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二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時(shí)間:2019-05-28 13:22:30 | 移動(dòng)端:二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念:

1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù).需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).

2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:

⑴等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.⑵a,b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).

二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式:yax2的性質(zhì):a的絕對值越大,拋物線的開口越小。

a的符號a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸向上性質(zhì)x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值0.x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.0,00,0y軸a0向下y軸2.yax2c的性質(zhì):上加下減。

a的符號a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸向上性質(zhì)x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值c.0,c0,cy軸a02向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.3.yaxh的性質(zhì):

左加右減。

a的符號a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸向上性質(zhì)xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y有最小值0.xh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.h,0X=ha0向下h,0X=h

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4.yaxhk的性質(zhì):

2a的符號a0開口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸向上性質(zhì)xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y有最小值k.xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值k.h,kh,kX=ha0向下X=h

三、二次函數(shù)圖象的平移

1.平移步驟:

k;方法一:⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k處,具體平移方法如下:⑵保持拋物線yax2的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,2

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h

四、二次函數(shù)yaxhk與yax2bxc的比較

從解析式上看,yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得b4acb2b4acb2到前者,即yax,其中h,.k2a4a2a4a222

五、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k,確定其開口方向、對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與軸的交點(diǎn)、以及關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)、與軸的交點(diǎn),(若與軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)).

畫草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向,對稱軸,頂點(diǎn),與軸的交點(diǎn),與軸的交點(diǎn).

六、二次函數(shù)的性質(zhì)

對稱軸為,頂點(diǎn)坐標(biāo)為.

1.當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,當(dāng)時(shí),隨的增大而減。划(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),有最小值.2.當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,對稱軸為,.當(dāng)時(shí),隨的增大而增大;當(dāng)時(shí),隨的增大而減小;當(dāng)時(shí),有最大值.

七、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式:(,,為常數(shù),);2.頂點(diǎn)式:即(,,為常數(shù),);3.兩根式(交點(diǎn)式):(,,是拋物線與軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)

式,只有拋物線與軸有交點(diǎn),即時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系

1.二次項(xiàng)系數(shù)

二次函數(shù)中,作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然.

⑴當(dāng)時(shí),拋物線開口向上,的值越大,開口越小,反之的值越小,開口越大;⑵當(dāng)時(shí),拋物線開口向下,的值越小,開口越小,反之的值越大,開口越大.

總結(jié)起來,決定了拋物線開口的大小和方向,的正負(fù)決定開口方向,的大小決定開口的大。

2.一次項(xiàng)系數(shù)

在二次項(xiàng)系數(shù)確定的前提下,決定了拋物線的對稱軸.⑴在的前提下,

當(dāng),時(shí),,即拋物線的對稱軸在軸左側(cè);

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當(dāng),時(shí),,即拋物線的對稱軸就是軸;當(dāng),時(shí),,即拋物線對稱軸在軸的右側(cè).⑵在的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng),時(shí),,即拋物線的對稱軸在軸右側(cè);當(dāng),時(shí),,即拋物線的對稱軸就是軸;當(dāng),時(shí),,即拋物線對稱軸在軸的左側(cè).

總結(jié)起來,在確定的前提下,決定了拋物線對稱軸的位置.

的符號的判定:對稱軸在軸左邊則,在軸的右側(cè)則,概括的說就是“左同右異”

3.常數(shù)項(xiàng)

⑴當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸上方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;⑵當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為;⑶當(dāng)時(shí),拋物線與軸的交點(diǎn)在軸下方,即拋物線與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來,決定了拋物線與軸交點(diǎn)的位置.

總之,只要都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.

二次函數(shù)解析式的確定:

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问,才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式;

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(小)值,一般選用頂點(diǎn)式;3.已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于軸對稱

關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是;

關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是;2.關(guān)于軸對稱

關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是;

關(guān)于軸對稱后,得到的解析式是;3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

關(guān)于原點(diǎn)對稱后,得到的解析式是;關(guān)于原點(diǎn)對稱后,得到的解析式是;

4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱(即:拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°)關(guān)于頂點(diǎn)對稱后,得到的解析式是;

關(guān)于頂點(diǎn)對稱后,得到的解析式是.5.關(guān)于點(diǎn)對稱

關(guān)于點(diǎn)對稱后,得到的解析式是根據(jù)對稱的性質(zhì),顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)

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及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程:

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與軸交點(diǎn)情況):一元二次方程是二次函數(shù)當(dāng)函數(shù)值時(shí)的特殊情況.圖象與軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):

①當(dāng)時(shí),圖象與軸交于兩點(diǎn),其中的是一元二次方程的兩根.這兩點(diǎn)間的距離.②當(dāng)時(shí),圖象與軸只有一個(gè)交點(diǎn);

③當(dāng)時(shí),圖象與軸沒有交點(diǎn).

當(dāng)時(shí),圖象落在軸的上方,無論為任何實(shí)數(shù),都有;

當(dāng)時(shí),圖象落在軸的下方,無論為任何實(shí)數(shù),都有.2.拋物線的圖象與軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為,;

3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):

⑴求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;

⑵求二次函數(shù)的最大(。┲敌枰门浞椒▽⒍魏瘮(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中,,的符號,或由二次函數(shù)中,,的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式本身就是所含字母的二次函數(shù);下面以時(shí)為例,揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:

拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與軸無交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.十一、函數(shù)的應(yīng)用

二次函數(shù)應(yīng)用

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擴(kuò)展閱讀:二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

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二次函數(shù)知識點(diǎn)

一、二次函數(shù)概念:

一切為了孩子美好的未來

b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yaxbxc(a,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,2.二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征:

⑴等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.

22b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).⑵a,二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式:yax的性質(zhì):a的絕對值越大,拋物線的開口越小。

2a的符號a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

00,00,y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減小;x0時(shí),y有最小值0.a(chǎn)0向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.2.yaxc的性質(zhì):上加下減。

2a的符號a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸性質(zhì)

c0,c0,y軸x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y有最小值c.a(chǎn)0向下y軸x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.3.yaxh的性質(zhì):

左加右減。4.

2a的符號a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸X=h性質(zhì)0h,0h,xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減。粁h時(shí),y有最小值0.a(chǎn)0向下X=hxh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.yaxhk的性質(zhì):

2a的符號a0開口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對稱軸X=h性質(zhì)h,kxh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y有最小值k.廈門分校

三、二次函平移1.平移一切為了孩子美好的未來

X=ha0向下h,kxh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),數(shù)圖象的步驟:y有最大值k.方法一:⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;⑵保持拋物線yax的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,k處,具體平移方法如下:

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k廈門分校

一切為了孩子美好的未來

bbb4acb2當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而減小;當(dāng)x時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng)x時(shí),y有最小值.

2a2a2a4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,對稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),y隨x的增大而增大;當(dāng),.當(dāng)x2a4a2a2abb4acb2.x時(shí),y隨x的增大而減;當(dāng)x時(shí),y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

21.一般式:yaxbxc(a,b,c為常數(shù),a0);22.頂點(diǎn)式:ya(xh)k(a,h,k為常數(shù),a0);

3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).

注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即

b24ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yaxbxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.

⑴當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向上,a的值越大,開口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;⑵當(dāng)a0時(shí),拋物線開口向下,a的值越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.

總結(jié)起來,a決定了拋物線開口的大小和方向,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大。2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對稱軸.⑴在a0的前提下,

當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),2b0,即拋物線的對稱軸在y軸左側(cè);2ab0,即拋物線的對稱軸就是y軸;2ab0,即拋物線對稱軸在y軸的右側(cè).2ab0,即拋物線的對稱軸在y軸右側(cè);2ab0,即拋物線的對稱軸就是y軸;2ab0,即拋物線對稱軸在y軸的左側(cè).2a⑵在a0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),總結(jié)起來,在a確定的前提下,b決定了拋物線對稱軸的位置.

ab的符號的判定:對稱軸x總結(jié):3.常數(shù)項(xiàng)c

b在y軸左邊則ab0,在y軸的右側(cè)則ab0,概括的說就是“左同右異”2ay軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;

⑵當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來,c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

⑴當(dāng)c0時(shí),拋物線與

b,c都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.總之,只要a,二次函數(shù)解析式的確定:

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式,通常利用待定系數(shù)法.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn),選擇適當(dāng)?shù)男问剑?/p>

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才能使解題簡便.一般來說,有如下幾種情況:

1.已知拋物線上三點(diǎn)的坐標(biāo),一般選用一般式;

2.已知拋物線頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸或最大(。┲,一般選用頂點(diǎn)式;3.已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo),一般選用兩根式;4.已知拋物線上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn),常選用頂點(diǎn)式.

九、二次函數(shù)圖象的對稱

二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對稱

yaxbxc關(guān)于x軸對稱后,得到的解析式是yaxbxc;

22一切為了孩子美好的未來

yaxhk關(guān)于x軸對稱后,得到的解析式是yaxhk;

2.關(guān)于

22y軸對稱

2yaxbxc關(guān)于

2y軸對稱后,得到的解析式是yax2bxc;

2yaxhk關(guān)于y軸對稱后,得到的解析式是yaxhk;

3.關(guān)于原點(diǎn)對稱

yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對稱后,得到的解析式是yaxbxc;yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對稱后,得到的解析式是yaxhk;4.關(guān)于頂點(diǎn)對稱(即:拋物線繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°)

2222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對稱后,得到的解析式是yaxbxc;

2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對稱后,得到的解析式是yaxhk.

n對稱5.關(guān)于點(diǎn)m,22n對稱后,得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m,根據(jù)對稱的性質(zhì),顯然無論作何種對稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,再確定其對稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開口方向,然后再寫出其對稱拋物線的表達(dá)式.

十、二次函數(shù)與一元二次方程:

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):

2一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.

222圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù):

0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程①當(dāng)b4ac0時(shí),圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1,2b24ac.axbxc0a0的兩根.這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1a2②當(dāng)0時(shí),圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn);③當(dāng)0時(shí),圖象與x軸沒有交點(diǎn).

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1"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的上方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;

一切為了孩子美好的未來

2"當(dāng)a0時(shí),圖象落在x軸的下方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.

2.拋物線yaxbxc的圖象與3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié):

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),需轉(zhuǎn)化為一元二次方程;

⑵求二次函數(shù)的最大(小)值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式;

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a,b,c的符號,或由二次函數(shù)中a,b,c的符號判斷圖象的位置,要數(shù)形結(jié)合;

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對稱軸對稱,可利用這一性質(zhì),求和已知一點(diǎn)對稱的點(diǎn)坐標(biāo),或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo),可由對稱性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

2⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式,二次三項(xiàng)式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù);下面以a0時(shí)為例,揭示

22y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);

二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系:

圖像參考:

y=2x2y=x20拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線與x軸無交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無實(shí)數(shù)根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

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y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切為了孩子美好的未來

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函數(shù)的應(yīng)用

y=2x2y=2(x-4)2剎車距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見題型

1.考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì),有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中,如:已知以x為自變量的二次函數(shù)值是

2.綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像,習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直

則m的y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過原點(diǎn),

y=2(x-4)2-3角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像,試題類型為選擇題,如:

如圖,如果函數(shù)

ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是()

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3.考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高,習(xí)題類型有中檔解答題和選拔性的綜合題,如:已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn),對稱軸為x5,求這條拋物線的解析式。34.考查用配方法求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對稱軸、二次函數(shù)的極值,有關(guān)試題為解答題,如:32已知拋物線yaxbxc(a≠0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-2

(1)確定拋物線的解析式;(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5.考查代數(shù)與幾何的綜合能力,常見的作為專項(xiàng)壓軸題。【例題經(jīng)典】

由拋物線的位置確定系數(shù)的符號

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例1(1)二次函數(shù)yaxbxc的圖像如圖1,則點(diǎn)M(b,2一切為了孩子美好的未來

c)在()aA.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

(2)已知二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號;②當(dāng)x=1和x=3時(shí),函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時(shí),x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2

(1)(2)

【點(diǎn)評】弄清拋物線的位置與系數(shù)a,b,c之間的關(guān)系,是解決問題的關(guān)鍵.

例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,O)、(x1,0),且1廈門分校

∴直線A,C解析式為y=6x-6直線A"C與拋物線交點(diǎn)為(0,-6),(5,24).∴符合題意的x的范圍為-1廈門分校一切為了孩子美好的未來

(2)要使每日的銷售利潤最大,每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為多少元?此時(shí)每日銷售利潤是多少元?【解析】(1)設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b.則15kb25,解得k=-1,b=40,即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40.

2kb202

(2)設(shè)每件產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為x元,所獲銷售利潤為w元w=(x-10)(40-x)=-x+50x-400=-(x-25)+225.

產(chǎn)品的銷售價(jià)應(yīng)定為25元,此時(shí)每日獲得最大銷售利潤為225元.

【點(diǎn)評】解決最值問題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類似,也有區(qū)別,主要有兩點(diǎn):(1)設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí),什么最大(或最小、最。钡脑O(shè)問中,“某某”要設(shè)為自變量,“什么”要設(shè)為函數(shù);(2)問的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程.例3.你知道嗎?平時(shí)我們在跳大繩時(shí),繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示,正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()

A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m分析:本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案:B

2

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