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二次函數(shù)圖象知識點(diǎn)總結(jié)

網(wǎng)站:公文素材庫 | 時間:2019-05-28 13:22:08 | 移動端:二次函數(shù)圖象知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)圖象知識點(diǎn)總結(jié)

專題講解二次函數(shù)的圖象

知識點(diǎn)回顧:

1.二次函數(shù)解析式的幾種形式:①一般式:

yax2bxc(a、b、c

為常數(shù),a≠0)

2ya(xh)k(a、②頂點(diǎn)式:h、k

為常數(shù),a≠0),其中(h,

k)為頂點(diǎn)坐標(biāo)。

③交點(diǎn)式:ya(xx1)(xx2),其中x1,x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo),即一元二次方程ax2bxc0的兩個根,且a≠0,(也叫兩根式)。

2.二次函數(shù)

yax2bxc的圖象

yax2bxc的圖象是對稱軸平行于(包括重合)

①二次函數(shù)

y軸的拋物線,幾個不同的二次函數(shù),如果a相同,那么拋物線的開口方向,開口大小(即形狀)完全相同,只是位置不同。②任意拋物線

ya(xh)2k可以由拋物線yax2經(jīng)過適當(dāng)

的平移得到,移動規(guī)律可簡記為:[左加右減,上加下減],具體平移方法如下表所示。

③在畫

yax2bxc的圖象時,可以先配方成ya(xh)2k的形式,然后將

yax2的圖象上(下)左(右)平移得到所求圖

2象,即平移法;也可用描點(diǎn)法:也是將yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式,這樣可以確定開口方向,對稱軸及頂點(diǎn)坐

標(biāo)。然后取圖象與y軸的交點(diǎn)(0,c),及此點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)(2h,c);如果圖象與x軸有兩個交點(diǎn),就直接取這兩個點(diǎn)(x1,0),(x2,0)就行了;如果圖象與x軸只有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn),那應(yīng)該在對稱軸兩側(cè)取對稱點(diǎn),(這兩點(diǎn)不是與y軸交點(diǎn)及其對稱點(diǎn)),一般畫圖象找5個點(diǎn)。3.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象2二次函數(shù)yaxbxcya(xh)2k(a、h、ka、b、c為常數(shù),a≠0a>0a<0為常數(shù),a≠0)a>0a<(1)拋物線開口向(1)拋物線開口向(1)拋物線(1)拋物線上,并向上無限延下,并向下無限延開口向上,開口向下,伸伸并向上無限并向下無限延伸延伸性(2)對稱軸是x=(2)對稱軸是x=(2)對稱軸(2)對稱軸b2a,頂點(diǎn)是b4acb,2a4ax2b2a是x=h,頂是x=h,頂,頂點(diǎn)是b4acb,2a4a2點(diǎn)是(h,k)點(diǎn)是(h,k))(3)當(dāng)x<h(質(zhì))((3)當(dāng)bb(3)當(dāng)xhx2a時,2a時,y(3)當(dāng)y時,y隨x時,y隨x隨x的增大而減隨x的增大而增。划(dāng)xbbx2a時,2a時,大;當(dāng)小;當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p的增大而增x>h大;當(dāng)x>hy隨x的增大而增y隨x的增大而減時,y隨x時,y隨x大小的增大而增的增大而減大。小(4)拋物線有最低(4)拋物線有最高(4)拋物線(4)拋物線點(diǎn),當(dāng)xb2a時,點(diǎn),當(dāng)xb2a有最低點(diǎn),有最高點(diǎn),時,當(dāng)x=h時,當(dāng)x=h時,y有最小值y有最大值y有最小值,y最小值4acb24ay有最大值,y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸和最值的方法①配方法:將解析式

yax2bxc化為ya(xh)2k的形式,

頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k),對稱軸為直線xh,若a>0,y有最小值,

y最小值ky最大值k當(dāng)x=h時,;若a<0,y有最大值,當(dāng)x=h時,。

b4acb2,4a②公式法:直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式(2axb2a),求其頂

點(diǎn);對稱軸是直線,若

有最大值,

b4acb2a0,y有最小值,當(dāng)x時,y最小值;2a4a若a0,yb4acb2x時,y最大值2a4a當(dāng)

5.拋物線與x軸交點(diǎn)情況:對于拋物線

yax2bxc(a≠0)

①當(dāng)b24ac0時,拋物線與x軸有兩個交點(diǎn),反之也成立。

②當(dāng)b24ac0時,拋物線與x軸有一個交點(diǎn),反之也成立,此交點(diǎn)即為頂點(diǎn)。

③當(dāng)b24ac0時,拋物線與x軸無交點(diǎn),反之也成立。

擴(kuò)展閱讀:初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)增減性最大(。┲祔=ax2a>0時,開口向上;a0時,在對稱軸左側(cè),y隨x的增大而減小,在對稱軸右側(cè),y隨x的增大而增大;

當(dāng)a0時,當(dāng)x=0時,=0;當(dāng)a0時,當(dāng)x=0時,=c;當(dāng)a0時,當(dāng)x=h時,y最小=0;當(dāng)a0時,當(dāng)x=h時,y最小=k;當(dāng)a0時,當(dāng)x=h時,y最小=k;當(dāng)a0時,開口方向向上;a1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=h或者x=-b/2a對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。特別地,當(dāng)h=0時,

二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸(即直線x=0)a,b同號,對稱軸在y軸左側(cè)b=0,對稱軸是y軸a,b異號,對稱軸在y軸右側(cè)頂點(diǎn)

2.二次函數(shù)圖像有一個頂點(diǎn)P,坐標(biāo)為P(h,k)當(dāng)h=0時,P在y軸上;當(dāng)k=0時,P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a開口

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當(dāng)a>0時,二次函數(shù)圖像向上開口;當(dāng)a0),對稱軸在y軸左;因?yàn)閷ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0,也就是-b/2a0),對稱軸在y軸左;當(dāng)a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。事實(shí)上,b有其自身的幾何意義:二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式(一次函數(shù))的斜率k的值?赏ㄟ^對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的因素

5.常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。二次函數(shù)圖像與y軸交于(0,C)注意:頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h,k)與y軸交于(0,C)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個數(shù)

6.二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個數(shù)a0或a>0;k0時,函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k,在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)(即y隨x的變大而變。,二次函數(shù)圖像的開口向上,函數(shù)的值域是y>k當(dāng)ah范圍內(nèi)事增函數(shù),在x且X(X1+X2)/2時Y隨X的增大而減小此時,x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點(diǎn),將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點(diǎn)和另一個點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1X2值。兩圖像對稱

①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對稱;②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對稱;③y=ax2+bx+c與y=-a(x-h2+k關(guān)于頂點(diǎn)對稱;④y=ax2+bx+c與y=-a(x+h2-k關(guān)于原點(diǎn)對稱。

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