期末考試總結(jié)之?dāng)?shù)學(xué)篇,舉一反三,題型歸類學(xué)習(xí)
期末考試總結(jié)之?dāng)?shù)學(xué)篇舉一反三,題型歸類學(xué)習(xí)學(xué)生:周同學(xué)老師:平盟于老師記錄人:賈某科目:高一數(shù)學(xué)
于老師針對平時(shí)試卷、作業(yè)、本次期末考試試卷以及學(xué)生和家長反映的情況,總結(jié)分析了孩子在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)中遇到的瓶頸,以及造成的原因。在此基礎(chǔ)上,介紹了為周同學(xué)量身定做的輔導(dǎo)規(guī)劃方案,并征得了家長和學(xué)生的認(rèn)可和肯定。此外,于老師針對孩子的期末考試試卷,重點(diǎn)講解了孩子通過考試所反映出的孩子數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中重大的知識(shí)疏漏,并對問題進(jìn)行歸類,講解了整類問題的解題方法和思路。在孩子理解和總結(jié)之后,于老師提供給孩子自己精選的該類型的題以及相關(guān)的變型題目,供孩子練習(xí)。最后老師總結(jié)了本次課講解的歸類提醒的解題方法和思路,以及相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的梳理。同時(shí)給孩子留了相關(guān)的習(xí)題作業(yè),幫助孩子鞏固所學(xué)知識(shí)。
擴(kuò)展閱讀:考研數(shù)學(xué)201*高分必看:各種題型經(jīng)典歸類總結(jié)考試點(diǎn)
空間曲面的表面積的題型與解法
一、計(jì)算曲面面積的系統(tǒng)解題方法1.
如果曲面由顯示函數(shù)zfx,y給出
SDxyzz1dxdyxy222.如果曲面有參數(shù)函數(shù)xxu,v;yyu,v;zzu,v給出
SEGF2dudvDExuuyuuzuu;Gxvvyvvzvv;Fxuvyuvzuv222222222特別地:●對
xRsincos22球面坐標(biāo)系yRsinsinEGFdudvRsindd
zRcos●若所求曲面S由極坐標(biāo)方程rr,決定,則引入球體坐標(biāo)系
xr,sincosyr,sinsinzr,cosEGF2dudvr2r2sin2r2rdd
zz1dxdyxy223.對于柱面上的曲面面積一般不使用公式SDxy而使用第一類曲線積分。
設(shè)S為柱面fx,y0上介于曲線弧l1和l2之間的曲面片,且
zz1x,yzz2x,yl1:;l2:;z2x,yz1x,yfx,y0fx,y
又設(shè)柱面fx,y0在xoy平面的準(zhǔn)線l的方程可寫成如下參數(shù)式
l:xxt,yyt,t
Sz2x,ydlz1x,ydlzxt,ytz1xt,ytxtytll2
二、曲面面積的題型與解法
【例1】求包括在圓柱面x2y22a2xy之內(nèi)的曲面x2y22az的側(cè)面
222面積。
yyxy1解:對于曲面x2y22az,1xzaa2222圓柱面x2y22a2xyr2a2sin2
2SDxzyyxy1dxdz1dxdyxzaaDxy22221222axydxdyaDxyasin244da2r2rdr0a0343432aa1sin2d03a24a2a34cossind0334a22a2a22033539
【例2】柱面x2y22x被錐面zx2y2割下部分的曲面面積。解:
由于對稱性,本題所求錐面所圍的柱面面積為第一象限的4倍,對于右半平面,柱面方程為y1x12xx2,故有(在xoz平
面投影,不能在xoy平面投影)
x111yy1102yxz2xxy222所以所求的曲面面積為
S4Dxz1yy1dxdz4dxdz2xz2xxz22x1222441012xxdx2x0dz412x2xx20dx
0122t2xdx42tdt822t2x21
另外,還可以求出柱面圍的錐面面積如下:由于對稱性,所求錐面面積為上半平面的2倍,
對于上半平面,錐面方程為zx2y2,故有(在xoy平面投影)
xzz11x2y2xy22yx2y2222所以所求的曲面面積為
S2x1y212zz1dxdy22dxdy22xyx12y2122
【例3】求曲面x2y2a2被平面xz0,xz0x0,y0切除的那部分的面積。
解:對于準(zhǔn)線平行于xoy平面的柱面,不能在xoy平面上投影,因?yàn)橥队懊娣e為零,故需要轉(zhuǎn)化到其他坐標(biāo)平面上如xoz的投影。
SDxzaxyy1dxdz10dxdzxzyDxzx222dx0aa2x2xdza2axa2x2
0dx2a2
xrcos【例4】求螺旋面yrsin0ra,02的側(cè)面面積。
zh解:因?yàn)?/p>
xyzE1rrrxyz22GrhxxyyzzF0rrrSEGFdudvD2Dr222222
rhdrd切忌寫成rdrd222
d022a0r2hr2h2dr2rh2lnrr2h2220aaa2h2aahhlnh22
【例5】計(jì)算空間曲線x2y2z22a2xya0所包圍的面積。
2解:
xr,sincos引入球體坐標(biāo)系yr,sinsin
zr,cos
x2y2z222a2xya0r2a2sin2sin2r222sin2,r222cos22acosasin
sin2SEGF2dudvr2r2sin2r2
rddDD24a22220dsinda04
【例6】求柱面22x3y31被球面x2y2z21割下部分的曲面面積。
解:按照第一類曲線積分解法如下
22x3y31xcos3sindlxt2yt2dt3sincosdy3,zl:xcos310,ysin3xcos3z321cos6sin632:ysinz2sin22x2y2z214S82302sin23sincosd63210sin22d332cos402d332
2
ra1cos【例7】求以極坐標(biāo)曲線L:為準(zhǔn)線,母線平行于z軸
z0的柱面被平面
xyz2a0及z0截下的有限部分的面積。
解:對于本題,就可以按照第一類曲線積分解法如下
ra1cosdlrrdt2acos2d,02z10,l:ra1cosra1cosz2:z2a1coscosa1cossin2azrcosrsin2aSa1coscosa1cossin2a2acos2d02a2222202coscoscoscos+sincoscossincos2cosd222222t4a4a4a4a4a202cos2tcostcos2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcost2costdt2cos2tcostcos2tcost+sin2tcostcos2tsin2tcostdt20202cos2t1cost2cos2t12cost+sin2tcostcos2tsin2tcostdt2sin2tcostcos2tsin2tcostdt0202sint1sin2t212sin2t1sin2tsintdt354a24sint8sint4sintdt08a220354sint8sint4sintdt242328a2484a23535
考研數(shù)學(xué)中向量組相關(guān)性的8大必須掌握的系統(tǒng)定理及其證明
智軒
定理1一般稱A:1,2,,m為B:1,2,,m,m1的部分組,如果一
個(gè)向量組線性無關(guān),則其部分組必?zé)o關(guān);如果部分組相關(guān),則向量組必相關(guān)。但如果向量組相關(guān),則部分組可能相關(guān)也可能無關(guān),同理,部分組無關(guān),則向量組可能無關(guān)也可能相關(guān)。
證明:
記A1,2,,m,B1,2,,m,m1RBRA1
A線性相關(guān)RAmRBRA1m故1,2,,m,m1線性相關(guān)。
B線性無關(guān)RBm1RARB1=m
故1,2,,m線性無關(guān)。形象記憶法:大無小無,小關(guān)大關(guān)。(部分相關(guān)全部相關(guān);全部無
關(guān)部分相關(guān)。)
評注對此類定理的掌握不能只局限于理論證明,更重要的是需要找
到直觀解析或幾何圖案。上述定理從坐標(biāo)空間的維度很容易直觀理解。
定理2m個(gè)n維向量向量組成的向量組,如果坐標(biāo)維數(shù)n小于向量
維數(shù)m時(shí)一定線性相關(guān)。特別地:n1個(gè)n維向量一定線性相關(guān)。
證明:m個(gè)n維向量1,2,,m構(gòu)成矩陣
Anm1,2,,m
Anm1,2,,mnmRAnRAmm個(gè)向量1,2,,m線性相關(guān)。
上述定理可以這樣形象理解:相當(dāng)于方程組中有多余一個(gè)合理方程;蛘呖梢赃@樣理解:單個(gè)向量的維數(shù)相當(dāng)于坐標(biāo)空間的維度,向量組的維數(shù)(即向量組所含單個(gè)向量的個(gè)數(shù))相當(dāng)于任
意矢量r的分量個(gè)數(shù),如果r具有三個(gè)分量,它又怎能在2維空
間中表示呢,除非三個(gè)分量不獨(dú)立,即線性相關(guān)。
形象記憶法:坐標(biāo)數(shù)大于維數(shù)總相關(guān)。(坐標(biāo)數(shù)指單個(gè)向量的維數(shù))
x1ix定理3設(shè)n維向量組A1,2,,r,i2i為n維坐標(biāo);n維
xni向量組
B1,2,,r為增加i的坐標(biāo)維數(shù)得到的(稱為導(dǎo)出組或延伸
x1x2組),即ixn,則
xn1xns(1)A1,2,,r無關(guān)導(dǎo)出組B1,2,,r無關(guān);(2)導(dǎo)出組B1,2,,r相關(guān)A1,2,,r相關(guān)。形象記憶法:高維相關(guān)低維相關(guān);低維無關(guān)高維無關(guān)。定理4設(shè)RAmnr,則n元齊次方程AX0的解空間S的秩為
RSnr。
定理5若AB0,當(dāng)A為非零矩陣時(shí)B不可逆;當(dāng)A,B為非零矩陣時(shí),則A列不滿秩,B行不滿秩。
定理6向量組A能由向量組B線性表示AB,若B不能由A線性表示,則A0。
證明:向量組A能由向量組B線性表示AB,則矩陣方程ABC有解
向量組B不能由向量組A線性表示,則矩陣方程BAC無解若A0,則方程AXB有解XA1B,AXB成立意味
BA,與條件矛盾。
故A0。
定理7若AB0,當(dāng)A為列滿矩陣時(shí),則B0。
證明:設(shè)AmnBnlC,依題意,RAn,知A的標(biāo)準(zhǔn)型為
En,并有:0mnm階可逆矩陣P,使
EEBPAnPCPABnB000
B令C0RCRPCRRBRB00定理8若ABE,則B的列向量線性無關(guān)。
證明:考慮BX0,則
BX0ABX0EXX0為BX0的解。
故BX0只有零解B0,故B的列向量線性無關(guān)。評注第一,對向量組相關(guān)性的理解,首先把向量組轉(zhuǎn)化為對應(yīng)矩陣A,因?yàn)橹仁撬鼈兊墓擦,從而等價(jià)于討論矩陣的秩。
第二,要明白秩是用子式(方陣)是否為零來定義的,所以矩陣A的秩等于矩陣的行秩也等于列秩,要明白單個(gè)向量的維數(shù)(坐標(biāo)空間的
維度)和向量組的維數(shù)(任意矢量r的分量個(gè)數(shù))是兩個(gè)不同的概念。A給矩陣A增加幾行后得矩陣BC,就相當(dāng)于增加每一個(gè)向量的維
A數(shù),這時(shí)滿秩=maxRAmaxR,就是說A1,2,,n無CA關(guān)B1,2,,n無關(guān);但反之不成立,因?yàn)镽CRA;如果
AARCrRARCr,就是
B1,2,,r相關(guān)
AA1,2,,n相關(guān),反之也不成立,也是因?yàn)镽CRA。
第19專題講座---二重積分的系統(tǒng)題型與題法201*
智軒
一、二重積分的六大對稱性
如果積分區(qū)域D具有軸或點(diǎn)對稱(令D表示D的一半?yún)^(qū)域,即D中
12對應(yīng)y0部分,余類推),被積函數(shù)fx,y同時(shí)具有奇偶性,那么,二重積分的計(jì)算可以得到不同程度的簡化,這一技巧在研考數(shù)學(xué)中每年都必出題,務(wù)必理解記住下列6類對稱性定理。①D關(guān)于X軸對稱(D關(guān)于Y軸對稱類推)
D2f(x,y)dxdy,f是關(guān)于y的偶函數(shù),即f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD120,f(x,y)f(x,y)②D關(guān)于X,Y都對稱
D4f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdyD140,f(x,y)f(x,y)或f(x,y)f(x,y)③D關(guān)于原點(diǎn)對稱
0,f(x,y)f(x,y)f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)D12
D④當(dāng)D1和D2關(guān)于某一直線對稱,對同一被積函數(shù),則
f(x,y)dxdyf(x,y)dxdyD1D2⑤D關(guān)于Xa軸對稱
xadxdy0D⑥萬能輪換對稱性●輪換對稱性描述
如果將x與y及z交換,即xy,yz,zx后,積分區(qū)域方程不變,則將被積函數(shù)中的變量作同樣變換后所獲得的積分值與原積分值相等,這個(gè)性質(zhì)在二重積分,三重積分,曲線積分和曲面積分等六類多元函數(shù)積分中都成立。●輪換對稱性實(shí)例
I1xy1axbydxdyab2xy1xydxdy4ab2xy1xydxdy4abxdxdyx0,y0xy1x0,y0I2xy1x2y21dxdy2xy3x2y2y2x2dxdy0yx3xy3xy1二、二重積分次序選擇原則與積分次序的更換方法陳氏穿線法【原創(chuàng)】后積先定常數(shù)限,先積方向正直穿;相交必須同一線,否則域內(nèi)要分拆;隱含邊界須周全,6類對稱掛耳邊;極坐標(biāo)逆弧線,多種邊界同園拆。
①先看積分區(qū)域的邊界方程,那個(gè)變量冪次高,就后積此變量;■題型一關(guān)于積分交換次序題法【例1】計(jì)算IDx2dxdy,D由xy=2,y=1x2,x2所圍。2y解:x冪次高,所以先積yD:1x2,y1x2
ID221x2xx27dxdydxdy=+arctan2-12xy2y2842x②若被積函數(shù)只有一個(gè)變量,就后積此變量;【例2】IDsinydxdy,D由yx,xy2所圍。y解:被積函數(shù)只有一個(gè)變量y,先積x
1sinyysinydxdydy2dx1sin1I0yyyD③積分次序一般以盡可能不拆分區(qū)域(即為正規(guī)區(qū)域)為基準(zhǔn)。【例3】更換積分次序I0dx12xx20fx,ydydx122x0fx,ydy
1x20x1D:解:D1:及220y2x0y2xx作D1和D2圖形,得:I0dy11yfx,ydx
212y【例4】交換積分次序I1dxxfx,ydy2dxxfx,ydy
1x22x8D解:D122xy8xyx2x288畫出D1,D2圖形,得:
I1dyyfx,ydx4dy2fx,ydx
4y8y
【例5】更換積分次序I0dx0解:I0dyarcsiny12sxinfx,ydy
2arcsinyarcsinyfx,ydxdy10arcsinyfx,ydx
【例6】更換積分次序Id0242acosf,d
解:如改為先后則有下列兩點(diǎn)技巧①D的邊界曲線全都用極坐標(biāo)表示
②若以原點(diǎn)o為圓心的一系列同心圓與y區(qū)域D的邊界曲線中的不同曲線相交,則應(yīng)在交點(diǎn)處用逆時(shí)針園弧線2a把的區(qū)間分為兩個(gè)正規(guī)區(qū)域:
arccosarccosarccos2aD22a2aD1202a2a2aI2a0darccos2a4f,d2a2adarccos2aarccosf,d
2a三、換元法技巧
以盡可能簡便D為出發(fā)點(diǎn),再參考fx,y,z的特征。如球?qū)ΨQ用球坐標(biāo),錐體用柱坐標(biāo)等,微分元換算利用雅可比行列式。
Dfx,ydxdyf[xu,v,yu,v]Dx,yu,vdudv
fx,y,zdxdgdzf[xu,v,w,u,v,w]x,y,zu,v,wdudvdw
xx,yu其中雅可比矩陣
u,vyux1vyu,vvx,y■題型二關(guān)于對稱性題法
【例7】D1:1x1,2y2,I1(x2y2)dxdy
D1D2:0x1,0y2,I2(x2y2)dxdy
D2解:f為偶函數(shù)數(shù),D1關(guān)于x,y都對稱,D2正好是D1的,故
222I14I2(x2y2)dxdyxdxdyydxdydyxdx2ydydx4
D2D2142121D00002【例8】計(jì)算Ixydxdy
D1D1:x2y222x2y22D2:x2y22xy
2解:(1)D關(guān)于x,y對稱
fx,yxy關(guān)于x,y都是奇數(shù)Ixydxdy0
D(2)D關(guān)于原點(diǎn)對稱,fx,yxyfx,yxy,fx,y為偶函數(shù),故
Dfx,yd2xyd22dD0sin20r3sincosdr=
16【例9】設(shè)區(qū)域D由yx3,y1,x1所圍,試計(jì)算
Ix[1yf(x2y2)]d
D解:作輔助線yx3,則D分為D1和D2。顯然,D1關(guān)于X軸對稱,D2關(guān)于Y軸對稱。
Ix[1yf(x2y2)]dx[1yf(x2y2)]dD1D2xdxdx3D11x0x32dy5
x2y222【例10】計(jì)算I(2sinx4y4)dD:xypqD2a解:由于D關(guān)于X,Y輪換對稱性,故
x2y2I(2sinx4y4)d中被積函數(shù)又可以輪換,積分值不變
Dpq又由于D關(guān)于X,Y軸均對稱,故
2sinxd04yd0
DD1x2y2y2I2(x2pq)d4dDpqD1(11)(x2y22pq)d4a2D
12a2(1p1q)00r2dr4a2(11)a44a24pqx2,xy【例11】設(shè)二元函數(shù)fx,y11,1xy,x2y22fx,yd,其中Dx,y|xy2。
D解:記D1x,y|xy1,D2DD1
fx,ydfx,ydfx,ydDD1D2x2d1D1D2x2y2d411ydy422x111x10x2dx00dx0x2y2dy0dx0x2y2dy1342ln21
計(jì)算二重積分
【例12】計(jì)算Iafx,ydxdy,其中:
DD:x2y2axa0,fx,yx,0xa,ya0,other,求
a0limeIa121cosaln1a。
解:D關(guān)于x軸對稱,fx,y關(guān)于y是偶函數(shù),則
aacosaIa2xdxdy2xdxdy2drcosrdr0000D12a3a33332a31a302cosda3422a843Ia
a0lime11cosaln1a2lima0Ia1aln1a22a3a82lima014aa223
■題型三關(guān)于極坐標(biāo)題法陳氏第14技能否使用極坐標(biāo)主要由被積函數(shù)的特點(diǎn)決定,而不是由區(qū)域特點(diǎn)所決定;使用極坐標(biāo)方式有兩種:1原位法:
xx0rcosxrcos2平移法:,選擇的原則是使被積函數(shù)或yysinyy0ysin容易積出,一般來說,被積函數(shù)具有fx2y2或fxmyn形式時(shí),使用極坐標(biāo)會(huì)大大簡化計(jì)算。如果選擇不當(dāng)會(huì)使積分求解復(fù)雜!癯S媒Y(jié)論
4amn2mn2cossind當(dāng)m和n沒有一個(gè)為奇數(shù)mn0xymn20當(dāng)m和n至少有一個(gè)為奇數(shù)x2y2a2
【例13】計(jì)算aI10dx1
12xx21x2x2y2dy
bI22dxx04x2x2ydydx2024x22xx2x2y2dy
c設(shè)fx,y在單位圓上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),且在邊界
上為零,試證明:
1f0,0lim022x2yxfxyfy21x2y2dxdy
0x1解:a積分區(qū)域?yàn)椋篋:2211xy2xx顯然本題適合用原點(diǎn)極坐標(biāo),
2xrcosy11xr2sin交點(diǎn)坐標(biāo)2,24yrsiny2xxr2cos由對稱性⑤知:
I12rrdr24dD10222sin0rdr84sin4d
301cos41cos2484d212cos201*2213d8480x22x0b積分區(qū)域?yàn)椋篋:222xy4x2xxy4xI20234dx4x2x22x2ydydx2024x22xx2x2xrcosy2dyyrsind2044rr2222rrdrdrrdr|0|d
02cos042cos4422319421cos4d4024224c使用原點(diǎn)極坐標(biāo),xrcos,yrsin
ffcosfxsinfyrrcosfxrsinfyxfxyfyrrfrxfxyfy11rrdrdlimdxdylim220222202xyr2r1xy10211f1212limddrlimfrcos,rsindr0201*01*limfcos,sinf0,00,20fcos,sindlim0200
【例14】計(jì)算IR2x2y2dxdyD:x2y2Rx,R0。
DRR2xy解:D:x2y2Rx為偏心圓域,由于被積函數(shù)的2222特點(diǎn),故可使用極坐標(biāo),而這里有兩種取法。如使用原位法,即
xrcosD1:0,0rRcos2yysin2I2Rxydxdy22dD102222Rcos0R2r2rdr2201*2322Rr302Rcos
1141d22R3R3sin3dR303333RxrcosD1:02,0rR,如使用平移法,即2本質(zhì)上是把
2yysin圓心平移到原點(diǎn),則
I2Rxydxdy2dD102222R0R2R1Rrcosrdr
42顯然上述積分十分繁瑣,本題不能使用平移法。但在別的場合,必須使用平移法以簡便計(jì)算,因?yàn)槠揭品ㄓ袀(gè)優(yōu)點(diǎn)就是能使積分上下限常數(shù)化。參見下例。
22111xy222【例15】求積分Ixyx2y2dxdyD:。Dxy01xrcos12解:方法一:平移法D:02,0r2y1ysin22Ixyx2y2dxdyrrdrd28DD1方法二:原位法xrcos3D:,0rcossin
yysin442srsinrrdrdIxyx2y2dxdyrcoDD8
讀者可以嘗試計(jì)算上述積分,其中的計(jì)算過程要必平移法復(fù)雜得多!
被平面z和z所夾【例16】求球面x2y2z2a2a0a4a2部分的表面積解:
23x2y2x2y2z2a22aaza2z2215x2y2x2y2z2a24aaza4z4
上半球za2x2y2zxxaxy222zyyaxy222
由于對稱性
S41zxzydxdy2Dxy4Dxyaaxy15a23a2222dxdyd2a4
4d20aa2222|15a23a21a22【例17】IDxyxy在第一象限所圍成的區(qū)xydyD由623域。
xyxy解:由解出x,y相當(dāng)困難,為此采取極坐標(biāo),令2362sx2co為廣義極坐標(biāo),則2y3sin4
xyxy42sin2cos22sin2cos262340,所研究的曲線在第一象限,于是sincos
2解出,上下限,sincos00,;
2Jx,y,2cos23sin24cossin6sincos12sincos
I62sin2cos212sincosddD12d0sincos01262sin2cos2d
6
x2y2z2【例18】求橢球體的體積2221(廣義極坐標(biāo))
abc解:作廣義極坐標(biāo)變換xarcoszc1r2Jabr
ybrsin1c1r再采用穿線法,有V802d0dr054abrdzabc
3x2y2xy【例19】求曲線4包圍的面積S。
cabx2y2xarcos2xy解:4yarsin2caba2b2c45
SdxdydS20cos4sin40552abrcossindab1410c2550sin9dab1c42920sin9dab1260c455
【例20】求曲線4x4y1;x0;y0包圍的面積S。abx4yxarcos81解:yarsin8ab4
ucos7Sdxdy8abrcossindrd4ab2cossin7d77SS04abu71u2du301ab70
■題型四關(guān)于換元題法【例21】計(jì)算IcosDxyxy1dxdyD所圍區(qū)域。xyx0,y0解:令uxy,vxy
Jx,yu,v111u,v112x,y11vu111u111Icosdudvdvcosdu2sin1vdvsin
vv220v202Duv
【例22】求
y2pxyqx20pq和
xyaxyb0ab所圍D的面積。
y2解:作變換,令u,xyv,由此把原有的曲線區(qū)域變成矩形區(qū)域
xJx,yu,v111122u,u3y3uy2y2xx,yxxyxSdxdyDD1bq111qdudvdvdubaln
ap3u3u3p【
y2例
2a2,23
a】
2計(jì)
2算
b由曲線
mxy22圍成b,的x積。y所面
(y0,ba0,nm0)解:令y22uxu2,y22vxv2xx雅克比行列式Juyu1x2vy1vv2uuv,yuv,2121uv()
u1u4v2v故
SdxdyDaub,mvnJdudv1uv()dudv4aubvu,mvn3113311131uv22222222dudvdudv(ba)(nm)(nm)(ba)34vuaub,mvnaub,mvn
【例24】I0yx3xy14xyln11xyyxdxdy
0yxx,yy1u3解:設(shè)uxy;v;xy124xu,vuu1vxyvvxy0v13u14I0yx3xy14yxyln111ln1vu2203xdxdy3dudv1ln2204801xy1v41u■題型五關(guān)于隱含邊界題法【例25】計(jì)算I0dyy11y1xy22dx
解:用隱含邊界圓弧r1將區(qū)間分為D1和D2兩部分,使用原點(diǎn)極坐標(biāo),得
Idr400122r2sinrsin4ddrd1221arccos1rr1r21r221dr01r222r22dr01r2211212r2rdr11r2dr1r2202r2rdrdr2211r1r
121dr2021r202112d1rdr12211r21r213arctan2ln2422x1yxdxdyD
0y22【例26】I0解:題中yx2為隱含邊界
Iyx2dxdyx2ydxdy
D1D2
52xydy21032【例27】Isin(xy)dxdyD:0x,0y
1dxx12yxdydx21x2D解:Isin(xy)dxdysin(xy)dxdy
D1D2(,)dx0x0sin(xy)dydx0xsin(xy)dy2xy評注如果本題改為D:0x,0y2,則
Isin(xy)dxdydxD0x0sin(xy)dydx02xxsin(xy)dydx022xsin(xy)dy1cosxdx2xdx1cosxdx4000
【例28】Isgn(xy)exydxdyD:x2y1x2D22y解:IexD12y2dxdyexD22y2dxdyexD32y2dxdyD1,D3關(guān)于Y軸對稱(二個(gè)區(qū)域),而被積函數(shù)相等,x故D1D3Iex2y2D2dxdy2e1D22x2y240dxdy2drerdr0124(e1)【例29】I3x4ydxdyD:x2y21
D
解:I0d03rcos4rsinrdr50sin()d0r2drarctan52521020sin()dsindsind0003333TaT212134(利用0f(xa)dxa同步練習(xí):
f(x)dxf(x)dx))
0TDxy9x2y2dxdyD:x2y21答案:。
162【例30】計(jì)算Ix2y21xydxdy
解:隱含邊界為xy0,令
3D1,|,014437,|,01D2
44D3,|,0144
Ix2y21xydxdyxydxdyxydxdyxydxdyDD1D22xydxdyD1D1D2Dxydxdy2xydxdy0因?yàn)镈關(guān)于x,y都對稱,所以xydxdy=0
D1D1D2D=4xdxdy因?yàn)镈關(guān)于x,y具有輪換對稱性D344cosd2d401423xy2dxdy。
【例31】計(jì)算I0x22x2解:使用xy0yx和xy2xy2或xy2共3條隱含邊界把積分區(qū)間從上到下劃分為D1;D2;D3,故
xy2;D1yx2xy22xy;D2xyx2
xy2;D3x2yxI0x22x2xy2dxdyxy2dxdy2xydxdyxy2dxdyD1D2D3D1D2D3xydxdy2xydxdy2dxdy2dxdy2dxdyD2D1D2D3xydxdy2xydxdy2dxdyDD2D2
xdxdy2x1ydxdyDD2x11dxdy2x1ydxdy0808DD2【例32】Icosxyd,D:由yx,y0,xD2所圍。
解:隱含放邊界cosxy0xy
2在圖上畫出此輔助線。用D1表示積分區(qū)域的下半部分,則:
2I2cosxyd2dy2y
0D140ycosxydx2
y224cosxyydy241sin2ydy021【例33】計(jì)算I1x2y2dxdyD:Maxx,y1。
D解:隱含邊界1x2y20x2y21把區(qū)域D的第一象限部分分為左右兩子域D1和D2
I1x2y2dxdyD=41x2y2dxdy41x2y2dxdyD1D281x2y2dxdy4D1D2D11x2y2dxdy
28d12d4201*D2D112xdxdy8111134dy12x2dx002244【例34】計(jì)算積分Ix2y24sgnx2y22dxdy。
D:x2y24y2x221D2:x2y24y2x22x12222解:將區(qū)間分為5個(gè)部分D3:xy4x1的左部yx2
2222D4:xy4x1的右部yx22222D5:xy4yx2Ix2y24D1sgnx2y22dxdydxdydxdydxdydxdydxdyD5D2D3D440dx2xdy40dx0214x212x2dy4dx11024x20dy
8102xdx42214xdx24x2dx4138ln32【例35】計(jì)算積分I0x20y2xydxdy。
解:將區(qū)域分為由下到上的4個(gè)積分區(qū)間D1;D2;D3;D4。
0;D1xy1x0y01;D11xy2x0y0xy2;D12xy3x2y23;D3xyx2y21
I0x20y2xydxdydxdy2dxdy3dxdyD1D2D3dxdydxdy2dxdydxdyDDD3D3121133D2DD462222
【例36】求Iminx,yeDx2y2x,dDy,Iyxyxex2y2dyexyx2y2dx2y2dyxex2y2xdxdxyedy2
32222【例37】計(jì)算Iminxy,2xydxdy
163x2y216解:
I32222minxy,2xydxdy316x2y216
0r13r2rdrd16122r2r2rdrd34733224
22【例38】計(jì)算IMaxxy,1dxdy,其中Dx,y|0x2,0y2。
DD1:xy1,x,yD解:用雙曲線的上支將D分成兩塊:DD1D2
D2:xy1,x,yD而D1為非正規(guī)區(qū)域,過點(diǎn),2作平行于y軸的直線,把D1分為左右21兩個(gè)正規(guī)區(qū)域D11和D12
IMaxxy,1dxdy1dxdy1dxdyxydxdyDD112D12D211dxdy1xdx1ydy22x21x0219ln24
■題型六關(guān)于含參積分題法【例39】已知Ix0du02x2uxu2ln1xxcostu2dt;求limIx。
x0解:當(dāng)x0時(shí),記D:0u2x,0t2uxu2IxcostududtD2ln1xx2
當(dāng)x0時(shí),記D:2xu0,0t2uxu2IxcostududtDln1xx
根據(jù)積分中值定理:
costududtcosSDcosD2222x2
x0limIxlimx0cosxx22x22x0limIxlimx0cosxx22x22
limIxx022【例40】設(shè)函數(shù)fx,y0x,yD0,
x,yD0x0,1,求D0y0,1Ftxytfx,ydxdy。
解:含參數(shù)的積分問題采用平移法決定參數(shù)的取值范圍是作者的精妙秘訣。
平移法的思想是:先畫出D0的區(qū)域圖,再令xy0為基準(zhǔn)直線,然后把該基準(zhǔn)直線分別平移到D0的全部邊界點(diǎn)上,如本題,把基準(zhǔn)直線xy0平移到邊界點(diǎn)x1,得分界直線xy1,再把基準(zhǔn)直線得分界直線xy2,于是得出所求xy0平移到邊界點(diǎn)x1,y1,
積分關(guān)于參數(shù)t的三個(gè)分段點(diǎn)t0,1,2,所以有
12t0fx,y0Ft0把基準(zhǔn)直線平移到該區(qū)域任意位置,得直線xyt,0t1,
該直線與x軸的交點(diǎn)為t,于是
FtxytD0fx,ydxdy2dx0ttx0dyt2
31t2,把基準(zhǔn)直線平移到該區(qū)域任意位置,得直線xyt,
該直線與x軸的交點(diǎn)在區(qū)域D0外,不可作為積分限,但該直線與y1交于t1,1,為于是
FtxytD0fx,ydxdy2dydx2dx00t11t11tx0dy2t12txdxt24t2t11
4t2,F(xiàn)t【例41】Ft2xytD0fx,ydxdy2dxdy2
0011xtyt21x2y2dxdy,求Ft。
解:利用區(qū)間變換將參量t轉(zhuǎn)移到被積函數(shù)中,令xtu;ytv
FtFtu2v21utvtutvt222dudvdudvu2v21utvt2xt2yt21xyxy22
dxdy【例42】Ftx2y2t2fx,ydxdyt0,求Ft。
解:利用極坐標(biāo)等將參量t轉(zhuǎn)移到積分變限中,令
xrcos;yrsin
Ftdr0t20frcos,rsindFt220frcos,rsind
D2【例43】D:x2y22x2y2r22cos2,求xydxdy
解:
這是標(biāo)準(zhǔn)的伯努利雙紐線(參見同濟(jì)版上冊附錄2)由于伯努利雙紐線關(guān)于x軸對稱,根據(jù)對稱性,則22xydxdyxydxdy2DD
44d02cos201r3dr444cos22d042【例44】計(jì)算I2xxy22,y2xy241dxdyxyxy1111xrcos,4cosrcos;sinrsinyrsinx2y2x2y22424111cossinarctan4221sin1rdr42Idxdy2d11arctancosrcosrsinxyxy24D:22x2y2,x2y241sin11241ln2d241ln2tandtanarctancossinarctantan122cos4241arctan22ln2lntandlntanln2■題型七二重積分應(yīng)用題法
【例45】設(shè)fx,y為恒大于零的連續(xù)函數(shù),求證:
bafxdxab12dxba。fx證明:采用二重積分的逆向思想。設(shè)D:axb,ayb,
bIabbbfx11fxdxdxfxdxdydxdyfxfyfyaaaDbbbfy11fxdxdxfydydxdxdyfxfxfxaaaDbIaIfy1fxdxdydxdy2fyfxDD1fxfy1fxfy12dxdy2dxdy2dxdyba2fyfx2fyfx2DDD
【例46】設(shè)fx是區(qū)間0,上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的單調(diào)增加函數(shù),且
f01。對任意t0,,直線x0,xt,曲線yfx以及x軸所
圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周生成的旋轉(zhuǎn)體,若該旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積在數(shù)值上等于其體積的2倍,求fx。解:依題意得
220fx1fxdx2f0xdx(也可使用古爾金第二定理)
t2tt0時(shí),上述等式顯然成立,F(xiàn)在上式兩邊對t求導(dǎo)得
2ft1ftftftf01ft0ft單增ft02f2t1dydy22dxy12lnyy1xcyfxdxy1y01y01y01
lnyy21xyy21ex又lnyy21xlnfxy1xxee21yy21xyy21ex
行列式的題型題法大全專題講座
一、行列式的基礎(chǔ)題型與題法【例1】求極限
x1sinx11x22x10x33211Llimx0
1sinxcosx1解:應(yīng)用羅畢達(dá)法則
11Llimlimx0x02x3x22x00201xsinx11x20x10x30211x1cosx10x221x3301010100123002411110010130sinx011sinxcosx1cosxsinx01sinxcosx1
x0x22x36x●同步練習(xí):Fx12x3x2Fx6x2【例2】行列式的分解方法和重要結(jié)論
設(shè)n階同型矩陣,Aaij;BbijABaijbij,而行列式只是就某一列分解,所以,AB應(yīng)當(dāng)是2n個(gè)行列式之和,即
ABAB。
以我們經(jīng)常遇到三階行列式的特征值問題舉例如下:
a11EAa21a31a12a13a110a310a120a130a23a22a32a230a21a220a3200a33a13a23a33(112)0000a12a22a32a33a11a3100000a11a21a31a12a22a32a13a23a332220a11a3100000000a12a22a3200a13a23a33212a21a12a22a3201*1121a110211a11a21a31a21a21a31221221
aEA3a11a22a33211a21a12a22a22a32a23a33a11a31a11a13a21a33a31a12a22a32a13a23a33123a11a22a33TrAa11a12a13根據(jù)韋達(dá)定理,馬上可以得到兩個(gè)重要公式:naaa1A123212223a31a32a33
其中,111表示取被展開的行列式中的各列的第一子列,余類推。特別地,如特征值行列式中,有兩行或兩列對應(yīng)成比例,上述公式可以簡化為:
3EAa11a22a33aii23trA2i13231trA,230
評注韋達(dá)定理的一般形式為:
anxan1x
nn1an2xn2nan1an2nnaa00xi;xixj;xi10ananani1ij1i1n
【例3】代數(shù)余子式的計(jì)算技巧
元素的代數(shù)余子式與該元素?zé)o關(guān),行列式按某一行元素的代數(shù)余子式展開形式中,代數(shù)余子式前面乘以不同的系數(shù)就可以得到不同的行列式。
a11a21a12a22an2a1na2n=ai1Ai1ai2Ai2ainA1n
第i行an1ai1ai2ainann如果把上述等式兩邊的中括號(hào)里的元素?fù)Q成不同的值,就變成不同的行列式了。
【例4】拉普拉斯行列式中逆序數(shù)的計(jì)算
a11a12c12cn2a1mc1mcnm00b1100b1200a11aam1c11cn1am2amma11a1mb11b1nb1n11am1ammbn1bnnbn1bn2bnna1mb11b1nam1ammbn1bnn
112m12mmm1111mm11
c11bb11bn1c12b12bn2c1nb1nbnna11am100a1200a1mcm1cm2cmnam2amm00a11a1mb11b1n12am1ammbn1bnna11a1m1mnb11b1nam1ammbn1bnn
212mn1n2nmmm12m2nm12mnmm1121mn1mm11mn1D3x1x121D4x1xx21311x22x21x32x31ji3xxxij3x1x3x2x2x11x2xx22321x3xx23331x4xx24341ji4xxxij4x1x4x2x4x3x3x1x3x2x2x1D4x4x1x4x2x4x3D31ji3xxxiji134xi
二、行列式定義與余子式的應(yīng)用2.1.行列式定義的應(yīng)用
【例5】求逆序數(shù)(1)1352n12462n)
(2)已知x1x2xn1xnk,求xnxn1x2x1
解:(1)1352n12462nn1n210(2)解法一
nn12
對n個(gè)數(shù)的排列x1x2xn1xn,如果關(guān)于第i個(gè)元素xi有mi個(gè)元素比
xi大,并且都放在xi的前面,我們說第i個(gè)元素xi有mi個(gè)逆序數(shù),如果
關(guān)于第i個(gè)元素xi有mi個(gè)元素比xi大,但都放在xi的后面,我們說于第
i個(gè)元素xi有mi個(gè)順序數(shù)。
x1x2xn1xn中關(guān)于第1個(gè)元素x1有m10個(gè)逆序數(shù),關(guān)于第1個(gè)
元素x1有n1m1個(gè)順序數(shù),即在排列xnxn1x2x1中關(guān)于第n個(gè)元素x1的逆序數(shù)為n1m1;
x1x2xn1xn中關(guān)于第2個(gè)元素x2有m2個(gè)逆序數(shù),則關(guān)于第2個(gè)元
素x2有n2m2個(gè)順序數(shù),即在排列xnxn1x2x1中關(guān)于第n1個(gè)元素x2的逆序數(shù)為n2m2;
依此類推,可得:
xnxn1x2x1nnmnn2m2n1m1nnn2n1m1m2mnnn12k
解法二(推薦解法)
在排列x1x2xn1xn任取兩個(gè)數(shù)xk和xlkl,則數(shù)對xk,xl要么為逆序數(shù),要么為順序數(shù),而該排列共有Cn2個(gè)數(shù)對,已知x1x2xn1xn的逆序數(shù)為k,故x1x2xn1xn的順序數(shù)為Cn2k,它正好就是xnxn1x2x1的逆序數(shù),故xnxn1x2x1Cn2k
nn12k。
【例6】(1)已知四階行列式中a3ja12a41a2k的符號(hào)為負(fù),求j,k;(2)在五階行列式中,確定項(xiàng)a12a31a54a43a25的符號(hào);
(3)如果n階行列式中等于零的元素大于n2n個(gè),求Dn。解:(1)由于列號(hào)2,1固定,故j,k只能取3或者4,而
a3ja12a41a2ka12a2ka3ja41
j3,k424313141j4,k32341331j4,k32431123411
(2)a12a31a54a43a25a12a25a31a43a54
2513411241251341,取正號(hào)。
(3)n階行列式展開共有n2項(xiàng),等于零的元素大于n2n個(gè),則不為零的元素小于n個(gè),而行列式展開的每一項(xiàng)都是n個(gè)不同元素的乘積,故Dn0。
陳氏第21技--(1)使用〖排列法〗求參數(shù)行列式某冪次前的系數(shù)。
排列法:先固定行號(hào)順序排列:12n,再根據(jù)定義排列可能的列標(biāo)。
xx10x23x2x1【例7】在fx23求x3項(xiàng)。
112解:排列法:先固定行號(hào)順序排列:12n,再根據(jù)定義排列可能的列標(biāo)。
由定義知,行列式展開的每一項(xiàng)來源于原行列式每行每列只能取
一個(gè)而且必須取一個(gè)元素的法則。
如取a11x,則其余項(xiàng)為相應(yīng)取a2ja3ja4j形式,下面就是看j2j3j4234可能的排列中哪些符合要求。
j22,j33,j44則為x4項(xiàng)不合題意所求;其他取法均為x2不合
題意所求;
故取a11x不成立。
同樣的分析知,只有取a12x,相應(yīng)取a21a33a44才合題意,于是
11133(2134)a12a21a33a44x3
221335【例8】求D412x222
19x2解:x1時(shí)前兩行相等D0,故D展開式必含該兩因式,x2時(shí)后兩行相等D0,故D展開式必含該兩因式,由于是四階行列式,最高次冪不大于x4,故
D4kx1x1x2x2
而x4前的系數(shù)可由定義求出:
含x4冪的項(xiàng)的形式為:a1ja22a22=2x2a3ja44a44=9x2
13由于已經(jīng)固定順序行標(biāo)1234,列標(biāo)有兩個(gè)也被固定,即:
j12j34
根據(jù)行列式各項(xiàng)取自不同行不同列的規(guī)則:j11或3;j23或1●當(dāng)j11時(shí),必有j33,即存在含x4冪
11234a11a22a222x2a33a44a449x222222a112xa339x12x19x2x9x2
●當(dāng)j13時(shí),必有j31,即存在含x4冪
13214a13a22a22=2x2a31a44a44=9x222222a132xa319x22x29x42x9x2
故x4前的系數(shù)k143
陳氏第21技--(2)常數(shù)行列式法。
像【例8】類型題有一個(gè)絕妙的方法:即劃去2x2和9x2所在的行和列,剩下的數(shù)(不能含未知數(shù)x,否則,只能用排列法。)組成行列式
12213,就是x4前的系數(shù)。
x1023xxx又如:已知fx2171043,求fx。易知fx最高次冪為x2,
71故只要求出x2的系數(shù)即可,而x2的系數(shù)
a1123104a44a11a2410231042x216xfx16。71104714
a10a2b300b2a30b100a400b4【例9】求D
解:方法一:
a1D00b40a2b30a2b3b2a30b2a30b100a4a2b3a2a1b30b2a300a40b4a2b30b2a300b10
a1a4b1b4b2a3a2a3b2b3a1a4b1b4
方法二:利用拉普拉斯展開:
a10a2b300b2a30b100a412+3+2+3D00b4a2b3b2a1a3b4b1a4a2a3b2b3a1a4b1b4
x2x1x2x32x24x2x12x22x34x35x74x3【例10】設(shè)行列式fx3x33x24x53x5,則fx0有
多少個(gè)根?解:
x2f(x)2x23x34x拉普拉斯展開1110011c2c4x22x23x34x1110000x223x73x213x76
1x215x(x1),所以有2個(gè)根。2x21x76x2
【例11】設(shè)n階行列式Daijm,而行列式D1aijbij,b0,求D1。解:
D11a1j1b1j1a2j2b2j2anjnbnjn1a1ja2janjb12njjj
12n12n1a1j1a2j2anjnb0mabadccdabdcbabcd【例12】求行列式D4
解:
abcdbadccdabdacbbcad2badccdab
D42dc4a2b2c2d2baD4a2b2c2d2a11a31a12a32a13a33【例13】已知a21a22a23a,Aij3a,求
i1j133a111a121a131Da211a221a231。
a311a321a331解:設(shè)行列式D的第一列中的第一子列用“11”表示,第一列中的第二子列用“12”表示,其余符號(hào)類推。則:
a111a121a131Da211a221a231a311a321a331112131112132112231112232122131122132122231122232腳標(biāo)組合含兩個(gè)2的說明有兩列全為1,行列式等于0112131112132112231122131
a11=aa21a31a121a321a111a13a311a331a121a32a13a23a3333a221a211a231a22Aij3ai1j1a3a4a后面三個(gè)行列式按全1列展開后為全部元素的代數(shù)余子式之和,正好等于
2.2.余子式與代數(shù)余子式的計(jì)算方法
1230【例14】已知D111,求:
11(1)代數(shù)余子式A132A23A33(2)余子式
M132M23M33
解:(1)代數(shù)余子式A132A23A331A132A231A33用各代數(shù)余子式的系數(shù)1,2,1替代D的第三列,則
1A132A23A33121125
111(2)Aij1MijMijAij余子式
ij11ijAij1ij
M132M23M33113A132123A23133A33A132A23A33
用各代數(shù)余子式的系數(shù)1,-2,1替代D的第三列,則
1M132M23M33A132A23A33121127111【例15】設(shè)4階行列式的第2列元素依次為2,m,k,3,第二列元素的余子式依次為1,1,1,1,第四列元素的代數(shù)余子式依次為3,1,4,2。且行列式的值為1,求m,k。解:
122232421a12A121a22A221a32A321a42A421a12A14a22A24a32A34a42A440
m4121m11k1311mk51m4k120k223m1k4320
三、行列式計(jì)算方法和技巧
陳氏第22技7種定勢全面解決行列式計(jì)算問題。
行列式從元素特征上分為:數(shù)字字母型(五種定勢),抽象分塊型(一種定勢),參數(shù)型(一種定勢)三類。共7種定勢囊括考研中所有可能的行列式計(jì)算方法。望讀者系統(tǒng)掌握。3.1行和相等型行列式的計(jì)算方法
當(dāng)行列式中每一行的元素之和相等(稱為行和相等型)時(shí),計(jì)算時(shí)把各列全部加到第一列,從第一列中提出公因式,然后,各行都減
去第一行就可以降階,對列和相等型也有類似的結(jié)論,這是一類極其普遍的題型。
abbbabbba【例16】計(jì)算Dn
解:
abbDnbabbba1an1b0an1bbban1babb0b0ab211n11111nnn11211Dnn,求limn1。nn21bban1b1ab1ba
an1bba
0aban1babn1【例17】已知行列式Dn11111111nnn解:
2Dn111n111111111n1111nnnnnn1111211n1211nnnn11111112n11121nnn111n11n11n1n112111n1nn10111n11n20nlimDn1n111nnnlimnne讀者同步練習(xí):
0111110111110111n1n1;1110111110x1mx2xnx1x2mxnnn1ximm;i1x1x2xnmnn11n111n1n11n00n111nn0011na1xa2a3a4xx0030xx0x4xaii100xx12n231nn1nn1nn1122n1n1
●x1xxxxxxa1a2a3a4xa4a4a44aixx3i11xx2xxa1a2a3x1nn1x1;a1a2xa3n!2a1xa2a31xn3.2爪型行列式的計(jì)算方法
除第一行、第一列和主對角上的元素外,其他全部為零的行列式,其形狀像個(gè)爪形。爪形行列式Dn的計(jì)算一般方法是分三種情況分別討論。假設(shè)主對角上的元素分別為a1a2an。
●如a1a2an中有兩個(gè)或兩個(gè)以上的元素為零,則必有兩行成比例,故Dn0;
●如a1a2an中只有一個(gè)元素為零,例如ak0,則先按第k行展開,
再按k1列展開,便得到一個(gè)主對角行列式了;
●如a1a2an中沒有零元素,則從a22開始逐一提出主對角元素,然后上三角化,便得到一個(gè)上三角行列式了。
a011a1a2an2n【例18】計(jì)算Dn12n
解:情況一:a0a1a2an至少有兩個(gè)元素為零,則Dn10;情況二:a0a1a2an有一個(gè)元素為零,如ak0(akak1k1),則先按k1行元素展開,再按k列展開。(為清楚細(xì)節(jié),請讀者以D6為例具體推算以下過程)
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