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初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

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初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)對應(yīng)練習(xí)試題

一、選擇題

1.二次函數(shù)yx4x7的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

2

22A.(2,-11)B.(-2,7)C.(2,11)D.(2,-3)2.把拋物線y2x向上平移1個單位,得到的拋物線是()

A.y2(x1)B.y2(x1)C.y2x1D.y2x13.函數(shù)ykxk和y2222k(k0)在同一直角坐標(biāo)系中圖象可能是圖中的()x

4.已知二次函數(shù)yaxbxc(a0)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論:①a,b同號;②當(dāng)x1和x3時,函數(shù)值相等;③4ab0④當(dāng)y2時,x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是()

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.已知二次函數(shù)yaxbxc(a0)的頂點(diǎn)坐標(biāo)(-1,-3.2)及部分圖象(如圖),

2由圖象可知關(guān)于x的一元二次方程axbxc0的兩個根分別是x11.3和x222()

A.-1.3B.-2.3C.-0.3D.-3.36.已知二次函數(shù)yaxbxc的圖象如圖所示,則點(diǎn)(ac,bc)在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限7.方程2xx222的正根的個數(shù)為()xA.0個B.1個C.2個.3個

8.已知拋物線過點(diǎn)A(2,0),B(-1,0),與y軸交于點(diǎn)C,且OC=2.則這條拋物線的解析式為

A.yxx2B.yxx2

C.yxx2或yxx2D.yxx2或yxx2

222222

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二、填空題

9.二次函數(shù)yxbx3的對稱軸是x2,則b_______。

10.已知拋物線y=-2(x+3)+5,如果y隨x的增大而減小,那么x的取值范圍是_______.

11.一個函數(shù)具有下列性質(zhì):①圖象過點(diǎn)(-1,2),②當(dāng)x<0時,函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大;滿足上述兩條性質(zhì)的函數(shù)的解析式是(只寫一個即可)。

12.拋物線y2(x2)6的頂點(diǎn)為C,已知直線ykx3過點(diǎn)C,則這條直線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為。

13.二次函數(shù)y2x4x1的圖象是由y2xbxc的圖象向左平移1個單位,再向下平移2個單位得到的,則b=,c=。

14.如圖,一橋拱呈拋物線狀,橋的最大高度是16米,跨度是40米,在線段AB上離中心M處5米的地方,橋的高度是(π取3.14).

2222三、解答題:

15.已知二次函數(shù)圖象的對稱軸是x30,圖象經(jīng)過(1,-6),且與y軸的交點(diǎn)為(0,(1)求這個二次函數(shù)的解析式;

(2)當(dāng)x為何值時,這個函數(shù)的函數(shù)值為0?

(3)當(dāng)x在什么范圍內(nèi)變化時,這個函數(shù)的函數(shù)值y隨x的增大而增大?

16.某種爆竹點(diǎn)燃后,其上升高度h(米)和時間t(秒)符合關(guān)系式hv0t2

5).2第15題圖

12,其中重gt(0

17.如圖,拋物線yxbxc經(jīng)過直線yx3與坐標(biāo)軸的兩個交點(diǎn)A、B,此拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)為C,拋物線頂點(diǎn)為D.(1)求此拋物線的解析式;

(2)點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn),求使SAPC:SACD5:4的點(diǎn)P的坐標(biāo)。

18.紅星建材店為某工廠代銷一種建筑材料(這里的代銷是指廠家先免費(fèi)提供貨源,待貨物售出后再進(jìn)行結(jié)算,未售出的由廠家負(fù)責(zé)處理).當(dāng)每噸售價為260元時,月銷售量為45噸.該建材店為提高經(jīng)營利潤,準(zhǔn)備采取降價的方式進(jìn)行促銷.經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn):當(dāng)每噸售價每下降10元時,月銷售量就會增加7.5噸.綜合考慮各種因素,每售出一噸建筑材料共需支付廠家及其它費(fèi)用100元.設(shè)每噸材料售價為x(元),該經(jīng)銷店的月利潤為y(元).

(1)當(dāng)每噸售價是240元時,計算此時的月銷售量;(2)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出x的取值范圍);(3)該建材店要獲得最大月利潤,售價應(yīng)定為每噸多少元?

(4)小靜說:“當(dāng)月利潤最大時,月銷售額也最大.”你認(rèn)為對嗎?請說明理由.

2

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練習(xí)試題答案

一,選擇題、

1.A2.C3.A4.B5.D6.B7.C8.C

二、填空題、

9.b410.x<-311.如y2x4,y2x4等(答案不唯一)

212.113.-8714.15

三、解答題

15.(1)設(shè)拋物線的解析式為yax2bxc,由題意可得

b2a3abc65c2

解得a

1515,b3,c所以yx23x2222(2)x1或-5(2)x3

16.(1)由已知得,1520t110t2,解得t13,t21當(dāng)t3時不合題意,舍去。所以當(dāng)爆竹點(diǎn)燃222后1秒離地15米.(2)由題意得,h5t20t=5(t2)20,可知頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)t2,又拋物線開口向下,所以在爆竹點(diǎn)燃后的1.5秒至108秒這段時間內(nèi),爆竹在上升.

17.(1)直線yx3與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A(3,0),B(0,-3).則293bc0b2解得

c3c3所以此拋物線解析式為yx2x3.(2)拋物線的頂點(diǎn)D(1,-4),與x軸的另一個交點(diǎn)C(-

221,0).設(shè)P(a,a2a3),則(4a2a3):(44)5:4.化簡得a2a35

21212當(dāng)a2a3>0時,a2a35得a4,a2∴P(4,5)或P(-2,5)

當(dāng)a2a3<0時,a2a35即a2a20,此方程無解.綜上所述,滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,5)或(-2,5).

第4頁共5頁

222

18.(1)45260240260x.(2)y(x100)(457.5=60(噸)7.5),化簡得:

1010333(3)yx2315x24000(x210)29075.yx2315x24000.

444紅星經(jīng)銷店要獲得最大月利潤,材料的售價應(yīng)定為每噸210元.

(4)我認(rèn)為,小靜說的不對.理由:方法一:當(dāng)月利潤最大時,x為210元,而對于月銷售額Wx(45260x7.5)3(x160)219200來說,104當(dāng)x為160元時,月銷售額W最大.∴當(dāng)x為210元時,月銷售額W不是最大.∴小靜說的不對.方法二:當(dāng)月利潤最大時,x為210元,此時,月銷售額為17325元;而當(dāng)x為200元時,月銷售額為18000元.∵17325<18000,∴當(dāng)月利潤最大時,月銷售額W不是最大.∴小靜說的不對.

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擴(kuò)展閱讀:史上最全初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納總結(jié)

二次函數(shù)知識點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識

1.定義:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

(1)拋物線yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸是y軸.(2)函數(shù)yax2的圖像與a的符號關(guān)系.

①當(dāng)a0時拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);

②當(dāng)a0時拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2(a0).3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.

b2a4acb4a224.二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中h22,k.

25.二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①yax2;②yax2k;③yaxh;④yaxhk;⑤yax2bxc.

6.拋物線的三要素:開口方向、對稱軸、頂點(diǎn).

①a的符號決定拋物線的開口方向:當(dāng)a0時,開口向上;當(dāng)a0時,開口向下;

a相等,拋物線的開口大小、形狀相同.

②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地,y軸記作直線x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數(shù),如果二次項系數(shù)a相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸的方法(1)公式法:yax2b4acbbxcax2a4a22b4acb(,),對稱軸是直線x,∴頂點(diǎn)是.

2a2a4a2b2(2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為yaxhk的形式,得到頂點(diǎn)為(h,k),對稱軸是直線

xh.

(3)運(yùn)用拋物線的對稱性:由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形,所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對

稱軸,對稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗證,才能做到萬無一失.9.拋物線yax2bxc中,a,b,c的作用

(1)a決定開口方向及開口大小,這與yax2中的a完全一樣.

(2)b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對稱軸是直線

xb2a,故:①b0時,對稱軸為y軸;②

ba0(即a、b同號)時,對稱軸在y軸左側(cè);③

ba0(即a、

b異號)時,對稱軸在y軸右側(cè).

(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時,yc,∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個交點(diǎn)(0,c):①c0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸;③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時,仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側(cè),則10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式y(tǒng)axyax22ba0.

開口方向?qū)ΨQ軸x0(y軸)x0(y軸)頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)(0,k)(h,0)(h,k)4acb,(2a4ab2k2當(dāng)a0時開口向上當(dāng)a0時xhxhxb2ayaxhyaxhk2yax2bxc開口向下)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

(1)一般式:yaxbxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式:yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.

22(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)

(1)y軸與拋物線yaxbxc得交點(diǎn)為(0,c).

-2-

(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個交點(diǎn)(h,ah(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)

2bhc).

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩

個實數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:

①有兩個交點(diǎn)0拋物線與x軸相交;

②有一個交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同(3)一樣可能有0個交點(diǎn)、1個交點(diǎn)、2個交點(diǎn).當(dāng)有2個交點(diǎn)時,兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫

坐標(biāo)是ax2bxck的兩個實數(shù)根.

(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn),由方程組

ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來確定:①方程組有兩組不同的解時l與G有兩個交點(diǎn);②方程組只有一組解時

l與G只有一個交點(diǎn);③方程組無解時l與G沒有交點(diǎn).

(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是

方程ax2bxc0的兩個根,故

x1x2ba,x1x2ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaa2b4aca2a

第二部分典型習(xí)題

1.拋物線y=x2+2x-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(D)

A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)2.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(C)

A.a(chǎn)b>0,c>0B.a(chǎn)b>0,c<0C.a(chǎn)b<0,c>0D.a(chǎn)b<0,c<0

AEFDC

B

第2,3題圖第4題圖

3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(D)A.a(chǎn)>0,b<0,c>0B.a(chǎn)<0,b<0,c>0C.a(chǎn)<0,b>0,c<0D.a(chǎn)<0,b>0,c>0

4.如圖,已知ABC中,BC=8,BC上的高h(yuǎn)4,D為BC上一點(diǎn),EF//BC,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F(EF不過A、

B),設(shè)E到BC的距離為x,則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為(D)

y4444O2A4xO2B4O2C24O2D4

EF84x4EF82x,yx4x

5.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),則AB的長為4.

6.已知二次函數(shù)y=kx2+(2k-1)x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1<x2),則對于下列結(jié)論:①當(dāng)x=-2時,y=1;②當(dāng)x>x2時,y>0;③方程kx2+(2k-1)x1=0有兩個不相等的實數(shù)根x1、x2;④x1<1,x2>-1;⑤

1+4kk2x2-x1=,其中所有正確的結(jié)論是①③④(只需填寫序號).

7.已知直線y2xbb0與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;一拋物線的解析式為yx2b10xc.(1)若該拋物線過點(diǎn)B,且它的頂點(diǎn)P在直線y2xb上,試確定這條拋物線的解析式;

(2)過點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸交于點(diǎn)C,若拋物線的對稱軸恰好過C點(diǎn),試確定直線y2xb的解析式.解:(1)yx10或yx4x6

b102b16b1004222將得cb.頂點(diǎn)坐標(biāo)為((0,b)代入,,),由題意得2b102bb16b10042,

解得b110,b26.

(2)y2x2

8.有一個運(yùn)算裝置,當(dāng)輸入值為x時,其輸出值為y,且y是x的二次函數(shù),已知輸入值為2,0,1時,相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4.

(1)求此二次函數(shù)的解析式;

(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時輸入值x的取值范圍.解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc,

a(2)2b(2)c5c3a1則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.(2)函數(shù)圖象如圖所示.

由圖象可得,當(dāng)輸出值y為正數(shù)時,輸入值x的取值范圍是x1或x3.

9.某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn):駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化,而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同.他們將一頭駱駝前兩晝圖.請根據(jù)圖象回答:

⑴第一天中,在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時間?⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn),圖中10時到22時的曲線是拋物線,求該拋物線的解析式.

解:⑴第一天中,從4時到16時這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時⑵第三天12時這頭駱駝的體溫是39℃⑶y116x2x2410x22

22夜的體溫變化情況繪制成下

的體溫是上升的?它的體溫

第9題

10.已知拋物線yax(433a)x4與x軸交于A、

B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.是否存在實數(shù)a,使得△ABC為直角三角形.若存在,請求出a的值;若不存在,請說明理由.

解:依題意,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),

由ax2(433a)x40,解得x13,x243a243a.

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(∴AB|43a3|,AC2,0).5,

AOOC43aBCBOOC43a222169a169a2||4.

43a169a222∴AB2|AC23|22316.

98a9,

25,BC2〈〉當(dāng)AB2AC2BC2時,∠ACB=90°.由AB2AC2BC2,得

169a28a925(14169a216).

解得a∴當(dāng)a14.

163時,點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0),AB25269,AC225,BC24009.

于是AB2AC2BC2.∴當(dāng)a214時,△ABC為直角三角形.

22〈〉當(dāng)ACABBC時,∠ABC=90°.

222由ACABBC,得25(169a28a9)(169a216).

解得a當(dāng)a4949.

43a432時,493,點(diǎn)B(-3,0)與點(diǎn)A重合,不合題意.

〈〉當(dāng)BCACAB時,∠BAC=90°.由BCACAB,得解得a4922222169a21625(169a28a9).

.不合題意.

14綜合〈〉、〈〉、〈〉,當(dāng)a時,△ABC為直角三角形.

11.已知拋物線y=-x2+mx-m+2.

(1)若拋物線與x軸的兩個交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè),并且AB=5,試求m的值;

(2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn),若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.解:(1)A(x21,0),B(x2,0).則x1,x2是方程x-mx+m-2=0的兩根.

∵x1+x2=m,x1x2=m-2<0即m<2;

又AB=x1x2=(x21+x2)4x1x25,∴m2-4m+3=0.

解得:m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.yC(2)M(a,b),則N(-a,-b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),

2M∴amam2b,①

xa2mam2b.②ON①+②得:-2a2-2m+4=0.∴a2=-m+2.∴當(dāng)m<2時,才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N.∴a2m.

這時M、N到y(tǒng)軸的距離均為2m,又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2-m),而S△MNC=27,∴2

12(2-m)2m=27.∴解得m=-7.

12.已知:拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點(diǎn)為A(-1,0).(1)求拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo);

(2)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),C是拋物線上的一點(diǎn),且以AB為

求此拋物線的解析式;

(3)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn),如果

且它與點(diǎn)A在此拋物線對稱軸的同側(cè),問:在拋物線的對稱軸上長最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.解法一:

(1)依題意,拋物線的對稱軸為x=-2.∵拋物線與x軸的一個交點(diǎn)為A(-1,0),

∴由拋物線的對稱性,可得拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0).

-7-

一底的梯形ABCD的面積為9,

點(diǎn)E在(2)中的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使△APE的周

(2)∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點(diǎn)為A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.

∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線y=ax2+4ax+3a上,∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面積為9,∴∴a±1.

∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=x24ax3.(3)設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x0,y0).依題意,x0<0,y0<0,且

y0x0=5212(ABCD)OD=9.∴

12(2+4)3a=9.

.∴y0=-52x0.

①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3上,

2∴y0=x0+4x0+3.

15x=,0x0=6,y0=-x0,2解方程組得2y=15;50y=x2+4x+3y=.00004∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對稱軸x=-2的同側(cè),∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(12,

54).

設(shè)在拋物線的對稱軸x=-2上存在一點(diǎn)P,使△APE的周長最。逜E長為定值,∴要使△APE的周長最小,只須PA+PE最小.∴點(diǎn)A關(guān)于對稱軸x=-2的對稱點(diǎn)是B(-3,0),∴由幾何知識可知,P是直線BE與對稱軸x=-2的交點(diǎn).設(shè)過點(diǎn)E、B的直線的解析式為y=mx+n,15m=,1m+n=,2∴24解得3-3m+n=0.n=.2∴直線BE的解析式為y=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,

1212x+32.∴把x=-2代入上式,得y=12.

).

2②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x24x3上,∴y0=x04x03.

5x0,3y0=-2解方程組消去y0,得x0x0+3=0.22y=x24x3.000∴△<0.∴此方程無實數(shù)根.綜上,在拋物線的對稱軸上存在點(diǎn)P(-2,解法二:

(1)∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點(diǎn)為A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.令y=0,即ax2+4ax+3a=0.解得x1=-1,x2=-3.∴拋物線與x軸的另一個交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0).

(2)由y=ax2+4ax+3a,得D(0,3a).∵梯形ABCD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線

y=ax+4ax+3a上,

212),使△APE的周長最小.

∴C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.

∵梯形ABCD的面積為9,∴(AB+CD)OD=9.解得OD=3.

21∴3a=3.∴a±1.

∴所求拋物線的解析式為y=x+4x+3或y=-x-4x-3.

(3)同解法一得,P是直線BE與對稱軸x=-2的交點(diǎn).∴如圖,過點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q.設(shè)對稱軸與x軸的交由PF∥EQ,可得

BFBQ=PFEQ1222點(diǎn)為F.

.∴

152=PF54.∴PF=12.

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,以下同解法一.

).

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.

(1)求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo).

(2)若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn),過點(diǎn)N作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動時(點(diǎn)N不與點(diǎn)B,點(diǎn)M重合),設(shè)NQ的長為l,四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由;

(4)將△OAC補(bǔ)成矩形,使△OAC的兩個頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個頂形這一邊的對邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)(不需要計算過

點(diǎn),第三個頂點(diǎn)落在矩程).

解:(1)設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x1)(x2),

∴2a1(2).∴a1.∴yx2x2.其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是1,9.24(2)設(shè)線段BM所在的直線的解析式為ykxb,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(t,h),

02kb,∴91.解得k3,b342.

2kb.∴線段BM所在的直線的解析式為y32x3.∴h32t3,其中

12t2.∴s121212(223t3)t34t212t1.

∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是S3114t22t1,自變量t的取值范圍是

2t2.

(3)存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)是P573512,4,P2,2.4設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m,n),則nm2m2.

PA2(m1)2n2,PC2m2(n2)2,AC25.

分以下幾種情況討論:i)若∠PAC=90°,則PC2PA2AC2.

∴nm2m2,

m2(n2)2(m1)2n25.解得:m152,m21(舍去).∴點(diǎn)P15,74.

2

ii)若∠PCA=90°,則PA2PC2AC2.

2nmm2,∴

2222(m1)nm(n2)5.解得:m3353.∴點(diǎn)P2,-.,m40(舍去)

242iii)由圖象觀察得,當(dāng)點(diǎn)P在對稱軸右側(cè)時,PAAC,所以邊AC的對角∠APC不可能是直角.

(4)以點(diǎn)O,點(diǎn)A(或點(diǎn)O,點(diǎn)C)為矩形的兩個頂點(diǎn),第三個頂點(diǎn)落在矩形這邊OA(或邊OC)的對邊上,如圖a,此

時未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D(-1,-2),

以點(diǎn)A,點(diǎn)C為矩形的兩個頂點(diǎn),第三個頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對邊上,如圖b,此時未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E12,,55F,548.5

圖a圖b

14.已知二次函數(shù)y=ax-2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,-1).求這個二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個

數(shù).

解:根據(jù)題意,得a-2=-1.

∴a=1.∴這個二次函數(shù)解析式是y=x2.

因為這個二次函數(shù)圖象的開口向上,頂點(diǎn)坐標(biāo)是(0,-2),所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個交點(diǎn).

15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,

線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長,DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).

22

(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;

(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長(備用數(shù)據(jù):21.4,計算結(jié)果精確到1米).解:(1)由于頂點(diǎn)C在y軸上,所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為

2y=ax+910559185因為點(diǎn)A(,0)(或B(,0))在拋物線上,所以0=a()2+,得a=-.

22210125.

因此所求函數(shù)解析式為y=-(2)因為點(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-545454918125x+2910920(52x18125522).91020,所以

920-x+54,得x=2,

920542.

2,),點(diǎn)E的坐標(biāo)為().

所以DE=2-(2)=522.

因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為

522110000.01=275.2385(米)

16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),如圖.二次函數(shù)

y=ax+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.

2

(1)a、c的符號之間有何關(guān)系?

(2)如果線段OC的長度是線段OA、OB長度的比例中項,試證

a、c互為倒數(shù);

(3)在(2)的條件下,如果b=-4,AB=43,求a、c的值.解:

(1)a、c同號.或當(dāng)a>0時,c>0;當(dāng)a<0時,c<0.

(2)證明:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,0),則0<x1<x2.∴OAx1,OBx2,OCc.

2據(jù)題意,x1、x2是方程ax+bx+c0(a0)的兩個根.∴x1x2ca.

由題意,得OAOB=OC2,即=c=c2.

ac2所以當(dāng)線段OC長是線段OA、OB長的比例中項時,a、c互為倒數(shù).(3)當(dāng)b4時,由(2)知,x1+x2=-ba=4a>0,∴a>0.

解法一:AB=OB-OA=x2-x1=(x1+x2)24x1x2,∴AB42c()-4()aa23a164aca223a.

∵AB43,∴=43.得a12.∴c=2.

解法二:由求根公式,x=4164ac2a=41642a=2a3,

∴x1=2a3,x2=2a3.

∴AB=OB-OA=x2-x1=2a3-2-3a12=23a.

∵AB=43,∴

3323a3=43,得a=.∴c=2.

17.如圖,直線yx分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,⊙E經(jīng)過原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn).

(1)C是⊙E上一點(diǎn),連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D,若∠COD=∠CBO,求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式:

(3)若延長BC到P,使DP=2,連結(jié)AP,試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系,并說明理由.

解:(1)連結(jié)EC交x軸于點(diǎn)N(如圖).∵A、B是直線y33x3

分別與x軸、y軸的交點(diǎn).∴A(3,0),B(0,3).

的中點(diǎn).∴EC⊥OA.

又∠COD=∠CBO.∴∠CBO=∠ABC.∴C是∴ON12OA32,ENOB232.

連結(jié)OE.∴ECOE3.∴NCECEN32.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(,2332).

(2)設(shè)經(jīng)過O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為yaxx3.∵C(∴y32,322).∴23832a33(3)22.∴a293.

239xx為所求.33(3)∵tanBAO,∴∠BAO=30°,∠ABO=50°.

12ABO126030.

由(1)知∠OBD=∠ABD.∴OBD∴OD=OBtan30°-1.∴DA=2.

∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.∴△ADP是等邊三角形.∴∠DAP=60°.

∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直線PA是⊙E的切線.

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