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高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點總結(jié)(經(jīng)典)

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高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點總結(jié)(經(jīng)典)

導(dǎo)航教育獨家經(jīng)典講義

數(shù)列基礎(chǔ)知識點和方法歸納

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義:an1and(d為常數(shù)),ana1n1d等差中項:x,A,y成等差數(shù)列2Axy前n項和Sna1annna21nn1d2性質(zhì):an是等差數(shù)列

(1)若mnpq,則amanapaq;

(2)數(shù)列a2n1,a2n,a2n1仍為等差數(shù)列,Sn,S2nSn,S3nS2n……仍為等差數(shù)列,公差為n2d;

(3)若三個成等差數(shù)列,可設(shè)為ad,a,ad(4)若an,bn是等差數(shù)列,且前n項和分別為Sn,Tn,則

amS2m1bmT2m1(5)an為等差數(shù)列Snan2bn(a,b為常數(shù),是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù))

Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值;或者求出an中的正、負(fù)分界

項,

an0即:當(dāng)a10,d0,解不等式組可得Sn達(dá)到最大值時的n值.

a0n1a0當(dāng)a10,d0,由n可得Sn達(dá)到最小值時的n值.

an10(6)項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an,有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1為中間兩項)

S偶S奇nd,

S奇S偶an.an1,有

(7)項數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an

導(dǎo)航教育獨家經(jīng)典講義

S2n1(2n1)an(an為中間項),S奇S奇偶an,

SSn偶n1.2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義:

an1aq(q為常數(shù),q0),ana1qn1n.等比中項:x、G、y成等比數(shù)列G2xy,或Gxy.

na1(q前n項和:S1)na11qn1q(q1)(要注意!)

性質(zhì):an是等比數(shù)列

(1)若mnpq,則amanapaq

(2)Snn,S2nSn,S3nS2n……仍為等比數(shù)列,公比為q.注意:由Sn求an時應(yīng)注意什么?

n1時,a1S1;

n2時,anSnSn1.

3.求數(shù)列通項公式的常用方法(1)求差(商)法

如:數(shù)列a1211n,a122a2……2nan2n5,求an

解n1時,12a1215,∴a114n2時,12a11122a2……2n1an12n15①②得:1n114(n1)2nan2,∴an2,∴an2n1(n2)[練習(xí)]數(shù)列a5n滿足SnSn13an1,a14,求an

注意到aSn1n1Sn1Sn,代入得

S4又S14,∴Sn是等比數(shù)列,n;

2①②

Sn4n導(dǎo)航教育獨家經(jīng)典講義

n2時,anSnSn1……34n1

(2)疊乘法

an如:數(shù)列an中,a13,n1,求an

ann1解

3aa1a2a312n1,∴n又a13,∴an……n……n.a1na1a2an123n(3)等差型遞推公式

由anan1f(n),a1a0,求an,用迭加法

a3a2f(3)n2時,兩邊相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)[練習(xí)]數(shù)列an中,a11,an3(4)等比型遞推公式

n1an1n2,求an(

an1n312)

ancan1d(c、d為常數(shù),c0,c1,d0)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)anxcan1xancan1c1x令(c1)xd,∴xddd,c為公比的等比數(shù)列,∴an是首項為a1c1c1c1∴anddn1dn1d,∴a1caacn1c1c1c1c1(5)倒數(shù)法如:a11,an12an,求anan2由已知得:

a2111111n,∴an12an2anan1an2111111n1,∴為等差數(shù)列,1,公差為,∴1n12a1an22an

導(dǎo)航教育獨家經(jīng)典講義

∴an(附:

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法

)

4.求數(shù)列前n項和的常用方法

(1)裂項法

把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和,使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.如:an是公差為d的等差數(shù)列,求1

k1akak1n解:由

n11111d0

akak1akakddakak1n11111111111……∴ak1da1a2a2a3k1aka","p":{"h":19.195,"w":9.074,"x":207.621,導(dǎo)航教育獨家經(jīng)典講義

x1時,Sn1xnxnn1x21x,x1時,Sn123……nnn12(3)倒序相加法

把數(shù)列的各項順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2[練習(xí)]已知f(x),則21x1f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f41x2x21x1由f(x)f12222x1x1x1x11x

∴原式f(1)f(2)(附:

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

如果一個數(shù)列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用把正著寫

與倒著寫的兩個和式相加,就得到一個常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時,不但要知其果,更要索其因,知識的得出過程是知識的源頭,也是研究同一類知識的工具,例如:等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo),用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列,求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行求解。運用公式求解的注意事項:首先要注意公式的應(yīng)用范圍,確定公式適用于這個數(shù)列之后,再計算。c.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和

裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項,使得前后項相抵消,留下有限項,從而求出數(shù)列的前n項和。d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法,應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{anbn}中,{an}成等差數(shù)列,{bn}成等比數(shù)列,在和式的兩邊同乘以公比,再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項和

迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條

導(dǎo)航教育獨家經(jīng)典講義

件下,可把這個式子變成an+1-an=f(n),代入各項,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,經(jīng)過整理,可求出an,從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列的數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并。g.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項和所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項的特征,構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式,從而求出數(shù)列的前n項和。)

6

擴展閱讀:高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點總結(jié)(經(jīng)典)

數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清

高中數(shù)列知識點總結(jié)

1.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義:an1and(d為常數(shù)),ana1n1d等差中項:x,A,y成等差數(shù)列2Axy前n項和Sna1annna21nn1d2性質(zhì):an是等差數(shù)列

(1)若mnpq,則amanapaq;

(2)數(shù)列a2n1,a2n,a2n1仍為等差數(shù)列,Sn,S2nSn,S3nS2n……仍為等差數(shù)列,公差為n2d;

(3)若三個成等差數(shù)列,可設(shè)為ad,a,ad(4)若an,bn是等差數(shù)列,且前n項和分別為Sn,Tn,則

amS2m1bmT2m1(5)an為等差數(shù)列Snan2bn(a,b為常數(shù),是關(guān)于n的常數(shù)項為0的二次函數(shù))

Sn的最值可求二次函數(shù)Snan2bn的最值;或者求出an中的正、負(fù)分界

項,

a0即:當(dāng)a10,d0,解不等式組n可得Sn達(dá)到最大值時的n值.

an10an0當(dāng)a10,d0,由可得Sn達(dá)到最小值時的n值.

a0n1(6)項數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列an,有

S2nn(a1a2n)n(a2a2n1)n(anan1)(an,an1為中間兩項)

S偶S奇nd,

S奇S偶an.an1數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清

(7)項數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列an,有

S2n1(2n1)an(an為中間項),S奇S偶aS奇n,

Sn偶n1.2.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義:

an1q(q為常數(shù),q0),ana1qn1an.等比中項:x、G、y成等比數(shù)列G2xy,或Gxy.

na1(q1)前n項和:Snan11q1q(q1)(要注意。

性質(zhì):an是等比數(shù)列

(1)若mnpq,則amanapaq

(2)Sn,S2nSn,S3nS2n……仍為等比數(shù)列,公比為qn.注意:由Sn求an時應(yīng)注意什么?

n1時,a1S1;n2時,anSnSn1.

3.求數(shù)列通項公式的常用方法(1)求差(商)法

如:數(shù)列a111n,2a122a2……2nan2n5,求an

解n1時,12a1215,∴a114n2時,12a11122a2……2n1an12n15①②得:1n114(n1)2nan2,∴an2,∴ann1(n2)

2[練習(xí)]數(shù)列a5n滿足SnSn13an1,a14,求an

2

①②

數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清

注意到an1Sn1Sn,代入得

Sn14又S14,∴Sn是等比數(shù)列,Sn4nSn;

n2時,anSnSn1……34n1

(2)疊乘法

an如:數(shù)列an中,a13,n1,求an

ann1解

3aa1a2a312n1,∴n又a13,∴an……n……n.a1na1a2an123n(3)等差型遞推公式

由anan1f(n),a1a0,求an,用迭加法

a3a2f(3)n2時,兩邊相加得ana1f(2)f(3)……f(n)

…………anan1f(n)a2a1f(2)∴ana0f(2)f(3)……f(n)[練習(xí)]數(shù)列an中,a11,an3(4)等比型遞推公式

n1an1n2,求an(

an1n312)

ancan1d(c、d為常數(shù),c0,c1,d0)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)anxcan1xancan1c1x令(c1)xd,∴xddda,c為公比的等比數(shù)列,∴an是首項為1c1c1c1∴anddn1dn1d,∴a1caacn1c1c1c1c1(5)倒數(shù)法如:a11,an12an,求anan2數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清

由已知得:

a2111111n,∴an12an2anan1an2111111∴為等差數(shù)列,1,公差為,∴1n1n1,

2a1an22an∴an(附:

2n1

公式法、利用

anS1(n1)SnSn1(n2)、累加法、累乘法.構(gòu)造等差或等比

an1panq或an1panf(n)、待定系數(shù)法、對數(shù)變換法、迭代法、數(shù)學(xué)歸納法、換元法

)

4.求數(shù)列前n項和的常用方法

(1)裂項法

把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和,使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項.如:an是公差為d的等差數(shù)列,求1

k1akak1n解:由

n11111d0

akak1akakddakak1n11111111111……∴ak1da1a2a2a3k1akak1k1dakanan1111da1an1[練習(xí)]求和:1111……12123123……n1an…………,Sn2

n1(2)錯位相減法

若an為等差數(shù)列,bn為等比數(shù)列,求數(shù)列anbn(差比數(shù)列)前n項和,可由

數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清

SnqSn,求Sn,其中q為bn的公比.

如:Sn12x3x24x3……nxn1

xSnx2x23x34x4……n1xn1nxn①②1xSn1xx2……xn1nxn

x1時,Sn②

1xnxnn1x21x,x1時,Sn123……nnn12(3)倒序相加法

把數(shù)列的各項順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加.

Sna1a2……an1an相加2Sna1ana2an1…a1an…

Snanan1……a2a1x2[練習(xí)]已知f(x),則

1x21f(1)f(2)ff(3)21ff(4)321f41x2x21x1由f(x)f12222x1x11x1x1x

∴原式f(1)f(2)(附:

1ff(3)21ff(4)3111f1113

242a.用倒序相加法求數(shù)列的前n項和

如果一個數(shù)列{an},與首末項等距的兩項之和等于首末兩項之和,可采用把正著寫

與倒著寫的兩個和式相加,就得到一個常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時,不但要知其果,更要索其因,知識的得出過程是知識的源頭,也是研究同一類知識的工具,例如:等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo),用的就是“倒序相加法”。b.用公式法求數(shù)列的前n項和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列,求前n項和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項和公式進(jìn)行求解。運用公式求解的注意事項:首先要注意公式的應(yīng)用范圍,確定公式適用于這個數(shù)列之后,再計算。c.用裂項相消法求數(shù)列的前n項和

數(shù)列知識點復(fù)習(xí)龐順清

裂項相消法是將數(shù)列的一項拆成兩項或多項,使得前后項相抵消,留下有限項,從而求出數(shù)列的前n項和。d.用錯位相減法求數(shù)列的前n項和

錯位相減法是一種常用的數(shù)列求和方法,應(yīng)用于等比數(shù)列與等差數(shù)列相乘的形式。即若在數(shù)列{anbn}中,{an}成等差數(shù)列,{bn}成等比數(shù)列,在和式的兩邊同乘以公比,再與原式錯位相減整理后即可以求出前n項和。e.用迭加法求數(shù)列的前n項和

迭加法主要應(yīng)用于數(shù)列{an}滿足an+1=an+f(n),其中f(n)是等差數(shù)列或等比數(shù)列的條件下,可把這個式子變成an+1-an=f(n),代入各項,得到一系列式子,把所有的式子加到一起,經(jīng)過整理,可求出an,從而求出Sn。f.用分組求和法求數(shù)列的前n項和

所謂分組求和法就是對一類既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列的數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列,然后分別求和,再將其合并。g.用構(gòu)造法求數(shù)列的前n項和

所謂構(gòu)造法就是先根據(jù)數(shù)列的結(jié)構(gòu)及特征進(jìn)行分析,找出數(shù)列的通項的特征,構(gòu)造出我們熟知的基本數(shù)列的通項的特征形式,從而求出數(shù)列的前n項和。)

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