二次根式知識點(diǎn)歸納總結(jié)

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二次根式知識點(diǎn)歸納

定義：一般的，式子

a(a≥0)叫做二次根式。其中“”

叫做二次根號，二次根號下的a叫做被開方數(shù)。性質(zhì)：1、a（a≥0）是一個非負(fù)數(shù)．即a≥02、a2＝│a│即a≥0,等于a;a0）反過來，ab=ab（a≥0，b>0）6、最簡二次根式：1．被開方數(shù)不含分母；

2．被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．

我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．

7、同類二次根式：幾個二次根次化成最簡二次根式以后如果被開數(shù)相同，這幾個二次根式就叫做同類二次根式

8、數(shù)的平方根與二次根式的區(qū)別：①4的平方根為±2，算術(shù)平方根為2；②4=2，二次根式即是算術(shù)平方根

9、二次根式化運(yùn)算及化簡：①先化成最簡②合并同類項(xiàng)

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二次根式

1.二次根式：式子a（a≥0）叫做二次根式。2.最簡二次根式：必須同時滿足下列條件：

⑴被開方數(shù)中不含開方開的盡的因數(shù)或因式；⑵被開方數(shù)中不含分母；⑶分母中不含根式。3.同類二次根式：

二次根式化成最簡二次根式后，若被開方數(shù)相同，則這幾個二次根式就是同類二次根式。4.二次根式的性質(zhì)：

a（a＞0）

（1）（a）=a（a≥0）；（2）aa0（a=0）；

a（a＜0）

5.二次根式的運(yùn)算：

2

2（1）因式的外移和內(nèi)移：如果被開方數(shù)中有的因式能夠開得盡方，那么，就可以用它的算術(shù)根代替而移到根號外面；如果被開方數(shù)是代數(shù)和的形式，那么先解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面，反之也可以將根號外面的正因式平方后移到根號里面．

（2）二次根式的加減法：先把二次根式化成最簡二次根式再合并同類二次根式．

（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），將被開方數(shù)相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被開方數(shù)并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡二次根式．

ab=ab（a≥0，b≥0）；

bb（b≥0，a>0）．a(chǎn)a（4）有理數(shù)的加法交換律、結(jié)合律，乘法交換律及結(jié)合律，乘法對加法的分配律以及多項(xiàng)式的乘法公式，都適用于二次根式的運(yùn)算．

【典型例題】

1、概念與性質(zhì)

例1下列各式1）11,2)5,3)x22,4)4,5)()2,6)1a,7)a22a1，

其中是二次根式的是_________（填序號）．例2、求下列二次根式中字母的取值范圍

x5（1）

13x；（2）

(x-2)2

例3、在根式1)

a2b2;2)x;3)x2xy;4)27abc，最簡二次根式是（）5A．1)2)B．3)4)C．1)3)D．1)4)

1xyy18x8x1,求代數(shù)式22yx例4、已知：

xy2的值。yx

2例5、（201*龍巖）已知數(shù)a，b，若(ab)=b－a，則()

A.a>bB.a

3、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式例.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。（1）4、比較數(shù)值（1）、根式變形法

當(dāng)a0,b0時，①如果ab，則ab；②如果ab，則ab。

；（2）

例1、比較35與53的大小。

（2）、平方法

當(dāng)a0,b0時，①如果a2b2，則ab；②如果a2b2，則ab。

例2、比較32與23的大小。

（3）、分母有理化法

通過分母有理化，利用分子的大小來比較。

例3、比較21與的大小。3121

（4）、分子有理化法

通過分子有理化，利用分母的大小來比較。例4、比較1514與1413的大小。

（5）、倒數(shù)法

例5、比較76與65的大小。

（6）、媒介傳遞法

適當(dāng)選擇介于兩個數(shù)之間的媒介值，利用傳遞性進(jìn)行比較。例6、比較73與873的大小。

（7）、作差比較法

在對兩數(shù)比較大小時，經(jīng)常運(yùn)用如下性質(zhì)：①ab0ab；②ab0ab

例7、比較212與的大小。313

（8）、求商比較法

它運(yùn)用如下性質(zhì)：當(dāng)a>0，b>0時，則：①

ab1ab；②

ab1ab

例8、比較53與23的大小。

5、規(guī)律性問題

例1.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：

，驗(yàn)證：；

驗(yàn)證:.

（1）按照上述兩個等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想44的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；15（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.

例2.已知

發(fā)展：已知

，則a_________

，則a______。

例3、化簡下列各式：

（1）423（2）526

例4、已知a>b>0，a+b=6ab，則12ab的值為（）A．B．2C．2D．

22ab時，分別作了如下變形：

例5、甲、乙兩個同學(xué)化簡

甲：==；

乙：=。其中，（）。

A.甲、乙都正確B.甲、乙都不正確C.只有甲正確D.只有乙正確

【基礎(chǔ)訓(xùn)練】

1．化簡：（1）72____；（2）252242_____；（3）61218____；

（4）75x3y2(x0,y0)____；（5）204_______。

2.(08，安徽)化簡42=_________。

3.（08，武漢）計(jì)算4的結(jié)果是

Ａ.2Ｂ．±2Ｃ．-2Ｄ．44.化簡：

（1）（08，泰安）9的結(jié)果是；（2）123的結(jié)果是；

（3）(08，寧夏)528=；（4）（08，黃岡）5x-2x=______；

（5）（08，宜昌）3＋（5－3）=_________；（6）

；

（7）(08，荊門)＝________；（8）．

5．（08，重慶）計(jì)算82的結(jié)果是

A、6B、6C、2D、26．（08，廣州）3的倒數(shù)是。7.(08，聊城)下列計(jì)算正確的是A．

B．

C．

D．

8.下列運(yùn)算正確的是

A、1.60.4B、

1.521.5C、93D、

42939．（08，中山）已知等邊三角形ABC的邊長為33，則ΔABC的周長是____________；

10.比較大�。海�10。

11．（08，嘉興）使x2有意義的x的取值范圍是．12.(08，常州)若式子x5在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義,則x的取值范圍是

A.x>-5

B.x

19.(08，樂山)已知二次根式與是同類二次根式，則的α值可以是

A、5B、6C、7D、820．（08，大連）若xab,yab，則xy的值為A．2aB．2bC．a(chǎn)bD．a(chǎn)b21.（08，遵義）若a2b30，則a2b．

22．（08，遵義）如圖，在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)15的點(diǎn)可能是

A．點(diǎn)P23.計(jì)算：

B．點(diǎn)Q

C．點(diǎn)M

D．點(diǎn)N

（1）（2）

（3）（08，上海）．（4）（08，慶陽）．

（5）4811227424.先將xx2÷化簡，然后自選一個合適的x值，代入化簡后的式子求值。32x2x2x

25.(08，濟(jì)寧)若

A．

B．

，則的取值范圍是

C．

D．

26.(08，濟(jì)寧)如圖，數(shù)軸上稱點(diǎn)為點(diǎn)A．

，則點(diǎn)

兩點(diǎn)表示的數(shù)分別為1和，點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對

所表示的數(shù)是

C．

D．

B．

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