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初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全面)

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初中二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(全面)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

(一)、二次函數(shù)概念:

1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:

⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.⑵a,b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).

(二)、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上,對(duì)稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,.2a4a2a當(dāng)xbb時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)2a2a4acb2b.x時(shí),y有最小值

4a2a2.當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,對(duì)稱軸為xb,頂點(diǎn)坐標(biāo)為2ab4acb2bb時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x時(shí),y隨x的增,.當(dāng)x4a2a2a2a4acb2b大而減小;當(dāng)x時(shí),y有最大值.

4a2a(三)、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式:yax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0);2.頂點(diǎn)式:ya(xh)2k(a,h,k為常數(shù),a0);

3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函

數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即b24ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.練習(xí)

1.下列關(guān)系式中,屬于二次函數(shù)的是(x為自變量)()A.

B.C.D.

2.函數(shù)y=x2-2x+3的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A.(1,-4)B.(-1,2)C.(1,2)D.(0,3)3.拋物線y=2(x-3)2的頂點(diǎn)在()

A.第一象限B.第二象限C.x軸上D.y軸上4.拋物線

的對(duì)稱軸是()

A.x=-2B.x=2C.x=-4D.x=4

5.已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中,正確的是()A.ab>0,c>0B.ab>0,c10.把拋物線的圖象向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位,

所得的拋物線的函數(shù)關(guān)系式是()A.C.二、填空題

1、下列函數(shù)中,哪些是二次函數(shù)?(1)yx20(3)yx2(2)y(x2)(x2)(x1)2

B.D.

1(4)yx22x3x2、二次函數(shù)y2(x3)25的圖象開口方向,頂點(diǎn)坐標(biāo)是,對(duì)稱軸

是;

3、當(dāng)k為何值時(shí),函數(shù)y(k1)xk2k1為二次函數(shù)?畫出其函數(shù)的圖象.

3、函數(shù)yx(23x),當(dāng)x為時(shí),函數(shù)的最大值是;

14、二次函數(shù)yx22x,當(dāng)x時(shí),y0;且y隨x的增大而減

2小;

5.二次函數(shù)y=x2-2x+1的對(duì)稱軸方程是______________.

6.若將二次函數(shù)y=x2-2x+3配方為y=(x-h)2+k的形式,則y=________.

7.若拋物線y=x2-2x-3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),則AB的長(zhǎng)為_________.

8.拋物線y=x2+bx+c,經(jīng)過A(-1,0),B(3,0)兩點(diǎn),則這條拋物線的解析式為_____________.

9、二次函數(shù)yx2x的對(duì)稱軸是.

10二次函數(shù)y2x2x1的圖象的頂點(diǎn)是,當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而減。

11拋物線yax4x6的頂點(diǎn)橫坐標(biāo)是-2,則a=.12、拋物線yax2xc的頂點(diǎn)是(,1),則a、c的值是多少?

222213.已知拋物線y=

125x-3x-22(1)寫出拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo);

(2)求拋物線與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo);(3)畫出草圖

(4)觀察草圖,指出x為何值時(shí),y>0,y=0,y<0.

14、(201*年寧波市)如圖,已知二次函數(shù)y12xbxc2的圖象經(jīng)過A(2,0)、B(0,-6)兩點(diǎn)。(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式

(2)設(shè)該二次函數(shù)的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)C,求點(diǎn)C的坐標(biāo)

1.某公司推出了一種高效環(huán)保型洗滌用品,年初上市后,公司經(jīng)歷了從虧損到贏利的過程,

下面的二次函數(shù)圖象(部分)刻畫了該公司年初以來累積利潤(rùn)s(萬元)與銷售時(shí)間t(月)之間的關(guān)系(即前t個(gè)月的利潤(rùn)總和s與t之間的關(guān)系).(1)由已知圖象上的三點(diǎn)坐標(biāo),求累積利潤(rùn)s(萬元)與銷

售時(shí)間t(月)之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)求截止到幾月累積利潤(rùn)可達(dá)到30萬元;(3)求第8個(gè)月公司所獲利潤(rùn)是多少萬元?

擴(kuò)展閱讀:二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

一、二次函數(shù)概念:

一切為了孩子美好的未來

b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yaxbxc(a,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,2.二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征:

⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.

22b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).⑵a,二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式:yax的性質(zhì):a的絕對(duì)值越大,拋物線的開口越小。

2a的符號(hào)a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

00,00,y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減小;x0時(shí),y有最小值0.a(chǎn)0向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.2.yaxc的性質(zhì):上加下減。

2a的符號(hào)a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸性質(zhì)

c0,c0,y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值c.a(chǎn)0向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.3.yaxh的性質(zhì):

左加右減。4.

2a的符號(hào)a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸X=h性質(zhì)0h,0h,xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y有最小值0.a(chǎn)0向下X=hxh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.yaxhk的性質(zhì):

2a的符號(hào)a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸X=h性質(zhì)h,kxh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y有最小值k.廈門分校

三、二次函平移1.平移一切為了孩子美好的未來

X=ha0向下h,kxh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),數(shù)圖象的步驟:y有最大值k.方法一:⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;⑵保持拋物線yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,k處,具體平移方法如下:

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k廈門分校

一切為了孩子美好的未來

bbb4acb2當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x時(shí),y有最小值.

2a2a2a4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,對(duì)稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng),.當(dāng)x2a4a2a2abb4acb2.x時(shí),y隨x的增大而減。划(dāng)x時(shí),y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

21.一般式:yaxbxc(a,b,c為常數(shù),a0);22.頂點(diǎn)式:ya(xh)k(a,h,k為常數(shù),a0);

3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即

b24ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yaxbxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.

⑴當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上,a的值越大,開口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;⑵當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,a的值越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.

總結(jié)起來,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大小.2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對(duì)稱軸.⑴在a0的前提下,

當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),2b0,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);2ab0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;2ab0,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).2ab0,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè);2ab0,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;2ab0,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).2a⑵在a0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),總結(jié)起來,在a確定的前提下,b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.

ab的符號(hào)的判定:對(duì)稱軸x總結(jié):3.常數(shù)項(xiàng)c

b在y軸左邊則ab0,在y軸的右側(cè)則ab0,概括的說就是“左同右異”2ay軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;

⑵當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來,c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

⑴當(dāng)c0時(shí),拋物線與

b,c都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.總之,只要a,二次函數(shù)解析式的確定:

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问剑?/p>

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才能使解題簡(jiǎn)便.一般來說,有如下幾種情況:

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式;

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值,一般選用頂點(diǎn)式;3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式.

九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱

yaxbxc關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxbxc;

22一切為了孩子美好的未來

yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;

2.關(guān)于

22y軸對(duì)稱

2yaxbxc關(guān)于

2y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;

2yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxbxc;yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(即:拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°)

2222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxbxc;

2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk.

n對(duì)稱5.關(guān)于點(diǎn)m,22n對(duì)稱后,得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m,根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程:

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):

2一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.

222圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):

0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程①當(dāng)b4ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1,2b24ac.axbxc0a0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1a2②當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);③當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒有交點(diǎn).

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1"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的上方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;

一切為了孩子美好的未來

2"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的下方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.

2.拋物線yaxbxc的圖象與3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;

⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a,b,c的符號(hào),或由二次函數(shù)中a,b,c的符號(hào)判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對(duì)稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

2⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù);下面以a0時(shí)為例,揭示

22y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:

圖像參考:

y=2x2y=x20拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切為了孩子美好的未來

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函數(shù)的應(yīng)用

y=2x2y=2(x-4)2剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì),有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中,如:已知以x為自變量的二次函數(shù)值是

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像,習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直

則m的y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點(diǎn),

y=2(x-4)2-3角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像,試題類型為選擇題,如:

如圖,如果函數(shù)

ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是()

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題,如:已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn),對(duì)稱軸為x5,求這條拋物線的解析式。34.考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱軸、二次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題,如:32已知拋物線yaxbxc(a≠0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-2

(1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力,常見的作為專項(xiàng)壓軸題。【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號(hào)

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例1(1)二次函數(shù)yaxbxc的圖像如圖1,則點(diǎn)M(b,2一切為了孩子美好的未來

c)在()aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)已知二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號(hào);②當(dāng)x=1和x=3時(shí),函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時(shí),x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2

(1)(2)

【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵.

例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,O)、(x1,0),且1廈門分校

∴直線A,C解析式為y=6x-6直線A"C與拋物線交點(diǎn)為(0,-6),(5,24).∴符合題意的x的范圍為-1廈門分校一切為了孩子美好的未來

(2)要使每日的銷售利潤(rùn)最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤(rùn)是多少元?【解析】(1)設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則15kb25,解得k=-1,b=40,即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40.

2kb202

(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元,所獲銷售利潤(rùn)為w元w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225.

產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元,此時(shí)每日獲得最大銷售利潤(rùn)為225元.

【點(diǎn)評(píng)】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似,也有區(qū)別,主要有兩點(diǎn):(1)設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí),什么最大(或最小、最。钡脑O(shè)問中,“某某”要設(shè)為自變量,“什么”要設(shè)為函數(shù);(2)問的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.例3.你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔罄K時(shí),繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示,正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()

A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m分析:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案:B

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