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初三數(shù)學(xué)圓的總結(jié)(1)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時(shí)間:2019-05-28 14:28:46 | 移動(dòng)端:初三數(shù)學(xué)圓的總結(jié)(1)

初三數(shù)學(xué)圓的總結(jié)(1)

圓的全章復(fù)習(xí)

1.圓的基礎(chǔ)知識(shí)(1)圓的有關(guān)概念:

弦,弧,半圓,弓形,弓形高,等弧(隱含同圓等圓),弦心距,直徑等。(2)圓的確定

圓心決定位置,半徑?jīng)Q定大小,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。注意:作圖(兩邊中垂線找交點(diǎn)),外心的位置,外心到三角形各頂點(diǎn)距離等

③圓的對(duì)稱性:軸對(duì)稱,中心對(duì)稱,旋轉(zhuǎn)不變性

2.圓與其它圖形(1)點(diǎn)與圓三種(2)直線與圓

相離dr①一條直線與圓三種相切dr

相交dr②兩條直線與圓有關(guān)的角:圓周角,弦切角,圓外角等比例線段:圓冪定理等

③三條直線與圓即三角形與圓

三角形“四心”的區(qū)別:垂心意義三條高的交點(diǎn)性質(zhì)等式積:位置銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:直角頂點(diǎn)鈍角三角形:外部必在三角形內(nèi)部ahabhbchc重心三條中線的交點(diǎn)同一中線上重心到頂點(diǎn)的距離是它到該頂點(diǎn)的對(duì)邊距離的2倍外心1.外接圓的圓心2.三邊中垂線的交點(diǎn)1.內(nèi)切圓的圓心2.三條角平分線的交點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)距離相等銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:斜邊中點(diǎn)鈍角三角形:外部到三角形三邊距離相等與頂點(diǎn)連線平分該內(nèi)角必在三角形內(nèi)部內(nèi)心

④四條直線與圓為180內(nèi)切四邊形:對(duì)角之和

的和相等外切四邊形:兩組對(duì)邊(3)兩圓與直線

兩圓外切時(shí)連心線過內(nèi)公切線切點(diǎn)與該切線垂直。兩圓內(nèi)切時(shí)連心線過切點(diǎn),垂直于過切點(diǎn)的切線。

兩圓相交時(shí),連心線垂直于公共弦,并且平分公共弦。

3.圓與圓的位置關(guān)系:

(1).掌握圓與圓的五種位置關(guān)系,類比于點(diǎn)與圓,直線與圓的位置關(guān)系,能通過兩圓半徑r1,r2及圓心距d三者的數(shù)量關(guān)系,判斷兩圓位置關(guān)系,或通過位置關(guān)系,判斷數(shù)量關(guān)系。(2).在數(shù)軸上表示當(dāng)d在不同位置時(shí),兩圓的位置關(guān)系。

(3).在證明兩圓的或多圓的圖形時(shí),常加的輔助線:公共弦、公切線;圓心距,連心線。(4).當(dāng)兩圓相交時(shí),連心線垂直平分公共弦。當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),連心線垂直于公切線。當(dāng)兩圓外切時(shí),連心線垂直于內(nèi)公切線。

(5).公切線是指兩個(gè)圓公共的切線,如果兩圓在公切線同旁則稱外公切線,如果兩圓在公切線兩旁則稱內(nèi)切線。公切線上兩切點(diǎn)間線段的長叫公切線長。

(Rr)(外離時(shí))(6).如圖內(nèi)公切線長d(Rr)(外離、外切、相交時(shí))外公切線長dd圓心距

R大圓半徑

r小圓半徑

R≥r

2222

內(nèi)公切線Rr夾角一半sin

d的正弦值

外公切線Rr夾角一半sin

d的正弦值(7).公切線條數(shù)①內(nèi)含0條0dRr②內(nèi)切1條dRr③相交2條RrdRr④外切3條dRr⑤外離4條dRr4.定理

(1)垂徑定理及推論:過圓心;垂直弦;平分弦(非直徑);平分優(yōu);平分劣;知2求3。

(2)圓心角,弦,弦心距,弧之間關(guān)系:同圓等圓中知1得3。

(3)與圓有關(guān)的角:圓心角,圓周角,弦切角,圓內(nèi)角,圓外角,圓內(nèi)接四邊形外角,內(nèi)對(duì)角,對(duì)角

1.一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一它所對(duì)弧度數(shù)的一半半,圓周角的度數(shù)等于角相等;同圓或等圓中2.同弧或等弧所對(duì)的圓周圓周角的性質(zhì)

相等的圓周角所對(duì)的弧也相等3.直徑所對(duì)的圓周角是直角,90。的圓周角所對(duì)的弦是直角(4)切線的判定、性質(zhì):

①判定:常見的證法連半徑,證垂直,判斷切線,“連垂切”

或作垂直證d=r

②性質(zhì):若一條直線滿足過圓心、過切點(diǎn),垂直于切線中任意兩條,可得另外一條。常見“切連垂”(5)和圓有關(guān)的比例線段:

相交弦定理及推論,切割線定理及推論

5.和圓有關(guān)的計(jì)算(1)求線段①直徑、半徑

②垂徑定理:求弦長、弦心距、拱高

③切線長、公切線長(外公切線長,內(nèi)公切線長)④直角三角形內(nèi)切圓半徑

⑤任意三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長的關(guān)系⑥等邊三角形內(nèi)切圓半徑:外接圓半徑=1:2⑦與圓有關(guān)的比例線段、弦長、切線長等(2)求角

圓心角,圓周角,弦切角,兩切線夾角,公切線夾角6.常見輔助線

半徑、直徑、弦心距、“切連垂”、連心線、公共弦、公切線7.圓中常見圖形

直角三角形等腰三角形圓內(nèi)接四邊形相似三角形

8.正多邊形和圓

(n2)180正n邊形的內(nèi)角和為(n2)180有n個(gè)相等的內(nèi)角,每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

n注意:正多邊形的外交和始終為3609.弧長公式:lnR

180nR210.扇形面積公式:3

擴(kuò)展閱讀:初三數(shù)學(xué)圓的總結(jié)(1)[1]

圓的全章復(fù)習(xí)

1.圓的基礎(chǔ)知識(shí)(1)圓的有關(guān)概念:

弦,弧,半圓,弓形,弓形高,等。[含同圓等圓),弦心距,直徑等。(2)圓的確定

圓心決定位置,半徑?jīng)Q定大小,不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

注意:作圖(兩邊中垂線找交點(diǎn)),外心的位置,外心到三角形各頂點(diǎn)距離等

③圓的對(duì)稱性:軸對(duì)稱,中心對(duì)稱,旋轉(zhuǎn)不變性

2.圓與其它圖形(1)點(diǎn)與圓三種(2)直線與圓

相離dr①一條直線與圓三種相切dr

相交dr有關(guān)的角:圓周角,弦切角,圓外角等②兩條直線與圓

比例線段:圓冪定理等③三條直線與圓即三角形與圓

三角形“四心”的區(qū)別:

垂心意義三條高的交點(diǎn)性質(zhì)等式積:ahabhbchc位置銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:直角頂點(diǎn)鈍角三角形:外部必在三角形內(nèi)部重心三條中線的交點(diǎn)同一中線上重心到頂點(diǎn)的距離是它到該頂點(diǎn)的對(duì)邊距離的2倍外心1.外接圓的圓心2.三邊中垂線的交點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)距離相等銳角三角形:內(nèi)部直角三角形:斜邊中點(diǎn)鈍角三角形:外部到三角形三邊距離相等與頂點(diǎn)連線平分該內(nèi)角必在三角形內(nèi)部內(nèi)心

1.內(nèi)切圓的圓心2.三條角平分線的交點(diǎn)

內(nèi)切四邊形:對(duì)角之和④四條直線與圓外切四邊形:兩組對(duì)邊為180的和相等

(3)兩圓與直線

兩圓外切時(shí)連心線過內(nèi)公切線切點(diǎn)與該切線垂直。兩圓內(nèi)切時(shí)連心線過切點(diǎn),垂直于過切點(diǎn)的切線。

兩圓相交時(shí),連心線垂直于公共弦,并且平分公共弦。

3.圓與圓的位置關(guān)系:

(1).掌握圓與圓的五種位置關(guān)系,類比于點(diǎn)與圓,直線與圓的位置關(guān)系,能通過兩圓半徑r1,r2及圓心距d三者的數(shù)量關(guān)系,判斷兩圓位置關(guān)系,或通過位置關(guān)系,判斷數(shù)量關(guān)系。(2).在數(shù)軸上表示當(dāng)d在不同位置時(shí),兩圓的位置關(guān)系。

(3).在證明兩圓的或多圓的圖形時(shí),常加的輔助線:公共弦、公切線;圓心距,連心線。(4).當(dāng)兩圓相交時(shí),連心線垂直平分公共弦。當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),連心線垂直于公切線。

當(dāng)兩圓外切時(shí),連心線垂直于內(nèi)公切線。

(5).公切線是指兩個(gè)圓公共的切線,如果兩圓在公切線同旁則稱外公切線,如果兩圓在公切線兩旁則稱內(nèi)切線。公切線上兩切點(diǎn)間線段的長叫公切線長。(6).如圖內(nèi)公切線長d(Rr)(外離時(shí))

(Rr)(外離、外切、相交時(shí))外公切線長d2222d圓心距R大圓半徑r小圓半徑R≥r

內(nèi)公切線Rrd

外公切線Rrd

夾角一半sin的正弦值夾角一半sin的正弦值

(7).公切線條數(shù)①內(nèi)含②內(nèi)切③相交

0條

1條dRrRrdRr2條0dRr④外切⑤外離

dRrdRr

3條4條

4.定理

(1)垂徑定理及推論:過圓心;垂直弦;平分弦(非直徑);平分優(yōu)弧;平分劣弧;知2求3。

(2)圓心角,弦,弦心距,弧之間關(guān)系:同圓等圓中知1得3。

(3)與圓有關(guān)的角:圓心角,圓周角,弦切角,圓內(nèi)角,圓外角,圓內(nèi)接四邊形外角,內(nèi)對(duì)角,對(duì)角

1.一條弧所對(duì)圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一它所對(duì)弧度數(shù)的一半半,圓周角的度數(shù)等于角相等;同圓或等圓中2.同弧或等弧所對(duì)的圓周也相等相等的圓周角所對(duì)的弧。3.直徑所對(duì)的圓周角是直角,90的圓周角所對(duì)的弦是直角圓周角的性質(zhì)

(4)切線的判定、性質(zhì):

①判定:常見的證法連半徑,證垂直,判斷切線,“連垂切”

或作垂直證d=r

②性質(zhì):若一條直線滿足過圓心、過切點(diǎn),垂直于切線中任意兩條,可得另外一條。常見“切連垂”

(5)和圓有關(guān)的比例線段:

相交弦定理及推論,切割線定理及推論

5.和圓有關(guān)的計(jì)算(1)求線段①直徑、半徑

②垂徑定理:求弦長、弦心距、拱高

③切線長、公切線長(外公切線長,內(nèi)公切線長)④直角三角形內(nèi)切圓半徑

⑤任意三角形內(nèi)切圓半徑與面積、周長的關(guān)系⑥等邊三角形內(nèi)切圓半徑:外接圓半徑=1:2⑦與圓有關(guān)的比例線段、弦長、切線長等(2)求角

圓心角,圓周角,弦切角,兩切線夾角,公切線夾角6.常見輔助線

半徑、直徑、弦心距、“切連垂”、連心線、公共弦、公切線7.圓中常見圖形

直角三角形等腰三角形圓內(nèi)接四邊形相似三角形

8.正多邊形和圓

正n邊形的內(nèi)角和為(n2)180有n個(gè)相等的內(nèi)角,每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)為

(n2)180n

注意:正多邊形的外交和始終為3609.弧長公式:lnR

180101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的**

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的**103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的**104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這個(gè)角的平分線108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡,是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線109定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條、谙业拇怪逼椒志經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

114定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等116定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等118推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形120定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

121①直線L和⊙O相交d<r②直線L和⊙O相切d=r③直線L和⊙O相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)125推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等,那么這兩個(gè)弦切角也相等130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

132切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)

133推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等134如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線,以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形138定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓,這兩個(gè)圓是同心圓139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長142正三角形面積√3a/4a表示邊長

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角,由于這些角的和應(yīng)為360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4144弧長計(jì)算公式:L=n兀R/180

145扇形面積公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)

210.扇形面積公式:

nR360

101圓是定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的**

102圓的內(nèi)部可以看作是圓心的距離小于半徑的點(diǎn)的**103圓的外部可以看作是圓心的距離大于半徑的點(diǎn)的**104同圓或等圓的半徑相等

105到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為圓心,定長為半徑的圓

106和已知線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)的軌跡,是著條線段的垂直平分線

107到已知角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡,是這個(gè)角的平分線108到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡,是和這兩條平行線平行且距離相等的一條直線

109定理不在同一直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)圓。

110垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧

111推論1①平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條弧

③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧112推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等113圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形

114定理在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等,所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弦的弦心距相等

115推論在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩弦的弦心距中有一組量相等那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都相等116定理一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半

117推論1同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧也相等118推論2半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角;90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑

119推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形120定理圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角

121①直線L和⊙O相交d<r②直線L和⊙O相切d=r③直線L和⊙O相離d>r

122切線的判定定理經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線123切線的性質(zhì)定理圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑124推論1經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)125推論2經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心

126切線長定理從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長相等,圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角127圓的外切四邊形的兩組對(duì)邊的和相等

128弦切角定理弦切角等于它所夾的弧對(duì)的圓周角

129推論如果兩個(gè)弦切角所夾的弧相等,那么這兩個(gè)弦切角也相等130相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等

131推論如果弦與直徑垂直相交,那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)

132切割線定理從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線,切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)

133推論從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線,這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等

134如果兩個(gè)圓相切,那么切點(diǎn)一定在連心線上135①兩圓外離d>R+r②兩圓外切d=R+r③兩圓相交R-r<d<R+r(R>r)

④兩圓內(nèi)切d=R-r(R>r)⑤兩圓內(nèi)含d<R-r(R>r)136定理相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦137定理把圓分成n(n≥3):

⑴依次連結(jié)各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形

⑵經(jīng)過各分點(diǎn)作圓的切線,以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切正n邊形138定理任何正多邊形都有一個(gè)外接圓和一個(gè)內(nèi)切圓,這兩個(gè)圓是同心圓139正n邊形的每個(gè)內(nèi)角都等于(n-2)×180°/n

140定理正n邊形的半徑和邊心距把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形141正n邊形的面積Sn=pnrn/2p表示正n邊形的周長142正三角形面積√3a/4a表示邊長

143如果在一個(gè)頂點(diǎn)周圍有k個(gè)正n邊形的角,由于這些角的和應(yīng)為360°,因此k×(n-2)180°/n=360°化為(n-2)(k-2)=4144弧長計(jì)算公式:L=n兀R/180

145扇形面積公式:S扇形=n兀R^2/360=LR/2146內(nèi)公切線長=d-(R-r)外公切線長=d-(R+r)11.

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