高中數(shù)學(xué)公式總結(jié)(文)
高中數(shù)學(xué)常用公式及結(jié)論考前過目(文)
1.元素與集合的關(guān)系xAxCUA,xCUAxA.2.包含關(guān)系A(chǔ)BAABBABCUBCUA
3.集合{a1,a2,,an}的子集共有2個(gè);真子集有21個(gè);非空子集有21個(gè).
4.二次函數(shù)解析式的三種形式:(1)一般式f(x)2axnnnbx(;(2)c0a)頂點(diǎn)式
f(x)a(x2h);(3)f(x)a(xx1)(xx2)(a0).k(a0零點(diǎn)式)5.二次函數(shù)f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間p,q上的最值只能在xb處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得。2a6.定區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式恒成立的條件依據(jù)
(1)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間L(形如,,,,,不同)上含參數(shù)的二次不等式
f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(x,t)min0(xL).
(2)在給定區(qū)間(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(x,t)0(t為參數(shù))恒成立的充要條件是
.f(x,t)man0(xL)7.真值表pq非pp或qp且q真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假8.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論反設(shè)詞是不是都是不都是大于不大于小于不小于對所有x,成立存在某x,不成立對任何x,不成立
9.四種命題的相互關(guān)系
原命題互逆逆命題若p則q若q則p互互互為為互否否逆逆(互為逆否的兩命題真值相同)否否否命題逆否命題若非p則非q互逆若非q則非p10.充要條件
(1)充分條件:若pq,則p是q充分條件.(2)必要條件:若qp,則p是q必要條件.
注:如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件;反之亦然.11.函數(shù)的單調(diào)性
函數(shù)yf(x)在某區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果f(x)0,則f(x)為增函數(shù);如果f(x)0,則f(x)為減函數(shù).12.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;13.若函數(shù)yf(xa)是偶函數(shù),則f(xa)f(xa).
14.對于函數(shù)yf(x)(xR),f(xa)f(bx)恒成立,則函數(shù)f(x)的對稱軸是函數(shù)x存在某x,成立原結(jié)論至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)p或q反設(shè)詞一個(gè)也沒有至少有兩個(gè)至多有(n1)個(gè)至少有(n1)個(gè)p且qp且qp或qab;2第1頁
15.若f(x)f(xa),則函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(,0)對稱;若f(x)f(xa),則函數(shù)
a2yf(x)為周期為2a的周期函數(shù).
16.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)anxnan1xn1a0的奇偶性
多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是奇函數(shù)P(x)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.多項(xiàng)式函數(shù)P(x)是偶函數(shù)P(x)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
17.函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線xa對稱f(ax)f(ax)f(2ax)f(x).18.(1)函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線x0(即y軸)對稱.
(3)函數(shù)yf(x)和其反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
19.若將函數(shù)yf(x)的圖象右移a、上移b個(gè)單位,得到函數(shù)yf(xa)b的圖象.20.(1)f(x)f(xa),則f(x)的周期T=a;(2)f(xa)則f(x)的周期T=2a;
11或f(xa)(f(x)0),(f()x0)f(x)f(x),
am22.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式logaNbabN(a0,a1,N0).
23.對數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a>0,a≠1,M>0,N>0,則(1)loga(MN)logaMlogaN;(2)MlogmNlogalogaMlogaN;(3)logaMnnlogaM(nR).(4)logaN
Nlogma24.等差數(shù)列與等比數(shù)列公式及性質(zhì):等差數(shù)列等比數(shù)列公式定義an1and(定義式)通項(xiàng)公式前n項(xiàng)和公式21.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)amn1n(a0,m,nN,且n1).
anqan1作用:這是證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列的“唯一”方法(呵呵,我怎么敢這么說)!ana1(n1)d(d=0為常數(shù)列,d0為“n”的一次函數(shù))ana1qn1(aan)nn(n1)dsn1na122(關(guān)于“n”的二次式,常數(shù)項(xiàng)為0)a1(1qn)sn,(q1)1q(“q”的系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)互為相反數(shù))n性質(zhì)①②2ana1a2n1a2a2n2(等差中項(xiàng))ana1a2n1a2a2n2m,n,p,qN*amanapaqmnpq“中項(xiàng)”是靈活的核心!2m,n,p,qN*amanapaqmnpqs2n1(2n1)ansn,s2nsn,s3ns2n成等差數(shù)列③④25.幾個(gè)求通項(xiàng)公式的方法、幾個(gè)求和方法:①已知“sn”求“an”的方法:a1s1單獨(dú)求,n2時(shí)ansnsn1,然后再來個(gè)“綜上”。(注:式子;ansnsn1其實(shí)常用來實(shí)現(xiàn)“sn”與“an”的互相轉(zhuǎn)化,即留下“an”把“sn”消掉或反之)
第2頁
②已知“anan1f(n)”求“an”:累加a1a1,a2a1f(1),a3a2f(2),,anan1f(n);③已知“anan1f(n)”求“an”:疊乘;
④已知“anAan1B”求“an”:構(gòu)造等比數(shù)列anx;(其中x由假設(shè)anxA(an1x)與原式比較得到,可推出xB。〢1⑤裂項(xiàng)相消求前n項(xiàng)和:用于數(shù)列1,其中涉及的數(shù)列an是公差為d的的求和(這兩年考試k=1)
aann1等差數(shù)列;方法:
1111()。
anan1danan1⑥錯(cuò)位相減求前n項(xiàng)和:用于數(shù)列anbn的求和,其中涉及的數(shù)列an是公差為d的等差數(shù)列,數(shù)列bn是公比為q的等比數(shù)列;方法:sa1b1a2b2a3b3anbn
與(上式兩邊同乘以q得)qsa1b2a2b3an1bnanbn1兩式相減(注意錯(cuò)位對齊)。26.三角公式:
誘導(dǎo)公式:sinsinsin(k)cos2cos“奇變偶不變,符號看向限”輔助角公式:例:sinx3cosx2sin(xsinxcosxsin()sincoscossincos()coscoscoscos二倍角公式:sin22sincoscos2cos2sin2tantantan()1tantan12sin22cos12“降冪”公式:(就是二倍角公式逆用)3)sin2x)427.三角函數(shù)yAsin(x),A0,0的性質(zhì)定義域:R;值域:奇偶性2sin(x1(1cos2x)21cos2x(1cos2x)2A,A的整數(shù)倍2一般沒有,除非是周期性由2kT=2增區(qū)間減區(qū)間23x2k由2k22由sin(x)2x2k解得解得對稱軸1解得0解得第3頁
對稱中心由sin(x)
28.函數(shù)ytan(x),(ω>0)的周期T29.正弦定理
.abc1112R.面積定理SabsinCbcsinAcasinBsinAsinBsinC22222222222230.余弦定理abc2bccosA;bca2cacosB;cab2abcosC.31.在△ABC中,有ABCC(AB)
32.平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2,使得a=λ1e1+λ2e2.不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.33.向量平行的坐標(biāo)表示:設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),且b0,則a//bb=ax1y2x2y10.34.a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積):ab=|a||b|cosθ=x1x2y1y2.35.b在a的方向上的投影|b|cosθ.
36.設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則ABOBOA(x2x1,y2y1).
2237.平面兩點(diǎn)間的距離公式dA,B=|AB|ABAB(x2x1)(y2y1);
38.向量的垂直:ab(a0)ab=0x1x2y1y20.
39.O為ABC的重心OAOBOC0.
2240.常用不等式:(1)a,bRab2ab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號).
abab(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號).(2)a,bR2yy141.斜率公式k2,(P1(x1,y1)、P2(x2,y2)).
x2x142.直線的五種方程
(1)點(diǎn)斜式y(tǒng)y1k(xx1)(直線l過點(diǎn)P1(x1,y1),且斜率為k).(2)斜截式y(tǒng)kxb(b為直線l在y軸上的截距).
xy1(a、b分別為直線的橫、縱截距,a、b0)ab(5)一般式AxByC0(其中A、B不同時(shí)為0).
(4)截距式
43.兩條直線的平行和垂直
(1)若l1:yk1xb1,l2:yk2xb2則①l1||l2k1k2,b1b2;②l1l2k1k21.(2)若l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,且A1、A2、B1、B2都不為零,
A1B1C1;②
l1l2A1A2B1B20;A2B2C2|Ax0By0C|44.點(diǎn)到直線的距離d(點(diǎn)P(x0,y0),直線l:AxByC0).
22AB222222245.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)(yb)r.一般方程xyDxEyF0(DE4F>0).
則①l1||l2x2y2n46.雙曲線221的漸近線方程:yx.
mmnykxb2247.直線與圓錐曲線相交,由方程,弦長公式AB(1k)[(x1x2)4x1x2]
F(x,y)0a//ba,b//48.立體幾何常用定理:①線面平行ba//;面面平行:abO//;;④線a//;③
aaa//,b//a,baa線垂直:;⑤線面垂直:;;;⑥面面垂直:ababOlabla,lb;
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49.球的半徑是R,則其體積V4R3,其表面積S4R2.350.(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.(2)球與正四面體的組合體:棱長為a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為51.V柱體66a,外接球的半徑為a.12411Sh(S是柱體的底面積、h是柱體的高).V錐體Sh(S是錐體的底面積、h是錐體的高).33m52.等可能性事件的概率P(A).
n22253.方差Dx1Ep1x2Ep2xnEpn;標(biāo)準(zhǔn)差=D.
f(x0x)f(x0)ylim.xx0x0xx0xyf(xx)f(x)lim55.f(x)在xa的導(dǎo)數(shù)f(a)lim.
x0xx0x56.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義:函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)是曲線yf(x)在P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0),相應(yīng)的切線方程是yy0f(x0)(xx0).
54.f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)(或變化率或微商)f(x0)ylim57.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)
(1)C0(C為常數(shù)).(2)(xn)"nxn1(nQ).(3)(sinx)cosx.(4)(cosx)sinx.(5)(lnx)11exxxxx;(loga)loga.(6)(e)e;(a)alna.xx""""""58.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
u"u"vuv"(v0).(1)(uv)uv.(2)(uv)uvuv.(3)()vv259.判別f(x0)是極大(小)值的方法
(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,則f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,則f(x0)是極小值.60.復(fù)數(shù)的相等abicdiac,bd.(a,b,c,dR)
61.復(fù)數(shù)zabi的模(或絕對值)|z|=|abi|=a2b2.62.總體.個(gè)體.樣本.樣本容量;抽樣方法:①簡單隨機(jī)抽樣②分層抽樣(用于個(gè)體有明顯差異時(shí),“按比例抽取”).③系統(tǒng)抽樣;④共同點(diǎn):每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等。
63.線性規(guī)劃:畫圖;找到表達(dá)式(幾何意義:截距或斜率或距離?)取得最值的點(diǎn)。64.程序框圖:前三圈后三圈親自轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)。
出門裝備:回2戒指、樹枝(1)、遠(yuǎn)古祭祀(2)。早期1裝備:回復(fù)頭巾、虛無寶石(優(yōu)先)、藝人面罩、法師長袍、樹枝(1)、鞋;早期2裝備:梅肯(優(yōu)先)、空明杖、虛無寶石、鞋;中期1裝備:梅肯、振魂石、空明杖、虛無寶石、鞋;中期2裝備:梅肯、A杖、空明杖、虛無寶石、鞋;中期3裝備:跳刀、A杖、梅肯、空明杖、鞋、虛無寶石;后期1裝備:跳刀、A杖、梅肯、堅(jiān)韌球、鞋、空明杖;后斯2裝備:跳刀、A杖、梅肯、刷新球、鞋;后期3裝備:跳刀、A杖、梅肯、飛鞋、不死盾(優(yōu)先)。
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高中數(shù)學(xué)公式結(jié)論大全
1.,.2..
3.4.集合
個(gè).
的子集個(gè)數(shù)共有個(gè);真子集有個(gè);非空子集有個(gè);非空的真子集有
5.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式
;(2)頂點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)時(shí),設(shè)為此式
(3)零點(diǎn)式;當(dāng)已知拋物線與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí),設(shè)為此式
4切線式:設(shè)為此式6.解連不等式
。當(dāng)已知拋物線與直線相切且切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為時(shí),
常有以下轉(zhuǎn)化形式
.7.方程在內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)根,等價(jià)于或。
8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值
二次函數(shù)具體如下:
在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點(diǎn)處取得,(1)當(dāng)a>0時(shí),若,則;
,,.
(2)當(dāng)a(3)在給定區(qū)間
。的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))的有解充要條件是
(4)在給定區(qū)間
。的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))有解的充要條件是
對于參數(shù)及函數(shù)若若函數(shù)11.真值表p真真假假
12.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論是都是大于小于對所有,成立對任何,不成立反設(shè)詞不是不都是不大于不小于q真假真假非p假假真真p或q真真真假有解,則
.若;若
恒成立,則有解,則
;若
;若恒成立,則有解,則
;.
無最大值或最小值的情況,可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論
p且q
真假假假
原結(jié)論反設(shè)詞至少有一個(gè)一個(gè)也沒有至多有一個(gè)至少有兩個(gè)至少有個(gè)至多有個(gè)至多有個(gè)或且至少有且或個(gè)存在某,不成立存在某,成立13.四種命題的相互關(guān)系(右圖):14.充要條件記表示條件,表示結(jié)論
1充分條件:若,則是充分條件.
2必要條件:若,則是必要條件.
3充要條件:若,且,則是充要條件.
注:如果甲是乙的充分條件,則乙是甲的必要條件;反之亦然.15.函數(shù)的單調(diào)性的等價(jià)關(guān)系(1)設(shè)
那么
上是增函數(shù);
上是減函數(shù).
(2)設(shè)函數(shù)函數(shù).16.如果函數(shù)
和在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),如果,則為增函數(shù);如果,則為減
和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)
和和和
是減函數(shù).
都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)
也是增函數(shù);如果函數(shù)是增函數(shù);如果函數(shù)是增函數(shù);如果函數(shù)
在其對應(yīng)的定義域上一個(gè)是減函數(shù)而另一個(gè)是增函數(shù),則復(fù)合函數(shù)
17.奇偶函數(shù)的圖象特征
奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來,如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù);如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù).18.常見函數(shù)的圖像:
19.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是;兩個(gè)函數(shù)
與的圖象關(guān)于直線對稱.
20.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱;
若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).
21.多項(xiàng)式函數(shù)的奇偶性
多項(xiàng)式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
多項(xiàng)式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.
22.函數(shù)的圖象的對稱性
(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.
(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱
.23.兩個(gè)函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)
與函數(shù)
的圖象關(guān)于直線
(即軸)對稱.
(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.
24.若將函數(shù)的圖象右移、上移個(gè)單位,得到函數(shù)的圖象;若將曲線
的圖象.
的圖象右移、上移個(gè)單位,得到曲線
25.幾個(gè)常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù)
.(2)指數(shù)函數(shù).
(3)對數(shù)函數(shù).
(4)冪函數(shù).
(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù),,
.26.幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定a>0)1
,則
的周期T=a;
2,或,則的周期T=2a;
(3),則的周期T=3a;
(4)
27.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
且,則的周期T=4a;
(1),且.(2)
28.根式的性質(zhì)1
.,且.
2當(dāng)為奇數(shù)時(shí),;
當(dāng)為偶數(shù)時(shí),
29.有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)
..(2).
(3).
p注:若a>0,p是一個(gè)無理數(shù),則a表示一個(gè)確定的實(shí)數(shù).上述有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.
30.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式:
.31.對數(shù)的換底公式:(,且,,且,).
對數(shù)恒等式:(,且,).
推論(,且,).
32.對數(shù)的四則運(yùn)算法則:若a>0,a≠1,M>0,N>0,則
(1);(2);(3);(4)。
33.設(shè)函數(shù)
的值域?yàn)?則
,且
。,記.若的定義域?yàn)?則且;若
34.對數(shù)換底不等式及其推廣:設(shè),,,且,則
1.2.
35.平均增長率的問題負(fù)增長時(shí)
如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N,平均增長率為,則對于時(shí)間的總產(chǎn)值,有.
36.數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)的和的關(guān)系:
).(數(shù)列的前n項(xiàng)的和為
37.等差數(shù)列的通項(xiàng)公式:;
其前n項(xiàng)和公式為:.
38.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式:;
其前n項(xiàng)的和公式為39.等比差數(shù)列
:或的通項(xiàng)公式為
.;其前n項(xiàng)和公式為:.
40.分期付款(按揭貸款):每次還款41.常見三角不等式
元(貸款元,次還清,每期利率為).
1若,則.
(2)若,則.
(3).
42.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:,=,.
43.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式奇變偶不變,符號看象限
,44.和角與差角公式
;;.(平方正弦公式);
.=(輔助角所在象限由點(diǎn)的象限決定,).45.二倍角公式及降冪公式
...46.三角函數(shù)的周期公式
函數(shù),x∈R及函數(shù),x∈R(A,ω,為常數(shù),且A≠0)的周期;函數(shù)
,三角函數(shù)的圖像:
(A,ω,為常數(shù),且A≠0)的周期.
五點(diǎn)法作圖列表:
0π/2π3π/22π47.正弦定理:R為外接圓的半徑.
48.余弦定理
;53.面積定理
;.1分別表示a、b、c邊上的高.
2.3.49.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中,有
.50.簡單的三角方程的通解
...特別地,有
...
51.最簡單的三角不等式及其解集
......52.實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算律:設(shè)λ、μ為實(shí)數(shù),那么(1)結(jié)合律:λ(μ
)=(λμ);
(2)第一分配律:(λ+μ)=λ+μ;
(3)第二分配律:λ(+)=λ53.向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:(1)=交換律;
+λ.
(2)===;
(3)+=+.54.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任一向量,有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2,使得=λ
1+λ
2.不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.
三點(diǎn)A、B、C共線的充要條件:55.向量平行的坐標(biāo)表示設(shè)=
,=,且
,則
((M為任意點(diǎn))
).56.與的數(shù)量積(或內(nèi)積):=||||。
57.的幾何意義:
數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積.
向量在向量上的投影:||58.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)設(shè)=
,==.
,則+=.
(2)設(shè)=,=,則-=.
(3)設(shè)A,B,則.
(4)設(shè)=,則=.
(5)設(shè)=,=,則=.
59.兩向量的夾角公式
(=,=).60.平面兩點(diǎn)間的距離公式
=(A,B).
61.向量的平行與垂直:設(shè)=,=,且,則
||=λ.
()=0.
62.線段的定比分公式:設(shè),,是線段的分點(diǎn),是實(shí)數(shù),且,
則63.三角形的重心坐標(biāo)公式△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
、、.,則△ABC的重心的坐標(biāo)是
.64.點(diǎn)的平移公式
.注:圖形F上的任意一點(diǎn)P(x,y)在平移后圖形65.“按向量平移”的幾個(gè)結(jié)論1點(diǎn)
按向量=
平移后得到點(diǎn)
上的對應(yīng)點(diǎn)為,且的坐標(biāo)為.
.(2)函數(shù)的圖象按向量=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.
(3)圖象按向量=.
平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為(4)曲線:按向量=平移后得到圖象,則的方程為.
(5)向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=.
66.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)
為所在平面上一點(diǎn),角
所對邊長分別為
,則
1為的外心.
2為的重心.
3為的垂心.
4為的內(nèi)心.
5為的的旁心.
67.常用不等式:1
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號).
2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號).
345.668.最值定理:已知
(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號)。
都是正數(shù),則有1若積是定值,則當(dāng)時(shí)和有最小值;
2若和是定值,則當(dāng)時(shí)積有最大值.
3已知,若則有
。4已知,若則有
69.一元二次不等式在兩根之外;如果與
,如果與同號,則其解集
異號,則其解集在兩根之間.簡言之:同號兩根之外,異號兩根之間.
;.70.含有絕對值的不等式:當(dāng)a>0時(shí),有
.或71.無理不等式
.1.2.
372.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當(dāng)
時(shí),
.;(2)當(dāng)
時(shí),
.;73.斜率公式
、74.直線的五種方程1點(diǎn)斜式
.(直線過點(diǎn),且斜率為).
2斜截式(b為直線在y軸上的截距).
3兩點(diǎn)式()(、()).
兩點(diǎn)式的推廣:無任何限制條件!
(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距,)5一般式(其中A、B不同時(shí)為0).
直線的法向量:,方向向量:
75.兩條直線的平行和垂直(1)若
,①;②.
(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,
①;②;
,,,
此時(shí)直線
76.四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交:(1)定點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過定點(diǎn)的系數(shù);經(jīng)過定點(diǎn)
的直線系方程為
,其中
(除直線
),其中是待定
的直線系方程為是待定的系數(shù).
(2)共點(diǎn)直線系方程:經(jīng)過兩直線,
(除),其中λ是待定的系數(shù).
的交點(diǎn)的直線系方程為
(3)平行直線系方程:直線
平行的直線系方程是
中當(dāng)斜率k一定而b變動(dòng)時(shí),表示平行直線系方程.與直線
(),λ是參變量.
(4)垂直直線系方程:與直線變量.(5)直線系
與線段
(A≠0,B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參
相交。77.點(diǎn)到直線的距離:(點(diǎn),直線:).
78.或所表示的平面區(qū)域
設(shè)直線,則或所表示的平面區(qū)域是:
若,當(dāng)與同號時(shí),表示直線的上方的區(qū)域;當(dāng)與異號時(shí),表示直線的
下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若
,當(dāng)與
同號時(shí),表示直線的右方的區(qū)域;當(dāng)
與異號時(shí),表示直線的
左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左。79.
或所表示的平面區(qū)域
或所表示的平面區(qū)域是兩直線和所
成的對頂角區(qū)域上下或左右兩部分。80.圓的四種方程1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程
.2圓的一般方程(>0).
3圓的參數(shù)方程.
4圓的直徑式方程81.圓系方程(1)過點(diǎn)
,的圓系方程是
(圓的直徑的端點(diǎn)是、).
,其中
系數(shù).
是直線的方程,λ是待定的(2)過直線:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是
,λ是待定的系數(shù).
(3)過圓:與圓:的交點(diǎn)的圓系方程是
,λ是待定的系數(shù).
特別地,當(dāng)時(shí),就是
表示:
①當(dāng)兩圓相交時(shí),為公共弦所在的直線方程;②向兩圓所引切線長相等的點(diǎn)的軌跡直線方程82.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:點(diǎn)
與圓
的位置關(guān)系有三種
若83.直線與圓的位置關(guān)系
,則點(diǎn)在圓外;點(diǎn)在圓上;點(diǎn)在圓內(nèi).
直線與圓的位置關(guān)系有三種():
;;.
84.兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O1,O2,半徑分別為r1,r2,
;;;;.85.圓的切線方程及切線長公式(1)已知圓
.①若已知切點(diǎn)在圓上,則切線只有一條,其方程是
.當(dāng)圓外時(shí),表示過兩個(gè)切點(diǎn)的切點(diǎn)弦方程.求切點(diǎn)弦方
程,還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。②過圓外一點(diǎn)的切線方程可設(shè)為漏掉平行于y軸的切線.③斜率為k的切線方程可設(shè)為
,再利用相切條件求b,必有兩條切線.
,再利用相切條件求k,這時(shí)必有兩條切線,注意不要
(2)已知圓.
①過圓上的點(diǎn)的切線方程為;
②斜率為的圓的切線方程為.
(3)過圓外一點(diǎn)的切線長為
86.橢圓的離心率,
過焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦長為:.
87.橢圓
,;。88.橢圓的的內(nèi)外部
1點(diǎn)在橢圓的內(nèi)部.
2點(diǎn)在橢圓的外部.
89.橢圓的切線方程
(1)橢圓上一點(diǎn)處的切線方程是.
2過橢圓外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.
3橢圓與直線相切的條件是.
90.雙曲線的離心率,過焦點(diǎn)且垂直于實(shí)軸的弦長為:,
,。
91.雙曲線的內(nèi)外部
(1)點(diǎn)在雙曲線的內(nèi)部.
(2)點(diǎn)在雙曲線的外部.
92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系
(1若雙曲線方程為漸近線方程:.
(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.
.(3)若雙曲線與有公共漸近線,可設(shè)為
,焦點(diǎn)在x軸上,,焦點(diǎn)在y軸上.
(4)焦點(diǎn)到漸近線的距離總是。93.雙曲線的切線方程
(1)雙曲線上一點(diǎn)處的切線方程是.
2過雙曲線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.
3雙曲線與直線相切的條件是.
94.拋物線的焦半徑公式
拋物線,.
(其中θ為x軸的正向繞焦點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到FC的角)
過焦點(diǎn)弦長.
(其中α為傾斜角)
95.拋物線上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P或P,其中.
95.二次函數(shù)的圖象是拋物線:1頂點(diǎn)坐標(biāo)為;2焦點(diǎn)的坐標(biāo)為;
3準(zhǔn)線方程是.
97.以拋物線上的點(diǎn)為圓心,焦半徑為半徑的圓必與準(zhǔn)線相切;以拋物線焦點(diǎn)弦為直徑的圓,必與準(zhǔn)線相切;以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點(diǎn)垂直于軸的直線相切。98.拋物線的切線方程(1)拋物線
上一點(diǎn)
處的切線方程是
.2過拋物線外一點(diǎn)所引兩條切線的切點(diǎn)弦方程是.
3拋物線
99.兩個(gè)常見的曲線系方程(1)過曲線
,與直線相切的條件是.
的交點(diǎn)的曲線系方程是(為參數(shù)).
(2)共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方程,其中.
當(dāng)時(shí),表示橢圓;當(dāng)時(shí),表示雙曲線.
100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或
弦端點(diǎn)A
角,為直線的斜率,
,由方程消去y得到.
,,為直線的傾斜
101.圓錐曲線的兩類對稱問題1曲線
關(guān)于點(diǎn)
成中心對稱的曲線是
.2曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是
.特別地,曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱的曲線是.
曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.
曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.
曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.
曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.
102.動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù),若的軌跡為拋物線;若
,M的軌跡為雙曲線。
,M的軌跡為橢圓;若,M
103.證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點(diǎn);2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行;3轉(zhuǎn)化為線面平行;4轉(zhuǎn)化為線面垂直;5轉(zhuǎn)化為面面平行.
104.證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點(diǎn);2轉(zhuǎn)化為線線平行;3轉(zhuǎn)化為面面平行.
105.證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點(diǎn);2轉(zhuǎn)化為線面平行;3轉(zhuǎn)化為線面垂直.
106.證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直;2轉(zhuǎn)化為線面垂直;
3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直;4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107.證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直;2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直;3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行;4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個(gè)平行平面。108.證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角;2轉(zhuǎn)化為線面垂直;
(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。
109.空間向量的加法與數(shù)乘向量運(yùn)算的運(yùn)算律(1)加法交換律:+=+.
(2)加法結(jié)合律:(+)+=+(+).
(3)數(shù)乘分配律:λ(+)=λ+λ.
110.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣
始點(diǎn)相同且不在同一個(gè)平面內(nèi)的三個(gè)向量之和,等于以這三個(gè)向量為棱的平行六面體的以公共始點(diǎn)為始點(diǎn)的對角線所表示的向量.111.共線向量定理
對空間任意兩個(gè)向量、(≠),∥
存在實(shí)數(shù)λ使=λ
.三點(diǎn)共線.
、112.共面向量定理向量
共線且不共線且不共線.
與兩個(gè)不共線的向量、共面的存在實(shí)數(shù)對,使.
推論空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使,
或?qū)臻g任一定點(diǎn)O,有序?qū)崝?shù)對,使.
113.對空間任一點(diǎn)對于空間任一點(diǎn)若
和不共線的三點(diǎn)A、B、C,滿足,總有P、A、B、C四點(diǎn)共面;當(dāng)
時(shí),若
,則當(dāng)時(shí),
平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)共面;
平面ABC,則P、A、B、C四點(diǎn)不共面.
四點(diǎn)共面與、共面
平面ABC.
114.空間向量基本定理
如果三個(gè)向量、、不共面,那么對空間任一向量,存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z,使=x+y+z.
推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn),則對空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z,使
.115.射影公式已知向量則
=和軸,是上與同方向的單位向量.作A點(diǎn)在上的射影
,作B點(diǎn)在上的射影
,116.向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算設(shè)=,=則
(1)+=;
(2)-=;
(3)λ=(λ∈R);
(4)=;
117.設(shè)A,B,則
=118.空間的線線平行或垂直設(shè)
,,則
.;.119.夾角公式
設(shè)=,=,則.
推論,此即三維柯西不等式.
120.正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為,則。
特別地,對于正四面體每兩個(gè)面所成的角為,有。121.異面直線所成角
=其中122.直線
為異面直線與平面所成角
所成角,分別表示異面直線的方向向量
(為平面的法向量).
123.二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角
或124折疊角定理
,為平面,的法向量.
設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線,AD是α的一條斜線AB在α內(nèi)的射影,且BD⊥AD,垂足為D,設(shè)AB與α(AD)所成的角為
,AD與AC所成的角為
125.空間兩點(diǎn)間的距離公式
,AB與AC所成的角為.則
.若A126.點(diǎn)
,B到直線距離
,則=.
(點(diǎn)
127.異面直線間的距離
在直線上,為直線的方向向量,=).(
128.點(diǎn)
是兩異面直線,其公垂向量為,分別是上任一點(diǎn),為間的距離).
到平面的距離
為平面的法向量,
129.異面直線上兩點(diǎn)距離公式
.,是的一條斜線段.
..(兩條異面直線a、b所成的角為θ,其公垂線段
,,).的長度為h.在直線a、b上分別取兩點(diǎn)E、F,
130.三個(gè)向量和的平方公式
131.作截面的依據(jù)
三個(gè)平面兩兩相交,有三條交線,則這三條交線交于一點(diǎn)或互相平行.132.棱錐的平行截面的性質(zhì)
如果棱錐被平行于底面的平面所截,那么所得的截面與底面相似,截面面積與底面面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比對應(yīng)角相等,對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形,相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方;相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的立方比;相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點(diǎn)到截面距離與棱錐高的平方比.
133.球的半徑是R,則其體積,其表面積.134.球的組合體
(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.
(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.
(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(正四面體高的),
外接球的半徑為(正四面體高的).
135.柱體、錐體的體積
是柱體的底面積、是柱體的高.
是錐體的底面積、是錐體的高.
136.分類計(jì)數(shù)原理加法原理:.
137.分步計(jì)數(shù)原理乘法原理:.
138.排列數(shù)公式:==.(,∈N*,且).規(guī)定.
139.排列恒等式:(1;2;
3;4;5.
(6).
140.組合數(shù)公式:===(∈N*,,且).
141.組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì):(1)=;(2)+=.規(guī)定.142.組合恒等式
1;2;
3;4=;
5.(6).
(7).
(8).
(9).
(10).
143.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系:.
個(gè)元素的排列
144.單條件排列以下各條的大前提是從個(gè)元素中取1“在位”與“不在位”①某特元必在某位有
種;②某特元不在某位有
補(bǔ)集思想著眼位置
著眼元素種.
2緊貼與插空即相鄰與不相鄰①定位緊貼:
個(gè)元在固定位的排列有
種.
②浮動(dòng)緊貼:個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有注:此類問題常用捆綁法;
種.③插空:兩組元素分別有k、h個(gè)排列數(shù)有
種.
,把它們合在一起來作全排列,k個(gè)的一組互不能挨近的所有
3兩組元素各相同的插空
個(gè)大球個(gè)小球排成一列,小球必分開,問有多少種排法?
當(dāng)時(shí),無解;當(dāng)時(shí),有種排法.
4兩組相同元素的排列:兩組元素有m個(gè)和n個(gè),各組元素分別相同的排列數(shù)為145.分配問題
1(平均分組有歸屬問題)將相異的
個(gè)物件等分給
.個(gè)人,各得件,其分配方法數(shù)共有
.2(平均分組無歸屬問題)將相異的
個(gè)物體等分為無記號或無順序的
堆,其分配方法數(shù)共有
.3(非平均分組有歸屬問題)將相異的,
,,
件,且
,,,
這個(gè)物體分給個(gè)人,物件必須被分完,分別得到
個(gè)數(shù)彼此不相等,則其分配方法數(shù)共有
.4(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的得到
,,,
件,且
,,,
這個(gè)物體分給個(gè)人,物件必須被分完,分別
個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等,則其分配方法數(shù)
有.
5(非平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的,,,件無記號的堆,
且,,,這個(gè)數(shù)彼此不相等,則其分配方法數(shù)有.6(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個(gè)物體分為任意的,,,件無記號
的堆,且,,,這個(gè)數(shù)中分別有a、b、c、個(gè)相等,則其分配方法數(shù)有.
7(限定分組有歸屬問題)將相異的被分完,如果指定甲得
件,乙得
件,丙得
個(gè)物體分給甲、乙、丙,等件,時(shí),則無論
,,,
等個(gè)人,物體必須個(gè)數(shù)是否全相
異或不全相異其分配方法數(shù)恒有
.146.“錯(cuò)位問題”
2封信與2個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù):1;3封信與3個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù):2;4封信與4個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù):9;5封信與5個(gè)信封全部錯(cuò)位排列數(shù):44;一般記著上面的就夠了推廣
貝努利裝錯(cuò)箋問題:信封信與個(gè)信封全部錯(cuò)位的組合數(shù)為
.推廣:個(gè)元素與個(gè)位置,其中至少有
個(gè)元素錯(cuò)位的不同組合總數(shù)為
.147.不定方程的解的個(gè)數(shù)
(1)方程的正整數(shù)解有個(gè).(2)方程的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).
(3)方程滿足條件(,)的非負(fù)整數(shù)解有個(gè).
148.二項(xiàng)式定理;
二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式.
的展開式的系數(shù)關(guān)系:
;;。
149.等可能性事件的概率:.
150.互斥事件A,B分別發(fā)生的概率的和:P(A+B)=P(A)+P(B).151.個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和:P(A1+A2++An)=P(A1)+P(A2)++P(An).
152.獨(dú)立事件A,B同時(shí)發(fā)生的概率:P(AB)=P(A)P(B).153.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率:
P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)154.n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概率:155.離散型隨機(jī)變量的分布列的兩個(gè)性質(zhì)1
;2.156.數(shù)學(xué)期望:157.數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)1
.2若~,則.(3)若服從幾何分布,且,則.
158.方差:
159.標(biāo)準(zhǔn)差:160.方差的性質(zhì)(1)
=.;(2若~,則.
(3)若服從幾何分布,且,則.
161.方差與期望的關(guān)系:.
162.正態(tài)分布密度函數(shù):式中的實(shí)數(shù)μ,
,>0是參數(shù),分別表示個(gè)體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差.
163.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布密度函數(shù):.
164.對于,取值小于x的概率:.
.165.回歸直線方程,其中.
166.相關(guān)系數(shù):.
|r|≤1,且|r|越接近于1,相關(guān)程度越大;|r|越接近于0,相關(guān)程度越小.167.特殊數(shù)列的極限
1.2.3無窮等比數(shù)列()的和.
168.函數(shù)的極限定理:.
169.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x),g(x),h(x)在點(diǎn)x0的附近滿足:
1;2常數(shù),
則.本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立.
170.幾個(gè)常用極限
1,;2,.
171.兩個(gè)重要的極限1;2(e=2.718281845).
172.函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則
若,,則
(1);(2);(3).
173.數(shù)列極限的四則運(yùn)算法則
若,則
(1);(2);(3)
(4)(c是常數(shù)).
174.在處的導(dǎo)數(shù)或變化率或微商
.175.瞬時(shí)速度:.
176.瞬時(shí)加速度:.
177.在的導(dǎo)數(shù):.
178.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是曲線.
在處的切線的斜率,相應(yīng)的切線方程是179.幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(1)
C為常數(shù).(2)
.(3)
.(4).(5);.
(6);.
180.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
1.2.3.
181.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則
設(shè)函數(shù)合函數(shù)
在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)處有導(dǎo)數(shù),且
,函數(shù)在點(diǎn)處的對應(yīng)點(diǎn)U處有導(dǎo)數(shù)
,或?qū)懽?/p>.
,則復(fù)
182.常用的近似計(jì)算公式當(dāng)充分小時(shí)
(1);;(2);;
(3);(4);(5)為弧度;
(6)為弧度;(7)為弧度
183.判別是極大小值的方法
當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí),
1如果在附近的左側(cè),右側(cè),則是極大值;
2如果在附近的左側(cè),右側(cè),則是極小值.
184.復(fù)數(shù)的相等:.185.復(fù)數(shù)的模或絕對值==.
186.復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則(1)
;(2);
(3);
(4)
187.復(fù)數(shù)的乘法的運(yùn)算律對于任何
,有
.交換律:.
結(jié)合律:.
分配律:.
188.復(fù)平面上的兩點(diǎn)間的距離公式
,189.向量的垂直非零復(fù)數(shù)
,對應(yīng)的向量分別是
,.,則
的實(shí)部為零為純虛數(shù)
(λ為非零實(shí)數(shù)).
190.實(shí)系數(shù)一元二次方程的解實(shí)系數(shù)一元二次方程,
①若,則;
②若,則;
③若,它在實(shí)數(shù)集內(nèi)沒有實(shí)數(shù)根;在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)根
.191.三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì):在中,的平分線交邊BC于D,則
。三角形的外角平分線也有同樣的性質(zhì)
192.數(shù)學(xué)歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法.用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟:(1)證明:當(dāng)n取第一個(gè)值n0結(jié)論正確;
(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*,且k≥n0)時(shí)結(jié)論正確,證明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論也正確.由(1),(2)可知,命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確
193.有理不等式解集的端點(diǎn),恰好就是其對應(yīng)的“零點(diǎn)”就是對應(yīng)方程的解和使分母為零的值.
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