初三數(shù)學(xué)圓的總結(jié)
圓的全章復(fù)習(xí)
1.圓的基礎(chǔ)知識(1)圓的有關(guān)概念:
弦,弧,半圓,弓形,弓形高,等弧(隱含同圓等圓),弦心距,直徑等。(2)圓的確定
圓心決定位置,半徑?jīng)Q定大小,不共線的三點(diǎn)確定一個圓。注意:作圖(兩邊中垂線找交點(diǎn)),外心的位置,外心到三角形各頂點(diǎn)距離等
③圓的對稱性:軸對稱,中心對稱,旋轉(zhuǎn)不變性
2.圓與其它圖形(1)點(diǎn)與圓三種(2)直線與圓
相離dr①一條直線與圓三種相切dr
相交dr②兩條直線與圓有關(guān)的角:圓周角,弦切角,圓外角等比例線段:圓冪定理等
③三條直線與圓即三角形與圓
三角形“四心”的區(qū)別:垂心意義三條高的交點(diǎn)性質(zhì)等式積:位置銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:直角頂點(diǎn)鈍角三角形:外部必在三角形內(nèi)部ahabhbchc重心三條中線的交點(diǎn)同一中線上重心到頂點(diǎn)的距離是它到該頂點(diǎn)的對邊距離的2倍外心1.外接圓的圓心2.三邊中垂線的交點(diǎn)1.內(nèi)切圓的圓心2.三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)距離相等銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:斜邊中點(diǎn)鈍角三角形:外部到三角形三邊距離相等與頂點(diǎn)連線平分該內(nèi)角必在三角形內(nèi)部內(nèi)心
④四條直線與圓為180內(nèi)切四邊形:對角之和
的和相等外切四邊形:兩組對邊(3)兩圓與直線
兩圓外切時連心線過內(nèi)公切線切點(diǎn)與該切線垂直。兩圓內(nèi)切時連心線過切點(diǎn),垂直于過切點(diǎn)的切線。
兩圓相交時,連心線垂直于公共弦,并且平分公共弦。
3.圓與圓的位置關(guān)系:
(1).掌握圓與圓的五種位置關(guān)系,類比于點(diǎn)與圓,直線與圓的位置關(guān)系,能通過兩圓半徑r1,r2及圓心距d三者的數(shù)量關(guān)系,判斷兩圓位置關(guān)系,或通過位置關(guān)系,判斷數(shù)量關(guān)系。(2).在數(shù)軸上表示當(dāng)d在不同位置時,兩圓的位置關(guān)系。
(3).在證明兩圓的或多圓的圖形時,常加的輔助線:公共弦、公切線;圓心距,連心線。(4).當(dāng)兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦。當(dāng)兩圓內(nèi)切時,連心線垂直于公切線。當(dāng)兩圓外切時,連心線垂直于內(nèi)公切線。
(5).公切線是指兩個圓公共的切線,如果兩圓在公切線同旁則稱外公切線,如果兩圓在公切線兩旁則稱內(nèi)切線。公切線上兩切點(diǎn)間線段的長叫公切線長。
(Rr)(外離時)(6).如圖內(nèi)公切線長d(Rr)(外離、外切、相交時)外公切線長dd圓心距
R大圓半徑
r小圓半徑
R≥r
2222
內(nèi)公切線Rr夾角一半sin
d的正弦值
外公切線Rr夾角一半sin
d的正弦值(7).公切線條數(shù)①內(nèi)含0條0dRr②內(nèi)切1條dRr③相交2條RrdRr④外切3條dRr⑤外離4條dRr4.定理
(1)垂徑定理及推論:過圓心;垂直弦;平分弦(非直徑);平分優(yōu);平分劣;知2求3。
(2)圓心角,弦,弦心距,弧之間關(guān)系:同圓等圓中知1得3。
(3)與圓有關(guān)的角:圓心角,圓周角,弦切角,圓內(nèi)角,圓外角,圓內(nèi)接四邊形外角,內(nèi)對角,對角
1.一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一它所對弧度數(shù)的一半半,圓周角的度數(shù)等于角相等;同圓或等圓中2.同弧或等弧所對的圓周圓周角的性質(zhì)
相等的圓周角所對的弧也相等3.直徑所對的圓周角是直角,90。的圓周角所對的弦是直角(4)切線的判定、性質(zhì):
①判定:常見的證法連半徑,證垂直,判斷切線,“連垂切”
或作垂直證d=r
②性質(zhì):若一條直線滿足過圓心、過切點(diǎn),垂直于切線中任意兩條,可得另外一條。常見“切連垂”(5)和圓有關(guān)的比例線段:
相交弦定理及推論,切割線定理及推論,圓冪定理
5.和圓有關(guān)的計算(1)求線段①直徑、半徑
②垂徑定理:求弦長、弦心距、拱高
③切線長、公切線長(外公切線長,內(nèi)公切線長)④直角三角形內(nèi)切圓半徑
⑤任意三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長的關(guān)系⑥等邊三角形內(nèi)切圓半徑:外接圓半徑=1:2⑦與圓有關(guān)的比例線段、弦長、切線長等(2)求角
圓心角,圓周角,弦切角,兩切線夾角,公切線夾角6.常見輔助線
半徑、直徑、弦心距、“切連垂”、連心線、公共弦、公切線7.圓中常見圖形
直角三角形等腰三角形圓內(nèi)接四邊形相似三角形
8.正多邊形和圓
(n2)180正n邊形的內(nèi)角和為(n2)180有n個相等的內(nèi)角,每個內(nèi)角的度數(shù)為
n注意:正多邊形的外交和始終為3609.弧長公式:lnR
180nR210.扇形面積公式:3
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圓的全章復(fù)習(xí)
1.圓的基礎(chǔ)知識(1)圓的有關(guān)概念:
弦,弧,半圓,弓形,弓形高,等。[含同圓等圓),弦心距,直徑等。(2)圓的確定
圓心決定位置,半徑?jīng)Q定大小,不共線的三點(diǎn)確定一個圓。注意:作圖(兩邊中垂線找交點(diǎn)),外心的位置,外心到三角形各頂點(diǎn)距離等
③圓的對稱性:軸對稱,中心對稱,旋轉(zhuǎn)不變性
2.圓與其它圖形(1)點(diǎn)與圓三種(2)直線與圓
相離dr①一條直線與圓三種相切dr
相交dr②兩條直線與圓有關(guān)的角:圓周角,弦切角,圓外角等比例線段:圓冪定理等
③三條直線與圓即三角形與圓
三角形“四心”的區(qū)別:垂心意義三條高的交點(diǎn)性質(zhì)等式積:位置銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:直角頂點(diǎn)鈍角三角形:外部必在三角形內(nèi)部ahabhbchc重心三條中線的交點(diǎn)同一中線上重心到頂點(diǎn)的距離是它到該頂點(diǎn)的對邊距離的2倍外心1.外接圓的圓心2.三邊中垂線的交點(diǎn)1.內(nèi)切圓的圓心2.三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)距離相等銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:斜邊中點(diǎn)鈍角三角形:外部到三角形三邊距離相等與頂點(diǎn)連線平分該內(nèi)角必在三角形內(nèi)部內(nèi)心
④四條直線與圓為180內(nèi)切四邊形:對角之和
的和相等外切四邊形:兩組對邊(3)兩圓與直線
兩圓外切時連心線過內(nèi)公切線切點(diǎn)與該切線垂直。兩圓內(nèi)切時連心線過切點(diǎn),垂直于過切點(diǎn)的切線。
兩圓相交時,連心線垂直于公共弦,并且平分公共弦。
3.圓與圓的位置關(guān)系:
(1).掌握圓與圓的五種位置關(guān)系,類比于點(diǎn)與圓,直線與圓的位置關(guān)系,能通過兩圓半徑r1,r2及圓心距d三者的數(shù)量關(guān)系,判斷兩圓位置關(guān)系,或通過位置關(guān)系,判斷數(shù)量關(guān)系。(2).在數(shù)軸上表示當(dāng)d在不同位置時,兩圓的位置關(guān)系。
(3).在證明兩圓的或多圓的圖形時,常加的輔助線:公共弦、公切線;圓心距,連心線。(4).當(dāng)兩圓相交時,連心線垂直平分公共弦。當(dāng)兩圓內(nèi)切時,連心線垂直于公切線。當(dāng)兩圓外切時,連心線垂直于內(nèi)公切線。
(5).公切線是指兩個圓公共的切線,如果兩圓在公切線同旁則稱外公切線,如果兩圓在公切線兩旁則稱內(nèi)切線。公切線上兩切點(diǎn)間線段的長叫公切線長。
(Rr)(外離時)(6).如圖內(nèi)公切線長d(Rr)(外離、外切、相交時)外公切線長dd圓心距
R大圓半徑
r小圓半徑
R≥r
2222
內(nèi)公切線Rr夾角一半sin
d的正弦值
外公切線Rr夾角一半sin
d的正弦值(7).公切線條數(shù)①內(nèi)含0條0dRr②內(nèi)切1條dRr③相交2條RrdRr④外切3條dRr⑤外離4條dRr4.定理
(1)垂徑定理及推論:過圓心;垂直弦;平分弦(非直徑);平分優(yōu)。黄椒至踊。恢2求3。
(2)圓心角,弦,弦心距,弧之間關(guān)系:同圓等圓中知1得3。
(3)與圓有關(guān)的角:圓心角,圓周角,弦切角,圓內(nèi)角,圓外角,圓內(nèi)接四邊形外角,內(nèi)對角,對角
1.一條弧所對圓周角等于它所對的圓心角的一它所對弧度數(shù)的一半半,圓周角的度數(shù)等于角相等;同圓或等圓中2.同弧或等弧所對的圓周圓周角的性質(zhì)
相等的圓周角所對的弧也相等3.直徑所對的圓周角是直角,90。的圓周角所對的弦是直角(4)切線的判定、性質(zhì):
①判定:常見的證法連半徑,證垂直,判斷切線,“連垂切”
或作垂直證d=r
②性質(zhì):若一條直線滿足過圓心、過切點(diǎn),垂直于切線中任意兩條,可得另外一條。常見“切連垂”(5)和圓有關(guān)的比例線段:
相交弦定理及推論,切割線定理及推論
5.和圓有關(guān)的計算(1)求線段①直徑、半徑
②垂徑定理:求弦長、弦心距、拱高
③切線長、公切線長(外公切線長,內(nèi)公切線長)④直角三角形內(nèi)切圓半徑
⑤任意三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長的關(guān)系⑥等邊三角形內(nèi)切圓半徑:外接圓半徑=1:2⑦與圓有關(guān)的比例線段、弦長、切線長等(2)求角
圓心角,圓周角,弦切角,兩切線夾角,公切線夾角6.常見輔助線
半徑、直徑、弦心距、“切連垂”、連心線、公共弦、公切線7.圓中常見圖形
直角三角形等腰三角形圓內(nèi)接四邊形相似三角形
8.正多邊形和圓
(n2)180正n邊形的內(nèi)角和為(n2)180有n個相等的內(nèi)角,每個內(nèi)角的度數(shù)為
n注意:正多邊形的外交和始終為3609.弧長公式:lnR
180nR210.扇形面積公式:3
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