初二下冊數(shù)學各章節(jié)的主要內(nèi)容

每一章都是重點，考試是論課時出題的，就比如說最后一張數(shù)據(jù)的分析，雖然簡單，但課時多，只不過題會簡單點，到最后復習時，我覺得你主要是要把分式的公式（就是同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加……，書上有）還有一定要牢記反比例函數(shù)的性質(zhì)，四邊形的性質(zhì)，判定，還有就是三角形中位線，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，重心那節(jié)只要記住三角的中心和幾個書上列出來的幾個，雖然重心不很重要，但以防考試，一定要記住幾種常用的等腰梯形的輔助線的添法，如平移一腰，延長兩腰，做兩條高，平移一條對角線，作中位線，連接頂點和腰的中點并延長，連接頂點和對角線的中點，還有一定要知道給一個反比例函數(shù)上的點，作x軸y軸的垂線

知道三角形或矩形的面積，讓你求反比例函數(shù)解析式，還有就是先化簡，再找一個你喜歡的數(shù)帶入，你所找的數(shù)一要定讓原分式有意義，一般找個稍大點的數(shù)就沒問題，如5，千萬不要找012這些容易使分式無意義的數(shù)

一、分式的定義

針對分式的定義可以提出多種類型的問題。比如：如何區(qū)分整式與分式；分式何時有意義、無意義；分式取值情況等。其中分式的取值情況又包括：①分式值為0的條件；②分式的值何時為正；③分式的值何時為負等．解題要領(lǐng)是：

分式有意義分母不等于0分式無意義分母等于0

分式值為0分子等于0，分母不等于0分式值為正分子、分母同號分式值為負分子、分母異號

第一章：分式、要注意分式的定義，首先分式的分母不等于零；當分子等于零時分式的值為零，分式的基本性質(zhì)是本章的紅線，貫穿全章，它是分式的通分約分的基礎(chǔ)，也是分式運算的工具。分式方程的解法：基本思想是化分式方程為正式方程；方法是去分母：方程兩邊同乘以最簡公分母；注意驗根。

第二章：反比例函數(shù)（1）解析式Y(jié)=K/X(K≠0)(2)圖像：雙曲線，（3）性質(zhì)：當K＞0時，圖像在一、三象限，在每個象限Y隨X的增大而增大，反之相反。注意在每一個象限，不同的象限是不同的。（4）面積：自反比例的圖像上的任一點作兩軸的垂線，與兩軸構(gòu)成的四邊形的面積等于K的絕對值。

第三章：勾股定理，還有逆定理，注意他的應(yīng)用。

第四章，四邊形，首先是平行四邊形，其次是矩形、菱形、正方形，他們的定義、性質(zhì)和判定定理，內(nèi)容多，要牢記，梯形：有直角梯形、等腰梯形，注意區(qū)別和聯(lián)系。這些必須在實際應(yīng)用中訓練。第五章是數(shù)據(jù)的分析，注意加權(quán)平均數(shù)，眾數(shù)、中位數(shù)，他們反應(yīng)的是一組數(shù)據(jù)的集中趨勢，而方差反應(yīng)的是一組數(shù)據(jù)的波動大小。眾數(shù)只是出現(xiàn)次數(shù)最多，可能是一個，也可能是幾個。中位數(shù)是按一定次序排列，可以由大到小或者由小到大，處在最中間的一個數(shù)或者兩個數(shù)的平均數(shù)。方差要注意公式。

擴展閱讀：浙江版八年級下冊數(shù)學各章詳細分析

第1章二次根式

二次根式屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的內(nèi)容，它是在學生學習了平方根、立方根等內(nèi)容的基礎(chǔ)上進行的，是對七年級上冊“實數(shù)”“代數(shù)式”等內(nèi)容的延伸和補充。二次根式的運算以整式的運算為基礎(chǔ)，在進行二次根式的有關(guān)運算時，所使用的運算法則與整式、分式的相關(guān)法則類似；在進行二次根式的加減時，所采用的方法與合并同類項類似；在進行二次根式的乘除時，所使用的法則和公式與整式的乘法運算法則及乘法公式類似。這些都說明了前后知識之間的內(nèi)在聯(lián)系。

本章的主要內(nèi)容有二次根式，二次根式的性質(zhì)，二次根式的運算（根號內(nèi)不含字母、不含分母有理化）。

一、教科書內(nèi)容和教學目標1、本章的教學要求。

（1）了解二次根式的概念，了解簡單二次根式的字母取值范圍；（2）了解二次根式的性質(zhì)；

（3）了解二次根式的加、減、乘、除的運算法則；

（4）會用二次根式的性質(zhì)和運算法則進行有關(guān)實數(shù)的簡單四則運算（不要求分母有理化）。

2、本章教材分析。

課本在回顧算術(shù)平方根的基礎(chǔ)上，通過“合作學習”的三個問題引出二次根式的概念，并說明以前學的數(shù)的算術(shù)平方根也叫做二次根式。在例題和練習的安排上，著重體現(xiàn)三個方面的要求：一是求二次根式中字母的取值范圍；二是求二次根式的值；三是用二次根式表示有關(guān)的問題。

對于二次根式的性質(zhì)，課本利用第4頁圖1-2給出的。該圖的含義是如果正方形的面積為a，那么這個正方形的邊長就是a；反之，如果正方形的邊長為

a，那么這個正方形的面積就是a，因此就有(a)2a。從而得出二次根式的第一個性質(zhì)。至于第二個性質(zhì)，可以通過學生的計算來發(fā)現(xiàn)，所以課本安排了一個“合作學習”，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)和歸納。該節(jié)第一課時的重點在于對這兩個

性質(zhì)的理解和運用，例題和練習的設(shè)計就圍繞這兩個性質(zhì)展開。第二課時是學習二次根式的另外兩個性質(zhì)，課本安排兩組練習，意在讓學生通過自己的嘗試，與同學的合作交流來發(fā)現(xiàn)這兩個性質(zhì)。通過兩個例題和一組練習，使學生知道運用二次根式的性質(zhì)，可以簡化實數(shù)的運算，也可以對結(jié)果是二次根式的式子進行化簡。課本第9頁的“探究活動”既是對二次根式的運用，更在于培養(yǎng)學生的一種探究能力，觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納等能力。

第1.3節(jié)二次根式的運算，包含了二次根式的加、減、乘、除四種運算以及簡單應(yīng)用，課本安排了3個課時，逐步推進，逐漸綜合。第一課時側(cè)重于兩個（相當于兩個單項式）二次根式的乘除，其法則是從二次根式的性質(zhì)得到的，比較自然。例1是對兩個運算法則的直接運用，讓學生有一個對法則的熟悉和熟練過程；例2是一個結(jié)合實際問題的運用，其中有勾股定理和三角形的面積計算。第二課時是二次根式的加減和乘除混合運算，出現(xiàn)了類似單項式乘以多項式、多項式乘以多項式（包括乘法公式、乘方）、多項式除以單項式的運算。課本中沒有出現(xiàn)“同類二次根式”的概念，只是提到“類似于合并同類項”“相同二次根式的項”，這種類比的方法，學生是能夠理解的，也能夠與整式一樣進行運算。第三課時是二次根式運算的應(yīng)用。例6的數(shù)字看上去比較復雜，其目的是為了二次根式的運算的應(yīng)用；例7綜合運用了直角三角形的有關(guān)知識、圖形的分割、面積的計算等，其解答過程較長，也是對二次根式知識的綜合運用。

二、本章編寫特點

1、注重學生的觀察、分析、歸納、探究等能力的培養(yǎng)。

在本章知識的呈現(xiàn)方式上，課本比較突出地體現(xiàn)了“問題情境數(shù)學活動概括鞏固、應(yīng)用和拓展”的敘述模式，這種意圖大多通過“合作學習”來完成�！昂献鲗W習”為學生創(chuàng)設(shè)了從事觀察、猜測、驗證交流等數(shù)學活動的機會。如第5頁先讓學生計算三組a2與a的具體數(shù)值，再議一議a2與a的關(guān)系，然后得出二次根式的性質(zhì)“a2=a”。二次根式的其他幾個性質(zhì)，課本中也是采用類似的方法。在學習了二次根式的有關(guān)性質(zhì)后，課本又設(shè)計了一個“探究活動”，通過化簡有關(guān)的二次根式，讓學生自己去發(fā)現(xiàn)規(guī)律、表示規(guī)律、驗證規(guī)律，并與同伴交流。所有這些都是教材編寫的一種導向，以引起教與學方式上的一些的改變。

2、注重數(shù)學知識與現(xiàn)實生活的聯(lián)系。

教材力求克服傳統(tǒng)觀念上學習二次根式的枯燥性，避免大量純式子的化簡或計算，適當穿插實際應(yīng)用或賦予式子一些實際意義。無論是學習二次根式的概念，還是學習二次根式的性質(zhì)和運算，都盡可能把所學的知識與現(xiàn)實生活相聯(lián)系，重視運用所學知識解決實際問題能力的培養(yǎng)。如二次根式概念的學習，課本通過三個實際問題來引入，其目的就是關(guān)注概念的實際背景與形成過程，克服機械記憶概念的學習方式。又如，課本第3頁，用二次根式表示輪船航行的的距離，第11頁求路標的面積，第21頁花草的種植面積問題等。特別是在二次根式的運算中，專門安排了一節(jié)內(nèi)容學習二次根式運算的應(yīng)用，例6選取的背景是學生熟悉的滑梯，例7選取的背景是學生感興趣的剪紙條，以及作業(yè)中的堤壩、快艇問題等等。

3、充分利用圖形，使代數(shù)與幾何有機結(jié)合。

對于數(shù)與代數(shù)的內(nèi)容，教材重視有關(guān)內(nèi)容的幾何背景，運用幾何直觀幫助學生理解、解決有關(guān)代數(shù)問題，是教材的一個編寫特點，也是對教學的一種導向。本章中，如二次根式與直角三角形有關(guān)邊的計算密切相關(guān)，課本在這方面選取了一定量的問題，既豐富了勾股定理的運用，又學習了二次根式的計算。又如二次根式的引入，課本以圖形作為條件，讓學生通過計算給出二次根式的概念；在學習二次根式的性質(zhì)時，課本通過讓學生讀圖1-2，從正反兩方面來理解其含義，得出二次根式的性質(zhì)。例題中結(jié)合圖形示意，幫助學生理解問題，解決問題；作業(yè)或課本練習中設(shè)計一些圖形中有關(guān)線段長度的計算；通過方格、直角坐標系來畫三角形、確定點的位置等等。課本在安排二次根式的運算在日常生活和生產(chǎn)實際中的應(yīng)用時，所選取的問題也在于體現(xiàn)學生所學知識之間的聯(lián)系，感受所學知識的整體性，不斷豐富學生解決問題的策略，提高解決問題的能力。

三、教學建議1、注意用好節(jié)前語。

本章的節(jié)前語不多，但都緊密結(jié)合本節(jié)學習的內(nèi)容，提出一個具體的問題。教學中可以利用它們來創(chuàng)設(shè)問題情境，引入課題。如第1.1節(jié)“排球網(wǎng)的高AD為2.43米，CB為a米，你能用代數(shù)式表示AC的長嗎？”短短的幾句話，既是一個學生熟悉的問題情境，又是一個看似熟悉但又具有一定的挑戰(zhàn)懷，與數(shù)學學

習相聯(lián)系的問題，教師可以由此提出一個與本節(jié)課學習有關(guān)的問題。教學中不應(yīng)忽視這種作用。

2、注意把握教學難度。

與以往的教材相比，二次根式已降低了要求。如運用二次根式的性質(zhì)將二次根式化簡，只要求簡單的，不要出現(xiàn)過于復雜的式子，并且明確根號內(nèi)不含字母。對二次根式的四則運算，也僅局限于簡單的，根號內(nèi)不含字母，教學中不需補充超出課本題目要求的問題。當然對不同層次的學生，應(yīng)該體現(xiàn)一定的彈性。課本第15頁的作業(yè)題中的第7，8題，還可以借助于計算器進行計算。

3、充分運用類比的方法。

二次根式的運算以整式的運算為基礎(chǔ)，其法則、公式都與整式的類似，特別是二次根式的加減，課本沒有提出同類二次根式的概念，完全參照合并同類項的方法；二次根式的乘除、乘方運算類似于整式的乘除、乘方運算。因此對于二次根式的四則運算的教學應(yīng)充分運用類比的方法，讓學生理解其算理和算法，提高運算能力。

（王亞權(quán)）

第2章一元二次方程

一、教科書內(nèi)容和課程學習目標（一）教科書內(nèi)容本章包括三節(jié)：2．1一元二次方程；2．2一元二次方程的解法；2．3一元二次方程的應(yīng)用。

其中2．1節(jié)是全章的基礎(chǔ)部分，2．2節(jié)是全章的重點內(nèi)容，2．3節(jié)是知識應(yīng)用和引申的內(nèi)容。另外，閱讀材料介紹了一元二次方程的發(fā)展，讓學生了解數(shù)學的發(fā)展史。

（二）本章的知識結(jié)構(gòu)

（三）課程目標

（1）了解一元二次方程的概念，會用直接開平方法解形如(xa)2b（b≥0）

5

一元二次方程的概念一元二次方程的解法因式分解法開平方法配方法公式法一元二次方程的應(yīng)用

的方程；

（2）理解配方法，會用配方法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；掌握一元二次方程求根公式的推導，會用求根公式解一元二次方程；會用因式分解法解一元二次方程，使學生能夠根據(jù)方程的特征，靈活運用一元二次方程的各種解法求方程的根。（3）體驗用觀察法、畫圖或計算器等手段估計方程的解的過程。

（4）能夠根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，能夠列出一元二程方程解應(yīng)用題，能夠發(fā)現(xiàn)、提出日常生活、生產(chǎn)或其他學科中可利用一元二次方程來解決的實際問題，并正確地用語言表達問題及解決過程。體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效的數(shù)學模型。

（5）結(jié)合教學內(nèi)容進一步培養(yǎng)學生邏輯思維能力，對學生進行辯證唯物主義觀點的教育，通過一元二次方程的教學，使學生進一步獲得對事物可以轉(zhuǎn)化的認識。（四）課時安排

2．1一元二次方程2課時其中：一元二次方程的概念1課時因式分解法解一元二次方程1課時

2．2一元二次方程的解法4課時其中：開方法、配方法2課時公式法2課時

2．3一元二次方程的應(yīng)用2課時小結(jié)、目標與評定2課時二、編寫指導思想與特點

方程教學在中學數(shù)學教學中占有很大的比例，一元二次方程在初中代數(shù)中占有重要地位。一方面，一元二次方程可以看成是前面所學過的有關(guān)知識的綜合運用，如有理數(shù)、實數(shù)的概念和整式、分式、開平方等的運算，一元一次方程、一元一次方程組解法等知識，在本章都有應(yīng)用。從數(shù)學角度看，這一章的學習有一定難度，如果前面某個環(huán)節(jié)薄弱或知識點有問題，就會給本章的學習帶來困難，因此，這一章的教學是對以前所學的有關(guān)知識的檢驗，又是一次復習與鞏固。當然，一元二次方程知識也是前面所學知識的繼續(xù)和發(fā)展，尤其是方程方面知識的深入和發(fā)展。

本章的主要內(nèi)容是一元二次方程的解法和應(yīng)用，課本首先引入一元二次方程的概念，從實數(shù)的性質(zhì)，將分解成為兩個一次因式相乘積為零的一元二次方程轉(zhuǎn)

化為兩個一元一次方程入手，介紹了利用因式分解法解一元二次方程的方法，體現(xiàn)了數(shù)學的轉(zhuǎn)化思想。接著課本首先從數(shù)的開平方的知識出發(fā)，直接講開平方法，然后依次介紹了配方法和公式法。在講述公式法的同時，課本特別給出了利用計算器解一元二次方程的解法示例，以揭示技術(shù)發(fā)展給數(shù)學學習帶來的影響，這也是一種新的嘗試。同時，以建立數(shù)學模型為主要著力點介紹了一元二次方程的應(yīng)用，并在例題的設(shè)置上充分考慮了圖表、立體圖形、物體運動和經(jīng)濟活動中的問題背景，力圖使學生在現(xiàn)實的環(huán)境中學習數(shù)學。

這一章是全書乃至整個初中代數(shù)的一個重點內(nèi)容。因為這一部分內(nèi)容既是對以前所學內(nèi)容的總結(jié)、鞏固和提高，又是以后學習的知識基礎(chǔ)。因此這一章可以說是起到了承上啟下的作用。高中階段的指數(shù)方程、對數(shù)方程及三角方程，無非就是指數(shù)、對數(shù)、三角函數(shù)的有關(guān)知識與一元一次方程、一元二次方程的綜合而已。初中代數(shù)中的不少主要技能、解題方法以及一些常用的數(shù)學思想方法，在本章都有所體現(xiàn)。例如，換元法、因式分解法、配方法等。另外，從具體到抽象的概括能力、邏輯推理能力等等在本章也有體現(xiàn)。可以說，無論從基礎(chǔ)知識還是基本技能看，這一章都占有重要的地位。在本章的內(nèi)容中，應(yīng)以一元二次方程的解法，特別是公式法作為重點。三、教材體現(xiàn)的數(shù)學思想方法

本章從內(nèi)容上看是初中代數(shù)的重點，從數(shù)學思想方法方面來看，也是初中數(shù)學中比較全面體現(xiàn)的一章。1．方程的思想

方程本身就提供了一種重要的數(shù)學思想方法，這一點在一元二次方程中體現(xiàn)的更為充分。學習方程不僅為進一步學習其他知識打下基礎(chǔ)，不僅可用于解決一些實際問題，而且在更廣泛的意義上講，通過方程可以溝通已知與未知之間的聯(lián)系，從而由解方程就可以使問題得以解決，通常稱之為方程思想。方程思想作為一種數(shù)學思想，在數(shù)學發(fā)展史上有重要作用，對求解數(shù)學問題來說也有重要的意義。

2．公式解法

一元二次方程的公式解法在數(shù)學思想方法上有重要意義。首先，公式法是人們所知的多次方程的第一種公式(根式)解，它為以后進行公式解的研究開辟了道

路，并且是引起近似代數(shù)的起源問題之一，在數(shù)學的學習中也有重要意義；其次，公式法解體現(xiàn)了數(shù)學中的算子的思想，將數(shù)學問題進行抽象化、符號化、程序化，這是數(shù)學發(fā)展的重要的途徑。3．分類討論的數(shù)學思想

一元二次方程求根公式中，涉及開方問題，即對b24ac要實施開平方，而前面已經(jīng)學過負數(shù)沒有平方根。因此b24ac的狀態(tài)就決定了一元二次方程根的狀態(tài)。必須對b24ac的符號進行討論。分類討論的數(shù)學思想是一種極為重要的數(shù)學思想方法，教材中對Δ=b24ac的三種分類討論隱含在課堂教學之中，通過“想一想”讓學生自然地得到結(jié)論，降低由于數(shù)學思想上的要求所帶來的學習上的難度，這是一種合理的處理方法。實際上，判別式的討論是不解方程而對方程的根進行定性研究的重要指標。在研究二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)等方面有重要意義，在研究二次曲線的問題時有重要地位。判別式實質(zhì)上是利用方程的系數(shù)研究方程的性質(zhì)，是一種以局部研究探求具體性質(zhì)的方法。找一種關(guān)鍵性的數(shù)量關(guān)系去定性地研究一類對象，也是一種常見的數(shù)學思想方法。4．轉(zhuǎn)化(化歸)的數(shù)學思想

在本章中更突出地表示出“轉(zhuǎn)化”的思想方法。如利用因式分解法解一元二次方程就是將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程。嚴格地說，轉(zhuǎn)化的思想是數(shù)學中認識和掌握新知識的重要途徑，掌握這種方法，可以提高學生的數(shù)學能力，拓展學生數(shù)學知識。如換元法就是一種很重要的轉(zhuǎn)化思想，這在本章也有不少的體現(xiàn)。

四、教材處理

關(guān)于教材處理，按教材內(nèi)容的安排及課程標準的要求，分三部分進行分析：1．一元二次方程

本節(jié)包括一元二次方程的概念、因式分解法解一元二次方程，這一單元是本章的基礎(chǔ)，教材兩個問題中引入了一元二次方程的概念，一個問題是學生所熟悉的正方形和長方形的面積，另一個問題是從報紙上公布的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，教學的重點是對方程的一般形式的認識和對方程解的理解，在此基礎(chǔ)上，引入用因式分解法求一元二次方程解的方法，將這種解安排在此處，其目的是為了加強學生對學習

方程目的的理解，并為后續(xù)通過轉(zhuǎn)化求方程解奠定思想基礎(chǔ)。2．一元二次方程的解法

本節(jié)是本章的核心內(nèi)容，主要是一元二次方程的各種解法。其中的一元二次方程的配方法和應(yīng)用一元二次方程知識理解應(yīng)用問題是重點，而這兩個重點又是教學過程中的難點。一元二次方程的解法，尤其是公式法是學好本章的關(guān)鍵。因此，本節(jié)又是全章的重點，是學好本章的基礎(chǔ)。

一元二次方程的解法，課本介紹了四種，即直接開平方法、配方法、公式法及因式分解法。

直接開平方法適用于(xa)2b（b≥0）模式的方程。實際上，給出的一般方程只要存在實根，就可以用配方法轉(zhuǎn)化為(xa)2b的形式。例如，課本中將方程x26x1轉(zhuǎn)化為(x3)210，因此配方法是直接開方法的延伸，而直接開平方法是配方法的基礎(chǔ)。

在配方法解一元二次方程的基礎(chǔ)上，很自然地推出一元二次方程的求根公式，實際上就是對一般形式ax2bxc0（a≠0)的一元二次方程實施配方法的結(jié)果。

對于三種解法，公式法可以是一種“萬能”方法，只要△=b24ac≥0，將系數(shù)a，b，c代入公式即可求解。在教學中注意一元二次方程中ax2bxc0的a≠0的條件。在配方時應(yīng)強調(diào)方程兩邊同時加上“一次項系數(shù)之半的平方”或在左端加上“一次項系數(shù)之半的平方”再減去“一次項系數(shù)之半的平方”，實質(zhì)上是方程的一種同解變形，這是必須反復訓練方可達到學生熟練進行配方的目的，它也是推導求根公式的基礎(chǔ)。

對△=b24ac的討論，首先要滲透分類討論的思想，另外，對△=b24ac=0的情況，一定要強調(diào)有兩個相等的實根：這與方程根的理論一致，學生開始會認識只有一根，要反復強調(diào)，以糾正這種不正確的或說是不嚴密的結(jié)論。對△=b24ac

關(guān)于一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，實際上，求根公式就體現(xiàn)了根與系數(shù)的關(guān)系，由于課程標準中沒有涉及，但這部分內(nèi)容對于今后的學習是很重要的，在教學中可以作為探索性學習的內(nèi)容，讓學生自己進行探索并得出結(jié)論。3．一元二次方程的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用問題，前面一元一次方程的應(yīng)用已學習過相關(guān)的知識，但是列一元二次方程解應(yīng)用題仍然是難點，其原因是數(shù)量關(guān)系比較復雜且隱蔽；應(yīng)用題所反映的實際背景比較復雜而學生又不太熟悉；所列方程也逐步復雜。主觀上學生一開始受算術(shù)解法思維的定勢影響，缺乏廣泛的社會經(jīng)濟生產(chǎn)和生活以及相關(guān)學科方面的知識，理解文字語言和數(shù)學語言等方面的能力較差。

對于求解應(yīng)用題，若從思想方法角度來看，列方程解應(yīng)用題屬于數(shù)學模型法，其中方程應(yīng)用題求解，大體上都是這樣六個步驟：①審題，理解題意，明確題中涉及幾個量，有幾個是已知量，有幾個是未知量，它們之間有什么關(guān)系等等；②設(shè)元，根據(jù)題目要求，選擇合適的未知數(shù)，又分為直接設(shè)元法、間接設(shè)元法。同時還要考慮設(shè)幾個未知數(shù)為宜；③列式，分析題目中量與量的關(guān)系，關(guān)鍵是找出題目中的相等關(guān)系，這時，要注意挖掘題目中的那些隱蔽的相等關(guān)系，有時，又要輔之使用圖示法、列表法等一些直觀手段；④求解；⑤檢驗，既要檢驗得到的解是否符合原方程或原方程組，又要檢驗所得的解對實際問題是否有意義；⑥作答，寫出正確合理的答案。在教學中可以結(jié)合問題解決的策略，讓學生主動參與，自主建構(gòu)和合作學習，體會數(shù)學建模的基本思想與方法。

（金克勤）

第3章頻數(shù)及其分布

統(tǒng)計學是搜集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)，并根據(jù)它獲得總體信息的科學．本套教材在七年級上冊安排了“數(shù)據(jù)與圖表”，著重介紹了數(shù)據(jù)的收集、整理的初步方法；在八年級上冊安排了“樣本與數(shù)據(jù)分析初步”，通過對數(shù)據(jù)集中程度和離散程度的統(tǒng)計量的計算，初步了解了如何對數(shù)據(jù)的基本狀態(tài)進行分析．為了進一步分析、處理數(shù)據(jù)，供決策時參考，有時我們還要了解數(shù)據(jù)的分布情況，找出新的特征數(shù)．“頻數(shù)及其分布”這一章就是解決了這一問題．“頻數(shù)及其分布”這部分內(nèi)容在原總指浙江版義務(wù)教材中也有，但只是作為概率統(tǒng)計初步中的一小節(jié)．考慮到頻數(shù)、頻率、頻數(shù)直方圖、頻數(shù)折線圖與日常生活、自然、社會和科學技術(shù)領(lǐng)域的密切聯(lián)系，《數(shù)學課程標準》增加了這塊內(nèi)容的份量．本套教材將這塊內(nèi)容獨立設(shè)章的目的，一方面可用足夠的篇幅來更清楚、更詳細闡述，也是為每冊循序漸進地學習概率與統(tǒng)計知識所作的精心安排．

本章教學時間約需7課時，具體安排如下：

3．1頻數(shù)和頻率1課時3．2頻數(shù)分布1課時3．3頻數(shù)的應(yīng)用3課時復習、評估1課時，機動使用1課時，合計7課時．一、教科書內(nèi)容和課程教學目標（1）本章知識結(jié)構(gòu)框圖如下：

（2）本章教學目標如下：

11

極差頻數(shù)分布表頻數(shù)及其分布布頻數(shù)頻數(shù)分布直方圖頻數(shù)分布折線圖頻率

知識技能目標目標類別目標層次知識點及相關(guān)技能極差頻數(shù)及其分布頻數(shù)的概念頻數(shù)分布表頻率的概念頻數(shù)分布的意義和作用頻數(shù)分布直方圖頻數(shù)分布折線圖根據(jù)頻數(shù)分布直方圖估計平均數(shù)（3）本章教學要求

①通過實例，理解頻數(shù)、頻率的概念，了解頻數(shù)分布的意義和作用．

②會計算極差，會對數(shù)據(jù)合理分組，并求出每一組的頻數(shù)、頻率，列出頻數(shù)分布表．③會畫頻數(shù)分布直方圖和頻數(shù)分布折線圖，能根據(jù)頻數(shù)分布直方圖估計平均數(shù)，能根據(jù)數(shù)據(jù)處理的結(jié)果，作出合理的判斷和預測，并在這一過程中體會統(tǒng)計對決策的作用．

④通過畫直方圖、折線圖養(yǎng)成學生耐心細致的工作作風，實事求是的工作態(tài)度，善于觀察、分析問題的能力．二、本章編寫特點

（1）以《數(shù)學課程標準》為本，刪繁就簡、突出重要內(nèi)容

畫頻數(shù)分布直方圖不采用傳統(tǒng)按部就班的逐步介紹的方法，步驟多、方法繁將會影響這個年齡段的學生學習興趣．事實上，如3．1節(jié)做一做，“下面給出以0.4kg為組距，取2.75～3.15、3.15～3.55為端點”；對連續(xù)型、離散型數(shù)據(jù)的不同處理等，里面還有許多道理．不在繁瑣的具體枝節(jié)上糾纏，突出重要概念，讓學生體驗頻數(shù)、頻率的真實含義，理解頻數(shù)、頻率分布的意義和作用才是教學的真正目的，也是本章教材編寫的特點之一．

了理掌靈活過程性目標經(jīng)歷體驗探索√解解握運用(感受)√√√√(體會)√√√√√√√√√√√

（2）精心選擇實例，貼近學生生活，引起學生興趣

頻數(shù)、頻率本身就是處理實際問題，從實際中來，在解決實際問題的過程中引入概念．教材精心挑選、引入大量學生熟悉的例子，創(chuàng)設(shè)學生熟悉的情境，引起學生興趣，使學生能產(chǎn)生解決它的欲望．掃除一定程度上因為敘述事例的冗長而引起學生反感．如血型分布、運動鞋鞋號的選擇、學科成績、午餐等候時間、礦泉水質(zhì)量等等都是學生身邊的事，學生熟悉且親切．同時也培養(yǎng)了學生從統(tǒng)計的角度思考與數(shù)據(jù)信息有關(guān)的問題，通過收集、分析數(shù)據(jù)的過程能初步作出合理的決策，提高學生處理問題、決策問題的能力．

（3）重實踐操作，設(shè)計一定量的數(shù)學活動，在交流中增強數(shù)學應(yīng)用意識

本章內(nèi)容安排了一定量的實習操作性的活動，如“八年級男生、女生身高和所穿運動鞋的分布”“八年級學生跳繩次數(shù)的頻數(shù)分布”“八年級男生、女生體重數(shù)據(jù)的分布”“商場不同價格的彩電銷售情況”等，這些活動都需要學生分小組合作，事前精心設(shè)計策劃，調(diào)查廣泛接觸不太熟悉的人和事，希望學生通過這些活動認識現(xiàn)實世界中蘊含的大量的數(shù)學信息，數(shù)學與現(xiàn)實世界有著緊密聯(lián)系，增強學生的數(shù)學應(yīng)用意識，也培養(yǎng)學生實際工作能力，從中獲得克服困難經(jīng)歷或者體會獲得成功的喜悅．

三、教學建議

（1）畫頻數(shù)分布直方圖的一般步驟是：①計算極差；②決定組數(shù)與組距．一般當數(shù)據(jù)

在100個以內(nèi)時，按照數(shù)據(jù)多少，常分為5~12組；組距是指每個小組的兩個端點之間的“距離”，

極差=組距；③決定分點，為了避免有些數(shù)據(jù)本身落在分點上，組數(shù)常常將分點多取一位小數(shù)；④列表、劃記；⑤畫頻數(shù)分布直方圖．教師根據(jù)實際情況在講解中靈活應(yīng)用，但不要完全在黑板上重復以上步驟，這樣違背了教材編寫的初衷．

（2）利用頻數(shù)分布表、頻數(shù)直方圖、頻數(shù)折線圖來分析數(shù)據(jù)的一些特征是教學的重點

之一，教學中應(yīng)該充分發(fā)揮學生的積極性，讓學生仔細地觀察、大膽地推測、合理地驗證．“統(tǒng)一訂購運動服、運動鞋，應(yīng)注意哪些問題？”“校方安排學生多長的午餐時間為宜？”“估計魚塘中有多少條魚”“分析男生、女生游泳項目成績差異”等等，不像原來數(shù)學題有唯一標準答案，應(yīng)鼓勵學生各抒已見，最后在充分討論的基礎(chǔ)上形成比較一致的意見．這是與人交流、勇于探索、比較清晰表達自己觀點的重要方式，也是新課程數(shù)學教學的一個重要方面，教師可視具體情況在本章教學中盡量體現(xiàn)．

（3）計算繁瑣，聯(lián)系實際緊密是本章的主要特點．除了課本提供的范例外，教學中教師

可根據(jù)實際情況進行適當補充．同時教師還應(yīng)該充分利用多媒體預先制作好一些教具，不要使課堂上寶貴的時間浪費在抄寫、繪圖上面．四、本章教學中應(yīng)注意的問題

（1）數(shù)據(jù)有“連續(xù)型”與“離散型”兩種，對離散型數(shù)據(jù)，如課本第51頁的血型分組一般

比較容易，對離散型數(shù)據(jù)分組不唯一，僅是根據(jù)經(jīng)驗，不同的分組一般得到的結(jié)論也有所差別，但只要合理均認為正確．

（2）進行實踐活動時，要注意有些問題可能涉及學生的個人隱私，如較胖的女同學不愿意

論及自己的體重，她認為公開自己的體重是侵犯了個人隱私權(quán)；一分鐘跳繩次數(shù)比較少的同學也可能覺得沒面子而出現(xiàn)一些不愉快事情．針對這些情況任課教師應(yīng)有充分的思想準備，采取回避或選擇一些合適的同學或選擇另外適當?shù)臄?shù)據(jù)作調(diào)查對象等辦法．我們的目的是通過一些實踐活動在交流中培養(yǎng)互相合作的精神，與人合作中體會愉快，用數(shù)學知識解決實際問題中，增強應(yīng)用數(shù)學的自信心．不要因為個別特殊原因干擾整個教學計劃．

（3）直方圖的縱坐標與橫坐標一般來說有不同的單位，每個單位的具體長度應(yīng)在比較中進

行選擇．最終的要求是畫出來的圖形比較美觀，能清楚反映分布情況、及變化趨勢．課

本所采用畫折線的辦法就是避免圖形畫在極端的位置．在不影響整個圖形所反映基本特征的情況下，使頻數(shù)直方圖或頻數(shù)折線圖更加美觀．也可以采用將學生所畫的圖比較展覽的辦法，讓學生在交流中取長補短，互相吸收別人好的經(jīng)驗，來完善自己畫圖技能．

（王利明）

第4章命題與證明

本章是實驗幾何過渡到論證幾何的啟蒙章節(jié)。我們應(yīng)該認識到學習歐幾里得幾何對鍛煉和培養(yǎng)學生的邏輯推理能力，有著其他內(nèi)容無法代替的作用；然而幾何入門難的問題多年來一直存在。對于幾何的處理，本套教科書根據(jù)《數(shù)學課程標準》的要求，提供了一個全新的思路。

從七年級上冊“圖形的初步知識”一章的實驗入門，到七年級下冊“三角形的初步知識”“圖形和變換”的實驗為主，開始出現(xiàn)局部推理，到八年級上冊“平行線”“特殊三角形”的實驗，開始向推理過渡，再到本章開始有固定格式的論證幾何，因為有了一年半幾何感性認識的基礎(chǔ)，初步的識圖能力，簡單的推理能力，再學習高層次的論證幾何，自然就有了一定的準備和基礎(chǔ)。本章內(nèi)容處于“實驗幾何”與“論證幾何”的交接點上，它對學生順利地轉(zhuǎn)入論證幾何的學習，有著重要的思維潤滑作用。能有效地幫助學生認識到學習論證幾何的必要性，繼而為下階段的學習鋪平了道路。

學生在認識幾何證明的必要性方面是本節(jié)教學的第一個難點與重點。學生已有一年半的實驗幾何的學習基礎(chǔ)，固然對后階段的學習有很重要的奠基作用，但也有一定的負遷移作用。學生已經(jīng)習慣于從“量一量”“算一算”及圖形運動變換中直接得出圖形性質(zhì)，并有了一定的初級、簡單推理時充當理由的使用歷史，即基本默認了這些性質(zhì)。因此，使學生充分認識到幾何證明的必要性便成為本章的一個難點。掌握證明的一般步驟與格式是本章教學的第二個重點與難點。

本章教學時間約需10課時，具體安排如下：4.1定義與命題2課時4.2證明3課時4.3反例與證明1課時4.4反證法1課時復習評價2課時，機動1課時

合計10課時

一、教科書內(nèi)容和課程教學目標1、本章知識結(jié)構(gòu)框架圖如下：

2、本章的教學目標如下：

了解定義、命題、定理的含義，會區(qū)分命題的條件（題設(shè)）和結(jié)論。會在簡單情況下判斷一個命題的真假。理解反例的作用，知道利用反例可證明一個命題是錯誤的。

了解證明的含義，理解證明的必要性，體會證明的過程要步步有據(jù)。會根據(jù)一些基本事實證明簡單命題。

通過實例，體會反證法的含義。了解反證法的基本步驟。初步會綜合運用命題、證明以及相關(guān)知識解決簡單的實際問題。

二、本章編寫特點

1、教材內(nèi)容生活化且富有情趣，加強與生活和學生的經(jīng)驗以及現(xiàn)代社會和科技發(fā)展的聯(lián)系，知識由此變得鮮活起來，讓學生有親近感。如在反證法一節(jié)中，用《路邊苦李》的故事引入課題，讓學生體會反證法就在生活中，數(shù)學就在生活中。又課本在定義與命題這節(jié)中所選擇的素材和問題有來自生活的、自然學科的、社會的及其數(shù)學自身的，將數(shù)學與自然科學，社會科學有機整合。

2、《數(shù)學課程標準》指出：“證明的教學所關(guān)注的是對證明必要性的理解，”教材不僅提供了為數(shù)不少的引起視覺錯誤的圖形，還結(jié)合閱讀材料“費馬和他的猜想”，從不同角度讓學生體會到證明的必要性。在如何讓學生理解證明的必要性方面可謂頗費心機。

3、重視反例的構(gòu)建。傳統(tǒng)教材只在命題的真假教學時中提到“反例”。而本套教材不惜重墨，單獨編寫一節(jié)“反例與證明”。這是為了在中學數(shù)學教學中有

意識地使用反例，并加強對反例構(gòu)建方法的指導，這對學生創(chuàng)新思維的發(fā)展是大有裨益的。

三、教學建議

1、本章是學生系統(tǒng)學習論證幾何的起步階段。推理形式從歸納推理為主體，轉(zhuǎn)變?yōu)檠堇[推理為主體，邏輯性加強，推理表達要求嚴格規(guī)范是本章的特點。教學中應(yīng)精心設(shè)計使學生從直觀幾何到論證幾何，從歸納推理到演繹推理的過渡階梯。要重視范例的分析過程教學，使學生逐步學會逆思維的方法。初學論證幾何，無論是分析證明思路，還是寫證明過程，學生都會感到困難，應(yīng)多作示范。

2、在講解命題的概念時，應(yīng)通過生活和數(shù)學的實例來說明什么是命題；能夠區(qū)分一個簡單命題的真?zhèn)巍＝處熆赏ㄟ^生活、代數(shù)、幾何中的具體例子使學生認識到，有些命題可以通過觀察和實驗得到，并獲得大家的認可，但也有些命題僅僅通過觀察和實驗是不夠的，從而體會證明的必要性。

3、用反證法證題時，由于要假設(shè)待證明的命題的結(jié)論不成立，就需考慮結(jié)論的反面可能出現(xiàn)的各種情況。如果結(jié)論的反面只有一種情況，那么只需否定這種情況；如果結(jié)論的反面不止一種情況，那么必須把各種情況全部列舉出來，并加以否定，才能肯定原命題的正確。但課本中沒有出現(xiàn)這類問題，教學時不必補充。教學中可以通過生活實際和簡單的數(shù)學例子，使學生體會反證法的思想，但在義務(wù)教育階段不必給出反證法的證明格式。

4、舉反例和證明同樣重要，注重反例教學以培養(yǎng)學生思維的縝密性、靈活性，以及注重反例構(gòu)建培養(yǎng)學生思維的發(fā)散性、深刻性和創(chuàng)新性在數(shù)學教學中的重要性已越來越被人們重視和認可。反例構(gòu)建還是誘發(fā)學生創(chuàng)造力的很好載體。教師在進行教學時，不但要適當?shù)厥褂梅蠢�，更重要的是要善于引導學生構(gòu)建反例，這實際上是為學生創(chuàng)設(shè)了一種探索情境。因此，構(gòu)建反例的過程也是學生發(fā)散思維的充分發(fā)揮和訓練過程。5、關(guān)于設(shè)計題。

本章的設(shè)計題“費馬點”向?qū)W生提供了充分的從事數(shù)學活動和交流的機會，讓他們經(jīng)歷實驗、想像、分析、猜測、交流、驗證和推理等過程，使他們在自主探索的過程中，真正理解和掌握基本的數(shù)學知識，思想和方法，同時獲得

廣泛的數(shù)學活動的經(jīng)驗，使學生成為數(shù)學學習的主人，而教師則成為學生學習的引導者和交流者。教師可將“設(shè)計活動”當作“課題”來處理，從提出問題開始到問題的解決，直至小論文成稿，在整個過程中，教師一方面要保護學生的探究積極性，另一方面要適時地進行引導，使學生的探究活動逐漸從表面到深入，從情境走向數(shù)學思考，從而經(jīng)歷數(shù)學化的過程。

（卓立波）

第5章平行四邊形

本章是學習了三角形、幾何證明的基礎(chǔ)上，開始研究四邊形，四邊形的學習與三角形有著密切的聯(lián)系，許多四邊形的問題都通過連線轉(zhuǎn)化為兩個三角形的問題來解決，且研究的方法有許多類同的地方，所以說四邊形是三角形的應(yīng)用和深化；另外在學了幾何證明后，平行四邊形內(nèi)容為證明實例提供了豐富的材料，讓學生有機會實踐、鞏固前面的知識．本章一開始從多邊形引入，在知識體系上看也是順理成章，探索多邊形的內(nèi)角和辦法并不深奧，所隱含化歸為三角形的思想?yún)s是數(shù)學中常用的思想方法，會引起學生的關(guān)注和興趣．平行四邊形是中心對稱圖形，利用中心對稱變換使平行四邊形的許多性質(zhì)得到合理的解釋，用軸對稱變換來研究等腰三角形，用中心對稱變換來研究平行四邊形，用變換的觀點來闡述圖形的幾何性質(zhì)也是新教材的特點之一．如三角形中位線的定理用中心對稱的觀點來證明顯得合理且簡單明了．本章還穿插了逆命題和逆定理的概念，前一章是“命題與證明”，為了避免在一章中集中過多的抽象概念，給學生帶來困難，所以把逆命題與逆定理放在本章，既分散了難點，又因為已有一定量知識積累，有利于學生理解掌握．

本章教學時間約需18課時，具體安排如下：

5．1多邊形3課時5．2平行四邊形1課時5．3平行四邊形的性質(zhì)3課時5．4中心對稱2課時5．5平行四邊形的判定2課時5．6三角形的中位線1課時5．7逆命題與逆定理2課時復習、評估2課時，機動使用2課時，合計18課時．

一、教科書內(nèi)容和課程教學目標（1）本章知識結(jié)構(gòu)框圖如下：

平行四邊形（）

（2）本章教學要求

逆命題與逆定理四邊形多邊形多邊形的內(nèi)角和與外角和正多邊形正多邊形的鑲嵌平行四邊形的性質(zhì)平行四邊形平行四邊形的判定中心對稱中心對稱的性質(zhì)三角形中位線定理①了解多邊形的定義及有關(guān)概念，探索多邊形的內(nèi)角和與外角和，在探索過程中培

養(yǎng)學生的歸納、推理能力；②了解正多邊形的概念，通過動手實驗，知道任一個三角形、四邊形、正六邊形可

以鑲嵌平面，并能運用這幾種圖形進行簡單的密鋪設(shè)計；③掌握平行四邊形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是平行四邊形的條件；

④了解中心對稱及其性質(zhì)，探索平行四邊形是中心對稱圖形及相關(guān)性質(zhì)；

⑤結(jié)合具體例子，了解逆命題的概念，會識別兩個互逆命題，并知道原命題成立其逆命題不一定成立．

（3）本章教學目標如下：

目標類別目標層次知識點及相關(guān)技能四邊形的定義及有關(guān)概念四邊形的邊、頂點、對角線、內(nèi)角與外角多邊形四邊形的內(nèi)角和定理及推論多邊形的定義及有關(guān)概念多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和探索多邊形內(nèi)角、外角和的方法正多邊形的定義及有關(guān)概念用正多邊形鑲嵌平面用圖形變換觀點設(shè)計鑲嵌圖平行四邊形平行四邊形的性質(zhì)定理及推論中心對稱圖形的定義及有關(guān)概念中心對稱圖形的性質(zhì)中心對稱平行四邊形的判定探索平行四邊形的中心對稱性及其相關(guān)性質(zhì)三角形的中位線定理逆命題及逆定理

二、本章編寫特點

知識技能目標了理掌靈活過程性目標經(jīng)歷體驗探索√√解解握運用(感受)√√√√√√√√√√√(體會)√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√√平行四邊形的定義及有關(guān)概念四邊形不穩(wěn)定性及其應(yīng)用平行四邊形的性質(zhì)√√√√判定一個圖形是否為中心對稱圖形√√√√√逆命題與逆定理寫出簡單命題的逆命題勾股定理的逆定理√√

（4）注意重視學生自主探索，讓學生直觀理解幾何現(xiàn)象

本套教材與傳統(tǒng)教材一個不同之處就是重視學生獨立思考和探索能力的培養(yǎng)，在本章中體現(xiàn)比較明顯．課本較多的采用了通過動手剪、動手折或填表等動手實踐的方式，讓學生自主探索、直觀理解幾何現(xiàn)象．如四邊形內(nèi)角和規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、繪制鑲嵌圖、“平行四邊形對邊相等”這個性質(zhì)、平行四邊形判定定理的探索、用剪刀剪三角形拼成平行四邊形等等．課本盡量提供學生充分自主探索的時間與空間，使學生進一步經(jīng)歷實驗、猜測、驗證、反思等活動，同時在動手的過程中，豐富學生數(shù)學活動經(jīng)驗與體驗．（5）提供交流合作的機會，形成學生數(shù)學學習有效的策略

本章從很多方面提供了生動有趣的問題情境，提供許多與同學交流的機會，在與同學交流中學習，通過取長補短，吸收同學意見、修正、完善自己的想法；或在尋找規(guī)律方面，互相啟發(fā)，逐步形成完整、符合實際的結(jié)論，從而體驗數(shù)學學習有效的策略．如探索多邊形的的內(nèi)角和，在與同學合作交流中通過探索、填表，找出規(guī)律，掌握將多邊形通過連結(jié)對角線轉(zhuǎn)化為求n－2個三角形內(nèi)角和的一般性方法．相信即使學習相對困難的學生，在同學的幫助下、啟發(fā)下，也會有興趣完成表格的填寫．我們認為就這一內(nèi)容而言，掌握方法（添輔助線）、參透思想（轉(zhuǎn)化為三角形），與知道結(jié)果同樣重要．學生真正參與到知識發(fā)生的過程中去．

（6）通過圖形旋轉(zhuǎn)的方法引入平行四邊形，突出圖形變換思想

平行四邊形是第一學段學生已經(jīng)接觸過的圖形，傳統(tǒng)教材直接給出兩組對邊分別平行的平行四邊形的定義，本套教材采用以三角形一邊中點為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時針（或順時針）方向旋轉(zhuǎn)，將所得的像與原來的圖形組成四邊形讓學生判斷的辦法，然后再給出平行四邊形的定義，突出了圖形變換思想．這樣做一方面學生對圖形理解更深刻、全面，同時為以后就平行四邊形的性質(zhì)、判定內(nèi)容的學習、與后續(xù)特殊四邊形的學習起到從多角度思考拓寬思路，增強綜合能力的作用．

（7）注意與前面內(nèi)容有機聯(lián)系，有利于培養(yǎng)學生全面地思考問題的習慣

本章編寫中還注意了與前面內(nèi)容的有機聯(lián)系，除了滲透圖形變換思想外，如求頻數(shù)折線圖中內(nèi)角和的度數(shù)；在直角坐標系中判斷對稱的坐標的逆命題，并要求加于證明．其目的是使前后知識有機串聯(lián)、溶合，使學生理解數(shù)學內(nèi)容是一個整體，各個分支可以互相滲透，克服孤立看問題的偏向，有利于培養(yǎng)學生全面思考問題的習慣．三、教學建議

（1）本章概念、性質(zhì)定理、判定定理等比較多，而且一部分容易引起混淆，教學中不應(yīng)

采用要求學生死記硬背的方式，而應(yīng)采用在理解的基礎(chǔ)上，按系統(tǒng)循序漸進的記憶．教師可選擇一些針對性的練習或變式訓練來讓學生辯別，通過練習來比較概念之間的聯(lián)系和差別，做到掌握理解有關(guān)四邊形的一些概念和性質(zhì)．

（2）充分利用前面所學的平行線與三角形，較自然地導出四邊形性質(zhì)及平行四邊形的

概念、性質(zhì)和判定．所以在教學中應(yīng)該重視前面平行線、三角形這個基礎(chǔ)作用，起到以舊帶新、前后聯(lián)系、構(gòu)建完整的知識體系這樣一個目的．

（3）本章是“命題與證明”學習后的第一章，本章的一些性質(zhì)、結(jié)論課本采用折一折、

剪一剪、拼一拼的方法從幾何直觀引出，但不能到此為至，接下去便應(yīng)該啟發(fā)學生從道理上說清楚，逐步養(yǎng)成從邏輯上嚴格證明的習慣．因為在前三冊中已為證明作了鋪墊，學生這時學習證明，應(yīng)是水到渠成，只是在書寫上要求更加規(guī)范一些．四、本章教學中應(yīng)注意的問題

（1）多邊形的引出是從四邊形開始的，先熟悉了四邊形的基本概念，然后再在此基礎(chǔ)上

類推得到多邊形的概念．這里要注意的是四邊形的定義為“不在同一條直線上的四條線段首尾順次相接形成的圖形”，根據(jù)這樣的定義，四邊形應(yīng)當包括凹四邊形也包括空間四邊形．教材用腳注作了約定：“教科書所說的四邊形等多邊形，都是指凸多邊形”。在教學中可以畫一個凹四邊形，幫助學生理解凹四邊形的特征；同時也應(yīng)強調(diào)在同一平面內(nèi)，若四條線段不在同一平面內(nèi)，就成了空間四邊形．凹四邊形和空間四邊形只需讓學生知道即可，不必花太多筆墨．

（2）四邊形的內(nèi)角、外角這些概念和三角形的內(nèi)角、外角的概念類似，只要通過具體描

述，學生就不難理解，因此沒有必要作出嚴格定義．和三角形內(nèi)角不同的是，四邊形的內(nèi)角有四個，這樣就有相對的相鄰的不同位置關(guān)系，這在以后的表述特殊四邊形的性質(zhì)和判定時經(jīng)常用到，教學中應(yīng)向?qū)W生交待．

（3）本章內(nèi)容特別要注意培養(yǎng)學生的推理能力，要求學生能清晰、有條理地表達自己的

思考過程，并應(yīng)將此落實到整個教學中。首先要幫助學生理清知識體系．如判定平行四邊形有五個方法，可以分成三類：從邊看：①兩組對邊分別平行；②兩組對邊分別相等；③一組對邊平行且相等；從角看：④對角相等；從對角線看：⑤對角線互相平分．定義本身就具有判定的功能．這些內(nèi)容在課本中分散在各處，教學中教師應(yīng)善于與學生一起小結(jié)、歸納，理清脈絡(luò)，并在這個基礎(chǔ)上，引導學生規(guī)范書寫，有條理地表達思考過程，這樣才能逐步做到言之有理、落筆有據(jù)．

（王利明）

第6章特殊平行四邊形與梯形

本章是上一章《平行四邊形》的深化且延續(xù)，從知識體系上看從旋轉(zhuǎn)變換定義了中心對稱圖形平行四邊形以后，從角的特殊性（直角）、從邊的特殊性（等邊）得到矩形和菱形；從對圖形研究的角度看，推理論證在這一章中得到加強與深化，進一步要求學生能清晰、有條理表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)．同時通過“合作學習”等形式，讓學生自主探索這些基本圖形的性質(zhì)及其相互關(guān)系，從而豐富對空間圖形的認識和感受．應(yīng)該指出的是：在本套教材中，幾何推理證明到此已達到最高要求，根據(jù)《數(shù)學課程標準》，在后續(xù)九（上）《圓的基本性質(zhì)》《相似三角形》，九（下）《直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系》等章內(nèi)容中，除了進一步鞏固書寫格式、繼續(xù)訓練學生運用數(shù)學語言合乎邏輯進行交流討論外，不再提出其他更高的要求．

本章的主要內(nèi)容有矩形、菱形、正方形、梯形的概念、性質(zhì)和四邊形是矩形、菱形、正方形及等腰梯形的條件．有些內(nèi)容在前兩個學段學生已有接觸，但還十分膚淺．本章不是對以前知識的簡單復習，而是同類知識的螺旋上升．

特殊平行四邊形與梯形的概念與性質(zhì)是學好本章的關(guān)鍵，也是為學好整個平面幾何打下一個堅實的基礎(chǔ)，是本章的教學重點．與基本圖形（矩形、菱形、正方形、梯形）的概念、性質(zhì)及其相互關(guān)系隨之而來的是幾何證明，學生要正確理解證明的本身，需要一個較長的過程，是本章主要的教學難點．

本章教學時間約需14課時，具體安排如下：

6.1矩形3課時6.2菱形2課時6.3正方形1課時6.4梯形2課時

課題學習簡單平面圖形的重心1課時復習、評估3課時，機動使用1課時，

合計13課時一、教科書內(nèi)容和課程教學目標(1)本章知識結(jié)構(gòu)框圖如下：

等腰梯形

菱形的性質(zhì)等腰梯形的判定方法四邊形平行四邊形菱形的判定方法菱形正方形矩形矩形的判定方法正方形的性質(zhì)25正方形的判定方法梯形等腰梯形的性質(zhì)矩形的性質(zhì)

(2)本章教學要求

①在動手操作（擺火柴棒、折紙）過程中加深對矩形、菱形、正方形的概

念、對稱性及其他有關(guān)性質(zhì)的理解，探索并掌握四邊形是矩形、菱形、正方形的條件．

②探索并了解等腰梯形的有關(guān)性質(zhì)和四邊形是等腰梯形的條件．③通過交流、討論、歸納梳理出各個概念的從屬關(guān)系，各個性質(zhì)和判定的

相互聯(lián)系與區(qū)別，培養(yǎng)學生概括能力，進行矛盾的普遍性寓于矛盾的特殊性之中的客觀規(guī)律教育．

④探索并了解線段、矩形、平行四邊形、三角形的重心及物理意義（如一

根均勻木棒、一塊均勻的矩形木板的重心），培養(yǎng)學生動手操作能力．⑤了解矩形、菱形、正方形是中心對稱圖形．欣賞現(xiàn)實生活中的軸對稱性

與中心對稱圖形．并了解它們之間的關(guān)系．(3)本章教材分析

1．本章的主要內(nèi)容是特殊平行四邊形與梯形，課本從學生生活周圍熟悉的物體入手，使學生對物體形狀的認識從感性逐步上升到抽象的幾何圖形．教師可以再補充一些日常生活中的具體的事例，以加深對這些基本圖形的認識與理解．

2．矩形、菱形、正方形、梯形之間存在一定區(qū)別與聯(lián)系，矩形、菱形和正方形都是一類特殊的平行四邊形，矩形是有一個角是直角的平行四邊形，而菱形是有一組鄰邊相等的平行四邊形，正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，因此，它既具有矩形的性質(zhì)，又具有菱形的性質(zhì)．梯形不是特殊的平行四邊形，它是有一組對邊平行，另一組對邊不平行的四邊形．只有搞清楚它們之間的關(guān)系，才能更好把知識學好．可以抓住平行四邊形這條主線，搞清楚它們之間的區(qū)別與聯(lián)系．

3．本章的學習要注意多從實物出發(fā)，讓學生感受到圖形世界無處不在，引起學生學習的興趣．還可以結(jié)合一些具體問題，讓學生感受學習空間與圖形知識的重要性和必要性．對于一些抽象的概念、性質(zhì)等，也要從解決實際問題引入，

讓學生在探索中真正理解這些性質(zhì)．同時要注意概念的定義和性質(zhì)的表述，逐步使學生懂得幾何語句的意義并能建立幾何語句與圖形之間的聯(lián)系．這些不僅是學習好本章的關(guān)鍵，對于學好整個平面幾何各章也是很重要的．

4．在教學中應(yīng)注重對證明本身的理解，雖然前面已有接觸，但學生還不熟練，這需要一個過程．因此，教學中不要過分追求證明的數(shù)量和技巧，要控制一定的難度，控制在《標準》所規(guī)定的范圍內(nèi)．

二、本章編寫特點

（一）充分利用現(xiàn)實世界中的實物原型進行教學，展示豐富多彩的幾何世界人們生活在三維空間中，豐富多彩的圖形世界給“空間與圖形”的學習提供了大量現(xiàn)實有趣的素材．在本章內(nèi)容的呈現(xiàn)中，充分體現(xiàn)從生活中的實物原型到平面圖形，再到基本圖形矩形、菱形、正方形、梯形，從而更好地“把握圖形”．

在本章教科書的許多地方，如菱形、梯形概念的引入，基本圖形的性質(zhì)與判定的探究，以及合作學習、課內(nèi)練習、探究活動、作業(yè)題中都呈現(xiàn)了大量生活中的圖形，在實際教學時還可以向?qū)W生展現(xiàn)更多他們熟悉的生活中的物體和圖形，增加學生的直觀感受，提高學習空間與圖形知識的興趣，從而更好地認識圖形，了解圖形，最終達到用圖形解決現(xiàn)實生活中的實際問題．

（二）強調(diào)學生的動手操作和主動參與，讓他們在觀察、操作、想像、交流等活動中認識圖形，樹立圖形觀念．

學習方式的轉(zhuǎn)變是課程改革的一個重要目標，與其他數(shù)學內(nèi)容相比，“空間與圖形”的教學更容易激起學生學習數(shù)學的熱情．在本章的編寫中，注意從學生已有的生活經(jīng)驗和已有的知識出發(fā)，給學生提供“現(xiàn)實的、有意義的、富有挑戰(zhàn)性的”學習材料，提供充分的數(shù)學活動和交流的機會，引導他們在“做數(shù)學”的活動中，在自主探索的過程中獲得知識和技能，掌握基本的數(shù)學思想方法．

在本章的教科書中，設(shè)置了許多“合作學習”“想一想”“探究活動”等欄目，讓學生在觀察、操作、想像、交流等活動中認識圖形等．比如利用火柴棒首尾相接擺成平行四邊形，再通過觀察思考這個平行四邊形的特點，從而引出矩形、菱形的概念．再比如，利用一張長方形紙片，對折兩次，再按照要求剪開，然后通過觀察剪出的圖形的特點，從而探究出判定菱形的方法等．通過這些“探究點”，

鼓勵學生勤思考、勤動手、多交流．其中，動手操作是學習開始階段重要的一環(huán)，它可以幫助學生認識圖形，豐富直觀，驗證學生的空間想像能力．（三）重視幾何語言與證明思想的培養(yǎng)和訓練

在本章，特別注意“幾何模型→圖形→文字→符號”這個抽象的過程．首先，教科書強調(diào)實物原型的作用，引入了大量實物模型，讓學生從中抽象出幾何圖形，并從幾何圖形中抽象出文字和符號．其次，教科書重視幾何證明的作用，對于對象的文字和符號描述，都是緊密聯(lián)系圖形，使抽象與直觀結(jié)合起來，在圖形的基礎(chǔ)上培養(yǎng)證明思想，從而解決幾何證明的有關(guān)問題．

例如，利用一張長方形紙片，對折兩次，再按照要求剪開，然后通過觀察剪出的圖形的特點，從而探究出判定菱形的方法．這樣通過學生自己動手探究出判定菱形的方法，實現(xiàn)了“幾何模型→圖形→文字”的過程，然后，再將它轉(zhuǎn)化為符號語言并加以論證．因此，教學中應(yīng)重視對學生幾何語言的培養(yǎng)，這對學習幾何證明非常重要．另外，幾何證明也是訓練學生幾何語言的一種非常有效的方法，正確的幾何證明也能訓練人的思維，教師應(yīng)鼓勵學生閱讀課文，可以在作業(yè)中模仿教材中的證明，注重對證明本身的理解．

三、教學建議

（一）注意與前兩個學段的銜接

這一部分知識與前兩個學段聯(lián)系密切，大多數(shù)圖形、概念在前兩個學段都接觸過，要銜接前兩個學段，就要深入了解前面兩個學段數(shù)學中“空間與圖形”特殊平行四邊形與梯形的有關(guān)內(nèi)容和要求，并了解它們與這一部分內(nèi)容的聯(lián)系與區(qū)別．

從《數(shù)學課程標準》看，與這一章的內(nèi)容相對應(yīng)，前面兩個學段是要直觀認識長方形、正方形、梯形等幾何圖形，并對這些幾何圖形進行有關(guān)的計算．在這一章，要通過豐富的實例，認識基本圖形（矩形、菱形、正方形和梯形）之間的關(guān)系，通過對平行四邊形的進一步的探究，從而發(fā)展幾何直覺；進一步認識這些基本圖形的概念和一些性質(zhì)，并能初步利用數(shù)學語言加以論證并應(yīng)用．

了解了這些聯(lián)系與區(qū)別，教學時便可以在學習知識的基礎(chǔ)上，把前面兩個學段學過的內(nèi)容加深一步，同時避免完全的重復．

（二）把握好教學要求

在本章，不僅要像第一、二學段那樣進一步豐富學生對幾何圖形的感性認識，還要引導學生逐步認識一些基本圖形的特征．這并不意味著要用嚴格的幾何推理的方式來展開學習，而是要強調(diào)在實際背景中理解圖形的概念和性質(zhì)，經(jīng)歷探索圖形性質(zhì)的過程．例如對于判定菱形的方法，教科書中先利用一張長方形紙片，對折兩次，再按照要求剪開，然后通過觀察剪出的圖形的特點，從而探究出判定菱形的方法，然后，再將它轉(zhuǎn)化為符號語言并加以論證．而課后讓學生在作業(yè)中模仿教材中的證明，關(guān)鍵是注重對證明本身的理解，決不能片面追求證明的數(shù)量和技巧．

對于推理能力的培養(yǎng)，整套教科書是按照“說點兒理”“說理”“簡單推理”“用符號表示推理”等不同層次，分階段逐步加深地安排的，推理能力的培養(yǎng)既集中在“空間與圖形”中，又結(jié)合各領(lǐng)域中適宜的內(nèi)容自然地進行．在本章，由于已經(jīng)進入第三學段的后半段，已不僅要求學生通過觀察、思考、探究等活動歸納出圖形的概念和性質(zhì)，還要“用符號表示推理”，把它作為通過實驗探究得到結(jié)論的自然延續(xù)．矩形、菱形、正方形和等腰梯形的性質(zhì)的得出都通過說理來加以論證．但要控制一定的難度，證明的要求控制在《數(shù)學課程標準》所規(guī)定的范圍內(nèi)．

（三）重視現(xiàn)代信息技術(shù)的應(yīng)用

現(xiàn)代信息技術(shù)的廣泛應(yīng)用正在對數(shù)學課程內(nèi)容、數(shù)學教學、數(shù)學學習等方面產(chǎn)生深刻的影響，信息技術(shù)工具的使用能為學生的數(shù)學學習和發(fā)展提供豐富多彩的教育環(huán)境和有力和學習工具，重視現(xiàn)代信息技術(shù)的使用也正是本套教材的特點之一．

在這一章，利用信息技術(shù)工具，可以給我們展現(xiàn)豐富多彩的圖形世界，豐富學習資源，有助于學生從中抽象出幾何圖形；圖形的動態(tài)演示，連續(xù)變化所形成的眾多畫面變換，可以在大腦中形成圖形空間變化的印象，可以幫助學生在動態(tài)變化的圖形中尋找圖形的性質(zhì)，從而發(fā)現(xiàn)解題思路．比如，通過《幾何畫板》動態(tài)演示四邊形的變化過程，幫助學生尋找基本圖形之間的聯(lián)系，體會它們之間的內(nèi)在含義．同時，也鼓勵學生自己利用信息技術(shù)工具，來豐富自己的知識，提高自己的認識．

（徐鴻斌）

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