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高一數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)及練習(xí)題

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高一數(shù)學(xué)必修1知識點總結(jié)及練習(xí)題

高一數(shù)學(xué)必修1各章知識點總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性:

(1)元素的確定性如:世界上最高的山

(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示:{}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印

度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

1)列舉法:{a,b,c}

2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示

集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn圖:

4、集合的分類:

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2

=-5}二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意:AB有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一

集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

實例:設(shè)A={x|x2

-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作

AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1

個真子集

三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設(shè)S是一個集合,A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個子集,由S中的集合,叫做A,B的組成的集合,叫做A,B所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子交集.記作AB(讀的并集.記作:AB集A的補集(或余集)作‘A交B’),即(讀作‘A并B’),記作CSA,即AB={x|xA,且即AB={x|xA,xB}.或xB}).CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦA(chǔ)Φ=A=Cu(AB)AB=BAAB=BAABAABA(CuA)(CuB)質(zhì)ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.

例題:

1.下列四組對象,能構(gòu)成集合的是()

A某班所有高個子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)2.集合{a,b,c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=x1x2,B=xxa,若AB,則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗,已知物理實驗做得正確得有40人,化學(xué)實驗做得正確得有31人,

兩種實驗都做錯得有4人,則這兩種實驗都做對的有人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點(含邊界上的點)組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|

x2

-mx+m2

-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意:

1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零,

(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字

母無關(guān));②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關(guān)例2)2.值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.(2)畫法A、描點法:B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2)無窮區(qū)間

(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射

一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應(yīng)關(guān)系):A(原象)B(象)”對于映射f:A→B來說,則應(yīng)滿足:

集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補充:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二.函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1(C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))(1)偶函數(shù)

一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).(2).奇函數(shù)一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

(3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;○

2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;○

3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1).函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1)湊配法2)待定系數(shù)法3)換元法4)消參法10.函數(shù)最大(。┲担ǘx見課本p36頁)○

1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲怠

2利用圖象求函數(shù)的最大(。┲怠

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(小)值:如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題:

1.求下列函數(shù)的定義域:⑴yx22x15⑵x33y1(x12x1)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為[0,1],則函數(shù)f(x2)的定義域為__

3.若函數(shù)f(x1)的定義域為[2,3],則函數(shù)f(2x1)的定義域是

4.函數(shù)x2(x1)f(x)x2(1x2),若f(x)3,則x=2x(x2)5.求下列函數(shù)的值域:

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數(shù)f(x1)x24x,求函數(shù)f(x),f(2x1)的解析式7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4,則f(x)=。

8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x[0,)時,f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時f(x)=f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:

⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x110.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.

11.設(shè)函數(shù)f(x)1x2判斷它的奇偶性并且求證:f(1)f(x).

1x2x

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

1.根式的概念:一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其

中n>1,且n∈N*

負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作n00。n是奇數(shù)時,nana,當(dāng)n是偶數(shù)時,nan|a|a(a0)

a(a0)2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

當(dāng)mannam(a0,m,nN*,n1),

man1m1nN*,n1)

annam(a0,m,0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)ararars(a0,r,sR);

(2)(ar)sars

(a0,r,sR);

(3)

(ab)raras

(a0,r,sR).(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10如:y2log2x,ylogx5都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型

5函數(shù).

2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:(a0,且a1).2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10

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高中數(shù)學(xué)必修1知識點

第一章集合與函數(shù)概念一、集合有關(guān)概念:

1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。2、集合的中元素的三個特性:

(1)元素的確定性;(2)元素的互異性;(3)元素的無序性

說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。(3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示:{}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

(Ⅰ)列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。

(Ⅱ)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}(3)圖示法(文氏圖):4、常用數(shù)集及其記法:

非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R5、“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A記作a∈A,相反,a不屬于集合A記作aA6、集合的分類:

1.有限集含有有限個元素的集合2.無限集含有無限個元素的集合3.空集不含任何元素的集合二、集合間的基本關(guān)系

1.“包含”關(guān)系子集

對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,我們就說兩集合有包含關(guān)系,稱集合A為集合B的子集,記作AB

注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA集合A中有n個元素,則集合A子集個數(shù)為2n.2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

2

實例:設(shè)A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=BAB且BA①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC

④如果AB同時BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。三、集合的運算

1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

3、交集與并集的性質(zhì):A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A,A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.4、全集與補集

(1)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

(2)補集:設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集(即AS),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)。記作:CSA,即CSA={x|xS且xA}

(3)性質(zhì):⑴CU(CUA)=A⑵(CUA)∩A=Φ⑶(CUA)∪A=U

(4)(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(5)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

注意:1、如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;2、函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

定義域補充:

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

(注意:求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)

2、構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))。

(2)兩個函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①定義域一致;②表達(dá)式相同(兩點必須同時具備)值域補充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2)、應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.

C上每一點的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標(biāo)的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行于Y軸的直線最多只有一個交點

SCsAA的若干條曲線或離散點組成。(2)畫法:

A、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標(biāo)在坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.B、圖象變換法:

常用變換方法有三種,即平移變換、對稱變換和伸縮變換

Ⅰ、對稱變換:

(1)將y=f(x)在x軸下方的圖象向上翻得到y(tǒng)=f(x)的圖象如:書上P21例5(2)y=f(x)和y=f(-x)的圖象關(guān)于y軸對稱。如ya與yaxx1aax(3)y=f(x)和y=-f(x)的圖象關(guān)于x軸對稱。如ylogax與ylogaxlog1x

Ⅱ、平移變換:由f(x)得到f(xa)左加右減;由f(x)得到f(x)a上加下減

(3)作用:A、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);B、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路;C、提高解題的速度;發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4.區(qū)間的概念

(1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間;(2)無窮區(qū)間;(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

5.映射

定義:一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f:AB”

給定一個集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應(yīng),那么,我們把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

說明:函數(shù)是一種特殊的映射,映射是一種特殊的對應(yīng),①集合A、B及對應(yīng)法則f是確定的;②對應(yīng)法則有“方向性”,即強調(diào)從集合A到集合B的對應(yīng),它與從B到A的對應(yīng)關(guān)系一般是不同的;③對于映射f:A→B來說,則應(yīng)滿足:(Ⅰ)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;(Ⅲ)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6、函數(shù)的表示法:

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點:

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線,也可以是直線、折線、離散的點等等,注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù):作垂直于x軸的直線與曲線最多有一個交點。2解析法:必須注明函數(shù)的定義域;

3圖象法:描點法作圖要注意:確定函數(shù)的定義域;化簡函數(shù)的解析式;觀察函數(shù)的特征;4列表法:選取的自變量要有代表性,應(yīng)能反映定義域的特征.

注意:解析法:便于算出函數(shù)值。列表法:便于查出函數(shù)值。圖象法:便于量出函數(shù)值補充一:分段函數(shù)

在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應(yīng)的表達(dá)式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程,而應(yīng)寫成函數(shù)值幾種不同的表達(dá)式并用一個左大括號括起來,并分別注明各部分的自變量的取值情況.注意:(1)分段函數(shù)是一個函數(shù),不要把它誤認(rèn)為是幾個函數(shù);(2)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集,值域是各段值域的并集.補充二:復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x),(x∈A)稱為f是g的復(fù)合函數(shù)。7.函數(shù)單調(diào)性

(1).增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當(dāng)x1都有f(x1)總結(jié):利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟:1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其定義域是否關(guān)于原點對稱;2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據(jù)定義判定;(2)有時判定f(-x)=±f(x)比較困難,可考慮根據(jù)是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

①奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性完全相同;偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性,則其單調(diào)性恰恰相反.②奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱.③若f(x)為偶函數(shù),則f(x)f(x)f(|x|).④若奇函數(shù)f(x)定義域中含有0,則必有f(0)0.

⑤定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù),都可表示成“一個奇函數(shù)F(x)與一個偶函數(shù)G(x)的和(或差)”.如設(shè)f(x)是定義域為R的任一函數(shù),則F(x)f(x)f(x)2f(x)f(x)2,G(x).

⑥復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是:“內(nèi)偶則偶,內(nèi)奇同外”.

⑦既奇又偶函數(shù)有無窮多個(f(x)0,定義域是關(guān)于原點對稱的任意一個數(shù)集).

9、函數(shù)的解析表達(dá)式

(1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

(2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:待定系數(shù)法、換元法、消參法等,A、如果已知函數(shù)解析式的構(gòu)造時,可用待定系數(shù)法;B、已知復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的表達(dá)式時,可用換元法,這時要注意元的取值范圍;當(dāng)已知表達(dá)式較簡單時,也可用湊配法;C、若已知抽象函數(shù)表達(dá)式,則常用解方程組消參的方法求出f(x)10.函數(shù)最大(。┲担ǘx見課本p30頁)

(1)利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(小)值;(2)利用圖象求函數(shù)的最大(。┲;

(3)利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担喝绻瘮(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算1.根式的概念:

n負(fù)數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作0=0。n注意:(1)(na)a

nn(2)當(dāng)n是奇數(shù)時,aa,當(dāng)n是偶數(shù)時,a|a|nna,a0a,a0

2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪

m正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:an正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義:a_mnna(a0,m,nN,且n1)

m1m(a0,m,nN,且n1)

an0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

(1)aaarsrs(a0,r,sR)(2)(ar)sars(a0,r,sR)(3)(ab)rarbr(a0,b0,rR)

1注意:在化簡過程中,偶數(shù)不能輕易約分;如[(12)]2122而應(yīng)=21

(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)yax叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.即a>0且a≠12、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)00時,0(5)指數(shù)型函數(shù):y=N(1+p)簡寫:y=ka二、對數(shù)函數(shù)(一)對數(shù)

1.對數(shù)的概念:一般地,如果axN,那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù),記作:xlogaN(a底數(shù),N真數(shù),logaN對數(shù)式)

說明:1.注意底數(shù)的限制,a>0且a≠1;2.真數(shù)N>03.注意對數(shù)的書寫格式.2、兩個重要對數(shù):

(1)常用對數(shù):以10為底的對數(shù),log10N記為lgN;

(2)自然對數(shù):以無理數(shù)e為底的對數(shù)的對數(shù),logeN記為lnN.3、對數(shù)式與指數(shù)式的互化

xxlogaNaN

對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪結(jié)論:(1)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)

(2)logaa=1,loga1=0特別地,lg10=1,lg1=0,lne=1,ln1=0

(3)對數(shù)恒等式:alogNN(二)對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a>0,a1,M>0,N>0有:

MN)logaMlogaN兩個正數(shù)的積的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)和1、log(aaxx

2、logMaNnlogaMlogaN兩個正數(shù)的商的對數(shù)等于這兩個正數(shù)的對數(shù)差

3、logaMnlogaM(nR)一個正數(shù)的n次方的對數(shù)等于這個正數(shù)的對數(shù)n倍

說明:

1)簡易語言表達(dá):”積的對數(shù)=對數(shù)的和”……2)有時可逆向運用公式

3)真數(shù)的取值必須是(0,+∞)

4)特別注意:logaMNlogaMlogaNlogaMNlogaMlogaN注意:換底公式logablogcblogcalgblgaa0,a1,c0,c1,b0

nm利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論①logab1logba②logablogbclogcdlogad③logabmnlogab

(二)對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)ylogax(a>0,且a≠1)叫做對數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).注意:(1)對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:ylogax1,ylogax2都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

(2)對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:a>0,且a≠1

2、對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì):對數(shù)函數(shù)ylogax(a>0,且a≠1)圖像0<a<1ya>1y0(1,0)x0(1,0)x性質(zhì)定義域:(0,+∞)值域:R過點(1,0),即當(dāng)x=1時,y=0在(0,+∞)上是減函數(shù)當(dāng)x>1時,y0當(dāng)x=1時,y=0當(dāng)00且a≠1)互為反函數(shù),圖象關(guān)于y=x對稱。

5比較兩個冪的形式的數(shù)大小的方法:

(1)對于底數(shù)相同指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,可以利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來判斷.(2)對于底數(shù)不同指數(shù)相同的兩個冪的大小比較,可以利用比商法來判斷.

(3)對于底數(shù)不同也指數(shù)不同的兩個冪的大小比較,則應(yīng)通過中間值來判斷.常用1和0.

6比較大小的方法

(1)利用函數(shù)單調(diào)性(同底數(shù));(2)利用中間值(如:0,1.);(3)變形后比較;(4)作差比較(三)冪函數(shù)

1、冪函數(shù)定義:一般地,形如yx的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中x是自變量,α為常數(shù).2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義,并且圖象都過點(1,1);(2)α>0時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在[0,+∞)上是增函數(shù).特別地,當(dāng)α>1時,冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)0(1)評價模型:給定模型利用學(xué)過的知識解模型驗證是否符合實際情況。(2)幾個增長函數(shù)模型:一次函數(shù):y=ax+b(a>0)指數(shù)函數(shù):y=a(a>1)指數(shù)型函數(shù):y=ka(k>0,a>1)冪函數(shù):y=xn(nN*)對數(shù)函數(shù):y=logax(a>1)

二次函數(shù):y=ax+bx+c(a>0)增長快慢:V(ax)>V(xn)>V(logax)

x22x

解不等式(1)log2x<2

(3)分段函數(shù)的應(yīng)用:注意端點不能重復(fù)取,求函數(shù)值先判斷自變量所在的區(qū)間。

(4)二次函數(shù)模型:y=ax+bx+c(a≠0)先求函數(shù)的定義域,在求函數(shù)的對稱軸,看它在不在定義域內(nèi),在的話代進(jìn)求出最值,不在的話,將定義域內(nèi)離對稱軸最近的點代進(jìn)求最值。(5)數(shù)學(xué)建模:

(6)一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0)的根的分布兩個根都在(m,n)內(nèi)y兩個有且僅有一個在(m,n)內(nèi)x1∈(m,n)x2∈(p,q)2

2xx

mmnnxf(m)f(n)

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