高中數(shù)學知識點總結_導數(shù)的應用

導數(shù)的應用、復數(shù)

1.用導數(shù)研究函數(shù)的單調性。yf(x)在區(qū)間(a,b)內可導，若f"(x)>0，則yf(x)在

(a,b)上遞增;若f"(x)[鞏固2設f(x)是函數(shù)f(x)的導函數(shù)，將yf(x)和yf(x)的圖象畫在同一個直角坐標系中，不可能正確的是（）（07浙江理8）

OA．

xOB．

xOC．

xOD．

xyyyy

//

[鞏固3]函數(shù)f(x)、g(x)在R上可導，且f(x)>g(x),若a>b，則（）A．f(a)>g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①

2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3當時，f"(x)3x26x33(x1)20，此時函數(shù)f(x)無極值，舍去；b3當a4b11時f/(x)3x28x11，函數(shù)f(x)在x1處左減右增，有極小值；

此時∴f(2)18。注：在解決“已知函數(shù)的極值點求參變量”的問題時，為避免“增根”，需將求出的參變量的值代入f/(x)檢驗其是否為完全平方式，若是則函數(shù)無極值（單調），否則有極值；也可以對f/(x)再次求導，看f為負則有極大值。

[鞏固1]已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間(,0),(1,)上是減函數(shù),又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在區(qū)間[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,

//為0則無極值，為正則有極小值，(x0)的值，

求m的取值范圍.

[舉例2]設函數(shù)f(x)ax2blnx，其中ab0．證明：當ab0時，函數(shù)f(x)沒有極值點；當ab0時，函數(shù)f(x)有且只有一個極值點，并求出極值．（07高考山東文21）3.求yf(x)在閉區(qū)間內的最值的步驟：（1）求導數(shù)f"(x)（2）求導數(shù)方程f"(x)=0的根（3）檢查f"(x)在根的左右值的符號，列表求得極值；也可通過解不等式f"(x)≥0及再確定函數(shù)的極值；最后將極值與f"(x)≤0確定函數(shù)yf(x)在給定區(qū)間內的單調情況，區(qū)間端點的函數(shù)值比較以確定最值。

32[舉例1]設函數(shù)f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2時取得極值．

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范圍．

2解析：（Ⅰ）f(x)6x6ax3b，由f(1)0，f(2)0．解得a3，b4．

222（Ⅱ）f(x)c在[0，3]上恒成立即cfmax(x)，x[0，3]

由（Ⅰ）可知，f(x)2x9x12x8c，f(x)6x18x126(x1)(x2)．當x(0，1)時，f(x)0；當x(1，2)時，f(x)0；當x(2，3)時，f(x)0．

3即f(x)在[0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當x1時，f(x)取得極大值

3時，f(x)的最大值為f(3)98c．f(1)58c，又f(3)98c．故當x0，于是有：98cc2，解得c1或c9，因此c的取值范圍為(，1)(9，)。[舉例2]已知定義在正實數(shù)集上的函數(shù)f(x)12x2ax，g(x)3alnxb，其中

22a0．設兩曲線yf(x)，yg(x)有公共點，且在該點處的切線相同．用a表示b，

并求b的最大值；

解析：設yf(x)與yg(x)(x0)在公共點(x0，y0)處的切線相同．

3ax2∵f(x)x2a，g(x)，由題意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)．

122x2ax3alnx0b，00223a即由x02a得：x0a，或x03a（舍去）．23ax0x2a，0x0即有b1252a2a3alna22252a3alna．

122令h(t)t3tlnt(t0)，則h()t2(1t3nl)t22．于是當t(13lnt)0，即0te31時，h(t)0；當t(13lnt)0，即te時，h(t)0．故h(t)在0，e3為增函數(shù)，

131213∞為減函數(shù)，∴h(t)在(0，在e3，∞)的最大值為he3e3．2[鞏固1]設函數(shù)f(x)ln(2x3)x，求f(x)在區(qū)間，的最大值和最小值．

44231[鞏固2]已知函數(shù)f(x)ax6axb，其圖象為曲線C

（1）直線l:y=x+1與曲線C相切于x軸上一點，求的a、b的值

（2）是否存在實數(shù)a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值為3，最小值為-29。若存在，求出a、b的值，并指出函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間；若不存在，請說明理由。

324．復數(shù)包括實數(shù)和虛數(shù)，實數(shù)是虛部為0的復數(shù)；-1的“平方根”為i，i=-1，ii，

32i=1，(1i)2i；復數(shù)運算遵循有理式的運算法則；復數(shù)的商一般將分母“實數(shù)化”

（分子分母同乘分母的共扼復數(shù)）；兩個虛數(shù)不能比較大小；兩個復數(shù)相等當且僅當它們的實部相等，虛部也相等；復數(shù)abi（a∈R，b∈R）在復平面內唯一對應點（a，b）。[舉例1]設a是實數(shù)，且A．

12a1i1i2322是實數(shù)，則a（）

D．2

a1(1a)i2

a1iB．1

1i2C．

=

解析：=

a(1i)21i∈R，則a1

[舉例2]已知a，bR，且2ai,bi（i是虛數(shù)單位）是實系數(shù)一元二次方程

x2pxq0的兩個根，那么p，q的值分別是（）AＡ．p4，q5Ｃ．p4，q5解析：分別將2ai,2

Ｂ．p4，q3Ｄ．p4，q3

2bi代入方程得：(2ai)p(2ai)q0①

(bi)p(bi)q0②對①②整理得：

2pqa240(p4)a0；解得：p4，q5。本題也可以用“韋達定理”求解：2pbqb10p2b02aibip③，(2ai)(bi)q④對③④整理得：

2bpa1a10b2。2baqp4ab20q5[鞏固1]在復平面內，復數(shù)z=

12i對應的點位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限[鞏固2]設復數(shù)z滿足A．2i

12izi，則z（）

B．2iC．2iD．2i答案

1、[鞏固1]a2，[鞏固2]D，[鞏固3]D，2、[鞏固1]f(x)2x33x2．0m≤12．

[鞏固2]；3、[鞏固1]f17171[鞏固2]（1）a=,b=(2)a=2，b=3f(x)在(-1,0)ln15152416上單調遞增;a=-2，b=-29f(x)在(0、2)上單調遞增。4、[鞏固1]D，[鞏固2]C

擴展閱讀：高中數(shù)學人教版選修2-2導數(shù)及其應用知識點總結

數(shù)學選修2-2導數(shù)及其應用知識點必記

1．函數(shù)的平均變化率是什么？答：平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2、導函數(shù)的概念是什么？

答：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是limf(x0x)f(x0)y，則稱limx0xx0x函數(shù)yf(x)在點x0處可導，并把這個極限叫做yf(x)在x0處的導數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均變化率和導數(shù)的幾何意義是什么？

答：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。

4導數(shù)的背景是什么？

答：（1）切線的斜率；（2）瞬時速度；（3）邊際成本。5、常見的函數(shù)導數(shù)和積分公式有哪些？函數(shù)導函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見的導數(shù)和定積分運算公式有哪些？答：若fx，gx均可導（可積），則有：和差的導數(shù)運算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導數(shù)運算特別地：Cfx"Cf"x商的導數(shù)運算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地："2gxgx復合函數(shù)的導數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的積分運算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地：積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間的步驟是什么？答：①求函數(shù)f(x)的導數(shù)f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)8.利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在a,b上的極值；

⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。

注：實際問題的開區(qū)間唯一極值點就是所求的最值點；9．求曲邊梯形的思想和步驟是什么？

答：分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質有哪些？

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質：性質1

1dxba

ababbbbb性質5若f(x)0,xa,b，則f(x)dx0

①推廣：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種？

答：定積分的值可能取正值，也可能取負值，還可能是0.

(l）當對應的曲邊梯形位于x軸上方時，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；

（2）當對應的曲邊梯形位于x軸下方時，定積分的值取負值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；

（3）當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．

12．物理中常用的微積分知識有哪些？答：（1）位移的導數(shù)為速度，速度的導數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

數(shù)學選修2-2推理與證明知識點必記

13.歸納推理的定義是什么？答：從個別事實中推演出一般性的結論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。．．．．．．．歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。．．．．14.歸納推理的思維過程是什么？答：大致如圖：

實驗、觀察概括、推廣猜測一般性結論15.歸納推理的特點有哪些？

答：①歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結論具有猜測的性質，結論是否真實，還需經過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸納推理的猜想，可以作為進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16.類比推理的定義是什么？

答：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.類比推理的思維過程是什么？答：

觀察、比較聯(lián)想、類推推測新的結論18.演繹推理的定義是什么？

答：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格的邏輯法則得到新結論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演繹推理的主要形式是什么？答：三段論20.“三段論”可以表示為什么？

答：①大前題：M是P②小前提：S是M③結論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個一般性的原理；②是小前提，它指出了一個特殊對象；③是結論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21.什么是直接證明？它包括哪幾種證明方法？

答：直接證明是從命題的條件或結論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結論的真實性。直接證明包括綜合法和分析法。22.什么是綜合法？

答：綜合法就是“由因導果”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結論。23.什么是分析法？答：分析法就是從所要證明的結論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。

要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結合使用，不要將它們割裂開。24什么是間接證明？

答：即反證法：是指從否定的結論出發(fā)，經過邏輯推理，導出矛盾，證實結論的否定是錯誤的，從而肯定原結論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟是什么？

答：（1）假設命題結論不成立，即假設結論的反面成立；

（2）從假設出發(fā)，經過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。．．．26常見的“結論詞”與“反義詞”有哪些？原結論詞反義詞原結論詞至少有一個至多有一個至少有n個至多有n個一個也沒有至少有兩個至多有n-1個至少有n+1個對任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對所有的x都成立存在x使不成立27.反證法的思維方法是什么？答：正難則反．．．．

28.如何歸繆矛盾？

答：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．數(shù)學歸納法（只能證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題）的步驟是什么？．．．nnN答：(1)證明：當n取第一個值時命題成立；00．．．．(2)假設當n=k(k∈N*，且k≥n0)時命題成立，證明當n=k+1時命題也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確性的證明。

數(shù)學選修2-2數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念知識點必記

30.復數(shù)的概念是什么？答：形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫實部，b叫虛部，數(shù)集．．．．

Cabi|a,bR叫做復數(shù)集。

規(guī)定：abicdia=c且，強調：兩復數(shù)不能比較大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

實數(shù)(b0)31．數(shù)集的關系有哪些？答：復數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復數(shù)的幾何意義是什么？答：復數(shù)與平面內的點或有序實數(shù)對一一對應。

33.什么是復平面？

答：根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)zabi，都可以由一個有序實數(shù)對

(a,b)唯一確定。由于有序實數(shù)對(a,b)與平面直角坐標系中的點一一對應，因此

復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立一一對應。這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面，x軸叫做實軸，y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)。34.如何求復數(shù)的模(絕對值)？答：與復數(shù)z對應的向量OZ的模r叫做復數(shù)zabi的模(也叫絕對值)記作

z或abi。由模的定義可知：zabia2b2

35.復數(shù)的加、減法運算及幾何意義是什么？

答：①復數(shù)的加、減法法則：z1abi與z2cdi，則z1z2ac(bd)i。

注：復數(shù)的加、減法運算也可以按向量的加、減法來進行。．．②復數(shù)的乘法法則：(abi)(cdi)acbdadbci。③復數(shù)的除法法則：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實數(shù)化因子36.什么是共軛復數(shù)？

答：兩復數(shù)abi與abi互為共軛復數(shù)，當b0時，它們叫做共軛虛數(shù)。

常見的運算規(guī)律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根，則10，2(9)設

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