人教版數(shù)學必修五知識點總結(jié)

一、三角形中的三角函數(shù)

（1）內(nèi)角和定理：三角形三角和為，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與第三個角的半角總互余．銳角三角形三內(nèi)角都是銳角三內(nèi)角的余弦值為正值任兩角和都是鈍角任意兩邊的平方和大于第三邊的平方．

（2）正弦定理：

abc2R（R為三角形外接圓的半徑）．

sinAsinBsinC注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務必注意可能

有兩解．

222(bc)2a2bca1等，（3）余弦定理：abc2bccosA,cosA2bc2bc222常選用余弦定理鑒定三角形的類型．

（4）面積公式：S1aha1absinCabc．

224R二、數(shù)列

1．數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前n項和公式的關系：anS1,(n1)（必要時請分類討論）．

SnSn1,(n2)注意：an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1；an2．等差數(shù)列{an}中：

（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性．

anan1a2a1．

an1an2a1（2）ana1(n1)dam(nm)d；pqmnapaqaman．（3）{an1(k1)m}、{kan}也成等差數(shù)列．

（4）兩等差數(shù)列對應項和（差）組成的新數(shù)列仍成等差數(shù)列．（5）a1a2am,akak1akm1,仍成等差數(shù)列．（6）Snn(a1an)n(n1)ddSd，Snn2(a1)n，an2n1，，Snna12n12222Anaf(n)nf(2n1)．Bnbn（7）apq,aqp(pq)apq0；Spq,Sqp(pq)Spq(pq)；

SmnSmSnmnd．

（8）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前n項和的最大值是所有非負項之和；

“首負”的遞增等差數(shù)列中，前n項和的最小值是所有非正項之和；

（9）有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定．若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”－“奇數(shù)項和”＝總項數(shù)的一半與其公差的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”－“偶數(shù)項和”＝此數(shù)列的中項．

（10）兩數(shù)的等差中項惟一存在．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，�？紤]選用“中項關系”轉(zhuǎn)化求解．

（11）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式）．3．等比數(shù)列{an}中：

（1）等比數(shù)列的符號特征（全正或全負或一正一負），等比數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列的單調(diào)性．

（2）ana1qn1amqnm；pqmnbpbqbmbn．

（3）{|an|}、{an1(k1)m}、{kan}成等比數(shù)列；{an}、{bn}成等比數(shù)列{anbn}成等比數(shù)列．

（4）兩等比數(shù)列對應項積（商）組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列．（5）a1a2am,akak1akm1,成等比數(shù)列．

na1(q1)na1(q1)a1n（6）Sna1anqa1(1qn)．a(chǎn)1q(q1)(q1)1q1q1q1q特別：ab(ab)(annn1an2ban3b2abn2bn1)．

（7）SmnSmqmSnSnqnSm．

（8）“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前n項積的最大值是所有大于或等于1的項的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前n項積的最小值是所有小于或等于1的項的積；

（9）有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)決定．若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”＝“奇數(shù)項和”與“公比”的積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”＝“首項”加上“公比”與“偶數(shù)項和”積的和．

（10）并非任何兩數(shù)總有等比中項．僅當實數(shù)a,b同號時，實數(shù)a,b存在等比中項．對同號兩實數(shù)a,b的等比中項不僅存在，而且有一對Gab．也就是說，兩實數(shù)要么沒有等比中項（非同號時），如果有，必有一對（同號時）．在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常優(yōu)先考慮選用“中項關系”轉(zhuǎn)化求解．

（11）判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法（也就是說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式）．4．等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

（1）如果數(shù)列{an}成等差數(shù)列，那么數(shù)列{An}（An總有意義）必成等比數(shù)列．（2）如果數(shù)列{an}成等比數(shù)列，那么數(shù)列{loga|an|}(a0,a1)必成等差數(shù)列．（3）如果數(shù)列{an}既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列{an}是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列{an}是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件．

（4）如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)．

如果一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊

到一般的方法”進行研討，且以其等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共項，并構成新的數(shù)列．

注意：（1）公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究anbm．但也有少

數(shù)問題中研究anbn，這時既要求項相同，也要求項數(shù)相同．（2）三（四）個數(shù)成等差（比）的中項轉(zhuǎn)化和通項轉(zhuǎn)化法．5．數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），

②等比數(shù)列求和公式（三種形式），

2222③123n1n(n1)，123n1n(n1)(2n1)，

aa26135(2n1)n2，135(2n1)(n1)2．

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和．

（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列的通項與組合數(shù)相關聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差數(shù)列前n和公式的推導方法）．

（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由一個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相乘構成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：一般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”�。�（這也是等比數(shù)列前n和公式的推導方法之一）．

（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和．常用裂項形式有：

①②

111，

n(n1)nn111(11)，n(nk)knnk特別聲明：運用等比數(shù)列求和公式，務必檢查其公比與1的關系，必要時分類討

論．

（6）通項轉(zhuǎn)換法。

三、不等式

1．（1）解不等式是求不等式的解集，最后務必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往往是不等式對應方程的根或不等式有意義范圍的端點值．

（2）解分式不等式fxaa0的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解

gx因式，x的系數(shù)變?yōu)檎�值，標根及奇穿過偶彈回）；

（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或換元轉(zhuǎn)化）；

（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論．注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說明其解集，但若按未知數(shù)討論，最后應求并集．

2．利用重要不等式ab2ab以及變式ab(ab)等求函數(shù)的最值時，務必注意a，

22bR（或a，b非負），且“等號成立”時的條件是積ab或和a＋b其中之一應是定值（一正二定三等四同時）．

22ababab2（根據(jù)目標不等式左右的運算結(jié)構選3．常用不等式有：2211ab用）

a、b、cR，abcabbcca（當且僅當abc時，取等號）4．比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜合法、分析法

5．含絕對值不等式的性質(zhì)：

222a、b同號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b異號或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|．

注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應用方程函數(shù)思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問題）．

6．不等式的恒成立,能成立,恰成立等問題

（1）．恒成立問題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價于在區(qū)間D上fxmaxB（2）．能成立問題

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxA成立,即fxA在區(qū)間D上能成

立,,則等價于在區(qū)間D上fxmaxA

若在區(qū)間D上存在實數(shù)x使不等式fxB成立,即fxB在區(qū)間D上能成

立,,則等價于在區(qū)間D上的fxminB．

（3）．恰成立問題

若不等式fxA在區(qū)間D上恰成立,則等價于不等式fxA的解集為D．若不等式fxB在區(qū)間D上恰成立,則等價于不等式fxB的解集為D,

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高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

必修1

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念

1、集合的含義：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。

2、集合的中元素的三個特性：

1.元素的確定性；2.元素的互異性；3.元素的無序性

說明：(1)對于一個給定的集合，集合中的元素是確定的，任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

(2)任何一個給定的集合中，任何兩個元素都是不同的對象，相同的對象歸入一個集合時，僅算一個元素。

(3)集合中的元素是平等的，沒有先后順序，因此判定兩個集合是否一樣，僅需比較它們的元素是否一樣，不需考查排列順序是否一樣。

(4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

3、集合的表示：{…}如{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1.用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列舉法與描述法。非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R關于“屬于”的概念

集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就說a屬于集合A記作a∈A，相反，a不屬于集合A記作aA

列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，然后用一個大括號括上。

描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

①語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

②數(shù)學式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R|x-3>2}或{x|x-3>2}

4、集合的分類：（1）．有限集含有有限個元素的集合（2）．無限集含有無限個元素的集合

（3）．空集不含任何元素的集合例：{x|x25}

二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x10}B={-1,1}“元素相同”

結(jié)論：對于兩個集合A與B，如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素，同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素，我們就說集合A等于集合B，即：A=B

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任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且BA那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的運算

1．交集的定義：一般地，由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作A∩B(讀作”A交B”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}．

2、并集的定義：一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩�合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集。記作：A∪B(讀作”A并B”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}．

3、交集與并集的性質(zhì)：A∩A=A,A∩φ=φ,A∩B=B∩A，A∪A=A,A∪φ=A,A∪B=B∪A.

4、全集與補集

（1）補集：設S是一個集合，A是S的一個子集（即），由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）

（2）全集：如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素，這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

四、函數(shù)的有關概念

1．函數(shù)的概念：設A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．

注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f(x)，而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式．

定義域補充

能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域，求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零；(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.（6）指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

(又注意：求出不等式組的解集即為函數(shù)的定義域。)構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系和值域注意：（1）構成函數(shù)三個要素是定義域、對應關系和值域．由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全一致，即稱這兩個函數(shù)相等（或為同一函數(shù)）（2）兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關。相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)

值域補充

(1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應法則，不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應先考慮其定義域.(2).應熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域，它是求解復雜函數(shù)值域的基礎。

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3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．

集合C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A},圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

(2)畫法

A、描點法：根據(jù)函數(shù)解析式和定義域，求出x,y的一些對應值并列表，以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應的點P(x,y)，最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

B、圖象變換法（請參考必修4三角函數(shù)）

常用變換方法有三種，即平移變換、伸縮變換和對稱變換(3)作用：

1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì)；2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。發(fā)現(xiàn)解題中的錯誤。

4．了解區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間；（2）無窮區(qū)間；（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．

5．什么叫做映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：A→B為從集合A到集合B的一個映射。記作“f：A→B”

給定一個集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b對應，那么，我們把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象

說明：函數(shù)是一種特殊的映射，映射是一種特殊的對應，①集合A、B及對應法則f是確定的；②對應法則有“方向性”，即強調(diào)從集合A到集合B的對應，它與從B到A的對應關系一般是不同的；③對于映射f：A→B來說，則應滿足：（Ⅰ）集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；（Ⅲ）不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

常用的函數(shù)表示法及各自的優(yōu)點：

1函數(shù)圖象既可以是連續(xù)的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等，注意判斷一個圖形是否是函數(shù)圖象的依據(jù)；2解析法：必須注明函數(shù)的定義域；3圖象法：描點法作圖要注意：確定函數(shù)的定義域；化簡函數(shù)的解析式；觀察函數(shù)的特征；4列表法：選取的自變量要有代表性，應能反映定義域的特征．

解析法：便于算出函數(shù)值。列表法：便于查出函數(shù)值。圖象法：便于量出函數(shù)值.

補充一：分段函數(shù)（參見課本P24-25）

在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。在不同的范圍里求函數(shù)值時必須把自變量代入相應的表達式。分段函數(shù)的解析式不能寫成幾個不同的方程，而就寫函數(shù)值幾種不同的表達式并用一個左大括號括起來，并分別注明各部分的自變量的取值情況．（1）分段函數(shù)是一個函數(shù)，不要把它誤認為是幾個函數(shù)；（2）分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集．

補充二：復合函數(shù)

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)，(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。例如:y=2sinxy=2cos(2x+1)

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7．函數(shù)單調(diào)性（1）．增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量a，b，當a高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

第二章基本初等函數(shù)

一、指數(shù)函數(shù)

（一）指數(shù)與指數(shù)冪的運算

1．根式的概念：一般地，如果xna，那么x叫做a的n次方根（nthroot），其中n>1，且n∈N．

當n是奇數(shù)時，正數(shù)的n次方根是一個正數(shù)，負數(shù)的n次方根是一個負數(shù)．此時，a的n次方根

*

用符號na表示．式子na叫做根式（radical），這里n叫做根指數(shù)（radicalexponent），a叫做被開方數(shù)（radicand）．

當n是偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個，這兩個數(shù)互為相反數(shù)．此時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負的n次方根用符號－na表示．正的n次方根與負的n次方根可以合并成na（a>0）．由此可得：負數(shù)沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作n00。

注意：當n是奇數(shù)時，naa，當n是偶數(shù)時，nan|a|a2．分數(shù)指數(shù)冪

正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：

n(a0)a(a0)anam(a0,m,nN*,n1)，amnmn1amn1nam(a0,m,nN*,n1)

0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

指出：規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后，指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù)，那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪．

3．實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

rrrs（1）a〃aa(a0,r,sR)；

rsrs(a)a（2）(a0,r,sR)；rrs(ab)aa(a0,r,sR)．（3）

（二）指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

1、指數(shù)函數(shù)的概念：一般地，函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù)（exponentialfunction），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R．

注意：指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍，底數(shù)不能是負數(shù)、零和1．

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2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>1650高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

3注意對數(shù)的書寫格式．○

兩個重要對數(shù)：

1常用對數(shù)：以10為底的對數(shù)lgN；○

2自然對數(shù)：以無理數(shù)e2.71828為底的對數(shù)的對數(shù)lnN．○

對數(shù)式與指數(shù)式的互化

logaNxaxN

對數(shù)式指數(shù)式對數(shù)底數(shù)←a→冪底數(shù)對數(shù)←x→指數(shù)真數(shù)←N→冪（二）對數(shù)的運算性質(zhì)

如果a0，且a1，M0，N0，那么：（1）loga(M〃N)logaM＋logaN；（2）

logaMlogaM－logaN；（3）logaMnnlogaM(nR)．N注意：換底公式logablogcb（a0，且a1；c0，且c1；b0）．logca利用換底公式推導下面的結(jié)論

n（1）logambnlogab；m（2）logab1．

logba（二）對數(shù)函數(shù)

1、對數(shù)函數(shù)的概念：函數(shù)ylogax(a0，且a1)叫做對數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是（0，+）．

1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似，都是形式定義，注意辨別。注意：○

如：y2log2x，ylog5x都不是對數(shù)函數(shù)，而只能稱其為對數(shù)型函數(shù)．52對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制：(a0，且a1)．○

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2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)：a>132.520高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

第三章函數(shù)的應用

一、方程的根與函數(shù)的零點

1、函數(shù)零點的概念：對于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數(shù)x叫做函數(shù)

yf(x)(xD)的零點。

2、函數(shù)零點的意義：函數(shù)yf(x)的零點就是方程f(x)0實數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。即：

方程f(x)0有實數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點函數(shù)yf(x)有零點．3、函數(shù)零點的求法：求函數(shù)yf(x)的零點：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實數(shù)根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利用○

函數(shù)的性質(zhì)找出零點．4、二次函數(shù)的零點：

二次函數(shù)yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程axbxc0有兩不等實根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點，二次函數(shù)

有兩個零點．

2２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點，

二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點．

2３）△＜０，方程axbxc0無實根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點，二次函數(shù)無零點．

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必修2

第一章立體幾何初步

1.特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h為斜高，l為母線）

"S直棱柱側(cè)面積ch

S正棱錐側(cè)面積S正棱臺側(cè)面積1ch"21(c1c2)h"2

S圓柱側(cè)2rhS圓柱表2rrl

S圓錐側(cè)面積rlS圓錐表rrl

S圓臺側(cè)面積(rR)l

S圓臺表r2rlRlR2

2.柱體、錐體、臺體的體積公式

V柱Sh

1V錐Sh31V臺(S"S"SS)h

3V圓柱Shr2h

1V圓錐r2h

311V圓臺(S"S"SS)h(r2rRR2)h

333.球體的表面積和體積公式：V求43RS4R23；球面4．空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

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第二章直線與平面的位關系

2.1空間點、直線、平面之間的位關系1平面含義：平面是無限延展的2三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號表示為A∈L

AB∈L=>LααLA∈α

B∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).

（2）公理2：過不在一條直線上的三點，有且只有一個平面。AB

α符號表示為：A、B、C三點不共線=>有且只有一個平面α，C

使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點，那么它們有且只有一條過該點的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈Lβ公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù).

Pα

L2.1.2空間中直線與直線之間的位關系1空間的兩條直線有如下三種關系：

共面直線相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設a、b、c是三條直線a∥b=>a∥cc∥b

強調(diào)：公理4實質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.4注意點：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位來確定，與O的選擇無關，為了簡便，點O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；

2

③當兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位關系1、直線與平面有三種位關系：

（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點

（2）直線與平面相交有且只有一個公共點（3）直線在平面平行沒有公共點

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指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。

簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：aβbβ

a∩b=P=>β∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、直線與平面平行的性質(zhì)定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。

簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβ=>a∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、兩個平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平行的平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥β

α∩γ=a=>a∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

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2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義：如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點P叫做垂足。

PaL

2、直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想。2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A梭lβ

Bα2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。

2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)

1、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2、兩個平面垂直的性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

第三章直線與方程

（1）直線的傾斜角

定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°

（2）直線的斜率

①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;當直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

當0,90時，k0；當90,180時，k0；當90時，k不存在。

②過兩點的直線的斜率公式：ky2y1(x1x2)（P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2）

x2x1注意下面四點：(1)當x1x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；

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(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程

①點斜式：yy1k(xx1)直線斜率k，且過點x1,y1

注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。

當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示．但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。

②斜截式：ykxb，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點式：

yy1xx1（x1x2,y1y2）直線兩點x1,y1，x2,y2

y2y1x2x1④截矩式：別為a,b。

xy1其中直線l與x軸交于點(a,0),與y軸交于點(0,b),即l與x軸、y軸的截距分ab⑤一般式：AxByC0（A，B不全為0）

1各式的適用范圍○2特殊的方程如：注意：○

平行于x軸的直線：yb（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：xa（a為常數(shù)）；（6）兩直線平行與垂直當l1:yk1xb1，l2:yk2xb2時，

l1//l2k1k2,b1b2；l1l2k1k21

注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。

（7）兩條直線的交點

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交

A1xB1yC10交點坐標即方程組的一組解。AxByC0222方程組無解l1//l2；方程組有無數(shù)解l1與l2重合

Bx2,y2）（8）兩點間距離公式：設A(x1,y1)，（是平面直角坐標系中的兩個點，

則|AB|(x2x1)2(y2y1)2（9）點到直線距離公式：一點Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離dAx0By0C

22AB（10）兩平行直線距離公式

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：AxByC10，

l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d-14-

C1C2AB高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

第四章圓與方程

1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點的距離等于定長的點的集合叫圓，定點為圓心，定長為圓的半徑。2、圓的方程

（1）標準方程xaybr2，圓心

22a,b，半徑為r；

點M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的位關系：當(x0a)2(y0b)2>r，點在圓外當(x0a)2(y0b)2=r，點在圓上當(x0a)2(y0b)2高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

當d

Rr時兩圓外離，此時有公切線四條；當dRr時兩圓外切，連心線過切點，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條；

當RrdRr時兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線；

當dRr時，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點，只有一條公切線；

當dRr時，兩圓內(nèi)含；當d0時，為同心圓。

注意：已知圓上兩點，圓心必在中垂線上；已知兩圓相切，兩圓心與切點共線圓的輔助線一般為連圓心與切線或者連圓心與弦中點

必修3

第一章：算法初步

1：算法的概念

（1）算法概念：在數(shù)學上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計算機來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.

（2）算法的特點:

①有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.②確定性：算法中的每一步應該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應當是模棱兩可.③順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進行下一步，并且每一步都準確無誤，才能完成問題.

④不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

⑤普遍性：很多具體的問題，都可以設計合理的算法去解決，如心算、計算器計算都要經(jīng)過有限、事先設計好的步驟加以解決.

2：程序框圖

（1）程序框圖基本概念：

①程序構圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準確、直觀地表示算法的圖形。

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一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。②構成程序框的圖形符號及其作用程序框名稱功能表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不起止框可少的。表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法輸入、輸出框中任何需要輸入、輸出的位。賦值、計算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公處理框式等分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標明判斷框“是”或“Y”；不成立時標明“否”或“N”。學習這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標準的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進入點和一個退出點。判斷框具有超過一個退出點的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

3：算法的三種基本邏輯結(jié)構：順序結(jié)構、條件結(jié)構、循環(huán)結(jié)構。

（1）順序結(jié)構：順序結(jié)構是最簡單的算法結(jié)構，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構。A順序結(jié)構在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所

指定的操作。B（2）條件結(jié)構：條件結(jié)構是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行

A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構可以有多個判斷框。

（3）循環(huán)結(jié)構：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構，反復執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構中一定包含條件結(jié)構。循環(huán)結(jié)構又稱重復結(jié)構，循環(huán)結(jié)構可細分為兩類：

①一類是當型循環(huán)結(jié)構，如下左圖所示，它的功能是當給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構。

②另一類是直到型循環(huán)結(jié)構，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構。

AAPP成立不成立成立不成立p當型循環(huán)結(jié)構直到型循環(huán)結(jié)構

注意：1循環(huán)結(jié)構要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構中一定包含

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條件結(jié)構，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構中都有一個計數(shù)變量和累加變量。計數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計數(shù)一次。

4：輸入、輸出語句和賦值語句（1）輸入語句

①輸入語句的一般格式圖形計算器格式INPUT“提示內(nèi)容”；變量INPUT“提示內(nèi)容”，變量②輸入語句的作用是實現(xiàn)算法的輸入信息功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運行時其值是可以變化的量；④輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達式；⑤提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。

（2）輸出語句

①輸出語句的一般格式

圖形計算器格

式PRINT“提示內(nèi)容”Disp“提示內(nèi)容”，變量；表達式②輸出語句的作用是實現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；③“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達

式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；④輸出語句可以輸出常量、變量或表達式的值以及字符。

（3）賦值語句

①賦值語句的一般格式圖形計算器格式表達式變量變量＝表達式

②賦值語句的作用是將表達式所代表的值賦給變量；③賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達式的值賦給賦值號左邊的變量；④賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達式，右邊表達式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；⑤對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學中的等號意義不同。

5：條件語句

（1）條件語句的一般格式有兩種：①IFTHENELSE語句；②IFTHEN語句。

①IFTHENELSE語句IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應的程序框圖為圖2。IF條件否

THEN滿足條件？

語句1是圖1圖2ELSE語句2語句1

語句2

ENDIF

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。

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②IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應的程序框圖為圖4。

是滿足條件？IF條件THEN

語句語句ENDIF（圖3）（圖4）否

注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容，條件不滿足時，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計算機在執(zhí)行時首先對IF后的條件進行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

6：循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構是由循環(huán)語句來實現(xiàn)的。對應于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構，一般程序設計語言中也有當型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構。即WHILE語句和UNTIL語句。

（1）WHILE語句

①WHILE語句的一般格式是對應的程序框圖是循環(huán)體WHILE條件是循環(huán)體滿足條件？WEND

否

②當計算機遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復進行，直到某一次條件不符合為止。這時，計算機將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。

（2）UNTIL語句

①UNTIL語句的一般格式是對應的程序框圖是循環(huán)體DO循環(huán)體否滿足條件？LOOPUNTIL條件是

②直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構分析，計算機執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進行條件的判斷，這個過程反復進行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進行條件判斷的循環(huán)語句。

分析：當型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學生討論再歸納）（1）當型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

7：輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術（1）輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：

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①用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商約數(shù)；若

S0和一個余數(shù)R0；②若R0＝0，則n為m，n的最大公

R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)R0得到一個商S1和一個余數(shù)R1；③若R1＝0，則R1為m，n的最大

公約數(shù)；若

R1≠0，則用除數(shù)R0除以余數(shù)R1得到一個商S2和一個余數(shù)R2；……依次計算直至RnRn1即為所求的最大公約數(shù)。

＝0，此時所得到的

（2）更相減損術

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術。在《九章算術》中有更相減損術求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副分母子之數(shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。

翻譯為：①任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。②以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。

（3）輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術的區(qū)別：

①都是求最大公約數(shù)的方法，計算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術以減法為主，計算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計算次數(shù)相對較少，特別當兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

②從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術則以減數(shù)與差相等而得到

8：秦九韶算法與排序（1）秦九韶算法概念：

nn-1

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0求值問題

nn-1n-1n-2n-2n-3

f(x)=anx+an-1x+….+a1x+a0=(anx+an-1x+….+a1)x+a0=((anx+an-1x+….+a2)x+a1)x+a0=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項式的值時，首先計算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計算一次多項式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項式的值的問題。（2）兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序①直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進行比較，確定它在從大到小的排列中應處的位．將該位以及以后的元素向后推移一個位，將讀入的新數(shù)填入空出的位中．（由于算法簡單，可以舉例說明）

②冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當氣泡上升,所以叫冒泡排序.

9：進位制

（1）概念：進位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進位制，簡稱n進制�，F(xiàn)在最常用的是十進制，通常使用10個阿拉伯數(shù)字0-9進行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進位制來表示。比如：十進數(shù)57，可以用二進制表示為111001，也可以用八進制表示為71、用十六進制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。

一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進制數(shù),34(5)表示5進制數(shù)

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第二章：統(tǒng)計

1：簡單隨機抽樣（1）總體和樣本

①在統(tǒng)計學中,把研究對象的全體叫做總體．②把每個研究對象叫做個體．③把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．

④為了研究總體的有關性質(zhì)，一般從總體中隨機抽取一部分：

，，，

研究，我們稱它

為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

（2）簡單隨機抽樣，也叫純隨機抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊等，完全隨機地抽取調(diào)查單位。特點是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨立，彼此間無一定的關聯(lián)性和排斥性。簡單隨機抽樣是其它各種抽樣形式的基礎。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。

（3）簡單隨機抽樣常用的方法：

①抽簽法②隨機數(shù)表法③計算機模擬法③使用統(tǒng)計軟件直接抽取。

在簡單隨機抽樣的樣本容量設計中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。（4）抽簽法:

①給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；②準備抽簽的工具，實施抽簽；③對樣本中的每一個個體進行測量或調(diào)查（5）隨機數(shù)表法：2：系統(tǒng)抽樣

（1）系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機械抽樣）：

把總體的單位進行排序，再計算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機抽樣的辦法抽取。K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應是隨機的，即不存在某種與研究變量相關的規(guī)則分布�？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

（2）系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實際中最為常用的抽樣方法之一。因為它對抽樣框的要求較低，實施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標相關的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計精度。

3：分層抽樣

（1）分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構成總體的樣本。

兩種方法：

①先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

②先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

（2）分層抽樣是把異質(zhì)性較強的總體分成一個個同質(zhì)性較強的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進而代表總體。

分層標準：

①以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關的變量作為分層的標準。

②以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強、各層之間異質(zhì)性強、突出總體內(nèi)在結(jié)構的變量作為分層變量。③以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。

（3）分層的比例問題：抽樣比=

樣本容量各層樣本容量

個體容量各層個體容量高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

①按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。

②不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進行專門研究或進行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進行加權處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復到總體中各層實際的比例結(jié)構。類別共同點各自特點相互關系適用范圍簡單抽樣過從總體中逐個抽取總體中的隨機抽樣程中每個個個體數(shù)較少系統(tǒng)體被抽取的將總體均勻分成幾部分，按再起時部分抽樣時總體中的機會相等抽樣事先確定的規(guī)則在各部分抽取采用簡單隨機抽樣個數(shù)較多分成經(jīng)總體分成幾層，分層進行各層抽樣時采用簡總體由差抽樣抽取單隨機抽樣異明顯的幾部分組成4：用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征（1）樣本均值：xx1x2xn

n2(x1x)2(x2x)2(xnx)2（2）樣本標準差：ss

n用樣本估計總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會有偏差。在隨機抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標準差并不是總體的真正的分布、均值和標準差，而只是一個估計，但這種估計是合理的，特別是當樣本量很大時，它們確實反映了總體的信息。

（3）眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，頻率分布最大值所對應的樣本數(shù)據(jù)（可以是多個）。（4）中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，累計頻率為1.5時所對應的樣本數(shù)據(jù)值（只有一個）。注意：

①如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標準差不變②如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標準差變?yōu)樵瓉淼膋倍

③一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標準差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應用；

“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學道理5:用樣本的頻率分布估計總體分布1：頻率分布表與頻率分布直方圖

頻率分布表盒頻率分布直方圖，是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度，來表示數(shù)據(jù)分布規(guī)律，它可以使我們看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況。

具體步驟如下：

第一步：求極差，即計算最大值與最小值的差.

第二步：決定組距和組數(shù)：組距與組數(shù)的確定沒有固定標準，需要嘗試、選擇，力求有合適的組數(shù)，以能把數(shù)據(jù)的規(guī)律較清楚地呈現(xiàn)為準.太多或太少都不好，不利對數(shù)據(jù)規(guī)律的發(fā)現(xiàn).組數(shù)應與樣本的容量有關，樣本容量越大組數(shù)越多.一般來說，容量不超過100的組數(shù)在5至12之間.組距應最好“取整”，它與極差有關.

組距注意：組數(shù)的“取舍”不依據(jù)四舍五入，而是當極差不是整數(shù)時，組數(shù)=［

組距極差組距］+1.

②頻率分布折線圖：連接頻率分布直方圖中各個小長方形上端的重點，就得到頻率分布折線圖。

③總體密度曲線：總體密度曲線反映了總體在各個范圍內(nèi)取值的半分比，它能給我們提供更加精細的信息。

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2：莖葉圖：莖是指中間的一列數(shù)，葉是指從莖旁邊生長出來的數(shù)。

例：例如：為了了解某地區(qū)高三學生的身體發(fā)育情況，抽查了地區(qū)內(nèi)100名年齡為17.5～18歲的男生的體重情況，結(jié)果如下（單位：kg）.56.566.57257.56263.55560646969.56473.565.568.564.57255.570.571.56564.5566862.567.566.570577361.576677166737464.562.56264.558.5707559.568635865587659.568.5685761.55964.565.5667163.5647669.56765.575.558.566.5666555.557.5746862.568.567.57063.57072.56064.563.569.56470.5635674.566.571.5595872626559.5試根據(jù)上述數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖，并對相應的總體分布作出估計.解：按照下列值的差

（1）求最大值與最小計.在上述數(shù)據(jù)中，最大值是76，最小值是55，極差是76－55=21.

（2）確定組距與組數(shù).如果將組距定為2，那么由21÷2=10.5，組數(shù)為11，這個組數(shù)適合的.于是組距為2，組數(shù)為11.

（3）決定分點.根據(jù)本例中數(shù)據(jù)的特點，第1小組的起點可取為54.5，第1小組的終點可取為56.5，為了避免一個數(shù)據(jù)既是起點，又是終點從而造成重復計算，我們規(guī)定分組的區(qū)間是“左閉右開”的.這樣，所得到的分組是

［54.5，56.5），［56.5，58.5），…，［74.5，76.5）.（4）列頻率分布表.分組［54.5，56.5）［56.5，58.5）［58.5，60.5）［60.5，62.5）［62.5，64.5）［64.5，66.5）［66.5，68.5）［68.5，70.5）［70.5，72.5）［72.5，74.5）［74.5，76.5）合計頻數(shù)26101014161311873100頻率0.020.060.100.100.140.160.130.110.080.070.031.00累計頻率0.020.080.180.280.420.580.710.820.900.971.00（5）繪制頻率分布直方圖.頻率分布直方如圖2－2－3所示.

頻率/組距54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.576.5體重

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頻率/組距0.070.060.050.040.030.020.010頻率/組距富寧一中

連接頻率直方圖中各小長方形上端的中點，就得到頻率分布折線圖.如圖2－2－4所示.

例2：某賽季甲、乙兩名籃球運動員每場比賽得分情況如下

甲的得分：15，21，25，31，36，39，31，45，36，48，24，50，37；乙的得分：13，16，23，25，28，33，38，14，8，39，51.

上述的數(shù)據(jù)可以用下圖來表示，中間數(shù)字表示得分的十位數(shù)，兩邊數(shù)字分別表示兩個人各場比賽得分的個位數(shù).

54.556.558.560.562.564.566.568.570.572.574.5體重甲乙085136445123587691613389854051

圖2－2－5

通常把這樣的圖叫做莖葉圖.請根據(jù)上圖對兩名運動員的成績進行比較.

從這個莖葉圖上可以看出，甲運動員的得分情況是大致對稱的，中位數(shù)是36；乙運動員的得分情況除一個特殊得分外，也大致對稱，中位數(shù)是25.因此甲運動員發(fā)揮比較穩(wěn)定，總體得分情況比乙好.

用莖葉圖表示有兩個突出的優(yōu)點:其一，從統(tǒng)計圖上沒有信息的損失，所有的信息都可以從這個莖葉圖中得到；其二，莖葉圖可以在比賽時隨時記錄，方便記錄與表示.但莖葉圖只能表示兩位的整數(shù)，雖然可以表示兩個人以上的比賽結(jié)果（或兩個以上的記錄），但沒有兩個記錄表示得那么直觀，清晰.

6：變量間的相關關系：自變量取值一定時因變量的取值帶有一定隨機性的兩個變量之間的關系交相關關系。對具有相關關系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的方法叫做回歸分析。

（1）回歸直線：根據(jù)變量的數(shù)據(jù)作出散點圖，如果各點大致分布在一條直線的附近，就稱這兩個變量之間具有線性相關的關系，這條直線叫做回歸直線方程。如果這些點散布在從左下角到右上角的區(qū)域，我們就成這兩個變量呈正相關；若從左上角到右下角的區(qū)域，則稱這兩個變量呈負相關。

設已經(jīng)得到具有線性相關關系的一組數(shù)據(jù)：

xyx1y1。。。。。。xnyn

是待定的系數(shù)。

所要求的回歸直線方程為：ybxa，其中，

（2）回歸直線過的樣本中心點(x,y)

xyx1y1。。。。。。xnyn

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第三章：概率

1：隨機事件的概率及概率的意義

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；

（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)nA為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的n隨機事件A，如果隨著試驗次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值n，

它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

2：概率的基本性質(zhì)

（1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1（2）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（3）若A∩B為不可能事件，即A∩B=，那么稱事件A與事件B互斥；

（4）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；（5）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)（6）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：①事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；②事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；③事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；④事件A發(fā)生B不發(fā)生；⑤事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3：基本事件

（1）基本事件：基本事件是在一次試驗中所有可能發(fā)生的基本結(jié)果中的一個，它是試驗中不能再分的最簡單的隨機事件。

（2）基本事件的特點：①任何兩個基本事件是互斥的②任何事件（除不可能事件外）都可以表示成基本事件的和。

4：古典概型：

（1）古典概型的條件：古典概型是一種特殊的數(shù)學模型，這種模型滿足兩個條件：①試驗結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。②所有基本事件必須是有限個。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

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②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式p(A)A所包含的基本事件的個數(shù)

總的基本事件個數(shù)5：幾何概型

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：p(A)構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）；

試驗的全部結(jié)果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）（3）幾何概型的特點：①試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；②每個基本事件出

現(xiàn)的可能性相等．

注意：幾何概型也是一種概率模型，它與古典概型的區(qū)別是試驗的可能結(jié)果不是有限個。其特點是在一個區(qū)域內(nèi)均勻分布，所以隨機事件的概率大小與隨機事件所在區(qū)域的形狀位無關，值域該區(qū)域的大小有關。如果隨即事件所在區(qū)域是一個單點，由于單點的長度、面積、體積均為0，則它出現(xiàn)的概率為0，但它不是不可能事件；如果一個隨機事件所在區(qū)域是全部區(qū)域扣除一個單點，則它出現(xiàn)的概率為1，但他不是必然事件。

綜上可得：必然事件的概率為1；不可能事件的概率為0。

概率為1的事件不一定為必然事件；概率為0的事件不一定為不可能事件。

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必修4

第一章三角函數(shù)（初等函數(shù)二）

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合，角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第二象限角的集合為k36090k360180,k

第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k

終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標軸上的角的集合為k90,k

3、與角終邊相同的角的集合為k360,k

第一象限角的集合為k360k36090,k

4、已知是第幾象限角，確定

n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再從x軸的正n*半軸的上方起，依次將各區(qū)域標上一、二、三、四，則原來是第幾象限對應的標號即為的區(qū)域．

5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是終邊所落在nl．r1807、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．1808、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，

C2rl，S11lrr2．229、設是一個任意大小的角，的終邊上任意一點的坐標是x,y，它與原點的距離是

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rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx10、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限

余弦為正．

11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan．

12、同角三角函數(shù)的基本關系：1sin2cos21

yPTOMAxsin21cos2,cos21sin2；2sintancossinsintancos,cos．

tan13、三角函數(shù)的誘導公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

，5sincoscossin．

22，6sincoscossin．

22口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．

14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移個單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍

（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的縱坐標伸長（縮短）到原來的倍

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（橫坐標不變），得到函數(shù)ysinx的圖象．

函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì)：①振幅：；②周期：2；③頻率：f1；④相位：x；⑤初相：．2函數(shù)ysinx，當xx1時，取得最小值為ymin；當xx2時，取得最大值為ymax，則12yy12ymaxmin，ymaxmin，2x2x1x1x2．15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：性函質(zhì)數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk2,k值域1,11,1R當當x2kkx2k2k時，時，ymax1；當最y1；當x2k值2x2k既無最大值也無最max小值時，kk時，ymin1．ymin1．周22期性奇偶奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)性在在在2k,2k2k,2kk上單22k2,k2調(diào)性是增函數(shù)；在k上是增函數(shù)；2k,2kk上是增函在數(shù)．

-29-

高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中32k,2k22k上是減函數(shù)．k上是減函數(shù)．對稱中心對稱性對稱中心,0kk2k,0k對稱軸xk對稱中心k,0k2對稱軸2kxkk無對稱軸

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．零向量：長度為0的向量．

單位向量：長度等于1個單位的向量．平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．17、向量加法運算：

⑴三角形法則的特點：首尾相連．⑵平行四邊形法則的特點：共起點．

⑶三角形不等式：ababab．

⑷運算性質(zhì)：

Ca

①交換律：abba；

②結(jié)合律：abcabc；

③a00aa．

-30-

b

abCC高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

⑸坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運算：

⑴三角形法則的特點：共起點，連終點，方向指向被減向量．

⑵坐標運算：設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

設、兩點的坐標分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運算：

⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘，記作a．①

aa；

②當0時，a的方向與a的方向相同；當0時，a的方向與a的方向相反；當0時，

a0．

abab⑵運算律：①aa；②aaa；③．

⑶坐標運算：設ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當且僅當有唯一一個實數(shù)，使ba．

設ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當且僅當x1y2x2y10時，向量a、bb0共線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向

量a，有且只有一對實數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的

一組基底）

22、分點坐標公式：設點是線段12上的一點，1、2的坐標分別是x1,y1，x2,y2，當

xx2y1y2,12時，點的坐標是1．

1123、平面向量的數(shù)量積：

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

⑵性質(zhì)：設a和b都是非零向量，則①abab0．②當a與b同向時，abab；當a與

22b反向時，abab；aaaa或aaa．③abab．

⑶運算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

⑷坐標運算：設兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

22若ax,y，則axy，或a2x2y2．

-31-

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設ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y20．

設a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，是a與b的夾角，則

x1x2y1y2abcos22abx12y12x2y2

．

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：⑴coscoscossinsin；⑵coscoscossinsin；⑶sinsincoscossin；⑷sinsincoscossin；⑸tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan⑹tan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：⑴sin22sincos．⑵cos2cos2sin22cos2112sin2（cos2cos211cos22，sin）．22⑶tan22tan．21tan22sin，其中tan26、sincos

．

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必修5第一章解三角形

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，R為C的外接圓的半徑，則有

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；②sin④

abc，sin，sinC；③a:b:csin:sin:sinC；2R2R2Rabcabc．

sinsinsinCsinsinsinC（正弦定理主要用來解決兩類問題：1、已知兩邊和其中一邊所對的角，求其余的量。2、已知兩角和

一邊，求其余的量。）

⑤對于已知兩邊和其中一邊所對的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫出圖：法一：把a擾著C點旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無交點：

C當無交點則B無解、當有一個交點則B有一解、當有兩個交點則B有兩個解。法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：

a當a高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

第二章數(shù)列

1、數(shù)列：按照一定順序排列著的一列數(shù)．2、數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)．3、有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．4、無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．

5、遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列（即：an+1>an）．6、遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列（即：an+1高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版

*②若項數(shù)為2n1n，則S2n12n1an，且S奇S偶a富寧一中

n，S奇n（其中S奇nan，S偶n1．S偶n1an）

18、如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù)，則這個數(shù)列稱為等比數(shù)列，這個常數(shù)稱為等比數(shù)列的公比．符號表示：

an1q（注：①等比數(shù)列中不會出現(xiàn)值為0的項；②同號位an上的值同號）

注：看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：

2①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)②anan1an1(n2，anan1an10)

③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

G，b成等比數(shù)列，19、在a與b中間插入一個數(shù)G，使a，則G稱為a與b的等比中項．若Gab，

則稱G為a與b的等比中項．（注：由Gab不能得出a，G，b成等比，由a，G，bGab）

20、若等比數(shù)列an的首項是a1，公比是q，則ana1qn1．

n1nmaaqaaq21、通項公式的變形：①n；②1；③qn1mn222annmanq；④．a(chǎn)a1m*22、若an是等比數(shù)列，且mnpq（m、n、p、q），則amanapaq；若an是*等比數(shù)列，且2npq（n、p、q），則an2apaq．

23、等比數(shù)列

anna1q1的前n項和的公式：①Sna11qnaaq．②

1nq11q1qsna1a2an

24、對任意的數(shù)列{an}的前n項和Sn與通項an的關系：ans1a1(n1)

snsn1(n2)[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.

②等差{an}前n項和SnAn2Bnn2a1d2ddn→可以為零也可不為零→為等差的充要條件22→若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．

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附：幾種常見的數(shù)列的思想方法：

1、等差數(shù)列的前n項和為Sn，在d0時，有最大值.如何確定使Sn取最大值時的n值，有兩種方法：一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Sn

數(shù)列通項公式、求和公式與函數(shù)對應關系如下：數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）數(shù)列等差數(shù)列（等比數(shù)列（指數(shù)型函數(shù)）我們用函數(shù)的觀點揭開了數(shù)列神秘的“面紗”，將數(shù)列的通項公式以及前n項和看成是關于n的函數(shù)，為我們解決數(shù)列有關問題提供了非常有益的啟示。

例題：1、等差數(shù)列{an}中anm,amn，(nm)則anm.分析：因為{an}是等差數(shù)列，所以an是關于n的一次函數(shù)，一次函數(shù)圖像是一條直線，則（n,m）,(m,n),(nm,anm)三點共線，所以利用每兩點形成直線斜率相等，即得anm0（圖像如上），這里利用等差

數(shù)列通項公式與一次函數(shù)的對應關系，并結(jié)合圖像，直觀、簡潔。

例題：2、等差數(shù)列{an}中，a125，前n項和為Sn，若S9S17，n為何值時Sn最大？分析：等差數(shù)列前n項和Sn可以看成關于n的二次函數(shù)Sn時為二次函數(shù)）前n項和公式對應函數(shù)通項公式對應函數(shù)（時為一次函數(shù)）d2dn(a1)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n的值.22anmnnm，mn(nm)md2dn(a1)n22是拋物線f(n)-36-

d2dn(a1)n上的離散點，根據(jù)題意，S9S17，高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

則因為欲求Sn最大值，故其對應二次函數(shù)圖像開口向下，并且對稱軸為x時，Sn最大。

例題：3遞增數(shù)列{an}，對任意正整數(shù)n，ann2n恒成立，求

91713，即當n132分析：1)構造一次函數(shù)，由數(shù)列{an}遞增得到：an1an0對于一切

恒成立，所以(2n1)對一切

恒成立，即

恒成立，設f(n)(2n1)，則只需求出f(n)的最大值即可，顯然f(n)有最大值f(1)3，所以的取值范圍是：3。

2)構造二次函數(shù)，

看成函數(shù)

，它的定義域是

，因為是

遞增數(shù)列，即函數(shù)為遞增函數(shù)，單調(diào)增區(qū)間為,拋物線對稱軸，因為函數(shù)

f(x)為離散函數(shù)，要函數(shù)單調(diào)遞增，就看動軸與已知區(qū)間的位。從對應圖像上看，對稱軸

的左側(cè)，也可以（如圖），因為此時B點比A點高。于是，

，得

在

2、如果數(shù)列可以看作是一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列的對應項乘積，求此數(shù)列前n項和可依照等比數(shù)

111列前n項和的推倒導方法：錯位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242

3、兩個等差數(shù)列的相同項亦組成一個新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項就是原兩個數(shù)列的第一個相同項，公差是兩個數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

4.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對于n≥2的任意自然數(shù),驗證

anan1(an)為同一常數(shù)。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

5.在等差數(shù)列｛an｝中,有關Sn的最值問題：(1)當a1>0,d高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

最大值.(2)當a10時，滿足注意轉(zhuǎn)化思想的應用。

am0的項數(shù)m使得sm取最小值。在解含絕對值的數(shù)列最值問題時,

am10附：數(shù)列求和的常用方法

1.公式法:適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列。2.裂項相消法:適用于階乘的數(shù)列等。

例題：已知數(shù)列{an}的通項為an=

c其中{an}是各項不為0的等差數(shù)列，c為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含

anan11,求這個數(shù)列的前n項和Sn.

n(n1)解：觀察后發(fā)現(xiàn)：an=

11nn1sna1a2an

11111(1)()()

223nn111n13.錯位相減法:適用于anbn其中{an}是等差數(shù)列，bn是各項不為0的等比數(shù)列。例題：已知數(shù)列{an}的通項公式為ann2n，求這個數(shù)列的前n項之和sn。解：由題設得：

sna1a2a3an

=122232n2

即sn=122232n2①把①式兩邊同乘2后得

123n123n2sn=122223324n2n1②

用①-②，即：

sn=121222323n2n①2sn=122223324n2n1②

得

高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

sn1222232nn2n12(12n)2n2n11

2n12n2n1(1n)2n12sn(n1)2n12

4.倒序相加法:類似于等差數(shù)列前n項和公式的推導方法.5.常用結(jié)論1）:1+2+3+...+n=

n(n1)22）1+3+5+...+(2n-1)=n23）1323n312n(n1)2

4）122232n216n(n1)(2n1)5）

1n(n1)1n11n1

n(n2)12(1n1n2)6）

1111pqqp(pq)(pq)

第三章不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；

⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0anbnn,n1；

⑧ab0nanbn,n1．

3、一元二次不等式：只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式．4、含絕對值不等式、一元二次不等式的解法及延伸（1）整式不等式（高次不等式）的解法

-39-

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穿根法（零點分段法）

求解不等式：a0xna1xn1a2xn2an0(0)(a00)

解法：①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)…(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

一元二次不等式的求解：

特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a>0)解的討論.0二次函數(shù)00yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實根有兩相等實根無實根ax2bxc0a0的根ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)bx1x22axxx或xx12bxx2aRxx1xx2對于a0(或高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

式組axbc在解-c高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

(4).一元二次方程ax+bx+c=0(a>0)的實根的分布常借助二次函數(shù)圖像來分析：設ax+bx+c=0的兩根為、，f(x)=ax+bx+c,那么：

222

y0①若兩根都大于0，即0,0，則有0

0

o對稱軸x=xb2ay0b②若兩根都小于0，即0,0，則有0

2af(0)0

對稱軸x=b2ayox③若兩根有一根小于0一根大于0，即0，則有f(0)0

④若兩根在兩實數(shù)m,n之間，即mn，

yox0bmnom則有2af(m)0f(n)0

⑤若兩個根在三個實數(shù)之間，即mtn，yX=b2anxf(m)0則有f(t)0

f(n)0常由根的分布情況來求解出現(xiàn)在a、b、c位上的參數(shù)

omtX=nxb2a高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

例如：若方程x22(m1)xm22m30有兩個正實數(shù)根，求m的取值范圍。

0解：由①型得004(m1)24(m22m3)02(m1)0m22m30m1m1m1,或m3m3

所以方程有兩個正實數(shù)根時，m3。

又如：方程xxm10的一根大于1，另一根小于1，求m的范圍。解：因為有兩個不同的根，所以由

2255220(1)4(m1)0m2221m12f(1)011m101m15、二元一次不等式：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式．

6、二元一次不等式組：由幾個二元一次不等式組成的不等式組．

7、二元一次不等式（組）的解集：滿足二元一次不等式組的x和y的取值構成有序數(shù)對x,y，所有這樣的有序數(shù)對x,y構成的集合．

8、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0，坐標平面內(nèi)的點x0,y0．①若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的上方．②若0，x0y0C0，則點x0,y0在直線xyC0的下方．9、在平面直角坐標系中，已知直線xyC0．（一）由B確定：

①若0，則xyC0表示直線xyC0上方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0下方的區(qū)域．

②若0，則xyC0表示直線xyC0下方的區(qū)域；xyC0表示直線

xyC0上方的區(qū)域．

（二）由A的符號來確定：

先把x的系數(shù)A化為正后，看不等號方向：

①若是“>”號，則xyC0所表示的區(qū)域為直線l:xyC0的右邊部分。②若是“高中數(shù)學必修1至必修5知識點總結(jié)（復習專用）人教版富寧一中

例題：畫出不等式組2xy50所表示的平面區(qū)域。解：略

y3x52yx5010、線性約束條件：由x，y的不等式（或方程）組成的不等式組，是x，y的線性約束條件．目標函數(shù)：欲達到最大值或最小值所涉及的變量x，y的解析式．線性目標函數(shù)：目標函數(shù)為x，y的一次解析式．

線性規(guī)劃問題：求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．可行解：滿足線性約束條件的解x,y．

可行域：所有可行解組成的集合．

最優(yōu)解：使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解．11、設a、b是兩個正數(shù)，則

ab稱為正數(shù)a、b的算術平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．2abab．212、均值不等式定理：若a0，b0，則ab2ab，即13、常用的基本不等式：

a2b2①ab2aba,bR；②aba,bR；

222a2b2abab③aba0,b0；④a,bR．

22214、極值定理：設x、y都為正數(shù)，則有：

22s2⑴若xys（和為定值），則當xy時，積xy取得最大值．⑵若xyp（積為定值），則當xy4時，和xy取得最小值2p．

例題：已知x51，求函數(shù)f(x)4x2的最大值。44x5解：x

5，4x50由原式可以化為：41111(54x)3[(54x)]3(54x)31324x554x54x54xf(x)4x552當54x132，即(54x)1x1，或x(舍去）時取到“=”號54x2也就是說當x1時有f(x)max2

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