北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)各章知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)
北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)各章知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)
第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
一、一般地,用符號(hào)“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式。1、能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
2、不等式的解不唯一,把所有滿足不等式的解集合在一起,構(gòu)成不等式的解集.3、求不等式解集的過(guò)程叫解不等式.
4、由幾個(gè)一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組5、不等式組的解集:一元一次不等式組各個(gè)不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性質(zhì)1:在等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或整式,所得的結(jié)果仍是等式.基本性質(zhì)2:在等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結(jié)果仍是等式.二、不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變.
(注:移項(xiàng)要變號(hào),但不等號(hào)不變。)
性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變.性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.
不等式的基本性質(zhì)、若a>b,則ac>bc;
、若a>b,c>0則ac>bc,若cc,則a>c
四、解不等式組的步驟:1、解出不等式的解集。2、在同一數(shù)軸表示不等式的解集。3、寫出不等式組的解集。五、列一元一次不等式組解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:
(1)審題;(2)設(shè)未知數(shù),找(不等量)關(guān)系式;(3)設(shè)元,(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組)(4)解不等式組;檢驗(yàn)并作答。六、?碱}型:
1、求4x-6六、分解因式的方法:1、提公因式法。2、運(yùn)用公式法。第三章分式
注:1°對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.
2°分式與整式不同的是:分式的分母中含有字母,整式的分母中不含字母.
3°分式的值為零含兩層意思:分母不等于零;分子等于零。(
AA中B≠0時(shí),分式有意義;分式中,當(dāng)B=0分式無(wú)意義;當(dāng)A=0且B≠0時(shí),分式的值為零。)BB常考知識(shí)點(diǎn):1、分式的意義,分式的化簡(jiǎn)。2、分式的加減乘除運(yùn)算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解應(yīng)用題。
第四章相似圖形
一、比例定義:表示兩個(gè)比相等的式子叫比例.1、如果a與b的比值和c與d的比值相等,那么
ac=或a∶b=c∶d,這時(shí)組成比例的四個(gè)數(shù)a,b,c,d叫做比例的bd項(xiàng),兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng),中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng).即a、d為外項(xiàng),c、b為內(nèi)項(xiàng).
2、如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說(shuō)這兩條線段的比
ABm=,其中,線段AB、CD分別叫做這兩個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng).CDnmAB
=k或AB=kCD.3、如果把表示成比值k,則
nCD
ac4、四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,即=,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,
bd(ratio)AB∶CD=m∶n,或?qū)懗珊?jiǎn)稱比例線段.
5、黃金分割的定義:在線段AB上,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果
ACBC=,那么稱線段ABABAC被點(diǎn)C黃金分割(goldensection),點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.其中AC∶AB≈0.618.
6、引理:平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.相似三角形:三角對(duì)應(yīng)相等,三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似多邊形:各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似比:相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.
二、比例的基本性質(zhì):
acac=。如果=(b,d都不為0),那么ad=bc.bdbdacabcb=2、合比性質(zhì):如果=,那么。
bdbdacma+b+ma=。3、等比性質(zhì):如果==(b+d++n≠0),那么
bdnb+d+nbacab4、更比性質(zhì):若=,那么=。
bdcdacbd5、反比性質(zhì):若=,那么=。
bdac1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么三、求兩條線段的比時(shí)要注意的問(wèn)題:
(1)兩條線段的長(zhǎng)度必須用同一長(zhǎng)度單位表示,如果單位長(zhǎng)度不同,應(yīng)先化成同一單位,再求它們的比;(2)兩條線段的比,沒(méi)有長(zhǎng)度單位,它與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān);(3)兩條線段的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以兩條線段的比值總是正數(shù).
四、相似三角形(多邊形)的性質(zhì):
1、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。2、相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有:ASA,AAS,SAS,SSS,直角三角形除此之外再加HL
六、相似三角形的判定方法:1.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;
2.兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;3.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等;
4.定義法:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
5、定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三
角形與原三角形相似。
七、在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.
1、兩個(gè)全等三角形一定相似.2、兩個(gè)等腰直角三角形一定相似.
3、兩個(gè)等邊三角形一定相似.4、兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似.
八、如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。
這個(gè)點(diǎn)叫位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比。
位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。
九、?贾R(shí)點(diǎn):1、比例的基本性質(zhì),黃金分割比,位似圖形的性質(zhì)。
2、相似三角形的性質(zhì)及判定。相似多邊形的性質(zhì)。
第五章數(shù)據(jù)的收集與處理
(1)普查的定義:這種為了一定目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查,稱為普查.
(2)總體:其中所要考察對(duì)象的全體稱為總體。
(3)個(gè)體:組成總體的每個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體
(4)抽樣調(diào)查:(samplinginvestigation):從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查,這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查.
(5)樣本(sample):其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。
(6)當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)目較多時(shí),為了節(jié)省時(shí)間、人力、物力,可采用抽樣調(diào)查.為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果,
抽樣時(shí)要注意樣本的代表性和廣泛性.還要注意關(guān)注樣本的大小.
(7)我們稱每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)。而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。
(8)數(shù)據(jù)波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)量:
極差:指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。方差:是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根。要求:識(shí)記其計(jì)算公式。一組數(shù)據(jù)的極差,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。還要知道平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù)的定義?坍嬈骄接茫浩骄鶖(shù),眾數(shù),中位數(shù)?坍嬰x散程度用:極差,方差,標(biāo)準(zhǔn)差。
常考知識(shí)點(diǎn):1、作頻數(shù)分布表,作頻數(shù)分布直方圖。2、利用方差比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。
3、平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù),極差,方差,標(biāo)準(zhǔn)差的求法。4、頻率,樣本的定義
第六章證明
一、對(duì)事情作出判斷的句子,就叫做命題.即:命題是判斷一件事情的句子。
一般情況下:疑問(wèn)句不是命題.圖形的作法不是命題.
每個(gè)命題都有條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知的事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).
一般地,命題都可以寫成“如果……,那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.要說(shuō)明一個(gè)命題是一個(gè)假命題,通?梢耘e出一個(gè)例子,使它具備命題的條件,而不具有命題的結(jié)論.這種例子稱為反例。
二、三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。
1、證明三角形內(nèi)角和定理的思路是將原三角形中的三個(gè)角“湊”到一起組成一個(gè)平角.
一般需要作輔助線.既可以作平行線,也可以作一個(gè)角等于三角形中的一個(gè)角.2、三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角是互為補(bǔ)角.
三、三角形的外角與它不相鄰的內(nèi)角關(guān)系是:
(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
四、證明一個(gè)命題是真命題的基本步驟是:(1)根據(jù)題意,畫出圖形.(2)根據(jù)條件、結(jié)論,結(jié)合圖形,寫出已知、求證.
(3)經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過(guò)程.
在證明時(shí)注意:(1)在一般情況下,分析的過(guò)程不要求寫出來(lái).
(2)證明中的每一步推理都要有根據(jù)。如果兩直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也相互平
行。
(3)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。斜邊上的高是斜邊的一半。
?贾R(shí)點(diǎn):1、三角形的內(nèi)角和定理,及三角形外角定理。
2、兩直線平行的性質(zhì)及判定。
3、命題及其條件和結(jié)論,真假命題的定義。
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第一章一元一次不等式和一元一次不等式組
一、一般地,用符號(hào)“<”(或“≤”),“>”(或“≥”)連接的式子叫做不等式。1、能使不等式成立的未知數(shù)的值,叫做不等式的解.
2、不等式的解不唯一,把所有滿足不等式的解集合在一起,構(gòu)成不等式的解集.3、求不等式解集的過(guò)程叫解不等式.
4、由幾個(gè)一元一次不等式組所組成的不等式組叫做一元一次不等式組5、不等式組的解集:一元一次不等式組各個(gè)不等式的解集的公共部分。
6、等式基本性質(zhì)1:在等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)數(shù)或整式,所得的結(jié)果仍是等式.基本性質(zhì)2:在等式的兩邊都乘以或除以同一個(gè)數(shù)(除數(shù)不為0),所得的結(jié)果仍是等式.二、不等式的基本性質(zhì)1:不等式的兩邊都加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變.
(注:移項(xiàng)要變號(hào),但不等號(hào)不變。)
性質(zhì)2:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變.性質(zhì)3:不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.
不等式的基本性質(zhì)、若a>b,則ac>bc;
、若a>b,c>0則ac>bc,若cc,則a>c
三、解不等式的步驟:1、去分母;2、去括號(hào);3、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng);4、系數(shù)化為1。五、列一元一次不等式組解實(shí)際問(wèn)題的一般步驟:
(1)審題;(2)設(shè)未知數(shù),找(不等量)關(guān)系式;(3)設(shè)元,(根據(jù)不等量)關(guān)系式列不等式(組)(4)解不等式組;檢驗(yàn)并作答。六、?碱}型:
1、求4x-6六、分解因式的方法:1、提公因式法。2、運(yùn)用公式法。第三章分式
注:1°對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.
2°分式與整式不同的是:分式的分母中含有字母,整式的分母中不含字母.
3°分式的值為零含兩層意思:分母不等于零;分子等于零。(
AB中B≠0時(shí),分式有意義;分式
AB中,當(dāng)B=0分式無(wú)意義;當(dāng)A=0且B≠0時(shí),分式的值為零。)
?贾R(shí)點(diǎn):1、分式的意義,分式的化簡(jiǎn)。2、分式的加減乘除運(yùn)算。3、分式方程的解法及其利用分式方程解應(yīng)用題。
第四章相似圖形
一、比例定義:表示兩個(gè)比相等的式子叫比例.1、如果a與b的比值和c與d的比值相等,那么
ab=cd或a∶b=c∶d,這時(shí)組成比例的四個(gè)數(shù)a,b,c,d叫做比例的
項(xiàng),兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng),中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng).即a、d為外項(xiàng),c、b為內(nèi)項(xiàng).
2、如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB、CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說(shuō)這兩條線段的比(ratio)AB∶CD=m∶n,或?qū)懗?、如果把
ABCD=mn,其中,線段AB、CD分別叫做這兩個(gè)線段比的前項(xiàng)和后項(xiàng).
mn表示成比值k,則
ABCD=k或AB=kCD.
ab=cd,那么這四條線段a,b,c,d叫做成比例線段,
4、四條線段a,b,c,d中,如果a與b的比等于c與d的比,即
簡(jiǎn)稱比例線段.
5、黃金分割的定義:在線段AB上,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果
,那么稱線段AB
ABAC被點(diǎn)C黃金分割(goldensection),點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.其中AC∶AB≈0.618.
AC=BC6、引理:平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.相似三角形:三角對(duì)應(yīng)相等,三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.相似多邊形:各角對(duì)應(yīng)相等、各邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似比:相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.
二、比例的基本性質(zhì):
1、若ad=bc(a,b,c,d都不等于0),那么
abdacabcb=2、合比性質(zhì):如果=,那么。
bdbd3、等比性質(zhì):如果4、更比性質(zhì):若5、反比性質(zhì):若
=c。如果
ab=cd(b,d都不為0),那么ad=bc.
ab===cdcdcd=mnacba(b+d++n≠0),那么
a+b+mb+d+n=ab。
abab,那么=,那么
bddc。
=。
三、求兩條線段的比時(shí)要注意的問(wèn)題:
(1)兩條線段的長(zhǎng)度必須用同一長(zhǎng)度單位表示,如果單位長(zhǎng)度不同,應(yīng)先化成同一單位,再求它們的比;(2)兩條線段的比,沒(méi)有長(zhǎng)度單位,它與所采用的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān);(3)兩條線段的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以兩條線段的比值總是正數(shù).
四、相似三角形(多邊形)的性質(zhì):
1、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例,相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)角平分線的比和對(duì)應(yīng)中線的比都等于相似比。2、相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方.
五、全等三角形的判定方法有:ASA,AAS,SAS,SSS,直角三角形除此之外再加HL
六、相似三角形的判定方法:1.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;
2.兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;3.兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等;
4.定義法:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。
5、定理:平行于三角形一邊的直線和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三
角形與原三角形相似。
七、在特殊的三角形中,有的相似,有的不相似.
1、兩個(gè)全等三角形一定相似.2、兩個(gè)等腰直角三角形一定相似.
3、兩個(gè)等邊三角形一定相似.4、兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似.
八、如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一個(gè)點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。
這個(gè)點(diǎn)叫位似中心,這時(shí)的相似比又稱為位似比。
位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比。
九、?贾R(shí)點(diǎn):1、比例的基本性質(zhì),黃金分割比,位似圖形的性質(zhì)。
2、相似三角形的性質(zhì)及判定。相似多邊形的性質(zhì)。
第五章數(shù)據(jù)的收集與處理
(1)普查的定義:這種為了一定目的而對(duì)考察對(duì)象進(jìn)行的全面調(diào)查,稱為普查.
(2)總體:其中所要考察對(duì)象的全體稱為總體。
(3)個(gè)體:組成總體的每個(gè)考察對(duì)象稱為個(gè)體
(4)抽樣調(diào)查:(samplinginvestigation):從總體中抽取部分個(gè)體進(jìn)行調(diào)查,這種調(diào)查稱為抽樣調(diào)查.
(5)樣本(sample):其中從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的一個(gè)樣本。
(6)當(dāng)總體中的個(gè)體數(shù)目較多時(shí),為了節(jié)省時(shí)間、人力、物力,可采用抽樣調(diào)查.為了獲得較為準(zhǔn)確的調(diào)查結(jié)果,
抽樣時(shí)要注意樣本的代表性和廣泛性.還要注意關(guān)注樣本的大小.
(7)我們稱每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)為頻數(shù)。而每個(gè)對(duì)象出現(xiàn)的次數(shù)與總次數(shù)的比值為頻率。
(8)數(shù)據(jù)波動(dòng)的統(tǒng)計(jì)量:
極差:指一組數(shù)據(jù)中最大數(shù)據(jù)與最小數(shù)據(jù)的差。方差:是各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)之差的平方的平均數(shù)。
標(biāo)準(zhǔn)差:方差的算術(shù)平方根。要求:識(shí)記其計(jì)算公式。一組數(shù)據(jù)的極差,方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小,這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定。還要知道平均數(shù),眾數(shù),中位數(shù)的定義?坍嬈骄接茫浩骄鶖(shù),眾數(shù),中位數(shù)?坍嬰x散程度用:極差,方差,標(biāo)準(zhǔn)差。
?贾R(shí)點(diǎn):1、作頻數(shù)分布表,作頻數(shù)分布直方圖。2、利用方差比較數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性。
3、平均數(shù),中位數(shù),眾數(shù),極差,方差,標(biāo)準(zhǔn)差的求法。4、頻率,樣本的定義
第六章證明
一、對(duì)事情作出判斷的句子,就叫做命題.即:命題是判斷一件事情的句子。
一般情況下:疑問(wèn)句不是命題.圖形的作法不是命題.
每個(gè)命題都有條件(condition)和結(jié)論(conclusion)兩部分組成.條件是已知的事項(xiàng),結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).
一般地,命題都可以寫成“如果……,那么……”的形式.其中“如果”引出的部分是條件,“那么”引出的部分是結(jié)論.要說(shuō)明一個(gè)命題是一個(gè)假命題,通?梢耘e出一個(gè)例子,使它具備命題的條件,而不具有命題的結(jié)論.這種例子稱為反例。
二、三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180度。
1、證明三角形內(nèi)角和定理的思路是將原三角形中的三個(gè)角“湊”到一起組成一個(gè)平角.
一般需要作輔助線.既可以作平行線,也可以作一個(gè)角等于三角形中的一個(gè)角.2、三角形的外角與它相鄰的內(nèi)角是互為補(bǔ)角.
三、三角形的外角與它不相鄰的內(nèi)角關(guān)系是:
(1)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.(2)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.
四、證明一個(gè)命題是真命題的基本步驟是:(1)根據(jù)題意,畫出圖形.(2)根據(jù)條件、結(jié)論,結(jié)合圖形,寫出已知、求證.
(3)經(jīng)過(guò)分析,找出由已知推出求證的途徑,寫出證明過(guò)程.
在證明時(shí)注意:(1)在一般情況下,分析的過(guò)程不要求寫出來(lái).
(2)證明中的每一步推理都要有根據(jù)。如果兩直線都和第三條直線平行,那么這兩條直線也相互平
行。
(3)所對(duì)的直角邊是斜邊的一半。斜邊上的高是斜邊的一半。
?贾R(shí)點(diǎn):1、三角形的內(nèi)角和定理,及三角形外角定理。
2、兩直線平行的性質(zhì)及判定。
3、命題及其條件和結(jié)論,真假命題的定義。
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