高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
數(shù)列
一、數(shù)列定義:
數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù),是定義在正整數(shù)集N(或它的有限子集
*{1,2,3,,n})上的函數(shù)f(n),當(dāng)自變量從1開(kāi)始由小到大依次取正整數(shù)時(shí),相對(duì)應(yīng)的一列
函數(shù)值為f(1),f(2),;通常用an代替f(n),于是數(shù)列的一般形式常記為a1,a2,或簡(jiǎn)記為{an},其中an表示數(shù)列{an}的通項(xiàng)。
注意:(1){an}與an是不同的概念,{an}表示數(shù)列a1,a2,,而an表示的是數(shù)列的第n項(xiàng);
S1(n1)(2)an和Sn之間的關(guān)系:anSS(n2)n1n二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì):
等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列定義遞推公式通項(xiàng)公式anan1d(nN*,n2)anan1q(nN*,n2)ana1qn1(a1,q0)ana1(n1)dnSn(a1an)2Snna1n(n1)d2求和公式()任意兩個(gè)數(shù)a,b有且只有一個(gè)等差中等差(比)ab項(xiàng),即為A=;兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)中項(xiàng)兩個(gè)數(shù)a,b的等比中項(xiàng)為G(滿足2G2ab,ab0)a1ana2_________anma中2就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。等差(比)a1ana2_________anm數(shù)列的性2a中質(zhì)
若mnpq,則amanapaq;在等差數(shù)列中,每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列若mnpq,則amanapaq;在等比數(shù)列中,每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,則若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,則公差為;{mankbn}仍為等差數(shù)列,{manbn}仍為等比數(shù)列,公比為;{man}仍為等比數(shù)列,公比為;bn三、判定方法:
(1)等差數(shù)列的判定方法:
①定義法:an1and或anan1d(n2)(d為常數(shù)){an}是等差數(shù)列②中項(xiàng)公式法:2an1anan2{an}是等差數(shù)列
③通項(xiàng)公式法:anpnq(p,q為常數(shù)){an}是等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法:SnAnBn(A,B為常數(shù)){an}是等差數(shù)列(2)等比數(shù)列的判定方法:
①定義法:
2an1aq或nd(n2)(q是不為零的常數(shù)){an}是等比數(shù)列anan12②中項(xiàng)公式法:an1anan2(anan1an20){an}是等差數(shù)列③通項(xiàng)公式法:ancq(c,q是不為零常數(shù)){an}是等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法:Snkqk(k2na1是常數(shù)){an}是等差數(shù)列q1四、數(shù)列的通項(xiàng)求法:
(1)觀察法:如:(1)0.2,0.22,0.222,……(2)21,203,201*,201*7,……(2)化歸法:通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。①遞推式為an1and及an1qan(d,q為常數(shù)):直接運(yùn)用等差(比)數(shù)列。②遞推式為an1anf(n):迭加法
如:已知{an}中a111,an1an,求an24n21③遞推式為an1f(n)an:迭乘法如:已知{an}中a12,an1n1an,求ann④遞推式為an1panq(p,q為常數(shù)):
構(gòu)造法:Ⅰ、由an1panq相減得(an2an1)p(an1an),則
an2pan1q{an1an}為等比數(shù)列。
Ⅱ、設(shè)(an1t)p(ant),得到pttq,t為等比數(shù)列。
如:已知a11,an12an5,求an⑤遞推式為an1panq(p,q為常數(shù)):
兩邊同時(shí)除去qn1nqq,則{an}p1p1得
an1pan1anp1b,令,轉(zhuǎn)化為,bbnn1nn1nnqqqqqqq再用④法解決。如:已知{an}中,a1511n1,an1an(),求an632⑥遞推式為an2pan1qan(p,q為常數(shù)):
將an2pan1qan變形為an2tan1s(an1tan),可得出stp解出
stqs,t,于是{an1tan}是公比為s的等比數(shù)列。
如:已知{an}中,a11,a22,an2(3)公式法:運(yùn)用an221an1an,求an33S1,n1SnSn1,n2
①已知Sn3n5n1,求an;②已知{an}中,Sn32an,求an;
2Sn(n2),求an③已知{an}中,a11,an2Sn12
五、數(shù)列的求和法:
(1)公式法:
①等差(比)數(shù)列前n項(xiàng)和公式:②123nnn1;2③123n(2)倒序相加(乘)法:
2222n(n1)(2n1)n(n1)23333];④123n[62如:①求和:SnCn2Cn3Cn(n1)Cn;
②已知a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù),若在a,b之間插入n個(gè)正數(shù),使它們構(gòu)成以a為首項(xiàng),b為末項(xiàng)的等比數(shù)列,求插入的這n個(gè)正數(shù)的積Pn;
(3)錯(cuò)位相減法:如:求和:Sx2x3xnx(4)裂項(xiàng)相消法:an23n012n1;ann(nk)1nkn;
如:①S1111;122334n(n1)1111;132435n(n2)1nn1,則Sn;
②S③若an(5)并項(xiàng)法:如:求S100123499100
(6)拆項(xiàng)組合法:如:在數(shù)列{an}中,an102n1,求Sn,
n六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略:
分類(lèi)討論問(wèn)題:
①在等比數(shù)列中,用前n項(xiàng)和公式時(shí),要對(duì)公比q進(jìn)行討論;只有q1時(shí)才能用前n項(xiàng)和
公式,q1時(shí)S1na1
②已知Sn求an時(shí),要對(duì)n1,n2進(jìn)行討論;最后看a1滿足不滿足an(n2),若滿足an中的n擴(kuò)展到N,不滿足分段寫(xiě)成an
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五、數(shù)列
一、數(shù)列定義:
數(shù)列是按照一定次序排列的一列數(shù),那么它就必定有開(kāi)頭的數(shù),有相繼的第二個(gè)數(shù),有第三個(gè)數(shù),……,于是數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都對(duì)應(yīng)一個(gè)序號(hào);反過(guò)來(lái),每一個(gè)序號(hào)也都對(duì)應(yīng)于數(shù)列中的一個(gè)數(shù)。因此,數(shù)列就是定義在正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2,3,,n})上的函數(shù)f(n),當(dāng)自變量從1開(kāi)始由小到大依次取正整數(shù)時(shí),相對(duì)應(yīng)的一列函數(shù)值為通常用an代替f(n),于是數(shù)列的一般形式常記為a1,a2,或簡(jiǎn)記為{an},f(1),f(2),;
其中an表示數(shù)列{an}的通項(xiàng)。
注意:(1){an}與an是不同的概念,{an}表示數(shù)列a1,a2,,而an表示的是數(shù)列的第n項(xiàng);
(2)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是不同的概念,數(shù)列的項(xiàng)是指這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù),
它是一個(gè)函數(shù)值;而項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)在數(shù)列中的位置序號(hào),它是自變量的值。S1(n1)(3)an和Sn之間的關(guān)系:an
SS(n2)n1n*如:已知{an}的Sn滿足lg(Sn1)n(nN),求an。
二、等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì):
定義等差數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫等差數(shù)列等比數(shù)列如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起,每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列anq(nN*,n2),或公差(比)anan1d(nN,n2),或*an1an1anan1and;q(q0);通項(xiàng)公式anamd=anam由錯(cuò)項(xiàng)相減法推得求和公式由倒序相加法推得Sn=①q1,Sn=②q1,Sn用函數(shù)的思想理解通
若{an}為等差數(shù)列ananb,則a,b;n若{an}為等比數(shù)列anca,則a,c;項(xiàng)公式等差數(shù)列的圖象是直線上的均勻排開(kāi)的一群孤立的點(diǎn)若{an}為等比數(shù)列,SnAanB,等差數(shù)列{an},SnAn2BnC,用函數(shù)的思想理解求和公式則a;A;B;則C;A;B;(其中的系數(shù)與為互為相反數(shù),這是公式一很重要特點(diǎn),若C0,說(shuō)明:;注意前提條件q0,q1。)(n,Sn)在二次函數(shù)的若BA,說(shuō)明:;等比數(shù)列{an},Sn3na,則a;{an}為遞增數(shù)列;圖象上,是一群孤立的點(diǎn)。{an}為遞增數(shù)列;{an}為遞減數(shù)列;增減性{an}為遞減數(shù)列;{an}為常數(shù)列;{an}為常數(shù)列。{an}為擺動(dòng)數(shù)列;等差(比)中項(xiàng)任意兩個(gè)數(shù)a,b有且只有一個(gè)等差中項(xiàng),即為;兩個(gè)數(shù)的等差中項(xiàng)就是這兩個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)。a1ana2_________anm2a中兩個(gè)數(shù)a,b的等比中項(xiàng)為;(ab0)a1ana2_________anma中2若mnpq,則____________;若mnpq,則____________;特別當(dāng)mn2p,則;特別當(dāng)mn2p,則;等差(比)數(shù)列的性質(zhì)在等差數(shù)列中,每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列,但剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列不一定是等差數(shù)列。如:a1,a3,a5,;問(wèn)公差為a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9在等比數(shù)列中,每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列,構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等比數(shù)列,剩下的項(xiàng)按原順序構(gòu)成的數(shù)列也不一定是等比數(shù)列。如:a1,a3,a5,;問(wèn)公比為a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9是數(shù)列;公差為;Sm,S2mSm,S3mS2m,成等差數(shù)是數(shù)列;公比為;a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9列。是數(shù)列;公比為;
a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9a1a4a7,a2a5a8,a3a6a9是數(shù)列;公差為;是數(shù)列;公比為;若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,則若數(shù)列{an}與{bn}均為等差數(shù)列,則公差為;{mankbn}仍為等差數(shù)列,公比為;{manbn}仍為等比數(shù)列,{manbn}仍為等比數(shù)列,公比為;如:(1)在等差數(shù)列{an}中Sn10,S2n30,則S3n;
(2)在等比數(shù)列{an}中Sn10,S2n30,則S3n;另外,等差數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意:
(1)等差數(shù)列{an}中,若anm,amn(mn),則amn;(2)等差數(shù)列{an}中,若Snm,Smn(mn),則Smn;
(3)等差數(shù)列{an}中,若SnSm(mn),則am1am2an;Smn;(4)若SPSq,則n時(shí),Sn最大。(5)若{an}與{bn}均為等差數(shù)列,且前n項(xiàng)和分別為Sn與Tn,
則ambmS______T______;
ambnS______T______
(6)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n的等差數(shù)列{an},有S2n間的兩項(xiàng))
S偶S奇;n(a1a2n)2n2(anan1)(an與an1為中
S奇S偶;
項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n1的等差數(shù)列{an},有S2n1(2n1)an(an為中間項(xiàng))
S奇S偶;S奇S偶;S奇S偶;
等比數(shù)列中還有以下性質(zhì)須注意:
(1)若{an}是等比數(shù)列,則{an}(0),{|an|}也是等比數(shù)列,公比分別;;
(2)若{an}是等比數(shù)列,則{三、判定方法:
(1)等差數(shù)列的判定方法:
1an},{an}也是等比數(shù)列,公比分別;;
2①定義法:an1and或anan1d(n2)(d為常數(shù)){an}是等差數(shù)列②中項(xiàng)公式法:2an1anan2{an}是等差數(shù)列
③通項(xiàng)公式法:anpnq(p,q為常數(shù)){an}是等差數(shù)列④前n項(xiàng)和公式法:SnAn2Bn(A,B為常數(shù)){an}是等差數(shù)列注意:①②是用來(lái)證明{an}是等差數(shù)列的理論依據(jù)。(2)等比數(shù)列的判定方法:
①定義法:
an1anq或
anan1d(n2)(q是不為零的常數(shù)){an}是等比數(shù)列
②中項(xiàng)公式法:an1anan2(anan1an20){an}是等差數(shù)列
n③通項(xiàng)公式法:ancq(c,q是不為零常數(shù)){an}是等差數(shù)列
22④前n項(xiàng)和公式法:Snkqk(ka1q1是常數(shù)){an}是等差數(shù)列
注意:①②是用來(lái)證明{an}是等比數(shù)列的理論依據(jù)。四、數(shù)列的通項(xiàng)求法:(1)觀察法:如:(1)0.2,0.22,0.222,……(2)21,203,201*,201*7,……(2)化歸法:通過(guò)對(duì)遞推公式的變換轉(zhuǎn)化成等差數(shù)列或等比數(shù)列。
①遞推式為an1and及an1qan(d,q為常數(shù)):直接運(yùn)用等差(比)數(shù)列。②遞推式為an1anf(n):迭加法如:已知{an}中a112,an1an14n12,求an
③遞推式為an1f(n)an:迭乘法如:已知{an}中a12,an1n1nan,求an
④遞推式為an1panq(p,q為常數(shù)):
an1panq構(gòu)造法:Ⅰ、由相減得(an2an1)p(an1an),則
apaqn1n2{an1an}為等比數(shù)列。
Ⅱ、設(shè)(an1t)p(ant),得到pttq,t為等比數(shù)列。
如:已知a11,an12an5,求an⑤遞推式為an1panqn(p,q為常數(shù)):
兩邊同時(shí)除去qn1得再用④法解決。如:已知{an}中,a156qp1,則{anqp1}
an1qn1pqanqn1q,令bnanqn,轉(zhuǎn)化為bn1pqbn1q,
,an111n1an(),求an32⑥遞推式為an2pan1qan(p,q為常數(shù)):
將an2pan1qan變形為an2tan1s(an1tan),可得出s,t,于是{an1tan}是公比為s的等比數(shù)列。
stpstq解出
如:已知{an}中,a11,a22,an2S1,n1(3)公式法:運(yùn)用an
SnSn1,n223an113an,求an
2①已知Sn3n5n1,求an;②已知{an}中,Sn32an,求an;
③已知{an}中,a11,an五、數(shù)列的求和法:
2Sn22Sn1(n2),求an
(1)公式法:
①等差(比)數(shù)列前n項(xiàng)和公式:②123n;
③123n(2)倒序相加(乘)法:
012n如:①求和:SnCn2Cn3Cn(n1)Cn;
2222n(n1)(2n1)6;④123n[3333n(n1)2]
2②已知a,b為不相等的兩個(gè)正數(shù),若在a,b之間插入n個(gè)正數(shù),使它們構(gòu)成以a為首項(xiàng),b為末項(xiàng)的等比數(shù)列,求插入的這n個(gè)正數(shù)的積Pn;
(3)錯(cuò)位相減法:如:求和:Sx2x23x3nxn(4)裂項(xiàng)相消法:an1121131n(nk)1231241nn1;an1nkn;
如:①S1341351n(n1)1n(n2);
②S;
③若an,則Sn;
(5)并項(xiàng)法:如:求S100123499100
n(6)拆項(xiàng)組合法:如:在數(shù)列{an}中,an102n1,求Sn,
六、數(shù)列問(wèn)題的解題的策略:
(1)分類(lèi)討論問(wèn)題:①在等比數(shù)列中,用前n項(xiàng)和公式時(shí),要對(duì)公比q進(jìn)行討論;只有q1
時(shí)才能用前n項(xiàng)和公式,q1時(shí)S1na1
②已知Sn求an時(shí),要對(duì)n1,n2進(jìn)行討論;最后看a1滿足不滿足
an(n2),若滿足an中的n擴(kuò)展到N,不滿足分段寫(xiě)成an。
*(2)設(shè)項(xiàng)的技巧:
①對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列,可設(shè)為,a3d,ad,ad,a3d,,公差為2d;對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列,可設(shè)為,a2d,ad,a,ad,a2d,,公差為d;
aq3②對(duì)于連續(xù)偶數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列,可設(shè)為,,aqaq,aq,aq,,公比為q;
32對(duì)于連續(xù)奇數(shù)項(xiàng)的等比數(shù)列,可設(shè)為,aq2,,a,aq,aq,公比為q;
2w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
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