高中數(shù)學選修2-1知識點總結(jié)(考前復習必備)

高二數(shù)學選修2－1知識點

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．

11、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡稱為橢圓．這兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在x軸上

焦點在y軸上

圖形

標準方程范圍頂點軸長焦點焦距對稱性離心率準線方程

x2y21ab0a2b2axa且byb1a,0、2a,010,b、20,b

y2x21ab0a2b2bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0

1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q都是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

短軸的長2b長軸的長2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

cb2e120e1aaa2x

ca2y

c13、設是橢圓上任一點，點到F1對應準線的距離為d1，點到F2對應準線的距離為d2，

第1頁共5頁

則

F1d1F2d2e．

漸近線方程

ybxayaxb16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

17、設是雙曲線上任一點，點到F1對應準線的距離為d1，點到F2對應準線的距離為d2，則

14、平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點的軌跡稱為雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．

15、雙曲線的幾何性質(zhì)：

焦點在y軸上焦點的位置焦點在x軸上

F1d1F2d2e．

18、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋

物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．

19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

圖形

標準方程范圍頂點軸長焦點焦距對稱性離心率準線方程

x2y221a0,b02abxa或xa，yR1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

y2x221a0,b02abya或ya，xR10,a、20,aF10,c、F20,c

p；2p2若點x0,y0在拋物線y2pxp0上，焦點為F，則Fx0；

2p2若點x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點為F，則Fy0；

2p2若點x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點為F，則Fy0．

2若點x0,y0在拋物線y2pxp0上，焦點為F，則Fx02

21、拋物線的幾何性質(zhì)：標準方程

y22pxy22pxx22pyx22py

虛軸的長2b實軸的長2a

p0

p0p0

p0

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

圖形

cb2e12e1aa頂點

0,0

x軸

y軸

a2x

ca2y

c對稱軸

第2頁共5頁

焦點

pF,02pF,02pF0,2pF0,

22求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角

形法則．即：在空間任取一點，作a，b，則ab．

24、實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當0時，a與a方

準線方程

xp2xp2yp2yp2離心率e1

向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a為零向量，記為0．a(chǎn)的長度是ay0

y0

的長度的倍．

范圍x0x0

22、空間向量的概念：

25、設，為實數(shù)，a，b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律．

分配律：abab；結(jié)合律：aa．

1在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．

2向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量

的方向．

26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．

，記作．3向量的大小稱為向量的模（或長度）

27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，bb0，a//b的充要條件是存在實

4模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量．5與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量稱為相等向量．

23、空間向量的加法和減法：

它遵循平行1求兩個向量和的運算稱為向量的加法，

四邊形法則．即：在空間以同一點為起點的兩個已

數(shù)，使ab．

28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．

29、向量共面定理：空間一點位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使

xyC；xyC；或?qū)�空間任一定點，有或若四點，，，C共面，則xyzCxyz1．

30、已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點，作a，b，則稱為向量a，b的夾角，記作a,b．兩個向量夾角的取值范圍是：a,b0,．

知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起

點的對角線C就是a與b的和，這種求向量和的方

法，稱為向量加法的平行四邊形法則．

31、對于兩個非零向量a和b，若a,b，則向量a，b互相垂直，記作ab．

2第3頁共5頁

稱為a，b的數(shù)量積，記作ab．即32、已知兩個非零向量a和b，則abcosa,bababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．

33、ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積．

39、設e1，e2，e3為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽�交基底），以e1，e2，e3的公共起點為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空

間直角坐標系xyz．則對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點與原點重

34、若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；

合，得到向量p．存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標，記作px,y,z．此時，向量p的坐標是點

2aba與b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．

ab在空間直角坐標系xyz中的坐標x,y,z．

bx,y,za40、設ax1,y1,z1，222，則1bx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

35、向量數(shù)乘積的運算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．a(chǎn)aax12y12z12．

x1x2y1y2z1z2ab8．cosa,b222222abx1y1z1x2y2z236、若i，j，k是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxiyjzk，稱xi，yj，zk為向量p在i，j，k上的分量．

37、空間向量基本定理：若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在實數(shù)組x,y,z，使得pxaybzc．

738、若三個向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．這個集合可看作是由向量a，b，c生成的，

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，則d量稱為點的位置向量．

x2x1y2y1z2z1222．

a,b,c稱為空間的一個基底，a，b，c稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)

41、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示．向

成空間的一個基底．

第4頁共5頁

42、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點以及一個定方向確定．點是直線l上

一點，向量a表示直線l的方向向量，則對于直線l上的任意一點，有ta，這樣點和

向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點．

43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設這兩條相交直線相交于點，

它們的方向向量分別為a，b．為平面上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使得xayb，這樣點與向量a，b就確定了平面的位置．

44、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量．

45、若空間不重合兩條直線a，b的方向向量分別為a，b，則a//ba//babR，ababab0．

46、若直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為a，b，則//a//b

51、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應向量的模計算．

52、在直線l上找一點，過定點且垂直于直線l的向量為n，則定點到直線l的距離為

ndcos,n．

n53、點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點，n為平面的一個法向量，則點到平面

n的距離為dcos,n．

n

ab，abab0．

48、設異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有

abcoscos．

ab49、設直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為，

ln則有sincos．

ln50、設n1，n2是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補角）

n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角為，則cos．

n1n2第5頁共5頁

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高二數(shù)學選修2－1知識點

1、命題：用語言、符號或式子表達的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，則這兩個命題稱為互逆命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆命題.若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個命題稱為互否命題.中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對于兩個命題，如果一個命題的條件和結(jié)論恰好是另一個命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個命題稱為互為逆否命題.其中一個命題稱為原命題，另一個稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題

真真真真真假假真假真真真假假假假

四種命題的真假性之間的關(guān)系：

全稱命題“對中任意一個x，有px成立”，記作“x，px”．短語“存在一個”、“至少有一個”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個x，使px成立”，記作“x，px”．

10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．

11、平面內(nèi)與兩個定點F）的點的軌跡稱為橢圓．這1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2兩個定點稱為橢圓的焦點，兩焦點的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點的位置焦點在x軸上

焦點在y軸上

圖形

標準方程范圍頂點軸長焦點焦距對稱性離心率準線方程

x2y21ab0a2b2axa且byby2x21ab0a2b2bxb且aya

1兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q都是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題中有一個命題是假命題時，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個新命題，記作pq．

當p、q兩個命題中有一個命題是真命題時，pq是真命題；當p、q兩個命題都是假命題時，pq是假命題．

對一個命題p全盤否定，得到一個新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．

9、短語“對所有的”、“對任意一個”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

1a,0、2a,010,b、20,b

10,a、20,a1b,0、2b,0

短軸的長2b長軸的長2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸、原點對稱

cb2e120e1aaa2x

ca2y

c13、設是橢圓上任一點，點到F點到F2對應準線的距離為d2，1對應準線的距離為d1，

第1頁共5頁則

F1d1F2d2e．

漸近線方程

ybxayaxb16、實軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

17、設是雙曲線上任一點，點到F點到F2對應準線的距離為d2，1對應準線的距離為d1，則

14、平面內(nèi)與兩個定點F）的點的軌跡稱為1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2雙曲線．這兩個定點稱為雙曲線的焦點，兩焦點的距離稱為雙曲線的焦距．

15、雙曲線的幾何性質(zhì)：

焦點在y軸上焦點的位置焦點在x軸上

F1d1F2d2e．

18、平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡稱為拋物線．定點F稱為拋

物線的焦點，定直線l稱為拋物線的準線．

19、過拋物線的焦點作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

圖形

標準方程范圍頂點軸長焦點焦距對稱性離心率準線方程

x2y221a0,b02abxa或xa，yRy2x221a0,b02abya或ya，xR

p；2p若點x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點為F，則Fx0；

2p2若點x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點為F，則Fy0；

2p2若點x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點為F，則Fy0．

2若點x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點為F，則Fx0

21、拋物線的幾何性質(zhì)：標準方程

1a,0、2a,0F1c,0、F2c,0

10,a、20,aF10,c、F20,c

y22pxy22pxx22py

虛軸的長2b實軸的長2a

p0p0p0

x22pyp0

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點中心對稱

圖形

cb2e12e1aaa2x

ca2y

c頂點

0,0

x軸

y軸

對稱軸

第2頁共5頁焦點

pF,02xp2pF,02xp2pF0,

2yp2pF0,

2yp22求兩個向量差的運算稱為向量的減法，它遵循三角

形法則．即：在空間任取一點，作a，b，則ab．

24、實數(shù)與空間向量a的乘積a是一個向量，稱為向量的數(shù)乘運算．當0時，a與a方

準線方程

離心率

e1

向相同；當0時，a與a方向相反；當0時，a為零向量，記為0．a(chǎn)的長度是ay0

y0

的長度的

范圍

x0x0

倍．

22、空間向量的概念：

25、設，為實數(shù)，a，b是空間任意兩個向量，則數(shù)乘運算滿足分配律及結(jié)合律．

1在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．

2向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長度表示向量的大小，箭頭所指的方向表示向量

的方向．

分配律：abab；結(jié)合律：aa．

26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．

，記作．3向量的大小稱為向量的模（或長度）

27、向量共線的充要條件：對于空間任意兩個向量a，bb0，a//b的充要條件是存在實

4模（或長度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量．5與向量a長度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量稱為相等向量．

23、空間向量的加法和減法：

它遵循平行1求兩個向量和的運算稱為向量的加法，

四邊形法則．即：在空間以同一點為起點的兩個已

數(shù)，使ab．

28、平行于同一個平面的向量稱為共面向量．

29、向量共面定理：空間一點位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x，y，使

或?qū)�空間任一定點，有或若四點，，，xyC；xyC；

C共面，則xyzCxyz1．

30、已知兩個非零向量a和b，在空間任取一點，作a，b，則稱為向

量a，b的夾角，記作a,b．兩個向量夾角的取值范圍是：a,b0,．

知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起

點的對角線C就是a與b的和，這種求向量和的方

法，稱為向量加法的平行四邊形法則．

aa31、對于兩個非零向量和b，若a,b，則向量，b互相垂直，記作ab．

2第3頁共5頁a,b稱為a，b的數(shù)量積，記作ab．即32、已知兩個非零向量a和b，則abcosababcosa,b．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．

33、ab等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcosa,b的乘積．34、若a，b為非零向量，e為單位向量，則有1eaaeacosa,e；

39、設e1，e2，e3為有公共起點的三個兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝徽�交基底），以e1，e2，e3的公共起點為原點，分別以e1，e2，e3的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立空

間直角坐標系xyz．則對于空間任意一個向量p，一定可以把它平移，使它的起點與原點重

合，得到向量p．存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z稱作向量p在單位正交基底e1，e2，e3下的坐標，記作px,y,z．此時，向量p的坐標是點

2aba與b同向，aaa，aaa；2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．

ab在空間直角坐標系xyz中的坐標x,y,z．

40、設ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，則1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

35、向量數(shù)乘積的運算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．

5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．

36、若i，j，k是空間三個兩兩垂直的向量，則對空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組x,y,z，

使得pxiyjzk，稱xi，yj，zk為向量p在i，j，k上的分量．

37、空間向量基本定理：若三個向量a，b，c不共面，則對空間任一向量p，存在實數(shù)組

6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．

aaax12y12z12．7x1x2y1y2z1z2abcosa,b．8222222abx1y1z1x2y2z2x,y,z，使得pxaybzc．

38、若三個向量a，b，c不共面，則所有空間向量組成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．這個集合可看作是由向量a，b，c生成的，

9x1,y1,z1，x2,y2,z2，則d量稱為點的位置向量．

x2x1y2y1z2z1222．

aa,b,c稱為空間的一個基底，，b，c稱為基向量．空間任意三個不共面的向量都可以構(gòu)

41、在空間中，取一定點作為基點，那么空間中任意一點的位置可以用向量來表示．向

成空間的一個基底．

第4頁共5頁42、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個定點以及一個定方向確定．點是直線l上

一點，向量a表示直線l的方向向量，則對于直線l上的任意一點，有ta，這樣點和

向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直線l上的任意一點．

43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設這兩條相交直線相交于點，

它們的方向向量分別為a，b．為平面上任意一點，存在有序?qū)崝?shù)對x,y，使得

xayb，這樣點與向量a，b就確定了平面的位置．

44、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量．

45、若空間不重合兩條直線a，b的方向向量分別為a，b，則a//ba//b

51、點與點之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點對應向量的模計算．

52、在直線l上找一點，過定點且垂直于直線l的向量為n，則定點到直線l的距離為

ndcos,n．

n53、點是平面外一點，是平面內(nèi)的一定點，n為平面的一個法向量，則點到平面

n的距離為dcos,n．

n

abR，ababab0．

46、若直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空間不重合的兩個平面，的法向量分別為a，b，則//a//b

ab，abab0．

48、設異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有

abcoscos．

ab49、設直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與n的夾角為，

ln則有sincos．

ln50、設n1，n2是二面角l的兩個面，的法向量，則向量n1，n2的夾角（或其補角）

n1n2就是二面角的平面角的大小．若二面角l的平面角為，則cos．

n1n2第5頁共5頁

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