高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 第六章不等式
高中數(shù)學(xué)第六章-不等式
考試內(nèi)容:
不等式.不等式的基本性質(zhì).不等式的證明.不等式的解法.含絕對(duì)值的不等式.考試要求:
(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明.
(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡單的應(yīng)用.
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.(4)掌握簡單不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
06.不等式知識(shí)要點(diǎn)
1.不等式的基本概念
(1)不等(等)號(hào)的定義:ab0ab;ab0ab;ab0ab.(2)不等式的分類:絕對(duì)不等式;條件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式與異向不等式.
(4)同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)
(1)abba(對(duì)稱性)
(2)ab,bcac(傳遞性)
(3)abacbc(加法單調(diào)性)
(4)ab,cdacbd(同向不等式相加)(5)ab,cdacbd(異向不等式相減)(6)a.b,c0acbc
(7)ab,c0acbc(乘法單調(diào)性)
(8)ab0,cd0acbd(同向不等式相乘)
(9)ab0,0cdabcd(異向不等式相除)
(10)ab,ab011(倒數(shù)關(guān)系)ab(11)ab0anbn(nZ,且n1)(平方法則)(12)ab0nanb(nZ,且n1)(開方法則)
3.幾個(gè)重要不等式
(1)若aR,則|a|0,a20
(2)若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))(3)如果a,b都是正數(shù),那么abab.(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))
2極值定理:若x,yR,xyS,xyP,則:1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),S的值最;○
2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),P的值最大.○
利用極值定理求最值的必要條件:一正、二定、三相等.
(4)若a、b、cR,則abc3abc(當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))ba(5)若ab0,則2(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))
ab(6)a0時(shí),|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa
(7)若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個(gè)著名不等式
(1)平均不等式:如果a,b都是正數(shù),那么
211abababa2b2(當(dāng)僅當(dāng)
.22a=b時(shí)
取等號(hào))即:平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均(a、b為正數(shù)):
2222abababab22特別地,ab((當(dāng)a=b時(shí),())ab)
2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時(shí)取等)3322...an冪平均不等式:a12a221(a1a2...an)2n注:例如:(acbd)2(a2b2)(c2d2).
1111111常用不等式的放縮法:①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)
(2)柯西不等式:若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則(a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)123n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)
(3)琴生不等式(特例)與凸函數(shù)、凹函數(shù)
若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有
f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)
).22則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).
5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根軸法).
步驟:正化,求根,標(biāo)軸,穿線(偶重根打結(jié)),定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論;
2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.
(2)分式不等式的解法:先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化,則
f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0(3)無理不等式:轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定義域
f(x)g(x)f(x)0○2
f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)](4).指數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)
af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb(5)對(duì)數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)(6)含絕對(duì)值不等式
1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值;○2應(yīng)用數(shù)形思想;○
3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化○
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)
注:常用不等式的解法舉例(x為正數(shù)):①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx),③|x1||x||1|(x與1同號(hào),故取等)2
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高中數(shù)學(xué)第六章-不等式
考試內(nèi)容:
不等式.不等式的基本性質(zhì).不等式的證明.不等式的解法.含絕對(duì)值的不等式.考試要求:
(1)理解不等式的性質(zhì)及其證明.
(2)掌握兩個(gè)(不擴(kuò)展到三個(gè))正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理,并會(huì)簡單的應(yīng)用.
(3)掌握分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式.(4)掌握簡單不等式的解法.
(5)理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
06.不等式知識(shí)要點(diǎn)
1.不等式的基本概念
(1)不等(等)號(hào)的定義:ab0ab;ab0ab;ab0ab.(2)不等式的分類:絕對(duì)不等式;條件不等式;矛盾不等式.(3)同向不等式與異向不等式.
(4)同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)
(1)abba(對(duì)稱性)
(2)ab,bcac(傳遞性)
(3)abacbc(加法單調(diào)性)
(4)ab,cdacbd(同向不等式相加)(5)ab,cdacbd(異向不等式相減)(6)a.b,c0acbc
(7)ab,c0acbc(乘法單調(diào)性)
(8)ab0,cd0acbd(同向不等式相乘)
(9)ab0,0cdabcd(異向不等式相除)
(10)ab,ab011(倒數(shù)關(guān)系)ab(11)ab0anbn(nZ,且n1)(平方法則)(12)ab0nanb(nZ,且n1)(開方法則)
3.幾個(gè)重要不等式
(1)若aR,則|a|0,a20
(2)若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))(3)如果a,b都是正數(shù),那么abab.(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))
2極值定理:若x,yR,xyS,xyP,則:1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),S的值最小;○
2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí),P的值最大.○
利用極值定理求最值的必要條件:一正、二定、三相等.
(4)若a、b、cR,則abc3abc(當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào))ba(5)若ab0,則2(當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào))
ab(6)a0時(shí),|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa
(7)若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個(gè)著名不等式
(1)平均不等式:如果a,b都是正數(shù),那么
211abababa2b2(當(dāng)僅當(dāng)
.22a=b時(shí)
取等號(hào))即:平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均(a、b為正數(shù)):
2222abababab22特別地,ab((當(dāng)a=b時(shí),())ab)
2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時(shí)取等)3322...an冪平均不等式:a12a221(a1a2...an)2n注:例如:(acbd)2(a2b2)(c2d2).
1111111常用不等式的放縮法:①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)
(2)柯西不等式:若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則(a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)123n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)
(3)琴生不等式(特例)與凸函數(shù)、凹函數(shù)
若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有
f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)
).22則稱f(x)為凸(或凹)函數(shù).
5.不等式證明的幾種常用方法
比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.
6.不等式的解法
(1)整式不等式的解法(根軸法).
步驟:正化,求根,標(biāo)軸,穿線(偶重根打結(jié)),定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論;
2②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.
(2)分式不等式的解法:先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化,則
f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0(3)無理不等式:轉(zhuǎn)化為有理不等式求解○1f(x)g(x)g(x)0定義域
f(x)g(x)f(x)0○2
f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)](4).指數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)
af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb(5)對(duì)數(shù)不等式:轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式
f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)(6)含絕對(duì)值不等式
1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值;○2應(yīng)用數(shù)形思想;○
3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化○
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)
g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)
注:常用不等式的解法舉例(x為正數(shù)):①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx),③|x1||x||1|(x與1同號(hào),故取等)2
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