高數知識點總結(1)[1]

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函數：絕對值得性質：(1)|a+b||a|+|b|（1）表格法(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|（2）圖示法(4)|ab|=|a||b|(b0)函數的表示方法：（3）公式法（解析法）函數的幾種性質：（1）函數的有界性（2）函數的單調性（3）函數的奇偶性（4）函數的周期性定理：如果函數（1）冪函數（3）對數函數（5）反三角函數反函數：yf(x)在區(qū)間[a,b]上是單調的，則它的反函數yf（2）指數函數（4）三角函數1(x)存在，且是單值、單調的�；�本初等函數：復合函數的應用極限與連續(xù)性：數列的極限：xnxn是一個數列，a是一個定數。x（不管它多么小）如果對于任意給定的正數，總存在正整數N，使得對于n>N的一切n，不等式limxaxn的極限，或稱數列xn收斂于a，記做nnxan都成立，則稱數a是數列，或n（）定義：設收斂數列的有界性：定理：如果數列axn收斂，則數列xn一定有界推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂定義及幾何定義（略見書37頁）。（1）同號性定理：如果函數的極限：函數極限的性質：。f(x)0）（2）如果limf(x)A，且在x0的某一鄰域內（xx0），恒有f(x)0（或f(x)0），則A0xx0（3）如果limf(x)存在，則極限值是唯一的xx（4）如果lim0f(x)存在，則在f(x)在點x0的某一鄰域內（xx0）是有界的。無窮小與無窮大：xx0xx0limf(x)A，而且A>0(或A北雁高數知識點總結QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

重要極限：limg(x)A，limh(x)Axx0則limf(x)A（2）xx0準則二0xx單調有界數列必有極限定理：如果單調數列有界，則它的極限必存在sinx111xx0xx（3）lim(1)e或lim(1x)exx0x無窮小階的定義：（1）lim設、為同一過程的兩個無窮小。（1）如果lim（2）lim1cosxx2x0120，則稱是比高階的無窮小，記做o()（2）如果lim，則稱是比低階的無窮�。�3）如果limc(c0,c1)，則稱與是同階無窮�。�4）如果lim1，則稱與是等階無窮小，記做~幾種等價無窮�。簩�數函數中常用的等價無窮�。簒0時，ln(1x)~x(x0)x0時，sinx~xtanx~xloga(1x)~1lnax(x0)三角函數及反三角函數中常用的等價無窮�。�1cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x指數函數中常用的等價無窮�。簒0時，ex1~xax1exlna1~lnaxn1x1~二項式中常用的等價無窮�。篴x0時，(1x)1~axn函數在某一點處連續(xù)的條件：limf(x)f(x0)可知，函數f(x)在點x0（1）f(x)在點x0處有定義（2）當xx0時，f(x)的極限limf(x)存在xx0f(x0)（3）極限值等于函數f(x)在點x0處的函數值由連續(xù)定義xx0處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件：極限與連續(xù)的關系：如果函數f(x)在點x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當xx0時，f(x)的極限一定存在，反之，則不一定成立第二類間斷點(有一個極限不存在)也連續(xù)函數的間斷點：分類：第一類間斷點(左右極限都存在)定理：如果函數定理：如果函數定理：設函數連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性：f(x)、g(x)在點x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0反函數的連續(xù)性：yf(x)在某區(qū)間上是單調增（或單調減）的連續(xù)函數，則它的反函數x(y)也在對應的區(qū)間上是單調增（或單調減）的連續(xù)函數最大值與最小值定理：f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數f(x)在閉區(qū)間a,b上必有最大值和最小值推論：如果函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有界定理：設函數介值定理：f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，兩端點處的函數值分別為f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間(a,b)內至少有一點，使得f()(ab)(兩端點的函數值異號)，則在(a,b)的內部，至少存在一點，使推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數必能取得介于最大值與最小值之間的任何值推論（2）：設函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0f()0導數與微分導數：定義：x導數的幾何定義：函數在圖形上表示為切線的斜率x0ylim"f(xx)f(x)函數可導性與連續(xù)性之間的表示：如果函數在x處可導，則在點x處連續(xù)，也即函數在點x處連續(xù)一個數在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導

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據導數的定義求導：（1）f(x0x)f(x0)yy"|xx0limf(xlim)f(x)x0x00x（2）y"|xxlimxf(xx)f(x)0xxxx0（3）y"|xxlim00x0x基本初等函數的導數公式：(c)"0n（2）冪函數的導數公式(x)"nx（1）常數導數為零（3）三角函數的導數公式n1(sinx)"cosx(cosx)"sinx12(cotx)"cscx2sinx(cscx)"cscxcotx11（4）對數函數的導數公式：(logax)"logaexxxxlna（5）指數函數的導數公式：(a)"alnaxx（6）(e)"e（7）反三角函數的導數公式：1(tanx)"sec2(secx)"secxcostanxx2x(arcsinx)"(arctanx)"函數和、差、積、商的求導法則：法則一（具體內容見書106）法則二（具體內容見書108）法則三（具體內容見書109）11212x1x""(uv)"uv(uv)"uvuv""1(arccosx)"12(arccotx)"1x21x""(uv)"uv函數乘積的求導法則：函數商的求導法則：復合函數的求導法則：（定理見書113頁）反函數的求導法則：()"vuuvuvv22""反函數的導數等于直接函數導數的倒數基本初等函數的導數公式：（見書121頁）高階導數：二階和二階以上的導數統稱為高階導數求n階導數：（不完全歸納法）dydx2ddxdx(dy)(n)(sinx)(n)sin(xn2）(cosx)cos(xndydx2）"隱函數的導數：（見書126頁）對隱函數求導時，首先將方程兩端同時對自變量求導，但方程中的y是x的函數，它的導數用記號x(t)y(t)"1(t)"dxdxdtdxdt(t)微分概念：由參數方程所確定的函數的導數：(對數求導法：先取對數，后求導（冪指函數）t)（或y表示）dydydtdy函數可微的條件（見書133頁）如果函數dtf(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導函數f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數f(x)在點x0可導"dyf(x0)x函數的微分dy是函數的增量y的線性主部（當x0），從而，當x很小時，有ydydy""f(x)通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數的微分可記為dyf(x)dx，從而有dx基本初等函數的微分公式：（見書136頁）幾個常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)xsinxx（x用弧度）2e1x"n1x11nxtanxx（x用弧度）ln(1x)x中值定理與導數應用羅爾定理：如果函數

f(x)a,b上連續(xù)

（2）在開區(qū)間a,b內具有導數

（1）在閉區(qū)間

（3）在端點處函數值相等，即

滿足下列條件

拉格朗日中值定理：如果函數

（1）在閉區(qū)間

f(x)f(a)f(b)，則在a,b內至少有一點，使

f()0

""a,b上連續(xù)

（2）在開區(qū)間a,b內具有導數，則在a,b內至少有一點，使得f(b)滿足下列條件

f(a)f()(ba)

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于弧定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線yf(x)上的弧AB除端點處外處處具有不垂直于x軸的切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行f(x)在區(qū)間a,b內的導數恒為零，那么f(x)在a,b內是一個常數f(x)與F(x)滿足下列條件柯西中值定理：如果函數推論：如果函數（1）在閉區(qū)間ABa,b上連續(xù)（2）在開區(qū)間a,b內具有導數‘（3）F(x)在a,b內的每一點處均不為零，則在a,b內至少有一點使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()""羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣羅比達法則：（理論根據是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)當xa時，f(x)與(x)都趨于零"（2）在點a的某領域（點a可除外）內，"f(x)與f(x))都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)(x（3）lim存在（或為），則極限lim存在（或為），且lim=limxa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)在一定條件下通過分子、分母分別求導數再求極限來確定未定式的值的方法稱為羅比達法則2、x情形"""推論：如果（1）當x未定式時，f(x)與(x)都趨于零""""f(x)與(x)都存在且(x)0"（2）當|x|>N時，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或為），則極限lim存在（或為），且lim=limx"(x)x"(x)x(x)x(x)1、xa情形如果（1）xa時，f(x)與(x)都趨于無窮大"""""（2）在點a的某領域（點a可除外）內，f(x)與(x)都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或為），則則極限lim存在（或為），且lim=limxa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)x2、情形推論：如果（1）x時，f(x)與(x)都趨于無窮大""""f(x)與(x)都存在且(x)0"（2）當|x|>N時，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或為），則則極限lim存在（或為），且lim=lim0xa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)"注意：1、羅比達法則僅適用于型及型未定式f(x0)f(x)lim2、當lim不存在時，不能斷定不存在，此時不能應用羅比達法則"xaxa(x)(x)泰勒公式（略）(x)(x)邁克勞林公式（略）函數單調性的判別法：（"必要條件：設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內具有導數，如果f(x)在"，則在a,b內，f(x)0a,b上單調增加（減少）f(x)0）充分條件：設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內具有導數，"（1）如果在a,b內，f(x)0，則f(x)在a,b上單調增加"（2）如果在a,b內，f(x)0，則f(x)在a,b上單調減少函數的極值及其求法極值定義（見書176頁）必要條件：設函數極值存在的充分必要條件f(x)在點x0處具有導數，且在點x0"處取得極值，則f(x)0"函數的極值點一定是駐點導數不存在也可能成為極值點f(x)0的點，稱為函數f(x)的駐點充分條件（第一）：設連續(xù)函數f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內具有導數，當x由小增大經過x0"（1）f(x)由正變負，則x0是極大點"（2）f(x)由負變正，則x0是極小點"（3）f(x)不變號，則x0不是極值點";;充分條件（第二）：設函數f(x)在點x0處具有二階導數，且f(x0)0，f(x0)0;;（1）如果f(x0)0，則f(x)在x0點處取得極大值;;（2）如果f(x0)0，則f(x)在x0點處取得極小值駐點：使時，如果函數的最大值和最小值（略）曲線的凹凸性與拐點：定義：設f(x)在a,b上連續(xù)，如果對于a,b上的任意兩點x1、x2恒有f(x1x22)f(x1f(x2)2，則稱f(x)在a,b上

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的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。

判別法：定理：設函數

f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內具有二階導數

;;（1）如果在(a,b)內f(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凹的

;;（2）如果在(a,b)內f(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凸的

拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。

不定積分原函數：如果在某一區(qū)間上，函數F(x)與"f(x)滿足關系式：F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，則稱在這個區(qū)間上，函數F(x)是函數f(x)的一個原函數結論：如果函數f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上f(x)必有原函數定理：如果函數F(x)是f(x)的原函數，則F(x)C（C為任意常數）也是f(x)的原函數，且f(x)的任一個原函數與F(x)相差為一個常數不定積分的定義：定義：函數性質一：(不定積分的性質：f(x)的全體原函數稱為f(x)的不定積分，記做f(x)dx"性質二：有限個函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和。即12nf(x)dx)f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx"及f(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C[f(x)f(x)f(x)]dx性質三：被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，即kf(x)dxaf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dxkf(x)dx基本積分表：（同課本211頁）（1）xx（k為常數，且k0（2）xdxC(a1)kdx1kxC（k是常數）1edxeC（3）（4）xdxlna|x|Ca（5）adx（6）sinxdxcosxCC(a0,a1)1dxsecxdxtanxCaxC（7）cosxdxln（8）sin1dxcscxdxcotxC（cosxxtanxdxsecxC（9）10）sec1dxarcsinxCxcotxdxcscxC（11）sin（12）cscx1dxarctanxC1x（13）xx2222xa121x第一類換元法（湊微分法）2第二類換元法：變量代換F[(x)]Cf[(x)](x)dxtanxdxln|cosx|C"cotxdxln|sinx|C被積函數若函數有無理式，一般情況下導用第二類換元法。將無理式化為有理式基本積分表添加公式：結論：如果被積函數含有如果被積函數含有如果被積函數含有分部積分法：對應于兩個函數乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法1、如果被積函數是冪函數與ax22xa22xa22，則進行變量代換xasint化去根式，則進行變量代換xatant化去根式，則進行變量代換xasect化去根式udvuv三角函數vdu分部積分公式的積，可以利用分部積分法令u等于冪函數指數函數對數函數令u=2、如果被積函數是冪函數與對數函數反三角函數反三角函數3、如果被積函數是指數函數與三角函數的積，也可用分部積分法。定積分的定義（見課本251頁）

的積，可使用分部積分法定積分

f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數定積分的幾何意義：

1、在[a,b]上

f(x)0，這時f(x)dx的值在幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積

a2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲邊梯形面積的負值3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負值

b

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幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積定積分的性質：性質一、函數和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即bb[f(x)g(x)]dx性質二、被積函數中的常數因子可以提到積分號外面，即kf(x)dxkf(x)dx（k是常數）a性質三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[ac,c]和[c,b]，那么bf(x)dxf(x)bdxf(x)bdx、aac性質四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么bf(x)dxdxbaaa性質五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么f(x)bdx0ba性質六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么f(x)dxg(x)dxaa性質七、設M及m，分別是函數f在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則b(x)m(b-a)f(x)dxM(b-a)(aa，如果極限limbf(x)dx即f(x)dxlimf(x)dxababaf(x)dx存在，則稱此極限為函數f(x)在區(qū)間[a,]上的廣義積分，在極坐標系中的計算法（見書291頁）

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函數：

絕對值得性質：(1)|a+b||a|+|b|(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|(4)||=ba|a||b|(b0)函數的表示方法：（1）表格法（2）圖示法（3）公式法（解析法）函數的幾種性質：（1）函數的有界性（2）函數的單調性（3）函數的奇偶性（4）函數的周期性反函數：定理：如果函數yf(x)在區(qū)間[a,b]上是單調的，則它的反函數yf1(x)存在，且是單值、單調的。基本初等函數：（1）冪函數（3）對數函數（5）反三角函數（2）指數函數（4）三角函數復合函數的應用極限與連續(xù)性：

數列的極限：

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定義：設xn是一個數列，a是一個定數。如果對于任意給定的正數（不管它多么�。�，xnaa總存在正整數N，使得對于n>N的一切xn，不等式的極限，或稱數列xn收斂于a，記做n收斂數列的有界性：limxna都成立，則稱數a是數列xn（n），或xn定理：如果數列xn收斂，則數列xn一定有界推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂函數的極限：定義及幾何定義（略見書37頁）。函數極限的性質：（1）同號性定理：如果limxx0f(x)A，而且A>0(或A北雁高數知識點總結QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

（2）如果函數f(x)為無窮小，且f(x)0，則1f(x)為無窮大具有極限的函數與無窮小的關系：（1）具有極限的函數等于極限值與一個無窮小的和（2）如果函數可表為常數與無窮小的和，則該常數就是函數的極限關于無窮小的幾個性質：定理：（1）有限個無窮小的代數和也是無窮�。�2）有界函數f(x)與無窮小a的乘積是無窮小推論：（1）常數與無窮小的乘積是無窮小（2）有限個無窮小的乘積是無窮小極限的四則運算法則：定理：兩個函數f(x)、g(x)的代數和的極限等于它們的極限的代數和兩個函數f(x)、g(x)乘積的極限等于它們的極限的乘積極限存在準則與兩個重要極限：準則一（夾擠定理）設函數f(x)、g(x)、h(x)在x（1）g(x)（2）limxx0xx0x0的某個鄰域內（點x0可除外）滿足條件：f(x)h(x)g(x)A，limh(x)Axx0則limf(x)A準則二單調有界數列必有極限夢想這東西和經典一樣，永遠不會因為時間而褪色，反而更顯珍貴！

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重要極限：（1）limsinxx(11xx0定理：如果單調數列有界，則它的極限必存在11（2）lim1cosxx2x012（3）limx)xe或lim(1x)xex0無窮小階的定義：設、為同一過程的兩個無窮小。（1）如果lim（2）如果lim（3）如果lim（4）如果lim0，則稱是比高階的無窮小，記做o()，則稱是比低階的無窮小與是同階無窮小~c(c0,c1)，則稱1，則稱與是等階無窮小，記做幾種等價無窮小：對數函數中常用的等價無窮�。簂oga(1x)~1lnax(x0)x0時，ln(1x)~x(x0)三角函數及反三角函數中常用的等價無窮�。�1cosx~12x2x0時，sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x指數函數中常用的等價無窮�。簒0時，ex1~xax1exlna1~lna二項式中常用的等價無窮�。�

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nx0時，(1x)1~axa1x1~xn函數在某一點處連續(xù)的條件：由連續(xù)定義limxx0f(x)f(x0)可知，函數f(x)在點x0處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件：（1）f(x)在點x0處有定義（2）當xx0時，f(x)的極限limf(x)存在xx0（3）極限值等于函數f(x)在點x0處的函數值f(x0)極限與連續(xù)的關系：如果函數f(x)在點x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當xx0時，f(x)的極限一定存在，反之，則不一定成立函數的間斷點：分類：第一類間斷點(左右極限都存在)第二類間斷點(有一個極限不存在)連續(xù)函數的和、差、積、商的連續(xù)性：定理：如果函數f(x)、g(x)在點x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0也連續(xù)反函數的連續(xù)性：定理：如果函數yf(x)在某區(qū)間上是單調增（或單調減）的連續(xù)函數，則它的反函數x(y)也在對應的區(qū)間上是單調增（或單調減）的連續(xù)函數最大值與最小值定理：定理：設函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數f(x)在閉區(qū)間a,b上必有最大值和最小值夢想這東西和經典一樣，永遠不會因為時間而褪色，反而更顯珍貴！

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推論：如果函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有界

介值定理：

定理：設函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，兩端點處的函數值分別為

f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間(a,b)內至少有

一點，使得

f()(ab)

推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數必能取得介于最大值與最小值之間的任何值推論（2）：設函數f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0(兩端點的函數值異號)，

則在(a,b)的內部，至少存在一點，使f()0

導數與微分

導數：定義：y"limf(xx)f(x)xx0導數的幾何定義：函數在圖形上表示為切線的斜率函數可導性與連續(xù)性之間的表示：如果函數在x處可導，則在點x處連續(xù)，也即函數在點x處連續(xù)一個數在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導據導數的定義求導：（1）y"|xx（2）y"|xx（3）y"|xxlimyxlimf(x0x)f(x0)x0x0x00limf(x)f(x0)xx0xx00limf(xx)f(x)xx0夢想這東西和經典一樣，永遠不會因為時間而褪色，反而更顯珍貴！

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基本初等函數的導數公式：（1）常數導數為零(c)"0(x)"nxnn1（2）冪函數的導數公式（3）三角函數的導數公式(sinx)"cosx(cotx)"1sin2x(cosx)"sinx2(tanx)"1cos2xsec2xcscx(secx)"secxtanx(cscx)"cscxcotx(logx（4）對數函數的導數公式：（5）指數函數的導數公式：（6）(ex)"exax)"x1xlogae1xlna(a)"alna（7）反三角函數的導數公式：(arcsinx)"11x(arctanx)"11x22(arccosx)"11x2(arccotx)"11x2函數和、差、積、商的求導法則：法則一（具體內容見書106）(uv)"uv""(uv)"uv""函數乘積的求導法則：法則二（具體內容見書108）(uv)"uvuv""函數商的求導法則：法則三（具體內容見書109）()"vuuvuvv2""復合函數的求導法則：（定理見書113頁）

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反函數的求導法則：反函數的導數等于直接函數導數的倒數基本初等函數的導數公式：（見書121頁）dy2高階導數：二階和二階以上的導數統稱為高階導數求n階導數：（不完全歸納法）(sinx)(n)dx2ddxdx(dy)sin(xn2）(cosx)(n)cos(xn2）隱函數的導數：（見書126頁）對隱函數求導時，首先將方程兩端同時對自變量求導，但方程中的y是x的函數，它dydx的導數用記號（或y"表示）對數求導法：先取對數，后求導（冪指函數）x(t)(t)y(t)由參數方程所確定的函數的導數：dydxdydtdtdxdydt1dxdt(t)(t)""微分概念：函數可微的條件（見書133頁）如果函數f(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導函數f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數f(x)在點x0可導dyf(x0)x"函數的微分dy是函數的增量y的線性主部（當x0），從而，當x很小時，有ydy

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通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數的微分可記為"dyf(x)dx，從而有dydxf(x)"基本初等函數的微分公式：（見書136頁）幾個常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)x"n1x11nxsinxx2（x用弧度）tanxx（x用弧度）e1xln(1x)x中值定理與導數應用

羅爾定理：如果函數f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）在開區(qū)間a,b內具有導數（3）在端點處函數值相等，即f(a)則在a,b內至少有一點f(b)，

，使f"()0

拉格朗日中值定理：如果函數f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)

（2）在開區(qū)間a,b內具有導數，則在a,b內至少有一點，使得

"f(b)f(a)f()(ba)

f(x)上的弧AB定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線y除端點處外處處具有不垂直于x

軸的切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行于弧AB

推論：如果函數f(x)在區(qū)間a,b內的導數恒為零，那么f(x)在a,b內是一個常數

柯西中值定理：如果函數f(x)與F(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)

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（2）在開區(qū)間a,b內具有導數‘（3）F(x)在a,b內的每一點處均不為零，則在a,b內至少有一點使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()""羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣羅比達法則：（理論根據是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)當xa時，f(x)與(x)都趨于零"f(x)（2）在點a的某領域（點a可除外）內，f（3）limf(x)""(x)與(x)都存在且(x)0""xa(x)"存在（或為），則極限limf(x)xa(x)存在（或為），且limf(x)xa(x)=limxa(x)"在一定條件下通過分子、分母分別求導數再求極限來確定未定式的值的方法稱為羅比達法則2、x情形推論：如果（1）當x時，f(x)"f(x)與(x)都趨于零(x)與(x)都存在且(x)0""（2）當|x|>N時，f（3）limf(x)""x(x)"存在（或為），則極限limf(x)x(x)存在（或為），且limf(x)x(x)=limx(x)"

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未定式1、xa情形如果（1）xa時，f(x)與(x)都趨于無窮大"（2）在點a的某領域（點a可除外）內，f（3）limf(x)"(x)與(x)都存在且(x)0""f(x)"xa(x)"存在（或為），則則極限limf(x)xa(x)存在（或為），且limf(x)xa(x)=limxa(x)"2、x情形推論：如果（1）x時，f(x)與(x)都趨于無窮大f(x)"（2）當|x|>N時，f（3）limf(x)f(x)""(x)與(x)都存在且(x)0""xa(x)"存在（或為），則則極限limf(x)xa(x)存在（或為），且lim則xa(x)=limxa(x)"00注意：1、羅比達法則僅適用于型及2、當limf(x)"型未定式limf(x)xa(x)(x)"不存在時，不能斷定xa(x)(x)不存在，此時不能應用羅比達法泰勒公式（略）邁克勞林公式（略）函數單調性的判別法：必要條件：設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內具有導數，如果f(x)在a,b上單調

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增加（減少），則在a,b內，f

"(x)0（

f(x)0"）

充分條件：設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內具有導數，

（1）如果在a,b內，f（2）如果在a,b內，f"(x)0，則f(x)在a,b上單調增加(x)0"，則f(x)在a,b上單調減少

函數的極值及其求法

極值定義（見書176頁）

極值存在的充分必要條件

必要條件：設函數

f(x)在點x0處具有導數，且在點

x0處取得極值，則

f(x)0"

函數的極值點一定是駐點導數不存在也可能成為極值點駐點：使f

"(x)0的點，稱為函數f(x)的駐點

充分條件（第一）：設連續(xù)函數f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內具有導數，

當x由小增大經過x0時，如果

（1）f（2）f（3）f"(x)由正變負，則x0(x)由負變正，則x0(x)不變號，則x0是極大點是極小點

""不是極值點

"充分條件（第二）：設函數f(x)在點x0處具有二階導數，且f

（1）如果f（2）如果f;;(x0)0，f;;(x0)0

(x0)0，則f(x)在x0(x0)0點處取得極大值

;;，則f(x)在x0點處取得極小值

函數的最大值和最小值（略）曲線的凹凸性與拐點：

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f(定義：設x1x22)f(x)在a,b上連續(xù)，如果對于a,b上的任意兩點x1、x2恒有f(x1f(x2)2，則稱f(x)在a,b上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。判別法：定理：設函數f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內具有二階導數（1）如果在(a,b)內f（2）如果在(a,b)內f;;(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凹的;;(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凸的拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。不定積分

原函數：如果在某一區(qū)間上，函數F(x)與

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx"f(x)滿足關系式：

，則稱在這個區(qū)間上，函數F(x)是函數f(x)的一個

原函數

結論：如果函數f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上f(x)必有原函數

f(x)的原函數，則F(x)C（C

定理：如果函數F(x)是為任意常數）也是f(x)的原函

數，且f(x)的任一個原函數與F(x)相差為一個常數不定積分的定義：

定義：函數f(x)的全體原函數稱為f(x)的不定積分，記做f(x)dx

不定積分的性質：

性質一：(

及f(x)dx)f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx"

f(x)dxf(x)C"或df(x)f(x)C性質二：有限個函數的和的不定積分等于各個函數的不定積分的和。即

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[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx性質三：被積函數中不為零的常數因子可以提到積分號外面來，即kf(x)dxkf(x)dx（k為常數，且k0基本積分表：（同課本211頁）（1）kdx（3）1xkxC（k是常數）（2）xadxxa1a1xC(a1)dxln|x|C（4）exdx（6）sin（8）coseC（5）axdxaxlnaC(a0,a1)xdxcosxC12（7）cos（9）1sinxdxsinxCdxxdxsec2xdxtanxC2xcsc2xdxcotxC（10）sec（12）xtanxdxsecxC（11）cscxcot（13）11x2xdxcscxC11x2dxarcsinxCdxarctanxC第一類換元法（湊微分法）f[(x)](x)dxF[(x)]C"tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C第二類換元法：變量代換被積函數若函數有無理式，一般情況下導用第二類換元法。將無理式化為有理式基本積分表添加公式：結論：如果被積函數含有a2x2，則進行變量代換xasint化去根式

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如果被積函數含有x2a2，則進行變量代換x如果被積函數含有x2a2，則進行變量代換x分部積分法：對應于兩個函數乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法atant化去根式化去根式asectudvuvvdu分部積分公式三角函數指數函數1、如果被積函數是冪函數與令u等于冪函數的積，可以利用分部積分法2、如果被積函數是冪函數與對數函數反三角函數對數函數反三角函數的積，可使用分部積分法令u=3、如果被積函數是指數函數與三角函數的積，也可用分部積分法。定積分

定積分的定義（見課本251頁）

定理：如果函數f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積定積分的幾何意義：

1、在[a,b]上

f(x)0，這時f(x)dxab的值在幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二

直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積

2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲邊梯形面積的負值3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負值

幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于

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x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積定積分的性質：性質一、函數和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即ba[f(x)g(x)]dxbaf(x)dxbag(x)dx性質二、被積函數中的常數因子可以提到積分號外面，即bakf(x)dxkf(x)dxab（k是常數）性質三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[a,c]和[c,b]，那么baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx、ba性質四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么f(x)dxbabadxba性質五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么f(x)dx0性質六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么baf(x)dxbag(x)dx性質七、設M及m，分別是函數f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)baf(x)dxM(b-a)(a北雁高數知識點總結QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

牛頓萊布尼茨公式如果函數baf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的任意一個原函數，那么f(x)dxF(b)F(a)定積分的換元法假設（1）函數f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）函數x(t)在區(qū)間[,]上單值，且具有連續(xù)導數；（3）當t在區(qū)間[,]上變化時，x(t)的值在[a,b]上變化，且（）baa，（）b，則有定積分的換元公式f(x)dxf[(t)](t)dt"設f(x)在區(qū)間[a,a]上連續(xù)，則（1）如果函數f(x)為奇函數，則f(x)dx0aaa（2）如果函數f(x)為偶函數，則f(x)dx2f(x)dxa0a20sinnxdx20cosnxdx定積分的分部積分法設u(x)、v(x)在[a,b]上具有連續(xù)導數u"(x)、v"(x)，那么(uv)"bababuvvu""，在等式的兩邊分別求a到b的定積分得(uv)buvdx"bavudx"……定積分的分部積分公式即auv"dx(uv)babavudx"或audv(uv)babavdu無窮區(qū)間上的廣義積分定義：設函數f(x)在區(qū)間[a,]上連續(xù)，取b>a，如果極限limabf(x)bf(x)dx存在，則稱此極限為函數在區(qū)間[a,]上的廣義積分，記做af(x)dx即af(x)dxlimbbaf(x)dx

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無界函數的廣義積分（見書279頁）定積分的應用（見書286頁）

元素法

在極坐標系中的計算法（見書291頁）

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