二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)以及練習(xí)題--深圳大學(xué)郭治民.doc
二次函數(shù)知識點(diǎn)(25分鐘)
b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),叫做二次函數(shù)。1.二次函數(shù)的概念:一般地,形如yax2bxc(a,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).這里需強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,
2.二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:
⑴等號左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.
b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).⑵a,2.平移規(guī)律,概括成八個字“左加右減,上加下減”.
⑴yax2bxc沿y軸平移:向上(下)平移m個單位,yax2bxc變成
yax2bxcm(或yax2bxcm)
⑵yaxbxc沿x軸平移:向左(右)平移m個單位,yaxbxc變成
22ya(xm)2b(xm)c(或ya(xm)2b(xm)c)
3.二次函數(shù)yaxhk與yax2bxc的比較
從解析式上看,yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達(dá)形式,后者通過配方可以得到前b4acb2b4acb2者,即yax,其中h,.k2a4a2a4a2224、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法
五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k,確定其開口方向、
對稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對稱軸兩側(cè),左右對稱地描點(diǎn)畫圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以及0,c關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)2h,c、與x軸的交點(diǎn)x1,0,x2,0(若與x軸沒有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)).
畫草圖時應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開口方向,對稱軸,頂點(diǎn),與x軸的交點(diǎn),與y軸的交點(diǎn).5、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)
b4acb2b1.當(dāng)a0時,拋物線開口向上,對稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,.
2a4a2a當(dāng)xbbb時,y隨x的增大而減小;當(dāng)x時,y隨x的增大而增大;當(dāng)x時,y有最小2a2a2a4acb2值.
4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時,拋物線開口向下,對稱軸為x,頂點(diǎn)坐標(biāo)為,時,y隨.當(dāng)x2a4a2a2a4acb2bb.x的增大而增大;當(dāng)x時,y隨x的增大而減;當(dāng)x時,y有最大值
2a2a4a1
6、二次函數(shù)解析式的表示方法
1.一般式:yax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0);
2.頂點(diǎn)式:ya(xh)2k(a,h,k為常數(shù),a0);
3.兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.7、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a
二次函數(shù)yax2bxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.
⑴當(dāng)a0時,拋物線開口向上,a的值越大,開口越小,反之a(chǎn)的值越小,開口越大;⑵當(dāng)a0時,拋物線開口向下,a的值越小,開口越小,反之a(chǎn)的值越大,開口越大.
總結(jié)起來,a的正負(fù)決定開口方向,a的大小決定開口的大。2.一次項(xiàng)系數(shù)b
在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對稱軸xb2a3.常數(shù)項(xiàng)c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.
8,二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系(二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況):
一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當(dāng)函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個數(shù):
①當(dāng)b24ac0時,圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1,0,Bx2,0(x1x2),其中的x1,x2是一元二次方程ax2bxc0a0的兩根..
②當(dāng)0時,圖象與x軸只有一個交點(diǎn);③當(dāng)0時,圖象與x軸沒有交點(diǎn).
1"當(dāng)a0時,圖象落在x軸的上方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0;
2"當(dāng)a0時,圖象落在x軸的下方,無論x為任何實(shí)數(shù),都有y0.2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交,交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,c);
二次函數(shù)考查重點(diǎn)(15分鐘)
1.已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)xmm2的圖像經(jīng)過原點(diǎn),則m的值是22.如圖,如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi),那么函數(shù)ykxbx1的圖像大致是
22()
yyyy110xo-1x0x0-1xABCD
23.已知一條拋物線經(jīng)過(0,3),(4,6)兩點(diǎn),對稱軸為x
5,求這條拋物線的解析式。33
4.已知拋物線yax2bxc(a≠0)與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是-1、3,與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是-
2(1)確定拋物線的解析式;
(2)用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).
經(jīng)典例題1(25分鐘)
ca例1(1)二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1,則點(diǎn)M(b,)在()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2(2)已知二次函數(shù)y=ax+bx+c(a≠0)的圖象如圖2所示,則下列結(jié)論:①a、b同號;②當(dāng)x=1和x=3時,函數(shù)值相等;③4a+b=0;④當(dāng)y=-2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個
(1)(2)
2例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2,O)、(x1,0),且1
經(jīng)典例題2(25分鐘)
例1某產(chǎn)品每件成本10元,試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x(元)與產(chǎn)品的日銷售量y(件)之間的關(guān)系如下表:
x(元)152030y(件)25201*若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù).(1)求出日銷售量y(件)與銷售價x(元)的函數(shù)關(guān)系式;
(2)要使每日的銷售利潤最大,每件產(chǎn)品的銷售價應(yīng)定為多少元?此時每日銷售利潤是多少元?
例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時,繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線.如圖所示,正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m,距地面均為1m,學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2.5m處.繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂.已知學(xué)生丙的身高是1.5m,則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()
A.1.5mB.1.625mC.1.66mD.1.67m
練習(xí)題(25分鐘)
1.拋物線y(x2)23的對稱軸是()
A.直線x3
B.直線x3
C.直線x2
D.直線x2
2.已知二次函數(shù)yax2bxc,且a0,abc0,則一定有()
A.b24ac0
B.b24ac0
C.b24ac0
4D.b24ac≤
3.把拋物線yx2bxc向右平移3個單位,再向下平移2個單位,所得圖象的解析式是
yx23x5,則有()
A.b3,c7C.b3,c3
B.b9,c15D.b9,c21
4.下面所示各圖是在同一直角坐標(biāo)系內(nèi),二次函數(shù)yax2(ac)xc與一次函數(shù)yaxc的大致圖
象,有且只有一個是正確的,正確的是()yyyyOxOBxOCxODx
A5.二次函數(shù)y(x1)22的最小值是()
A.2
B.2
C.1
D.1
6.將二次函數(shù)yx22x3配方成y(xh)2k的形式,則y=______________________.7.已知拋物線yax2xc與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,則ac=_________.
8.拋物線的對稱軸是x1,與x軸交于A、B兩點(diǎn),若B點(diǎn)坐標(biāo)是(3,0),則A點(diǎn)的坐標(biāo)是
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一次函數(shù)必考題
一、相信你一定能填對!
1.下列函數(shù)中,自變量x的取值范圍是x≥2的是()A.y=2xB.y=
1x2C.y=4x2D.y=x2x22.下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是()
yyOx(B)x3yOxyO(D)xO(A)x(C)3.下列函數(shù)中,y是x的正比例函數(shù)的是()A.y=2x-1B.y=
C.y=2x2D.y=-2x+1
4.一次函數(shù)y=-5x+3的圖象經(jīng)過的象限是()
A.一、二、三B.二、三、四C.一、二、四D.一、三、四5.若函數(shù)y=(2m+1)x2+(1-2m)x(m為常數(shù))是正比例函數(shù),則m的值為()A.m>
12121212B.m=C.m3B.0
10.一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點(diǎn)(2,-1)和(0,3),那么這個一次函數(shù)的解析式為()A.y=-2x+3B.y=-3x+2C.y=3x-2D.y=
12x-3
111、A(5,y1)和B(2,y2)都在直線y=x上,則y1與y2的關(guān)系是()
2A、y1≤y2B、y1=y(tǒng)2C、y1<y2D、y1>y2
12、函數(shù)y=k(xk)(k<0=的圖象不經(jīng)過()
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限
13、一水池蓄水20m3,打開閥門后每小時流出5m3,放水后池內(nèi)剩下的水的立方數(shù)Q(m3)與放水時間t(時)的函數(shù)關(guān)系用圖表示為()
14、已知一次函數(shù)y=kx+b,y隨著x的增大而減小,且kbxy30的解是________.2xy2021.已知一次函數(shù)y=-3x+1的圖象經(jīng)過點(diǎn)(a,1)和點(diǎn)(-2,b),則a=________,b=______.22.如果直線y=-2x+k與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積是9,則k的值為_____.
23.如圖,一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C,則此一次函數(shù)的解析式為__________,△AOC的面積為_________.三、認(rèn)真解答,一定要細(xì)心喲!24、已知一次函數(shù)的圖象與y=-
25、(本題10分)如圖,一次函數(shù)y135x8512x的圖像平行,且與y軸交點(diǎn)(0,-3),求此函數(shù)關(guān)系式?
和y22x1相交于點(diǎn)A,
(1)求交點(diǎn)A的坐標(biāo)?(2)求兩函數(shù)與y軸所圍成的三角形的面積?
26、(本題12分)A市和B市分別庫存某種機(jī)器12臺和6臺,現(xiàn)決定支援給C市10臺和D市8臺.已知從A市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到C市和D市的運(yùn)費(fèi)分別為400元和800元;從B市調(diào)運(yùn)一臺機(jī)器到C市和D市的運(yùn)費(fèi)分別為300元和500元.
(1)設(shè)B市運(yùn)往C市機(jī)器x臺,求總運(yùn)費(fèi)Y(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.(2)若要求總運(yùn)費(fèi)不超過9000元,問共有幾種調(diào)運(yùn)方案?(3)求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案,最低運(yùn)費(fèi)是多少?
27、小文家與學(xué)校相距1000米.某天小文上學(xué)時忘
了帶一本書,走了一段時間才想起,于是返回家拿書,然后加快速度趕到學(xué)校.下圖是小文與家的距離y(米)關(guān)于時間x(分鐘)的函數(shù)圖象.請你根據(jù)圖象中給出的信息,解答下列問題:
(1)小文走了多遠(yuǎn)才返回家拿書?
(2)求線段AB所在直線的函數(shù)解析式;(3)當(dāng)x8分鐘時,求小文與家的距離。
28.為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識,合理利用水資源,各地采用價格調(diào)控手段達(dá)到節(jié)約用水的目的,某市規(guī)定如下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn):每戶每月的用水量不超過6立方米時,水費(fèi)按每立方米a元收費(fèi),超過6立方米時,不超過的部分每立方米仍按a元收費(fèi),超過的部分每立方米按c元收費(fèi),該市某戶今年9、10月份的用水量和所交水費(fèi)如下表所示:設(shè)某戶每月用水量x(立方米),應(yīng)交水費(fèi)y(元)月份用水量收費(fèi)(元)(1)求a,c的值(m3)(2)當(dāng)x≤6,x≥6時,分別寫出y于x的函數(shù)關(guān)系式957.5(3)若該戶11月份用水量為8立方米,求該戶11月10927份水費(fèi)是多少元?
29.一農(nóng)民帶上若干千克自產(chǎn)的土豆進(jìn)城出售,為了方便,他帶了一些零錢備用,按市場價售出一些后,又降價出售,售出的土豆千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)(含備用零錢)的關(guān)系,如圖所示,結(jié)合圖象回答下列問題.
(1)農(nóng)民自帶的零錢是多少?
(2)試求降價前y與x之間的關(guān)系式
(3)由表達(dá)式你能求出降價前每千克的土豆價格是多少?
(4)降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完,這時他手中的錢(含備用零錢)是26元,試問他一共帶了多少千克土豆?
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