0,b>0時(shí),a>ban>bn;2222當(dāng)a|b|。在不等式兩邊同號(hào)的條件下能同時(shí)取倒數(shù),但不等號(hào)的方向要改變,如:由0b;⑤若a>b,則lg(a21)lg(b21),⑥若a" />

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高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明

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高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明

要點(diǎn)重溫之不等式的性質(zhì)與證明

1.在不等式兩邊非負(fù)的條件下能同時(shí)平方或開(kāi)方,具體的:當(dāng)a>0,b>0時(shí),a>ban>bn;

2222

當(dāng)a|b|。在不等式兩邊同號(hào)的條件下能同時(shí)取倒數(shù),但不等號(hào)的方向要改變,如:由0b;⑤若a>b,則lg(a21)lg(b21),⑥若ab;⑦若a0,則

acabcbbaab3

322

;⑨若a>b且

1a1b,則a>0,bb>c且a+b+c=0,則:①a>ab,②b>bc,③bc由⑤×9+⑥得:

163≤9a+c≤13⑦,即

163≤f(3)≤13。錯(cuò)誤的原因在于:

當(dāng)且僅當(dāng)1=-a-c且2=4a+c時(shí)⑤式中的1=a成立,此時(shí),a=1,c=-2;當(dāng)且僅當(dāng)-4a-4c=8且4a+c=3時(shí)⑥式中的可見(jiàn)⑤⑥兩式不可能同時(shí)成立,所以⑦中的正解是待定系數(shù)得f(3)=∴7≤f(3)≤

34353163113=c成立,此時(shí),a=

53,c=113;

=9a+c不成立;同理,9a+c=13也不成立。

53f(1)+

83f(2),又:≤53f(1)≤

103;

163≤

83f(2)≤8

。在此過(guò)程中雖然也用了“同向不等式相加”,但由錯(cuò)解分析知:當(dāng)a=1,

53c=-2時(shí),不等式c=113≤5353f(1)和

103163≤

8383f(2)中的等號(hào)同時(shí)成立,即f(3)=7成立;而當(dāng)a=

34353,

時(shí),不等式f(1)≤和f(2)≤8中的等號(hào)同時(shí)成立,即f(3)=成立;所以這

個(gè)解法是沒(méi)有問(wèn)題的?梢(jiàn),在求變量范圍時(shí)也并非絕對(duì)不能用“同向不等式相加”,只要“等號(hào)”能同時(shí)成立即可;對(duì)不含等號(hào)的同向不等式相加時(shí)則需它們能同時(shí)“接近”。

注:本題還可以用“線性規(guī)劃”求解:在約束條件-2≤f(1)≤-1,2≤f(2)≤3下求目標(biāo)函數(shù)f(3)的最大、最小值。

[鞏固]設(shè)正實(shí)數(shù)a、b、c、x、y,且a、b、c為常數(shù),x、y為變量,若x+y=c,則的最大值是:A.(ab)cB.

abc2ax+byC.

a2bcD.

(ab)22

3.關(guān)注不等式||x|-|y||≤|x±y|≤|x|+|y|及其等號(hào)成立的條件;具體的:xy≥0

|x+y|=|x|+|y|;xy≥0且|x|≥|y||x-y|=|x|-|y|;xy≥0且|x|≤|y||x-y|=|y|-|x|;xy≤0|x-y|=|x|+|y|;xy≤0且|x|≥|y||x+y|=|x|-|y|;xy≤0且|x|≤|y||x+y|=|y|-|x|。

[舉例1]若m>0,則|x-a|其中包含常用不等式:ab≥

ab222(ab)22;(ab)(1a1b)≥4以及基本不等式:

ab2≥ab,基本不等式還有另外兩種形式:若a≤0、b≤0,則≤ab;

若:a、b∈R,則a2b2≥2ab;用基本不等式求最值時(shí)要關(guān)注變量的符號(hào)、放縮后是否為定值、等號(hào)能否成立(即:一正、二定、三相等,積定和小、和定積大)。[舉例1]若直線ax+2by-2=0(a,b>0)始終平分圓x+y-4x-2y-8=0的周長(zhǎng),則值為。

解析:圓心(2,1),“直線始終平分圓”即圓心在直線上,∴a+b=1,

1a2baba2a2bbba2ab122

2

1a2b的最小

=3322,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=時(shí)等號(hào)成立。

[舉例2]正數(shù)a,b滿(mǎn)足a+3=b(a-1),則ab的最小值是,a+b的最大值是。解析:ab=a+b+3≥2ab+3ab-2ab-3≥0等號(hào)成立。a+b=ab-3≤(

ab≥3ab≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)

ab2)-3(ab)4(ab)120a+b≥6,當(dāng)且僅當(dāng)

22a=b=3時(shí)等號(hào)成立。

注:該方法的實(shí)質(zhì)是利用基本不等式將等式轉(zhuǎn)化為不等式后,解不等式;而不是直接用基本不等式放縮得到最值,因此不存在放縮后是否為定值的問(wèn)題。[鞏固1]在等式119中填上兩個(gè)自然數(shù),使它們的和最小。

[鞏固2]某工廠第一年年產(chǎn)量為A,第二年的年增長(zhǎng)率為a,第三年的年增長(zhǎng)率為b,這兩年的平均增長(zhǎng)率為x,則

A.xab2

ab2

ab2()

ab2B.xC.xD.x

[遷移]甲、乙兩人同時(shí)從寢室到教室,甲一半路程步行、一半路程跑步,乙一半時(shí)間步行、

一半時(shí)間跑步,如果兩人步行速度、跑步速度均相同,則:

A.甲先到教室B.乙先到教室C.兩人同時(shí)到教室D.不能確定誰(shuí)先到教室5.比較大小的方法有:①比差:判斷“差”的正負(fù),因式分解往往是關(guān)鍵;②比商:判斷“商”與1的大小,兩個(gè)式子都正才能比商,常用于指數(shù)式的比較;③變形:如平方(需為正數(shù))、有理化(根式的和、差)等;④尋求中間變量,常見(jiàn)的有0,1等;⑤數(shù)形結(jié)合。用定義證明單調(diào)性的過(guò)程就是已知自變量的大小比較函數(shù)值的大小的過(guò)程。[舉例1]已知ab0且ab1,若0c1,plogp、q的大小關(guān)系是()

abc222,qlogc(1ab),則

2A.pq解析:記x=

ab222B.pqC.pqD.pq,y=(

1ab)2,直接比較x、y的大小將大費(fèi)周章,但:x>

2ab2=1,y=

1ab2ab1ab2x

12ab2=

14,∴x>y,又0[遷移]已知an=2n-1,數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,bn=對(duì)一切自然數(shù)n,恒有Tn

擴(kuò)展閱讀:高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第六章不等式

高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容:

不等式.不等式的基本性質(zhì).不等式的證明.不等式的解法.含絕對(duì)值的不等式.考試要求:

(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明.

(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用.

(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式.(4)掌握簡(jiǎn)單不等式的解法.

(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知識(shí)要點(diǎn)

1.不等式的基本概念

(1)不等(等)號(hào)的定義:ab0ab;ab0ab;ab0ab.(2)不等式的分類(lèi):絕對(duì)不等式;條件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式與異向不等式.

(4)同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

(1)abba(對(duì)稱(chēng)性)

(2)ab,bcac(傳遞性)

(3)abacbc(加法單調(diào)性)

(4)ab,cdacbd(同向不等式相加)(5)ab,cdacbd(異向不等式相減)(6)a.b,c0acbc

(7)ab,c0acbc(乘法單調(diào)性)

(8)ab0,cd0acbd(同向不等式相乘)

(9)ab0,0cdabcd(異向不等式相除)

(10)ab,ab011(倒數(shù)關(guān)系)ab(11)ab0anbn(nZ,且n1)(平方法則)(12)ab0nanb(nZ,且n1)(開(kāi)方法則)

3.幾個(gè)重要不等式

(1)若aR,則|a|0,a20

(2)若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))(3)如果a,b都是正數(shù),那么abab.(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))

2極值定理:若x,yR,xyS,xyP,則:1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),S的值最;○

2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件:一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc(當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))ba(5)若ab0,則2(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))

ab(6)a0時(shí),|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

(7)若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個(gè)著名不等式

(1)平均不等式:如果a,b都是正數(shù),那么

211abababa2b2(當(dāng)僅當(dāng)

.22a=b時(shí)

取等號(hào))即:平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均(a、b為正數(shù)):

2222abababab22特別地,ab((當(dāng)a=b時(shí),())ab)

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時(shí)取等)3322...an冪平均不等式:a12a221(a1a2...an)2n注:例如:(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放縮法:①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

(2)柯西不等式:若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則(a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)123n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

(3)琴生不等式(特例)與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22則稱(chēng)f(x)為凸(或凹)函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

(1)整式不等式的解法(根軸法).

步驟:正化,求根,標(biāo)軸,穿線(偶重根打結(jié)),定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論;

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.

(2)分式不等式的解法:先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化,則

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0(3)無(wú)理不等式:轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定義域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)](4).指數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb(5)對(duì)數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)(6)含絕對(duì)值不等式

1應(yīng)用分類(lèi)討論思想去絕對(duì)值;○2應(yīng)用數(shù)形思想;○

3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注:常用不等式的解法舉例(x為正數(shù)):①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類(lèi)似于ysinxcosxsinx(1sinx),③|x1||x||1|(x與1同號(hào),故取等)2

22xxx

友情提示:本文中關(guān)于《高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_不等式的性質(zhì)與證明:該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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