導(dǎo)數(shù)高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(最全)
導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及應(yīng)用
●知識(shí)點(diǎn)歸納一、相關(guān)概念1.導(dǎo)數(shù)的概念
函數(shù)y=f(x),如果自變量x在x0處有增量x,那么函數(shù)y相應(yīng)地有增量y=f(x0+x)-f(x0),比值化率,即
y叫做函數(shù)y=f(x)在x0到x0+x之間的平均變xyf(x0x)f(x0)y=。如果當(dāng)x0時(shí),有極限,我們就說(shuō)函
xxx數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),并把這個(gè)極限叫做f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f’(x0)或y’|xx0。即f(x0)=lim說(shuō)明:
(1)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo),是指x0時(shí),極限,就說(shuō)函數(shù)在點(diǎn)x0處不可導(dǎo),或說(shuō)無(wú)導(dǎo)數(shù)。
(2)x是自變量x在x0處的改變量,x0時(shí),而y是函數(shù)值的改變量,可以是零。
由導(dǎo)數(shù)的定義可知,求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的步驟:①求函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0);②求平均變化率
yf(x0x)f(x0)=;
xxf(x0x)f(x0)y=lim。
xxx0x0yy有極限。如果不存在xxy。
x0x例:設(shè)f(x)=x|x|,則f′(0)=.
f(0x)f(0)f(x)|x|x[解析]:∵limlimlimlim|x|0
x0x0x0x0xxx③取極限,得導(dǎo)數(shù)f’(x0)=lim∴f′(0)=0
2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)p(x0,f(x0))處的切線(xiàn)的斜率。也就是說(shuō),曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)p(x0,f(x0))處的切線(xiàn)的
1/斜率是f’(x0)。相應(yīng)地,切線(xiàn)方程為y-y0=f(x0)(x-x0)。例:在函數(shù)yx38x的圖象上,其切線(xiàn)的傾斜角小于
/點(diǎn)的個(gè)數(shù)是A.3B.2C.1
3.導(dǎo)數(shù)的物理意義
如果物體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律是s=s(t),那么該物體在時(shí)刻t的瞬間速度v=s(t)。如果物體運(yùn)動(dòng)的速度隨時(shí)間的變化的規(guī)律是v=v(t),則該物體在時(shí)刻t的加速度a=v′(t)。
例。汽車(chē)經(jīng)過(guò)啟動(dòng)、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車(chē),若把這一過(guò)程中汽車(chē)的行駛路程s看作時(shí)間t的函數(shù),其圖像可能是()
ssss的點(diǎn)中,坐標(biāo)為整數(shù)的4()
D.0
OA.
tOB.
tOC.
tOD.
t練習(xí):已知質(zhì)點(diǎn)M按規(guī)律s2t23做直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)(位移單位:cm,時(shí)間單位:s)。
s;ts(2)當(dāng)t=2,t0.001時(shí),求;
t(3)求質(zhì)點(diǎn)M在t=2時(shí)的瞬時(shí)速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1.基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:
(1)當(dāng)t=2,t0.01時(shí),求
①C0;(C為常數(shù))②xnnxn1;③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;⑤(ex)ex;⑥(ax)axlna;
1⑦lnx;
x1⑧l(xiāng)ogaxlogae.
x2/例1:下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是()
111A.(x+)12B.(log2x)′=
xxln2xxx2
C.(3)′=3log3eD.(xcosx)′=-2xsinx
例2:設(shè)f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x),f2(x)=f1′(x),…,fn+1(x)=fn′(x),n∈N,則f201*(x)=()
A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx[解析]:f0(x)=sinx,f1(x)=f0′(x)=cosx,f2(x)=f1′(x)=-sinx,
f3(x)=f2′(x)=-cosx,f4(x)=f3′(x)=sinx,循環(huán)了則f201*(x)=f1(x)=cosx
2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
法則1:兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差),即:(uv)"u"v".
法則2:兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè)
函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即:(uv)"u"vuv".
若C為常數(shù),則(Cu)"C"uCu"0Cu"Cu".即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(Cu)"Cu".
法則3:兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù),等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積,減去分母的導(dǎo)數(shù)與
u"vuv"u分子的積,再除以分母的平方:(v0)。2vv例:設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)g(x)f(x)g(x)>0.且g(3)=0.則不等式f(x)g(x)<0的解集是()
A.(-3,0)∪(3,+∞)B.(-3,0)∪(0,3)C.(-∞,-3)∪(3,+∞)D.(-∞,-3)∪(0,3)
3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
形如y=f(x)的函數(shù)稱(chēng)為復(fù)合函數(shù)。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟:分解>求導(dǎo)>回代。
法則:y'|X=y'|Uu'|X或者f[(x)]f()*(x).練習(xí):求下列各函數(shù)的導(dǎo)數(shù):(1)y3/6
xx5sinxx2;(2)y(x1)(x2)(x3);x(3)ysinx12cos2;(4)y2411x11x.
三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用
1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)
(1)設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間(a,b)可導(dǎo),如果f"(x)0,則f(x)在此區(qū)間上為增函數(shù);如果f"(x)0,則f(x)在此區(qū)間上為減函數(shù)。(2)如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f"(x)0,則f(x)為常數(shù)。例:函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為
()A.(2,)B.(,2)C.(,0)D.(0,2)
2.極點(diǎn)與極值:
曲線(xiàn)在極值點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率為0,極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為0;曲線(xiàn)在極大值點(diǎn)左側(cè)切線(xiàn)的斜率為正,右側(cè)為負(fù);曲線(xiàn)在極小值點(diǎn)左側(cè)切線(xiàn)的斜率為負(fù),右側(cè)為正;例:函數(shù)f(x)x3ax23x9,已知f(x)在x3時(shí)取得極值,則a=()A.2B.33.最值:
C.4
D.5
在區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值。但在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù)函數(shù)f(x)不一定有最大值,例如f(x)x3,x(1,1)。(1)函數(shù)的最大值和最小值是一個(gè)整體性的概念,最大值必須是整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最大值,最小值必須在整個(gè)區(qū)間上所有函數(shù)值中的最小值。
(2)函數(shù)的最大值、最小值是比較整個(gè)定義區(qū)間的函數(shù)值得出來(lái)的,函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附件的函數(shù)值得出來(lái)的。函數(shù)的極值可以有多有少,但最值只有一個(gè),極值只能在區(qū)間內(nèi)取得,最值則可以在端點(diǎn)取得,有極值的未必有最值,有最值的未必有極值,極值可能成為最值,最值只要不在端點(diǎn)處必定是極值。例:函數(shù)f(x)x33x1在閉區(qū)間[-3,0]上的最大值、最小值分別是.●經(jīng)典例題選講
例1.已知函數(shù)yxf(x)的圖象如圖所示(其中f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),下面四個(gè)圖象中yf(x)的圖象大致是()
4/
例2.設(shè)f(x)ax3x恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間,試確定a的取值范圍,并求其單調(diào)區(qū)間。
例3.已知函數(shù)f(x)x3bx2axd的圖象過(guò)點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)M(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為6xy70.(Ⅰ)求函數(shù)yf(x)的解析式;(Ⅱ)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間.
例4.設(shè)函數(shù)fxx3bx2cx(xR),已知g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)。(Ⅰ)求b、c的值。(Ⅱ)求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。
2例5.已知f(x)=x3ax2bxc在x=1,x=時(shí),都取得極值。
3(1)求a、b的值。
1(2)若對(duì)x[1,2],都有f(x)恒成立,求c的取值范圍。
c例6.已知x1是函數(shù)f(x)mx33(m1)x2nx1的一個(gè)極值點(diǎn),其中
m,nR,m0,
(I)求m與n的關(guān)系式;(II)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(III)當(dāng)x1,1時(shí),函數(shù)yf(x)的圖象上任意一點(diǎn)的切線(xiàn)斜率恒大于3m,求m的取值范圍.
例7:已知函數(shù)f(x)(x2ax2a23a)ex(xR),其中aR
(1)當(dāng)a0時(shí),求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)的斜率;(2)當(dāng)a5/6
2時(shí),求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。(3)本小題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算、利用導(dǎo)數(shù)研究
函數(shù)的單調(diào)性與極值等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力及分類(lèi)討論的思想方法。滿(mǎn)分12分。
解:(I)當(dāng)a0時(shí),f(x)x2ex,f"(x)(x22x)ex,故f"(1)3e.
所以曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)的斜率為3e.
(II)f"(x)x2(a2)x2a24aex.
令f"(x)0,解得x2a,或xa2.由a2知,2aa2.3以下分兩種情況討論。
2(1)若a>,則2a<a2.當(dāng)x變化時(shí),f"(x),f(x)的變化情況如下表:
3x,2a+2a0極大值2a,a2a20極小值a2,+所以f(x)在(,2a),(a2,)內(nèi)是增函數(shù),在(2a,a2)內(nèi)是減函數(shù).
函數(shù)f(x)在x2a處取得極大值f(2a),且f(2a)3ae2a.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m函數(shù)f(x)在xa2處取得極小值f(a2),且f(a2)(43a)ea2.
(2)若a<
2,則2a>a2,當(dāng)x變化時(shí),f"(x),f(x)的變化情況如下表:3x,a2+a20極大值a2,2a2a0極小值2a,+所以f(x)在(,a2),(2a,)內(nèi)是增函數(shù),在(a2,2a)內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)f(x)在xa2處取得極大值f(a2),且f(a2)(43a)ea2.
6/6
擴(kuò)展閱讀:高考復(fù)習(xí)文科導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)
一.考綱要求
考試內(nèi)容8A導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc,yx,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用yx2要求層次BC√△√,y1x√的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)公式表◇導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次)函數(shù)的極值、最值(其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過(guò)三次)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題√√☆√☆√√二.知識(shí)點(diǎn)
1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義:
函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線(xiàn)的斜率,也就是說(shuō),曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線(xiàn)的斜率是f"(x0),切線(xiàn)方程為
yy0f(x)(xx0).
"2.、幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
"n"n1""①C0;②(x)nx;③(sinx)cosx;④(cosx)sinx;
⑤(a)alna;⑥(e)e;⑦(log3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
x"xx"xax)"1xlna";⑧(lnx)1x
(v0).(1)(uv)uv.(2)(uv)uvuv.(3)()2vv4.極值的判別方法:(極值是在x0附近所有的點(diǎn),都有f(x)<f(x0),則f(x0)是函數(shù)f(x)的
""""""u"uvuv""極大值,極小值同理)當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí),
①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)>0,右側(cè)f"(x)<0,那么f(x0)是極大值;②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)<0,右側(cè)f"(x)>0,那么f(x0)是極小值.
也就是說(shuō)x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào),而不是f"(x)=0①.此外,函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然,極值是一個(gè)局部概念,極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的,即有可能極大值比極小值小(函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同).
注①:若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn),則f"(x)=0.但反過(guò)來(lái)不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù),其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo),則導(dǎo)數(shù)值為零.例如:函數(shù)yf(x)x3,x0使f(x)"=0,但x0不是極值點(diǎn).
是函數(shù)的極小值點(diǎn).
②例如:函數(shù)yf(x)|x|,在點(diǎn)x0處不可導(dǎo),但點(diǎn)x0極值與最值區(qū)別:極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較,最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.5.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性
(1)一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo),如果f′(x)>0,則f(x)為增函數(shù);如果f′(x)<0,則f(x)為減函數(shù);如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0,則f(x)為常數(shù);(2)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)來(lái)說(shuō),f′(x)>0是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件,f′(x)<0是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件;(3)利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟:
①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x);②令f′(x)>0解不等式,得x的范圍,就是遞增區(qū)間;③令f′(x)<0解不等式,得x的范圍,就是遞增區(qū)間。
友情提示:本文中關(guān)于《導(dǎo)數(shù)高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(最全)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,導(dǎo)數(shù)高考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(最全):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
來(lái)源:網(wǎng)絡(luò)整理 免責(zé)聲明:本文僅限學(xué)習(xí)分享,如產(chǎn)生版權(quán)問(wèn)題,請(qǐng)聯(lián)系我們及時(shí)刪除。