七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)期末復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

七年級(jí)數(shù)學(xué)（下冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

任課教師：閆冠彬

★必考▲重點(diǎn)√了解

★復(fù)習(xí)重點(diǎn)：七至十單元測(cè)試卷

相交線與平行線【知識(shí)點(diǎn)】√

1.▲平面上不相重合的兩條直線之間的位置關(guān)系為_______或________

2.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，相鄰的兩個(gè)角叫做鄰補(bǔ)角，特點(diǎn)是兩個(gè)角共用一條邊，另一條邊互為反

向延長線，性質(zhì)是鄰補(bǔ)角互補(bǔ)；相對(duì)的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角，特點(diǎn)是它們的兩條邊互為反向延長線。性質(zhì)是對(duì)頂角相等。P3例；P82題；P97題；P352（2）；P353題

3.兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角為90度，則稱這兩條直線互相垂直。其中一條直線叫做另外一條直線的垂線，他們的交點(diǎn)稱為垂足。4.垂直三要素：垂直關(guān)系，垂直記號(hào)，垂足

5.做直角三角形的高：兩條直角邊即是鈍角三角形的高，只要做出斜邊上的高即可。

6.做鈍角三角形的高：最長的邊上的高只要向最長邊引垂線即可，另外兩條邊上的高過邊所對(duì)的頂點(diǎn)向該

邊的延長線做垂線。

AACBC7.垂直公理：過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直。

8.垂線段最短；CB9.點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長度。

10.兩條直線被第三條直線所截：同位角F（在兩條直線的同一旁，第三條直線的同一側(cè)）,內(nèi)錯(cuò)角Z（在兩

條直線內(nèi)部，位于第三條直線兩側(cè)），同旁內(nèi)角U（在兩條直線內(nèi)部，位于第三條直線同側(cè)）。

P7例、練習(xí)111.平行公理：過直線外一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線平行。

12.如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。如果b//a,c//a,那么b//cP174題13.平行線的判定。P15例結(jié)論：在同一平面內(nèi)，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。P15練習(xí)；P177題；P368題。

14.平行線的性質(zhì)。P21練習(xí)1，2；P236題15.★命題：“如果+題設(shè)，那么+結(jié)論。”P22練習(xí)116.真、假命題P2411題；P3712題17.平移的性質(zhì)P28歸納

三角形和多邊形

1.三角形內(nèi)角和定理★

【重點(diǎn)題目】P763

例：三角形三個(gè)內(nèi)角之比為2：3：4，則他們的度數(shù)分別為_____________2.構(gòu)成三角形滿足的條件：三角形兩邊之和大于第三邊。

判斷方法：在△ABC中，a、b為兩短邊，c為長邊，如果a+b>c則能構(gòu)成三角形，否則（a+bc）不能構(gòu)成三角形（即三角形最短的兩邊之和大于最長的邊）【重點(diǎn)題目】P64例；P692，6；P7073.三角形邊的取值范圍：三角形的任一邊：小于兩邊之和，大于兩邊之差（的絕對(duì)值）【重點(diǎn)題目】三角形的兩邊分別為3和7，則三角形的第三邊的取值范圍為_____________4.等面積法：三角形面積12底高,三角形有三條高，也就對(duì)應(yīng)有三條底邊，任取其中一組底和高，三

角形同一個(gè)面積公式就有三個(gè)表示方法，任取其中兩個(gè)寫成連等（可兩邊同時(shí)2消去12）底高底高，知道其中三條線段就可求出第四條。例如：如圖1，在直角△ABC中，ACB=900，CD是斜邊AB上的高，則有ACBCCDAB【重點(diǎn)題目】P708題A

例直角三角形的三邊長分別為3、4、5，則斜邊上的高為_____________D

5.等高法：高相等，底之間具有一定關(guān)系（如成比例或相等）

【例】AD是△ABC的中線，AE是△ABD的中線，SABC4cm2，則SABE=_____________CB

圖1

6.三角形的特性：三角形具有_____________【重點(diǎn)題目】P695題

7.外角：

【基礎(chǔ)知識(shí)】什么是外角？外角定理及其推論【重點(diǎn)題目】P75例2P765、6、8題8.n邊形的★內(nèi)角和_____________★外角和_______√對(duì)角線條數(shù)為_____________【基礎(chǔ)知識(shí)】正多邊形：各邊相等，各角相等；正n邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為_____________【重點(diǎn)題目】P83、P84練習(xí)1，2，3；P843，4，5，6；P904、5題9.√鑲嵌：圍繞一個(gè)拼接點(diǎn)，各圖形組成一個(gè)周角（不重疊，無空隙）。

單一正多邊形的鑲嵌：鑲嵌圖形的每個(gè)內(nèi)角能被3600整除：只有6個(gè)等邊三角形（600），4個(gè)正方形（900），3個(gè)正六邊形（1200）三種

（兩種正多邊形的）混合鑲嵌：混合鑲嵌公式nm3600：表示n個(gè)內(nèi)角度數(shù)為的正多邊形與m個(gè)內(nèi)角度數(shù)為的正多邊形圍繞一個(gè)拼接點(diǎn)組成一個(gè)周角，即混合鑲嵌。

【例】用正三角形與正方形鋪滿地面，設(shè)在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有m個(gè)正三角形、n個(gè)正方形，則m，n的值分別為多少？

平面直角坐標(biāo)系

▲基本要求：在平面直角坐標(biāo)系中1.給出一點(diǎn)，能夠?qū)懗鲈擖c(diǎn)坐標(biāo)2.給出坐標(biāo)，能夠找到該點(diǎn)

▲建系原則：原點(diǎn)、正方向、橫縱軸名稱（即x、y）

√語言描述：以…（哪一點(diǎn)）為原點(diǎn)，以…（哪一條直線）為x軸，以…（哪一條直線）為y軸建立直角坐標(biāo)系

▲基本概念：有順序的兩個(gè)數(shù)組成的數(shù)對(duì)稱為（有序數(shù)對(duì)）【三大規(guī)律】1.平移規(guī)律★

點(diǎn)的平移規(guī)律（P51歸納）

例將P(2,3)向左平移3個(gè)單位，向上平移5個(gè)單位得到點(diǎn)Q，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為_____________圖形的平移規(guī)律（P52歸納）

重點(diǎn)題目：P53練習(xí)；P543、4題；P557題。2.對(duì)稱規(guī)律▲

關(guān)于x軸對(duì)稱，縱坐標(biāo)取相反數(shù)

關(guān)于y軸對(duì)稱，橫坐標(biāo)取相反數(shù)

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，橫、縱坐標(biāo)同時(shí)取相反數(shù)例：P點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,7)，則P點(diǎn)（1.）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)為_____________(2.)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為_____________（3.）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為_____________3.位置規(guī)律★假設(shè)在平面直角坐標(biāo)系上有一點(diǎn)P（a，b）y1.如果P點(diǎn)在第一象限，有a>0，b>0（橫、縱坐標(biāo)都大于0）第二象限第一象限2.如果P點(diǎn)在第二象限，有a0（橫坐標(biāo)小于0，縱坐標(biāo)大于0）3.如果P點(diǎn)在第三象限，有a

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努力學(xué)習(xí)好數(shù)學(xué)知識(shí)

數(shù)學(xué)是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科；數(shù)學(xué)解題的關(guān)鍵就是知識(shí)和方法；

知識(shí)是鎖眼，方法是鑰匙。缺少哪個(gè)都不能打開題目這把鎖；那么我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)也要針對(duì)這兩點(diǎn)進(jìn)行。

一、掌握課本知識(shí)內(nèi)容及內(nèi)涵

數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)解題的基石。只有掌握了課本知識(shí)的內(nèi)容，理解知識(shí)的內(nèi)涵，才能更好地運(yùn)用它來解決問題。

二、多看例題

數(shù)學(xué)有的概念、定理較抽象，我們可以通過例題，將已有的概念具體化，使

自己對(duì)知識(shí)的理解更加深刻，更加透徹！看例題時(shí)，還要注意以下幾點(diǎn)：

1、看一道例題，解決一類問題。不能只看皮毛，不看內(nèi)涵。我們看例題，要注意總結(jié)并掌握其解題方法，建立起更寬的解題思路。不能看一道題就只會(huì)一道題，只記題目答案不記方法，這樣看例題也就失去了它本來的意義。每看一道題目，就應(yīng)理清解題思路，掌握解題方法，再遇到同類型的題目，我們就不在難了。既然有“授人以魚，不如授人以漁”，那么我們是不是也可以說“要魚不如要漁”呢！

2、我們不僅要看例題還要會(huì)總結(jié)，總結(jié)題型、解題思路和方法。運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想。最好把總結(jié)的寫出來。以后復(fù)習(xí)時(shí)再看，就事半功倍了。

3、會(huì)模仿，也要?jiǎng)?chuàng)新。在看例題的解題時(shí)，首先想自己遇到這個(gè)題怎么做，然后看例題怎么解答的，之后我們還要思考還有沒有其它方法和思路。我們最后看哪種方法更簡(jiǎn)便。

三、多做練習(xí)

“多”講的是題型多，不是題目數(shù)量多。不怕難題，就怕生題。題海戰(zhàn)術(shù)不

一定好，但是接觸的題型多了，總結(jié)的解題方法多了。以后遇到相同類型的題目也就不怕了。

四、心細(xì)，多思，善問，勤總結(jié)

數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)模�做題目時(shí)要細(xì)心，一個(gè)符號(hào)之差，題目的解就可能完全不一樣了，遇到問題要多思考，培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)思維，思考實(shí)在不會(huì)的，我們就要問，去弄懂。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，我們要會(huì)總結(jié)，還要勤總結(jié)。多總結(jié)知識(shí)內(nèi)容，總結(jié)解題方法，解題思想。一方面能夠起到復(fù)習(xí)鞏固的作用，另一方面能提高自己的自學(xué)能力。

數(shù)學(xué)的四大思維體系：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、分類討論、方程思想。

第六章實(shí)數(shù)

一、知識(shí)總結(jié)

（一）平方根與立方根

1、平方根

（1）定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。

（2）表示：非負(fù)數(shù)a的平方根記作±a，讀作“正負(fù)根號(hào)a”，（a叫做被開方數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)；0的平方根為0；負(fù)數(shù)的沒有平方根。（4）開平方：求平方根的運(yùn)算叫做開平方。

Ⅰ、平方根是開平方的結(jié)果；Ⅱ、開平方與平方互為逆運(yùn)算。2、算術(shù)平方根

（1）定義：正數(shù)a的正的平方根a叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。（2）性質(zhì)：（1）一個(gè)數(shù)a的算術(shù)平方根具有非負(fù)性；即：a≥0恒成立。（2）正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個(gè)，且為正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；負(fù)數(shù)的沒有算術(shù)平方根。3、立方根：

（1）定義：一般地，如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根。

（2）表示：a的立方根記作3a，讀作“三次根號(hào)a”（a叫做被開方數(shù)，3叫根指數(shù)）

（3）性質(zhì)：正數(shù)的立方根是1個(gè)正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是1個(gè)負(fù)數(shù)；0的立方根是0。

（二）實(shí)數(shù)

1、無理數(shù)：無限不循環(huán)的小數(shù)。（一個(gè)無理數(shù)與若干有理數(shù)之間的運(yùn)算結(jié)果還是無理數(shù)）2、實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)。3、實(shí)數(shù)分類：（1）按定義分（略）（2）按正負(fù)性分（略）4、實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。

5、實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)：（與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對(duì)值、倒數(shù)意義類似）

6、實(shí)數(shù)的運(yùn)算：實(shí)數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進(jìn)行加、減、乘、除、乘方運(yùn)算，正數(shù)及零可以進(jìn)行開平方運(yùn)算，任意一個(gè)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行開立方運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律對(duì)于實(shí)數(shù)仍然適用。

7、實(shí)數(shù)大�。海�1）正數(shù)>0>負(fù)數(shù)；（2）兩個(gè)負(fù)數(shù)相比，絕對(duì)值大的反而小；絕對(duì)值

小的反而大。（3）數(shù)軸上不同的點(diǎn)表示的數(shù)，右邊點(diǎn)表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)表示的數(shù)大。實(shí)數(shù)比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數(shù)法、估值法

二、解題實(shí)用

1、21.4142131.73252.2362、aa

2a2aa33a33a

3、abab

abababb0

三、典題練習(xí)

1、16的平方根是；-3的算術(shù)平方根是；-3的立方根是。

22

2、如果一個(gè)有理數(shù)的算術(shù)平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是；如果一個(gè)有理數(shù)的平方根與立方根相同，那么這個(gè)數(shù)是。

3、一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則與他相鄰的下一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根是。

4、下列各數(shù)中一定為正數(shù)的是（填序號(hào)）

23①x②x1③x④x1⑤x1

5、當(dāng)x

6、比較下列各組數(shù)的大小

41112-3與2-221與7335與2114-與-

5277、7-2的絕對(duì)值為，相反數(shù)為，倒數(shù)為。8、已知x3，y為4的平方根，xy0，求x+y的值。9、已知x3

10、如果一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根為2a-1和a-5，則這個(gè)數(shù)是。

11、a為5的整數(shù)部分，b為5的小數(shù)部分，則a+2b的值為。

12、若201*-aa-201*a，試求a-201*的值。（提示：找出題中的隱含條件）

2y-20，求x

2

+y的平方根。

第七章一元一次不等式與不等式組

一、知識(shí)總結(jié)

（一）不等式及其性質(zhì)

1、不等式：

（1）定義用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等號(hào)表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一個(gè)含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個(gè)不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。

不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值。

二者的關(guān)系是：解集包括解,所有的解組成了解集。

（4）解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式。

2、不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式，不等號(hào)的方向不變。

即：如果ab，那么acbc.

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。即：如果ab，并且c0，那么acbc；

acbc.

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變。即：如果ab，并且c0，那么acbc；

性質(zhì)4：如果ab，那么ba.（對(duì)稱性）性質(zhì)5：如果ab,bc,那么ac.（傳遞性）

acbc.

（二）一元一次不等式

1、定義：含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等號(hào)兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法：

根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)；一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號(hào)；(3)移項(xiàng)；

(4)合并同類項(xiàng)；(5)系數(shù)化為1.解不等式應(yīng)注意：①去分母時(shí)，每一項(xiàng)都要乘同一個(gè)數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項(xiàng)；②

移項(xiàng)時(shí)不要忘記變號(hào)；③去括號(hào)時(shí)，若括號(hào)前面是負(fù)號(hào)，括號(hào)里的每一項(xiàng)都要變號(hào)；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)的方向要改變。

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：

（1）邊界：有等號(hào)的是實(shí)心圓圈，無等號(hào)的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式組

1、定義：有幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組

2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個(gè)不等式解集的公共部分，叫做這個(gè)（一元一次）不等式組的解集。

3、解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。4、一元一次不等式組的解法

1）分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集

2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集。由兩個(gè)一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下面四種情況：不等式組ab解集xbxa口訣記憶同大取大同小取小大小小大中間找大大小小則無解xaxbxaxbxaxbaxbxaxb無解（四）一元一次不等式（組）解決實(shí)際問題

解題的步驟：

⑴審題，找出不等關(guān)系→⑵設(shè)未知數(shù)→⑶列出不等式（組）→

⑷求出不等式的解集→⑸找出符合題意的值→⑹作答。

二、解題技巧

一、有解無解問題：

（1）（3）xaxb有解：ab無解：ab（2）

xaxb

有解：ab無解：ab

xaxb有解：ab無解：ab2、特征解問題：

解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡(jiǎn)記為m)當(dāng)作已知數(shù)，去解原式→得

到原式的解（含m)→根據(jù)解的特征列出式子（關(guān)于m的式子)→解出m的值。

例：已知ax2x1的解集為x1，求a的值。解：解不等式ax2x1把a(bǔ)當(dāng)作已知數(shù)，去解原式得xa1得到原式的解（含a)則a-11根據(jù)解的特征列出式子解得a2解出a的值

三、典題練習(xí)

1、若關(guān)于x的不等式xm1x2m1有解，則m的取值范圍是？若無解呢？

2xy1mx2y22、已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足xy0，求m的取值范圍。

3、適當(dāng)選擇a的取值范圍，使1.7＜x＜a的整數(shù)解：

（1）x只有一個(gè)整數(shù)解；（2）x一個(gè)整數(shù)解也沒有。

4、解不等式（組）

2x53x,（1）x2x（2）

2324x3x7,3x32x1x,236x35x4,（3）3x72x3.1[x2(x3)]1.2（4）－5＜6－2x＜3（5）y3y832(10y)72

1.

5、若m、n為有理數(shù)，解關(guān)于x的不等式(－m－1)x＞n．

3x2yp1,6、已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x＞y，求p的取值范圍。

4x3yp17、已知關(guān)于x的不等式組

xb02x45的整數(shù)解共有3個(gè)，求b的取值范圍。

8、已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，試比較A與B的大小。

3x4a,9、已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，求a的值。

x2022

10、某種商品進(jìn)價(jià)為150元，出售時(shí)標(biāo)價(jià)為225元，由于銷售情況不好，商品準(zhǔn)備降價(jià)出售，但要保證利潤不低于10％，那么商店最多降價(jià)多少元出售商品?

11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個(gè)或乙種零件5個(gè)，且每制造一個(gè)甲種零件可獲利150元，每制造一個(gè)乙種零件可獲利260元。在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件。（1）若此車間每天所獲利潤為y(元)，用x的代數(shù)式表示y。

（2）若要使每天所獲利潤不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件?

12、某學(xué)校計(jì)劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元。（1）若學(xué)校單獨(dú)租用這兩種客車各需多少錢?

（2）若學(xué)校同時(shí)租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨(dú)租用一種車輛節(jié)省

租金，請(qǐng)選擇最節(jié)省的租車方案。

第八章整式乘除與因式分解

一、知識(shí)總結(jié)

（一）冪的運(yùn)算：

1、同底數(shù)冪乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。aaamnmnmn

2、同底數(shù)冪除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。aaa3、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。amnmnamn

4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。abambm

m注：（1）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1；a01a0（2）任何一個(gè)不等于零的數(shù)的-p（p為正整數(shù)）指數(shù)冪，

等于這個(gè)數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。ap1apa0

（3）科學(xué)記數(shù)法：ca10n或ca10-n1a10

絕對(duì)值小于1的數(shù)可記成a10-n的形式，其中1a10，n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中第一個(gè)有效數(shù)字前面的零的個(gè)數(shù)（包括小數(shù)點(diǎn)前面的一個(gè)零）。

（二）整式乘法：

1、單項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對(duì)于只在一個(gè)單項(xiàng)式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個(gè)因式。

2、單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式和多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。

3、多項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)與另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別相乘，再把所得的積相加。

（三）、完全平方公式與平法差公式

1、完全平方公式：aba22abb2a-ba2-2abb2兩個(gè)數(shù)的和（或

22差）的平方，等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加（或減）這兩個(gè)數(shù)乘積的兩倍。

2、平法差公式：a-baba-b兩個(gè)數(shù)的平方之差等于這兩個(gè)數(shù)的和

22與這兩個(gè)數(shù)的差之積。

（四）、整式除法

（1）單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式；對(duì)于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個(gè)因式。

（2）多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的除法法則：?jiǎn)雾?xiàng)式與多項(xiàng)式相除，先把多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這

個(gè)單項(xiàng)式再把所得的商相加。

（五）、因式分解

1、定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。

2、分解因式的基本方法：

（1）提公因式法

（2）公式法：運(yùn)用完全平方公式和平法差公式（3）對(duì)于二次三項(xiàng)式的因式分解的方法：

1）配方法，2）十字相乘法：公式xabxabxaxb

2

例：將x24x3因式分解。

方法一：配方法：原式=x24x4-43=x2-1=x1x3

2方法二：十字相乘法：x24x3=x1x3（4）分組分解法

3、分解因式的技巧：

(1)因式分解時(shí)，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；(2）因式分解時(shí)，有時(shí)項(xiàng)數(shù)較多時(shí)，看看分組分解法是否更簡(jiǎn)潔

(3)變形技巧：

①符號(hào)變形Ⅰ、x-y-y-xⅡ、當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，x-y-y-x

nnⅢ、當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，x-yy-x

nn②增項(xiàng)變形：

例：4x414x414x2-4x24x44x21-4x2③拆項(xiàng)變形：

例x32x2-1x3x2x2-1x3x2x2-1x2x1x-1x1

二、典題練習(xí)

1、計(jì)算題

(1)a-2b2b-a（2)2xx(3)a253m-2352m(4)aa

(5)310521432310(6)x2y-x-2yx2y3222、快速計(jì)算：（1）10397（2）102（3）993、2m4，416，求2mnn2m-n的值。

4、如果2

x2n64成立，那么m,n。

5、在括號(hào)內(nèi)填上指數(shù)和底數(shù)

（1）8322（2）9332

6、化簡(jiǎn)求值：已知x2-2x3，求x-1x3x-3x-3x-1的值。

2

7、已知2x5y4，再求4x32y的值。

8、已知ab3，ab-5，求代數(shù)式的值：（1）a2b2（2）a-b

2

9、因式分解：1）x32x2-5x-62）x2-y2axay3）a44b4

10、比較99999993與9996的大小。

11、不解不等式組

2mn623m-3n1，求7nm-3n-23n-m的值。

2

第九章分式

一、知識(shí)總結(jié)

（一）分式及其性質(zhì)

1、分式

（1）定義：一般的，如果a，b表示兩個(gè)整式，并且b中含有字母，那么式子式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。（2）有理式：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意義，則分母≠0）（4）最簡(jiǎn)分式：分子和分母沒有公因式的分式。

2、分式的性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變

aamam即：（a，b，m都是整式，且m0）

bbmbm分式的性質(zhì)是分式化簡(jiǎn)和運(yùn)算的依據(jù)。

-10-

ab叫做分

3、約分：把一個(gè)式子的分子分母的公因式約去叫做約分。注：約分的結(jié)果應(yīng)為最簡(jiǎn)分式或整式。約分的方法：

1）若分子、分母均為單項(xiàng)式：先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母最低次冪；

2）若分子、分母有多項(xiàng)式：先把多項(xiàng)式因式分解，再找分子、分母的公因式。

（二）分式運(yùn)算

1、分式的乘除

acac1）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的積做分子，分母的積做分母；即：

bdbd2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；

acadad即：

bdbcbcaaa13）分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即：n，abbbbnnnn

2、分式的加減

acac1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即：b0

bbb2）異分母分式加減：先通分，變?yōu)橥�分母的分式相加減，

即：

abcdadbdbcbdadbcbdbd0

（三）分式方程

1、定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解法：

轉(zhuǎn)化整式方程1）基本思路：分式方程2）轉(zhuǎn)化方法：方程兩邊都乘以各個(gè)分式最簡(jiǎn)公分母，約去分母。

整式方程解整式方程檢驗(yàn)3）一般步驟：分式方程注：檢驗(yàn)的是必不可缺的關(guān)鍵步驟，檢驗(yàn)的目的是看是否有增根存在。

通過轉(zhuǎn)化方法（四）分式應(yīng)用

列分式方程解決實(shí)際問題的一般步驟：審題設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程

檢驗(yàn)（①是否有增根，②是否符合題意）得出答案

二、分式解題中常用的數(shù)學(xué)思想和技巧

1、已知

1x1y5，求

2x-3xy2yx2xyy的值。（整體思想、構(gòu)造法）

2、已知

xy43

，求

3x-5xy2y2x3xy-5ya1aab2222的值。（整體思想、構(gòu)造法）

bc1cca3、已知abc1，求4、已知

1a1b161bbc的值。

，1a1b1b1c1c19，

1c1a115，求

abcabbcac。

（先得到

x1x2的值，然后按第1題方法做）

15、已知4，求x2x2的值。（提示：

abcx1x2x1x）

6、已知

bcaxcababc，求

abbcac的值。（提示：參數(shù)法）

7、已知

x-x121，求

x422xx1的值。（倒數(shù)求值法）

8、已知x2-5x10，求x41x4的值。（提示：由x2-5x10得x5x2y-z2222221x5）

9、已知4x-3y-6z0，x2y-7z0，求

2x-3y-10z的值。

（提示：消元代入法，把其中一個(gè)未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示其它的未知數(shù)）

10、計(jì)算：1）2）3）

201*201*11-x332-2201*21201*11x-3201*-222（提示：用字母代替數(shù)）（提示：局部通分）

x2x111x11x41x4x2x1-x3x2-x-4x-3x-5x-4(提示：假分式可先變形）

三、典題練習(xí)

1、如果分式

|x|5x5x2的值為0，那么x的值是。

2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________。

3、計(jì)算:

11x11x=_______________。x3x2x1224、當(dāng)分式

x2x1與分式的值相等時(shí)，x須滿足。

5、把分式

2x2yxy中的x，y都擴(kuò)大2倍，則分式的值。（填擴(kuò)大或縮小的倍數(shù)）

6、下列分式中，最簡(jiǎn)分式有個(gè)。

m1a2abb,,,,222222223xxymnm1a2abba3xymn22227、分式方程

1x321x34x922的解是。

8、若2x+y=0，則

xxyy2xyx2的值為。

9、當(dāng)x為何值時(shí)，分式

x1xx2x1222有意義？

10、當(dāng)x為何值時(shí)，分式

2x1x2xx22的值為零？

11、已知分式:當(dāng)x=時(shí)，分式?jīng)]有意義；當(dāng)x=_______時(shí)，分式的值為0；當(dāng)

x=－2時(shí)，分式的值為_______。12、當(dāng)a=____________時(shí)，關(guān)于x的方程

13、一輛汽車往返于相距akm的甲、乙兩地，去時(shí)每小時(shí)行mkm，返回時(shí)每小時(shí)行nkm，

則往返一次所用的時(shí)間是_____________。

14、某班a名同學(xué)參加植樹活動(dòng)，其中男生b名(b

18、已知a3a10，求19、已知x+

1x1x2a

42a1

的值。

=3，則x2+

1y1x2=________。

2x3xy2yx2xyy20、已知=3，則分式=。

21、化簡(jiǎn)求值．（1）（1+（2）

1x11x）÷（1－

(x21x13），其中x=－

)，其中x=

12；

12x2x2x2。

22、解方程:（1）

23、已知方程

，是否存在m的值使得方程無解？若存在，求出滿2xxxx1足條件的m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由。

12xm1102x1512x=2；（2）

2x13x1x3x12。

24、若

x2y3z5，且3x2yz14，求x、y、z的值。

25、小亮在購物中心用12.5元買了若干盒餅干，但他在一分利超市發(fā)現(xiàn)，同樣的餅干，這里要比購物中心每盒便宜0.5元．因此當(dāng)他第二次買餅干時(shí)，便到一分利超市去買，如果用去14元，買的餅干盒數(shù)比第一次買的盒數(shù)多

25，問他第一次在購物中心買了幾盒餅干？

第十章相交線、平行線與平移

一、知識(shí)總結(jié)

（一）相交線

1、對(duì)頂角：兩條直線相交，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長線的角叫對(duì)頂角。

對(duì)頂角性質(zhì)：對(duì)頂角相等

2、垂直：

（1）定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，如果有一個(gè)角是直角，就說明兩條直線相互垂直。記作ABCD；垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；它們的交點(diǎn)叫做垂足；連接直線外一點(diǎn)與垂足形成的線段叫做垂線段。注：1）垂直是相交的一種特殊的情況；

2）兩條線段垂直，垂足可能在線段上，也可能在延長線上。

（2）性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直。

3、點(diǎn)到直線的距離：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長度，叫做點(diǎn)到直線的距離。

在連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的線段中，垂線段最短。

4、垂線的畫法：略

（二）平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。記作AB∥CD。在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系不是相交就是平行，沒有其他。2、相關(guān)概念：同位角，內(nèi)錯(cuò)角，同旁內(nèi)角。

3、性質(zhì)：

基本性質(zhì)：經(jīng)過直線外一點(diǎn)，有且只有一條直線平行于這條直線。其他性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；

角的關(guān)系②兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線位置關(guān)系③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

4、平行判定：①同位角相等，兩直線平行；

性質(zhì)兩直線位置關(guān)系②內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；角的關(guān)系

③同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行。5、平行線的畫法：略

判定（三）平移

1、定義：在平面內(nèi)，一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定的距離，這個(gè)圖形的變換叫做平移。

2、性質(zhì)：1）一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移后所得到的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接的線段平行

（或在同一直線上）且相等；

2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。

3、確定平移的要素：1）方向；2）距離。

二、典題練習(xí)

1、如圖所示，下列判斷正確的是()

1212

1212

⑴⑵⑶⑷A、圖⑴中∠1和∠2是一組對(duì)頂角B、圖⑵中∠1和∠2是一組對(duì)頂角

C、圖⑶中∠1和∠2是一對(duì)鄰補(bǔ)角D、圖⑷中∠1和∠2互為鄰補(bǔ)角

2、下列說法中正確的是（）

A、有且只有一條直線垂直于已知直線；

B、直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離；C、互相垂直的兩條直線一定相交；

D、直線c外一點(diǎn)A與直線c上各點(diǎn)連接而成的所有線段中，最短線段的長是3cm，則點(diǎn)A到直線c的距離是3cm。

3、如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.∠A與∠C是同旁內(nèi)角B.∠1與∠3是同位角C.∠2與∠3是內(nèi)錯(cuò)角D.∠3與∠B是同旁內(nèi)角

第3題圖

第6題圖

第7題圖

4、在如圖所示的四個(gè)汽車標(biāo)志圖案中,能用平移變換來分析其形成過程的圖案是()

A．B．C．D．

5、一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進(jìn)，那么兩次拐彎的角度是（）

A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°5、6、如圖，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度數(shù)為。

7、如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判斷a∥b的條件是。（填序號(hào)）

8、如圖，當(dāng)剪刀口∠AOB增大21°時(shí)，∠COD增大。

9、吸管吸易拉罐的飲料時(shí)，如圖，1110，則2。

10、如圖，由三角形ABC平移得到的三角形共有個(gè)。

第8題圖第9題圖第10題圖

-16-

ACB第11題圖

11、如圖，一個(gè)寬度相等的紙條按如圖所示方法折疊一下，則∠1________。12、已知：如圖，BAPAPD180，12。試說明EF。

A1EBFPD

13、如圖所示，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊，設(shè)汽車行駛到P點(diǎn)位置時(shí)，離村莊M最近，行駛到Q點(diǎn)位置時(shí)，離村莊N最

C2近，請(qǐng)你在AB上分別畫出P，Q兩點(diǎn)的位置。

MANB14、如圖所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個(gè)圖形中∠P與∠A、∠C之間的關(guān)系，請(qǐng)你從所得的四個(gè)關(guān)系中任選一個(gè)加以說明。

APCDBAPCDBACPBDACPBD

(1)(2)(3)(4)

15、如圖所示，一個(gè)四邊形紙片ABCD，∠B∠D90，把紙片按如圖所示折疊，使點(diǎn)B落在AD邊上的B點(diǎn)，AE是折痕。

（1）試判斷BE與DC的位置關(guān)系；（2）如果∠C130，求∠AEB的度

第十一章頻數(shù)分布

一、知識(shí)總結(jié)

（一）頻數(shù)與頻率

1、概念：一般地，如果一組數(shù)據(jù)共有n個(gè)，而其中一類數(shù)據(jù)出現(xiàn)m次，那么m就叫做

該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)；而則稱為該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻率。

-17-

2、頻數(shù)分布：頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布圖（頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布折線圖）

（1）整理數(shù)據(jù)的步驟：

1）計(jì)算這批數(shù)據(jù)的極差（極差=最大值-最小值）

2）決定組距和組數(shù)（當(dāng)數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)在100以內(nèi)，一般分為5~12組，數(shù)據(jù)多分組多，數(shù)據(jù)少分組少，若有的組內(nèi)的頻數(shù)為0時(shí)，則應(yīng)放寬組距）

組距=

極差組數(shù)組數(shù)=

極差組距

3）決定分點(diǎn)（為了避免出現(xiàn)某一數(shù)據(jù)所在組不能確定的情況，應(yīng)使分點(diǎn)比已知數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，且把第一組的起點(diǎn)稍微放小）4）畫頻數(shù)分布表。

3、注意：

（1）頻率概率

（2）三種統(tǒng)計(jì)圖的特點(diǎn)：

條形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示出事物的絕對(duì)數(shù)量；折線統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地反映事物的變化趨勢(shì)；

扇形統(tǒng)計(jì)圖：能清楚地表示各部分占總體的百分率。二、典題練習(xí)

1、對(duì)某班的一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，各分?jǐn)?shù)段的人數(shù)如圖所示（分?jǐn)?shù)取正整數(shù)

滿分為100分）．請(qǐng)根據(jù)圖形回答下列問題：

20學(xué)生人數(shù)

151050

40～49

50～59

60～69

70～79

80～89

90～99

成績(jī)/分

①該班有名學(xué)生；

②70～79分這一組的頻數(shù)是，頻率是。

2、頻數(shù)分布直方圖（如圖22-2-9所示）顯示了學(xué)生半分鐘心跳數(shù)情況，總共統(tǒng)計(jì)了_________名學(xué)生的心跳數(shù)情況；__________次人數(shù)段的學(xué)生數(shù)最多，約占__________；如果半分鐘心跳數(shù)3039屬于正常范圍，心跳次數(shù)屬于正常范圍的學(xué)生約占__________。

3、校課外活動(dòng)小組為了了解本校九年級(jí)學(xué)生的睡眠時(shí)間情況，對(duì)學(xué)校若干名九年級(jí)學(xué)生的睡眠時(shí)間進(jìn)行了抽查，將所得數(shù)據(jù)整理后畫出了頻數(shù)分布直方圖的一部分，如圖所示，已知圖中從左到右前5個(gè)小組的頻率分別是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二小組的頻數(shù)為4，請(qǐng)回答：

（1）這次被抽查的學(xué)生人數(shù)是多少？補(bǔ)全頻率分布直方圖；

（2）被抽查的學(xué)生中，睡眠時(shí)間在哪個(gè)范圍內(nèi)的人數(shù)最多？這一范圍的人數(shù)是多少？（3）如果該學(xué)校有900名九年級(jí)學(xué)生，若合理的睡眠時(shí)間值為7t9，那么請(qǐng)你估計(jì)一下這個(gè)學(xué)校九年級(jí)學(xué)生中睡眠時(shí)間在此范圍的人數(shù)是多少？

4、校八年級(jí)（2）班40個(gè)學(xué)生某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)?nèi)缦拢?/p>

63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。數(shù)學(xué)老師按10分的組距分段，算出每個(gè)分?jǐn)?shù)段學(xué)生成績(jī)出現(xiàn)的頻數(shù)，填寫頻數(shù)分布表：（1）請(qǐng)把頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖(如圖22-2-19)補(bǔ)充完整并畫出頻數(shù)分布折線圖；

（2）請(qǐng)你幫老師統(tǒng)計(jì)一下這次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)的及格率（60分以上為及格，含60分）及優(yōu)秀率（90分以上為優(yōu)秀，含90分）；（3）請(qǐng)說明哪個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最多？哪個(gè)分?jǐn)?shù)段的學(xué)生最少？

成績(jī)段

[來源學(xué) 科 網(wǎng)]49.559.5

59.569.5

69.579.5

79.589.5

89.599.5

頻數(shù)記錄頻數(shù)

295

頻率

0.250

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