),xR(A、、為常數(shù),且A0,0)的周期是:
例1、求下列函數(shù)的周期:1)y3)y3sinx,xR;2)ysin2x,xR;2sin(2x),xR;6
x4)ycos(),xR.231/6
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的奇偶性
正弦函數(shù)的圖象
y132P5232P2O2322523x13113xx5,k,kZ對稱軸:,,,
222222(,0),(0,0),(,0),(2,0)(k,0)kZ對稱中心:
余弦函數(shù)的圖像
y1PP3235222O2322523x1
kx,0,,2x,kZ對稱軸:35對稱中心:(結論:
2,0),(,0),(,0),(,0)222(2k,0)kZ1、由ysinx圖像關于原點對稱,所以為奇函數(shù)。正弦函數(shù)對稱中心坐標為(k,0);對稱軸方程為xk,kZ2
2、由ycosx圖像關于y軸對稱,所以為偶函數(shù)。余弦函數(shù)對稱中心坐標為(k
2,0);對稱軸方程為xk,kZ正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調性
正弦函數(shù)的單調性
ysinx(xR)
增區(qū)間為[-2k,2k],kZ,其值從1增至122
3減區(qū)間為[22k,22k],kZ,其值從1減至-1余弦函數(shù)的單調性
ycosx(xR)
增區(qū)間為[-2k,2k],kZ,其值從1增至1減區(qū)間為[2k,2k],kZ,其值從1減至-1
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結論:
1、正弦函數(shù)在每個閉區(qū)間[2k](kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;223在每一個閉區(qū)間[2k,2k]上都是減函數(shù),其值從1減小到1.223當x2k時,ymax1,當x2k時,ymin1222、余弦函數(shù)在每個閉區(qū)間[2k,2k2](kZ)上都是增函數(shù),其值從-1增大到1;在每一個閉區(qū)間[2k,2k]上都是減函數(shù),其值從1減小到1.
,2k當x2k時,ymax1,當x2k時,ymin1綜合應用
比較大小
1)sin(sin33),sin(cos);882)cos1,cos1,cos,cos;
453253)sin,cos,sin,cos54512單調區(qū)間探求
1)y2sin(2x)493)y(tan)sin2x8綜合應用
x2)ylog2[cos()]34
1、定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x1)f(x),且在[3,2]上是減函數(shù),,是銳角三角形的兩個內角,則(A)A.f(sin)f(cos)C.f(sin)f(sin)B.f(sin)f(cos)D.f(cos)f(cos)2、已知函數(shù)f(x)logacos(2x),其中a0,a13求:(1)定義域;(2)單調區(qū)間;
(3)判斷奇偶性;(4)判斷周期性,若是求最小正周期。3、求下列函數(shù)的值域:1)y32sin2xcosx2)y2cosx13sinx13)y3sinx2
74、(1)求函數(shù)ysin2x4sinx的值域;4(2)求函數(shù)ycos2xsinx,x[,]的值域。4413(3)當函數(shù)ysin2xacosxa的最大值為1,求a的值。225、函數(shù)f(x)2sinx,對于任意的xR,都有f(x1)f(x)f(x2),則x1x2的最小值為_____.
6、函數(shù)f(x)sinx0,f()f(),且f(x)在區(qū)間(,)上有最小值,無最大值,則____.363633/6
37、已知函數(shù)f(x)2a[sin(2x)1]b,x[,],是否存在常數(shù)a,bQ,使得f(x)的值域為[3,31]?644若存在,求出對應的a,b,若不存在,說明理由。8、已知函數(shù)f(x)sin(xA.12B.1C.326),(0)的圖像相鄰兩對稱軸的距離為2,則f(201*)()
D.0sinxa(0x),下列結論正確的是sinx
(B).有最小值無最大值(D).無最大值無最小值9、設a0,對于函數(shù)f(x)(A).有最大值無最小值(C).有最大值有最小值10、已知函數(shù)f(x)x2bxc,對任意,R都有f(sin)0且f(2cos)0.(1)求f(1)的值;(2)求證:c0;(3)若f(sin)的最大值是10,求f(x)的表達式.
1.4.3正切函數(shù)的性質與圖像
周期性:Ttan(x)tanx,xR,xk,kZ2yAtan(x)T
奇偶性:tan(x)tanx,xR,xk,kZ2正切函數(shù)是奇函數(shù)
正切函數(shù)的性質
1.定義域:xxk,kZ23.周期性:T=2.值域:R4.奇偶性:奇函數(shù)k6.對稱性:對稱中心(,;不是軸對稱圖形0)25.在開區(qū)間k,kkZ內遞增22例1、求函數(shù)ytanx的定義域、周期和單調區(qū)間,對稱中心,對稱軸。3213例2、比較tan317與tan4的大小?1例3、若x,,求函數(shù)y2tanx1的最值及相應的x的值.234cosx
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1.5函數(shù)y=Asin(x)的圖像
對ysin(x),xR的圖像的影響
函數(shù)y=sin(x+φ)的圖象可以看作是把y=sinx的圖象上所有的點向左(當φ>0時)或向右(當φ1時)或伸長(當0
簡諧運動的物理量
在物理中,yAsinxBA0,0振幅:A;相位:x;初相:;周期:T21頻率:f.T
;(1)在簡諧運動中,自變量x表示時間,它是一個非負實數(shù);(2)y表示相對與平衡位置的位移;
(3)振幅A表示離開平衡位置的最大距離:
(4)周期T表示物體往復運動一次所需要的時間;(5)頻率f表示物體在單位時間內往復運動的次數(shù)。
yAsin(x),xR的圖象及其性質的綜合應用
yf(x)與yg(x)的圖象關于直線xa對稱的充要條件f(ax)g(ax)即g(x)f(2ax)關于直線yb對稱的充要條件f(x)g(x)2b即g(x)2bf(x)關于點(a,b)對稱的充要條件f(ax)g(ax)2b即g(x)2bf(2ax)如圖是函數(shù)yAsin(x)2的圖象(A0,0,)的一部分,則它的振幅,周期、初相分別是()
根據yAsinx的圖象確定參數(shù)值的方法:1、由最值求A;2、由周期求;3、由特殊點求。
例題
例1.函數(shù)f(x)2sin(AT.6,x)的圖象過點(0,,則該函數(shù)的最小正周期和初相1)為(323C.T6,)
6B.T6,6B.T6,3例2.將最小正周期為的函數(shù)f(x)sin(x)0,2的圖象向左平移單位后,得到偶函數(shù)圖像,244則的一個可能的值為__________.
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高一數(shù)學必修4知識點
正角:按逆時針方向旋轉形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉形成的角
零角:不作任何旋轉形成的角2、角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
第一象限角的集合為k360k36090,k;第二象限角的集合為k36090k360180,k;第三象限角的集合為k360180k360270,k;第四象限角的集合為k360270k360360,k;
終邊在x軸上的角的集合為k180,k;終邊在y軸上的角的集合為k18090,k;終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k
3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角,確定
nn所在象限的方法:先把各象限均分n等份,再從x軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標上
*一、二、三、四,則原來是第幾象限對應的標號即為5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.
n終邊所落在的區(qū)域.
6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是lr.
1807、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3.
1808、若扇形的圓心角為為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl,S12lr12r.
yr,
29、設是一個任意大小的角,的終邊上任意一點的坐標是x,y,它與原點的距離是rr22xy0,則sincosxr,tanyxx0.
10、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.11、三角函數(shù)線:sin,cos,tan.12、同角三角函數(shù)的基本關系:1sin2cos1sin1cos,cos1sin;22222yPTvOMAx2sintansintancos,cos.
costansin13、三角函數(shù)的誘導公式:
1sin2ksin2sinsin3sinsin,cos2k,coscos,tan2ktank.
.cos,tantan.
,coscos,tantan4sinsin,coscos,tantan.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.5sincos,cossin.6sincos,cossin.2222口訣:奇變偶不變,符號看象限.
14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的
1倍(縱坐標不變),得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖
象上所有點的縱坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)ysinx的圖象.函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長(縮短)到原來的
1倍(縱坐標不變),得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左(右)平移
個單位長度,得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱
坐標伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標不變),得到函數(shù)ysinx的圖象.函數(shù)ysinx0,0的性質:①振幅:;②周期:⑤初相:.
函數(shù)ysinx,當xx1時,取得最小值為ymin;當xx2時,取得最大值為ymax,則2;③頻率:f12;④相位:x;
12ymaxymin,
12ymaxymin,
2x2x1x1x2.
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質
16、向量:既有大小,又有方向的量.數(shù)量:只有大小,沒有方向的量.有向線段的三要素:起點、方向、長度.零向量:長度為0的向量.單位向量:長度等于1個單位的向量.
平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算:
⑴三角形法則的特點:首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點:共起點.
⑶三角形不等式:ababab.
⑷運算性質:①交換律:abba;②結合律:abcabc;③a00aa.
⑸坐標運算:設ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.
18、向量減法運算:
⑴三角形法則的特點:共起點,連終點,方向指向被減向量.
Ca⑵坐標運算:設ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.設、兩點的坐標分別為x1,y1,x2,y2,則x1x2,y1y2.
19、向量數(shù)乘運算:
abCC⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作a.
①aa;②當0時,a的方向與a的方向相同;當0時,a的方向與a的方向相反;當0時,a0.
⑵運算律:①aa;②aaa;③abab.
⑶坐標運算:設ax,y,則ax,yx,y.
20、向量共線定理:向量aa0與b共線,當且僅當有唯一一個實數(shù),使ba.
設ax1,y1,bx2,y2,其中b0,則當且僅當x1y2x2y10時,向量a、bb0共線.
21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a1e12e2.(不共線的向量e1、e2作為這一平面內所有向量的一組基底)
22、分點坐標公式:設點是線段12上的一點,1、2的坐標分別是x1,y1,x2,y2,當12時,點的坐標是
x1x2y1y2,.
1123、平面向量的數(shù)量積:⑴ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
⑵性質:設a和b都是非零向量,則①abab0.②當a與b同向時,abab;當a與b反向時,abab;22aaaa或aaa.③abab.
⑶運算律:①abba;②ababab;③abcacbc.
⑷坐標運算:設兩個非零向量ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y2.
若ax,y,則a2xy,或a22xy;設ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y20;
22ab設a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a與b的夾角,則cosab24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴cos⑶sinx1x2y1y2xy2121xy2222.
coscossinsin;⑵coscoscossinsin;sincoscossin;⑷sinsincoscossin;tantan1tantantantan1tantan(tantan⑸tantan1tantan);
⑹tan(tantantan1tantan).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sincos.
⑵cos2cossin2cos112sin(cos22222cos212.
,sin21cos22).⑶tan22tan1tan2.
26、sincossin,其中tan
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