考研高數(shù)知識點總結(jié) 第一單元 函數(shù)
第一單元函數(shù)1.1函數(shù)
函數(shù)是變量與變量的一種對應(yīng)關(guān)系。本書變量均取值于實數(shù)。1.1.1實數(shù)
實數(shù):有理數(shù)(分數(shù))和無理數(shù)(無限不循環(huán))的總稱。
性質(zhì):1、封閉性,實數(shù)對四則運算(加減乘除)是封閉的,即任意兩個實數(shù)進行加減乘除(除法分數(shù)不為0)運算后,其結(jié)果仍為實數(shù)。
2、有序性,即任意兩個實數(shù)可比較大。╝>b,=,0。δ:此鄰域半徑該鄰域記作O(α,δ)或O(α)3
α的去心鄰域:O(α,δ)去掉中心α記作O(α,δ)或O(α)由于α-δ 常量:在某個研究過程保持不變的量變量:可以取不同數(shù)值的量 變量y是變量x的一個函數(shù):設(shè)在某一問題中有兩個變量x和y,變量x的變化范圍為D。如果對D中每一個值x,按照某種對應(yīng)方法f,都有變量y的一個唯一確定值與之對應(yīng),則稱變量y是變量x的一個函數(shù)。記為y=f(x),x∈Dx為自變量,y為因變量或函數(shù), x的變化范圍D為函數(shù)的定義域,y的變化范圍為函數(shù)的值域,記為M 注意:函數(shù)主由對應(yīng)法則和其定義域D確定,與變量所選用的記號無關(guān)。5函數(shù)定義域:1、分母不為零 2、開偶次方,被開方式的值非負 3、對數(shù)式中真數(shù)必須>零,底數(shù)>0且≠1eg.logaXa底數(shù)Eg.1、F(x)=2lgXg(x)=lg 不等。F(x)定義域(-∞,+∞)g(x)定義域(-∞,0)∪(0,+∞) 2、F(x)=xg(x)= 等。定義域均為(-∞,+∞),對應(yīng)法則相同g(x)=F(x) 函數(shù)的表示方法:1、列表法:便于應(yīng)用 2、圖像法:直觀性,便于對函數(shù)進行定性分析 3、解析法/公式法:用解析表達式表示函數(shù)的方法4解析表達式:對于自變量和常數(shù)施以四則運算、乘冪logaX、指數(shù) 分段函數(shù):需用兩個或兩個以上的公式表示的函數(shù) 注意: 1、分段函數(shù)是由幾個公式合起來表示的一個函數(shù)2、其定義域是各段上x取值范圍的并集 3、在求函數(shù)值時,首先要根據(jù)x所在的區(qū)段,再用該區(qū)段的函數(shù)表達式 、取對數(shù) 、三角函數(shù)、反三角函數(shù)等數(shù)學(xué)運算所得到的式子 符號函數(shù):f(x)=sgnx=1(x>0);定義域D=(-∞,+∞)0(x=0);值域W={-1,0,1}-1(x<0) 對于任何實數(shù)x,x=sgnx|x| X的最大整數(shù):設(shè)x為任一實數(shù),不超過x的最大整數(shù)稱為x的最大整數(shù),記作【x】Eg.[-3.5]=-4 取整函數(shù):一般有[x]=n,當x∈[n,n+1],n=0,±1,±2…,把x看成變量,則函數(shù)f(x)=[x]稱為取整函數(shù)。定義域D=(-∞,+∞),值域:整數(shù)集Z;圖形稱為階梯曲線,在x的整數(shù)值處發(fā)生跳躍,躍度為1 1.1.3函數(shù)的性質(zhì) 1、奇偶性:設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域關(guān)于原點對稱:7偶函數(shù):f(-x)=f(x),任x∈(-a,a)關(guān)于y軸對稱奇函數(shù):若f(-x)=-f(x),任x∈(-a,a)eg.數(shù) 注意: 1、有些函數(shù)既不是奇函數(shù),也不是偶函數(shù)。eg.f(x)=x+1驗x=±1時2、任一函數(shù)可為一個偶函數(shù)和奇函數(shù)的和。3、Y=0,即為奇函數(shù),又為偶函數(shù)。2、單調(diào)性:單調(diào)遞增,單減 3、周期性:f(x+TO)=f(x),最小正數(shù)TO,稱為f(x)的周期。Eg.tanx圖84、有界性:f(x)在D內(nèi)有界,|f(x)|≤M。Eg.|sinx|≤1,M=1。必須同時有上下界。 所有反△函數(shù)都有有界性。 在閉區(qū)間[a,b]上的單調(diào)函數(shù)f(x)是[a,b]上的有界函數(shù)。 1.1.4反函數(shù) 反函數(shù):函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)x=函數(shù)y=f(x)與反函數(shù)y= (y)圖形為同一曲線。(x)圖形關(guān)于y=x對稱。 奇次冪在-∞,+∞)為奇函 單調(diào)函數(shù)定有反函數(shù),并與其函數(shù)有相同的單調(diào)性。Eg.Y= 圖像。 擴展閱讀:考研數(shù)學(xué)之高等數(shù)學(xué)講義第一章(考點知識點+概念定理總結(jié)) 高等數(shù)學(xué)講義 目錄 第一章第二章第三章第四章第五章第六章第七章第八章 函數(shù)、極限、連續(xù)1一元函數(shù)微分學(xué)24一元函數(shù)積分學(xué)49常微分方程70向量代數(shù)與空間解析幾何82多元函數(shù)微分學(xué)92多元函數(shù)積分學(xué)107無窮級數(shù)(數(shù)一和數(shù)三)129 第一章函數(shù)、極限、連續(xù)
1.1函數(shù) (甲)內(nèi)容要點一、函數(shù)的概念1.函數(shù)的定義2.分段函數(shù)二、基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)和圖象三、復(fù)合函數(shù)與初等函數(shù) 四、考研數(shù)學(xué)中常出現(xiàn)的非初等函數(shù) 1.用極限表示的函數(shù) (1)ylimfn(x) n3.反函數(shù)4.隱函數(shù) (2)ylimf(t,x) tx2.用變上、下限積分表示的函數(shù) (1)y(2)y則 xaf(t)dt 其中f(t)連續(xù),則 dyf(x)dx2(x)1(x)f(t)dt 其中1(x),2(x)可導(dǎo),f(t)連續(xù), dy(x)f[1(x)]1(x)f[2(x)]2dx五、函數(shù)的幾種性質(zhì) 1.有界性:設(shè)函數(shù)yf(x)在X內(nèi)有定義,若存在正數(shù)M,使xX都有f(x)M,則稱f(x)在X上是有界的。 2.奇偶性:設(shè)區(qū)間X關(guān)于原點對稱,若對xX,都有f(x)f(x),則稱f(x)在X上是奇 函數(shù)。 若對xX,都有f(x)f(x),則稱f(x)在X上是偶函數(shù),奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱;偶函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱。 3.單調(diào)性:設(shè)f(x)在X上有定義,若對任意x1X,x2X,x1x2都有f(x1)f(x2) [f(x1)f(x2)]則稱f(x)在X上是單調(diào)增加的[單調(diào)減少的];若對任意x1X, x2X,x1x2都有f(x1)f(x2)[f(x1)f(x2)],則稱f(x)在X上是單調(diào)不減[單調(diào)不 增] (注意:有些書上把這里單調(diào)增加稱為嚴格單調(diào)增加;把這里單調(diào)不減稱為單調(diào)增加。) 4.周期性:設(shè)f(x)在X上有定義,如果存在常數(shù)T0,使得任意xX,xTX,都有 f(xT)f(x),則稱f(x)是周期函數(shù),稱T為f(x)的周期。 由此可見,周期函數(shù)有無窮多個周期,一般我們把其中最小正周期稱為周期。
1.2極限 (甲)內(nèi)容要點 一、極限的概念與基本性質(zhì)1.極限的概念 (1)數(shù)列的極限limxnA n(2)函數(shù)的極限limf(x)A;limf(x)A;limf(x)A xxx f(x)A;limf(x)Alimf(x)A;limxx0xx0xx0 2.極限的基本性質(zhì) 定理1(極限的唯一性)設(shè)limf(x)A,limf(x)B,則A=B定理2(極限的不等式性質(zhì))設(shè)limf(x)A,limg(x)B若x變化一定以后,總有f(x)g(x),則AB 反之,AB,則x變化一定以后,有f(x)g(x)(注:當g(x)0,B0情形也稱為極限的保號性) 定理3(極限的局部有界性)設(shè)limf(x)A則當x變化一定以后,f(x)是有界的。 定理4設(shè)limf(x)A,limg(x)B則(1)lim[f(x)g(x)]AB(2)lim[f(x)g(x)]AB (3)lim[f(x)g(x)]AB (4)limf(x)A(B0)g(x)B(5)lim[f(x)]g(x)AB(A0) 二、無窮小 lim1.無窮小定義:若limf(x)0,則稱f(x)為無窮小(注:無窮小與x的變化過程有關(guān), 當x時 10,xx11為無窮小,而xx0或其它時,不是無窮。﹛x2.無窮大定義:任給M>0,當x變化一定以后,總有f(x)M,則稱f(x)為無窮大,記以 limf(x)。 3.無窮小與無窮大的關(guān)系:在x的同一個變化過程中, 若f(x)為無窮大,則 1為無窮小,f(x)1為無窮大。f(x)若f(x)為無窮小,且f(x)0,則4.無窮小與極限的關(guān)系: limf(x)Af(x)A(x),其中l(wèi)im(x)0 5.兩個無窮小的比較 設(shè)limf(x)0,limg(x)0,且limf(x)lg(x)(1)l0,稱f(x)是比g(x)高階的無窮小,記以f(x)o[g(x)]稱g(x)是比f(x)低階的無窮小 (2)l0,稱f(x)與g(x)是同階無窮小。 (3)l1,稱f(x)與g(x)是等階無窮小,記以f(x)~g(x)6.常見的等價無窮小,當x0時 sinx~x,tanx~x,arcsinx~x,arctanx~x,1cosx~ 12x,ex1~x, ln(1x)~x,(1x)1~x。 7.無窮小的重要性質(zhì) 有界變量乘無窮小仍是無窮小。 三、求極限的方法 1.利用極限的四則運算和冪指數(shù)運算法則2.兩個準則 準則1:單調(diào)有界數(shù)列極限一定存在 (1)若xn1xn(n為正整數(shù))又xnm(n為正整數(shù)),則limxnA存在,且Am n(2)若xn1xn(n為正整數(shù))又xnM(n為正整數(shù)),則limxnA存在,且AM n準則2:夾逼定理 設(shè)g(x)f(x)h(x)。若limg(x)A,limh(x)A,則limf(x)A3.兩個重要公式 公式1:limsinx1 x0x11n1u公式2:lim(1)e;lim(1)e;lim(1v)ve nuv0nu4.用無窮小重要性質(zhì)和等價無窮小代換 5.用泰勒公式(比用等價無窮小更深刻)(數(shù)學(xué)一和數(shù)學(xué)二) x2xno(xn)當x0時,e1x2!n!xx3x5x2n1nsinxx(1)o(x2n1) 3!5!(2n1)!2nx2x4nxcosx1(1)o(x2n)2!4!(2n)!nx2x3n1xln(1x)x(1)o(xn)23n2n1x3x5n1xarctanxx(1)o(x2n1)352n1(1x)1x6.洛必達法則 (1)2!x2(1)[(n1)]n!xno(xn) 法則1:( 0型)設(shè)(1)limf(x)0,limg(x)00(2)x變化過程中,f(x),g(x)皆存在 f(x)(3)limA(或) g(x)則limf(x)A(或)g(x)(注:如果lim形)法則2:( f(x)f(x)不存在且不是無窮大量情形,則不能得出lim不存在且不是無窮大量情g(x)g(x)型)設(shè)(1)limf(x),limg(x)(2)x變化過程中,f(x),g(x)皆存在(3)limf(x)A(或)g(x)則limf(x)A(或)g(x) 7.利用導(dǎo)數(shù)定義求極限 基本公式:limx0f(x0x)f(x0)f(x0)[如果存在] x8.利用定積分定義求極限 11nk基本公式limf()f(x)dx 0nnnk1[如果存在] 9.其它綜合方法 10.求極限的反問題有關(guān)方法
1.3連續(xù) (甲)內(nèi)容要點一、函數(shù)連續(xù)的概念 1.函數(shù)在一點連續(xù)的概念 定義1若limf(x)f(x0),則稱f(x)在點x0處連續(xù)。 xx0f(x)f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處左連續(xù);如果定義2設(shè)函數(shù)yf(x),如果limxx0xx0limf(x)f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點x0處右連續(xù)。 如果函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù),則f(x)在x0處既是左連續(xù),又是右連續(xù)。2.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)(上)連續(xù)的定義 如果函數(shù)yf(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點都連續(xù),則稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)。如果yf(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù),在區(qū)間端點a右連續(xù),在區(qū)間端點b左連續(xù),則稱f(x)在閉 區(qū)間[a,b]上連續(xù)。 二、函數(shù)的間斷點及其分類 1.函數(shù)的間斷點的定義 如果函數(shù)yf(x)在點x0處不連續(xù),則稱x0為f(x)的間斷點。2.函數(shù)的間斷點分為兩類:(1)第一類間斷點 設(shè)x0是函數(shù)yf(x)的間斷點,如果f(x)在間斷點x0處的左、右極限都存在,則稱x0是 f(x)的第一類間斷點。 第一類間斷點包括可去間斷點和跳躍間斷點。(2)第二類間斷點 第一類間斷點以外的其他間斷點統(tǒng)稱為第二類間斷點。常見的第二類間斷點有無窮間斷點和振蕩間斷點。例如:x0是f(x)窮間斷點,是f(x)sinsinx|x|1的可去間斷點,是f(x)的跳躍間斷點,是f(x)的無xxx1的振蕩間斷點。x 三、初等函數(shù)的連續(xù)性 1.在區(qū)間I連續(xù)的函數(shù)的和、差、積及商(分母不為零),在區(qū)間I仍是連續(xù)的。2.由連續(xù)函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合而成的復(fù)合函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)仍是連續(xù)函數(shù)。3.在區(qū)間I連續(xù)且單調(diào)的函數(shù)的反函數(shù),在對應(yīng)區(qū)間仍連續(xù)且單調(diào)。4.基本初等函數(shù)在它的定義域內(nèi)是連續(xù)的。5.初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的。 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)的函數(shù)f(x),有以下幾個基本性質(zhì),這些性質(zhì)以后都要用到。定理1(有界定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則f(x)必在[a,b]上有界。 定理2(最大值和最小值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),則在這個區(qū)間上一定存在最大值M和最小值m. 其中最大值M和最小值m的定義如下: 定義設(shè)f(x0)M是區(qū)間[a,b]上某點x0處的函數(shù)值,如果對于區(qū)間[a,b]上的任一點x,總有f(x)M,則稱M為函數(shù)f(x)在[a,b]上的最大值。同樣可以定義最小值m. 定理3(介值定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且其最大值和最小值分別為M和 m,則對于介于m和M之間的任何實數(shù)c,在[a,b]上至少存在一個,使得 f()c 推論:如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)與f(b)異號,則在(a,b)內(nèi)至少存在一個點,使得 f()0 這個推論也稱零點定理。 思考題:什么情況下能保證推論中的是唯一的? 友情提示:本文中關(guān)于《考研高數(shù)知識點總結(jié) 第一單元 函數(shù)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,考研高數(shù)知識點總結(jié) 第一單元 函數(shù):該篇文章建議您自主創(chuàng)作。 來源:網(wǎng)絡(luò)整理 免責聲明:本文僅限學(xué)習分享,如產(chǎn)生版權(quán)問題,請聯(lián)系我們及時刪除。
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