第十八章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與類題總結(jié)

別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30

人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理全章

類題總結(jié)

類型一：等面積法求高

【例題】如圖，△ABC中，∠

CAC=7，BC=24，CD⊥AB于D。（1）求AB的長；（2）求CD的長。

AD

ACB=900

，

B千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請(qǐng)你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并B

求出總費(fèi)用是多少？

ACDL

【練習(xí)1】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm，高

類型二：面積問題

【例題】如下左圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊和長為7cm,

2

則正方形A，B，C，D的面積之和為___________cm。

CBＡＢ為4cm，ＢＣ是上底面的直徑．一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程．

DA7cm【練習(xí)1】如上右圖，每個(gè)小方格都是邊長為1的正方形，（1）求圖中格點(diǎn)四邊形ABCD的面積和周長。（2）求∠ADC的度數(shù)。

【練習(xí)2】如圖，四邊形ABCD是正方形，A

【練習(xí)2】如圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處

AE⊥BE，且AE=3，BE=4，陰影

部分的面積是______.

【練習(xí)3】如圖字母B所代表的正方形的面積是()A.12B.13C.144D.194

EB25B169牧馬，而他正位于他的小屋B的西8km北7km處，

他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

小河北D牧童A東

小屋BC

類型四：判斷三角形的形狀

【例題】如果ΔABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ΔABC的形狀。

類型三：距離最短問題

【例題】如圖，A、B兩個(gè)小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分【練習(xí)1】已知△ABC的三邊分別為m－n,2mn,

22

類型六：構(gòu)造應(yīng)用勾股定理

【例題】如圖，已知：在

中，

，

m2+n2(m,n為正整數(shù),且m＞n),判斷△ABC是否為直角三角形.

，.求：BC的長.

【練習(xí)2】若△ABC的三邊a、b、c滿足條件

a2＋b2＋c2＋338＝10a＋24b＋26c，試判斷△ABC的形狀.

【練習(xí)3】.已知a，b，c為△ABC三邊，且滿足

(a2－b2)(a2+b2－c2)＝0，則它的形狀為（）三角形

A.直角B.等腰C.等腰直角D.等腰或直角

【練習(xí)4】三角形的三邊長為

(ab)2c22ab,則這個(gè)三角形是()三角形

（A）等邊（B）鈍角（C）直角（D）銳角

類型五：直接考查勾股定理

【例題】在Rt△ABC中，∠C=90°

(1)已知a=6，c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.。

【練習(xí)】:如圖∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,則AB的長是多少?

【練習(xí)】四邊形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。

類型七：利用勾股定理作長為n的線段

例1在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。

作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1，以O(shè)C為半徑，

以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為

。

【練習(xí)】在數(shù)軸上表示13的點(diǎn)。

類型八：勾股定理及其逆定理的一般用法

【例題】若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜

邊長是20，求此直角三角形的面積。

【練習(xí)1】等邊三角形的邊長為2，求它的面積。

【練習(xí)1】如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點(diǎn)D落【練習(xí)2】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是

在BC邊的點(diǎn)F處，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF

（）A、8，15，17

的長。

B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40類型九：生活問題

【例題】如下左圖，在高2米，坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地

毯的長至少需________米．

【練習(xí)1】種盛飲料的圓柱形杯（如上右圖），測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5，高為12，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6，問吸管要做。

【練習(xí)2】如下左圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了__________步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。

【練習(xí)3】如上右圖，校園內(nèi)有兩棵樹，相距12米，一棵樹高13米，另一棵樹高8米，一只小鳥從一棵樹的頂端飛到另一棵樹的頂端，小鳥至少要飛___________米.

類型十：翻折問題

【例題】如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm，BC=8cm，現(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊AB上，且與AE重合，你能求出CD的長嗎？CDBEA

【練習(xí)2】如圖，△ABC中，∠C=90°，AB垂直平分

線交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的長。

擴(kuò)展閱讀：第18章.勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見題型總結(jié)

第18章勾股定理復(fù)習(xí)

一．知識(shí)歸納１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化簡可證．

2DHEFbAcGaBC

方法二：

bacabcbccbaa

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．

1四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2

2大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化簡得證

2

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形４.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊

在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數(shù)）

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．

８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體

推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決．常見圖形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長⑵已知AB17，AC15，求BC的長分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2解：⑴ABAC2BC210

⑵BCAB2AC28

題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4，斜邊長為15，則這個(gè)三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長為30cm，斜邊長為13cm，則這個(gè)三角形的面積為

分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解解：

⑴ACAB2BC24，CDAACBC2.4ABDBC

⑵設(shè)兩直角邊的長分別為3k，4k(3k)2(4k)2152，k3，S54

1⑶設(shè)兩直角邊分別為a，b，則ab17，a2b2289，可得ab60Sab302cm2

例３.如圖ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的長

CD12EAB

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來解：作DEAB于E，12，C90DECD1.5在BDE中

BED90,BEBD2DE22

RtACDRtAEDACAE

在RtABC中，C90

AB2AC2BC2，(AEEB)2AC242AC3

例4.如圖RtABC，C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積

CAB

答案：6

題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高8cm，另一棵高2cm，兩樹相距8cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了m

AEBDC

分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB8m，CD2m，BC8m，過點(diǎn)D作DEAB，垂足為E，則AE6m，DE8m

在RtADE中，由勾股定理得ADAE2DE210

答案：10m

題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形

例6.已知三角形的三邊長為a，b，c，判定ABC是否為Rt①a1.5，b2，c2.5②a52，b1，c43解：①a2b21.52226.25，c22.526.25

ABC是直角三角形且C90

②b2c21325，a2，b2c2a2ABC不是直角三角形916例7.三邊長為a，b，c滿足ab10，ab18，c8的三角形是什么形狀？

解：此三角形是直角三角形

理由：a2b2(ab)22ab64，且c264a2b2c2所以此三角形是直角三角形

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC邊上的中線AD12cm，求證：ABAC

證明：

ABDC

AD為中線，BDDC5cm

在ABD中，AD2BD2169，AB2169AD2BD2AB2，ADB90，AC2AD2DC2169，AC13cm，ABAC

友情提示：本文中關(guān)于《第十八章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與類題總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，第十八章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與類題總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來源：網(wǎng)絡(luò)整理 免責(zé)聲明：本文僅限學(xué)習(xí)分享，如產(chǎn)生版權(quán)問題，請(qǐng)聯(lián)系我們及時(shí)刪除。

《第十八章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與類題總結(jié)》由互聯(lián)網(wǎng)用戶整理提供,轉(zhuǎn)載分享請(qǐng)保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://www.7334dd.com/gongwen/517599.html

• 上一篇：高中地理必修一全部內(nèi)容總結(jié) 附圖
• 下一篇：【人教版】小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)