二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目(教師用)
用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育
二次函數(shù)
主講:陳老師
一、定義:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).例:已知關(guān)于x的函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù))當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)(1)是一次函數(shù)(2)是正比例函數(shù)(3)是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的性質(zhì)(1)①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③|a|越大,開口越小。
Oxybb4acb2(,)(2)頂點(diǎn)是,對稱軸是直線x
2a2a4a(3)①當(dāng)a0時(shí),在對稱軸左邊,y隨x的增大而減小;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而增大;
②當(dāng)a0時(shí),在對稱軸左邊,y隨x的增大而增大;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而減小。(4)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c)
2c0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,c0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方則下列結(jié)論中正確的是(D)
例:1、(201*四川重慶,7,4分)已知拋物線y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,
A.a(chǎn)>0B.b<0C.c<0D.a(chǎn)+b+c>0
2山東威海題圖
練習(xí):1、(201*山東威海,7,3分)二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示.當(dāng)y<0時(shí),自變量x的
取值范圍是(A).A.-1<x<3
B.x<-1
C.x>3
D.x<-1或x>3
2、(201*湖北孝感,12,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸相交,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為1,1,下列結(jié)論:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b2=4a;21
自強(qiáng)不息敢爭第一
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④a+b+c<0.其中正確的個(gè)數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.4
三、求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法
bb4acb2(,)(1)公式法:yaxbxc,頂點(diǎn)是,對稱軸是直線x.
2a2a4a2(2)配方法:yaxhk的頂點(diǎn)為(h,k),對稱軸是直線xh.
2(3)利用交點(diǎn)式求對稱軸及頂點(diǎn):yaxx1xx2,對稱軸為x例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對稱軸:(1)yxx122
x23x5(2)y2(x1)7(3)y3(x7)(x9)
22例2、201*江蘇淮安,14,3分)拋物線y=x-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.(1,-4)四、拋物線的平移
方法1:計(jì)算機(jī)兩條拋物線的頂點(diǎn),由頂點(diǎn)判定平移情況方法2:將函數(shù)換成頂點(diǎn)式,用口決“(x)左加右減,上加下減”...例1、拋物線yx22x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x24x1答案:向右平移3,再向下移5個(gè)單位得到;
例2、(201*四川樂山5,3分)將拋物線yx向左平移2個(gè)單位后,得到的拋物線的解析式是(A)A.y(x2)B.yx2C.y(x2)D.yx2
例3、(201*重慶江津,18,4分)將拋物線y=x-2x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋
物線是_______.(y=(x-5)+2或y=x-10x+27)練習(xí):
1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1
2、拋物線yx2x3向左平移2個(gè)單位,再向上移3個(gè)單位得到y(tǒng)xbxc,求b和c。
23、(201*山東濱州,7,3分)拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確
2222222222222的是(B)
A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位
2自強(qiáng)不息敢爭第一
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B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式:yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.
2(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:yaxx1xx2.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換
例:1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式:
(-3,0),(0,-3),(5,0)(1)已知拋物線過
(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)(1,0)、(-2,4);(3)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),過點(diǎn)(1,4)例2、將yx26x2和y2x2x4換成頂點(diǎn)式(y(x37,y2(x)221)229)2練習(xí):1、將yx24x-5和y3x7x4換成頂點(diǎn)式
22、(201*山東濟(jì)寧,12,3分)將二次函數(shù)yx24x5化為y(xh)2k的形式,則y2y(x2)1)(
七、yax2bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系
b4ac>0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育
bc,x1x2ax1x2a(二者都可以用)例1、(201*臺灣臺北,32)如圖(十四),將二次函數(shù)y=31x2-999x+892的圖形畫在坐標(biāo)平面上,判
韋達(dá)定理:89=0的兩根,下列敘述何者正確?(A)斷方程式31x-999x+22
A.兩根相異,且均為正根B.兩根相異,且只有一個(gè)正根C.兩根相同,且為正根D.兩根相同,且為負(fù)根
例2、.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,則AB的長為4,三角形
ABC的面積是6。
練習(xí):1.已知二次函數(shù)y=ax2-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-1).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖
象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).(y=x22,兩個(gè)交點(diǎn))
2.(201*湖北襄陽,12,3分)已知函數(shù)y(k3)x22x1的圖象與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是(B)A.k4
B.k4
C.k4且k3
D.k4且k3
3、(201*廣東東莞,15,6分)已知拋物線y(1)求c的取值范圍;
12xxc與x軸有交點(diǎn).2(2)試確定直線y=cx+l經(jīng)過的象限,并說明理由.
八、二次函數(shù)的應(yīng)用
21、求yaxbxc(a,b,c是常數(shù),a0)最大值或最小值
①a0,函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo);②a0,函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、面積問題,主要利用各種圖形的面積公式,如三角形面積=底高3、利潤問題:利潤=銷量(售價(jià)-進(jìn)價(jià))-其他4、拱橋問題
4自強(qiáng)不息敢爭第一
1用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育
例1、(201*廣東肇慶,10,3分)二次函數(shù)yx22x5有(D)
A.最大值5
B.最小值5
C.最大值6
D.最小值6
例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示(單位:m),要在這塊土地上沿東
西方向挖一條水渠,沿南北方向挖兩條水渠,水渠的寬為x(m),余
下的可耕地面積為y(
m2)。
(1)請你寫出y與x之間的解析式;
(2)根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式,當(dāng)水渠的寬度為1m時(shí),余下的可
耕地面積為多少?(3)若余下的耕地面積為4408
m2,求此時(shí)水渠的寬度。
例3、某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與每件的銷售
價(jià)x(元)滿足一次函數(shù):m=162-3x.
(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果商場要想每天獲得最大銷售利潤,每件商品的定價(jià)為多少最合適?最大銷售利潤為多
少?
練習(xí):1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析,若按每千克50元銷售,一個(gè)
月能售出500千克;銷售單價(jià)每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對這種水產(chǎn)品的銷售情況,請解答下列問題:
(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí),計(jì)算月銷售量和月銷售利潤;
(2)設(shè)銷售單價(jià)為每千克X元,月銷售利潤為Y元,求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍);
(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售單
價(jià)應(yīng)定為多少?
2、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,
拱高OC=0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).
(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;
y=-182955x+(x)12510225
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用專業(yè)的心,做專業(yè)的教育
(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(備用數(shù)據(jù):21.4,計(jì)算結(jié)果
精確到1米).
52110000.01=275238523、.如圖6,一單杠高2.2m,兩立柱之間的距離為1.6m,將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處,
繩子自然下垂呈拋物線形狀,一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處,其頭部剛好觸到繩子,求繩子最低點(diǎn)到地面的距離。(答案:0.2m)
圖6
附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:
函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)yax2yax2k2yaxhx0(y軸)當(dāng)a0時(shí)開口向上當(dāng)a0時(shí)x0(y軸)xhxhyaxhk2開口向下yaxbxc2bx2a
b4acb2,()2a4a
6自強(qiáng)不息敢爭第一
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二次函數(shù)
一、定義:一般地,如果yax例:已知關(guān)于x的函數(shù)yax22bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).
bxc(a,b,c是常數(shù))當(dāng)a,b,c滿足什么條件時(shí)
(1)是一次函數(shù)(2)是正比例函數(shù)(3)是二次函數(shù)二、二次函數(shù)yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的性質(zhì)y(1)①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).③|a|越大,開口越小。
4acbb(,),對稱軸是直線x(2)頂點(diǎn)是
2a4a2ab2x
O(3)①當(dāng)a0時(shí),在對稱軸左邊,y隨x的增大而減小;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而增大;
②當(dāng)a0時(shí),在對稱軸左邊,y隨x的增大而增大;在在對稱軸右邊,y隨x的增大而減小。(4)y軸與拋物線yax
22bxc得交點(diǎn)為(0,c)
c0,拋物線與c0,拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的交點(diǎn)在x軸上方,x軸下方
例:1、(201*四川重慶,7,4分)已知拋物線y=ax+bx+c(a≠0)在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,則下列結(jié)論中正確的是(D)
A.a(chǎn)>0B.b<0C.c<0D.a(chǎn)+b+c>0
2山東威海題圖
練習(xí):1、(201*山東威海,7,3分)二次函數(shù)yx2x3的圖象如圖所示.當(dāng)y<0時(shí),自變量x的取值范圍是(A).
A.-1<x<3
B.x<-1
C.x>3
D.x<-1或x>3
相2、(201*湖北孝感,12,3分)如圖,二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與y軸正半軸交,其頂點(diǎn)坐標(biāo)為12
,1,下列結(jié)論:①ac<0;②a+b=0;③4ac-b=4a;④2a+b+c<0.其中正確的個(gè)數(shù)是(C)A.1B.2C.3D.4
三、求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法
1(1)公式法:yax24acbb(,),對稱軸是直線xbxc,頂點(diǎn)是.
2a4a2a2b2(2)配方法:yaxhk的頂點(diǎn)為(h,k),對稱軸是直線xh.
(3)利用交點(diǎn)式求對稱軸及頂點(diǎn):yaxx1xx2,對稱軸為x例1、求下列各拋物線的頂點(diǎn)和對稱軸:(1)yx12x2
x23x5(2)y2(x1)7(3)y3(x7)(x9)
22例2、201*江蘇淮安,14,3分)拋物線y=x-2x-3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是.(1,-4)四、拋物線的平移
方法1:計(jì)算機(jī)兩條拋物線的頂點(diǎn),由頂點(diǎn)判定平移情況方法2:將函數(shù)換成頂點(diǎn)式,用口決“(x)左加右減,上加下減”...例1、拋物線yx2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)x4x1答案:向右平移3,再向下移5個(gè)單位得到;
例2、(201*四川樂山5,3分)將拋物線yx向左平移2個(gè)單位后,得到的拋物線的解析式是(A)A.y(x2)B.yx2C.y(x2)D.yx2
例3、(201*重慶江津,18,4分)將拋物線y=x-2x向上平移3個(gè)單位,再向右平移4個(gè)單位等到的拋物線是_______.
(y=(x-5)+2或y=x-10x+27)練習(xí):
1、拋物線y2x2x3經(jīng)過怎樣平移得到y(tǒng)2x4x1
2、拋物線yx2x3向左平移2個(gè)單位,再向上移3個(gè)單位得到y(tǒng)xbxc,求b和c。
23、(201*山東濱州,7,3分)拋物線yx23可以由拋物線yx平移得到,則下列平移過程正確的是(B)
222222222
222222A.先向左平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位B.先向左平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位C.先向右平移2個(gè)單位,再向下平移3個(gè)單位D.先向右平移2個(gè)單位,再向上平移3個(gè)單位五、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值,通常選擇一般式.
2(2)頂點(diǎn)式:yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.
2(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:yaxx1xx2.(4)一般式與頂點(diǎn)式的變換
例:1、根據(jù)已知條件確定下列函數(shù)的解析式:
(-3,0),(0,-3),(5,0)(1)已知拋物線過
(2)已知拋物線的頂點(diǎn)在x軸上,且過點(diǎn)(1,0)、(-2,4);(3)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),過點(diǎn)(1,4)例2、將yx26x2和y2x22x4換成頂點(diǎn)式(y(x3)7,y2(x2122)92)
練習(xí):1、將yx24x-5和y3x27x4換成頂點(diǎn)式2
222、(201*山東濟(jì)寧,12,3分)將二次函數(shù)yx4x5化為y(xh)k的形式,則y(y(x2)1)七、yaxax22bxc(a0)與一元二次方程ax2bxc0(a0)的關(guān)系
b24ac>0=0練習(xí):1.已知二次函數(shù)y=ax-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-1).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交
點(diǎn)的個(gè)數(shù).(y=x2,兩個(gè)交點(diǎn))2.(201*湖北襄陽,12,3分)已知函數(shù)yA.k4
(k3)x2222x1的圖象與x軸有交點(diǎn),則k的取值范圍是(B)
且k3B.k4C.k4且k3D.k4
3、(201*廣東東莞,15,6分)已知拋物線y(1)求c的取值范圍;
12xxc2與x軸有交點(diǎn).
(2)試確定直線y=cx+l經(jīng)過的象限,并說明理由.
八、二次函數(shù)的應(yīng)用1、求yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)最大值或最小值
①a0,函數(shù)有最小值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo);②a0,函數(shù)有最大值為頂點(diǎn)的縱坐標(biāo),此時(shí)x等于頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)。2、面積問題,主要利用各種圖形的面積公式,如三角形面積=底高3、利潤問題:利潤=銷量(售價(jià)-進(jìn)價(jià))-其他4、拱橋問題
例1、(201*廣東肇慶,10,3分)二次函數(shù)yx2x5有(D)
A.最大值5
B.最小值5
C.最大值6
D.最小值6
212
例2、一塊矩形耕地大小尺寸如圖所示(單位:m),要在這塊土地上沿東
西方向挖一條水渠,沿南北方向挖兩條水渠,水渠的寬為x(m),余
下的可耕地面積為y(m)。
(1)請你寫出y與x之間的解析式;
(2)根據(jù)你寫出的函數(shù)解析式,當(dāng)水渠的寬度為1m時(shí),余下的可
耕地面積為多少?(3)若余下的耕地面積為4408m,求此時(shí)水渠的寬度。
例3、某商場以每件30元的價(jià)格購進(jìn)一種商品,試銷中發(fā)現(xiàn),這種商品每天的銷量m(件)與每件的銷售價(jià)x(元)滿足
一次函數(shù):m=162-3x.
(1)寫出商場賣這種商品每天的銷售利潤y與每件的銷售價(jià)x間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)如果商場要想每天獲得最大銷售利潤,每件商品的定價(jià)為多少最合適?最大銷售利潤為多少?
練習(xí):1、某商店經(jīng)銷一種銷售成本為每千克40元的水產(chǎn)品。據(jù)市場分析,若按每千克50元銷售,一個(gè)月能售出500
千克;銷售單價(jià)每漲1元,月銷售量就減少10千克,針對這種水產(chǎn)品的銷售情況,請解答下列問題:(1)當(dāng)銷售單價(jià)定為每千克55元時(shí),計(jì)算月銷售量和月銷售利潤;
(2)設(shè)銷售單價(jià)為每千克X元,月銷售利潤為Y元,求Y與X的函數(shù)關(guān)系式(不必寫出X的取值范圍);(3)商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下,使得月銷售利潤達(dá)到8000元,銷售單價(jià)應(yīng)定為多少?
42、盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,拱高OC=
0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).
(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;y=-18125x+2
910(52x52)
(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(備用數(shù)據(jù):21.4,計(jì)算結(jié)果精確到1
522米).
110000.01=2752385
3、.如圖6,一單杠高2.2m,兩立柱之間的距離為1.6m,將一根繩子的兩端拴于立柱與橫杠結(jié)合處,繩子自然下垂呈拋物線形狀,一身高0.7m的小孩站在離左邊立柱0.4m處,其頭部剛好觸到繩子,求繩子最低點(diǎn)到地面的距離。(答案:0.2m)
圖6
附表.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:
函數(shù)解析式y(tǒng)axyax22開口方向?qū)ΨQ軸x0(y軸)x0(y軸)頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)4acb,(2a4ab2當(dāng)a0時(shí)開口向上當(dāng)a0時(shí)k2yaxhyaxhk2xhxh開口向下xb2ayax2bxc)
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