北師大版九年級數(shù)學(xué)上冊知識點(diǎn)總結(jié)

九（上）數(shù)學(xué)知識點(diǎn)答案

第一章證明（一）

1、你能證明它嗎？

（1）三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）

判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。

判定定理：有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形�；蛘呷齻�角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

第三章證明（三）1、平行四邊行

（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定

定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形

性質(zhì)：平行四邊形的對邊分別平行；平行四邊形的對邊分別相等；平行四邊形的對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分。判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

判定：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質(zhì)

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定

第二章一元二次方程

1、花邊有多寬

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；一元二次方程：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

一般式：ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。2、配方法

（1）直接開平方法的定義

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式

bb24acb-4ac≥0時，x=

2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

2

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b-4ac

2

的值，當(dāng)b-4ac≥0時，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；三、設(shè)每一個因式分別為0，得到兩個一元二次方程；四、解這兩個一元二次方程，它們的解就是原方程的解。（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗(yàn)；七、答

第六章中心對稱圖形

圓的定義：確定圓的兩要素。

等圓、同圓和同心圓的概念：同圓和等圓的半徑相等。

點(diǎn)與圓的三種位置關(guān)系的判定和應(yīng)用：判定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系就是比較點(diǎn)到圓心的

距離與半徑的大小之間的關(guān)系。

圓的對稱性：既是軸對稱圖形也是中心對稱圖形。

圓的旋轉(zhuǎn)不變性：圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任何角度后，仍與圓來的圓重和。

在同圓或等圓中，圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理：在同圓或等圓中，圓心角、弧、

弦三組量中有一組量相等，其他兩組量都相等。圓的垂徑定理。

2、圓的有關(guān)性質(zhì)（1）定理在同圓或等圓中，如果圓心角相等，那么它所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等。推論在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對的其余各組量都分別相等。（2）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧。推論1（）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2圓的兩條平行弦所夾的弧相等。（3）圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于該弧所對的圓心角的一半。推論1在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90。90的圓周角所對的弦是圓的直徑。推論3如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。（4）切線的判定與性質(zhì)：判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直與這條半徑的直線是圓的切線。性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑；經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)；經(jīng)過切點(diǎn)切垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。（5）定理：不在同一條直線上的三個點(diǎn)確定一個圓。（6）圓的切線上某一點(diǎn)與切點(diǎn)之間的線段的長叫做這點(diǎn)到圓的切線長；切線長定理：從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分這兩條切線的夾角。（7）圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，一個外角等于內(nèi)對角；圓外切四邊形對邊和相等；（8）弦切角定理：弦切角等于它所它所夾弧對的圓周角。（9）和圓有關(guān)的比例線段：相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。（10）兩圓相切，連心線過切點(diǎn)；兩圓相交，連心線垂直平分公共弦

垂徑定理：垂直預(yù)弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧

二次根式

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九（上）數(shù)學(xué)知識點(diǎn)答案

第一章證明（一）

1、你能證明它嗎？

（1）三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）

判定：有兩個角相等的三角形是等腰三角形（等角對等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（即“三線合一”）（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個角都相等，并且每個角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿足“三線合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸。

判定定理：有一個角是60度的等腰三角形是等邊三角形。或者三個角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個銳角等于30度，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個直角三角形全等（HL）3、線段的垂直平分線

（1）線段垂直平分線的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線段兩個端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。（2）三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個頂點(diǎn)的距離相等。

（3）如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線

分別以線段的兩個端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線MN，則直線MN就是線段AB的垂直平分線。4、角平分線

（1）角平分線的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個角的兩邊的距離相等；

判定：在一個角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上。（2）三角形三條角平分線的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線

第二章一元二次方程

1、花邊有多寬

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；

一元二次方程：只含有一個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

2

一般式：ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。

2、配方法

（1）直接開平方法的定義

利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式b-4ac≥0時，x=

22

bb4ac2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的兩個根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個一次因式的乘積；三、設(shè)每一個因式分別為0，得到兩個一元二次方程；四、解這兩個一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（1）什么叫黃金比

線段AB上一點(diǎn)C分線段AB成兩條線段AC，BC，若黃金分割點(diǎn)，其中

ACABACAB=

BCAC，則C點(diǎn)叫線段AB的

叫黃金比，其值為0.618。

（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗(yàn)；七、答

第三章證明（三）

1、平行四邊行

（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形

性質(zhì)：平行四邊形的對邊分別平行；平行四邊形的對邊分別相等；平行四邊形的對角分別相等；平行四邊形的對角線互相平分。判定：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：等腰梯形在同一底上的兩個角相等；等腰梯形的兩條對角線相等。

判定：同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形；對角線相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線定義及性質(zhì)

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線。性質(zhì)：三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定

第四章視圖與投影

1、視圖

（1）三視圖的種類及三種視圖之間的關(guān)系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖；三種視圖間的關(guān)系：主、俯長對正；主、左高平齊；俯、左寬相等；（2）會畫圓柱、圓錐、球的三視圖

2、太陽光與影子

（1）投影與平行投影的含義、平行投影的性質(zhì)

一般地，用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做投影；由平行光線形成的投影是平行投影。

平行投影的性質(zhì)：物體上的點(diǎn)以及影子上的對應(yīng)點(diǎn)的連線互相平行；當(dāng)物體與投影面平行時，所形成的影子與物體全等；同一時刻，在平行光線下，互相平行的物體的高度與影子長度的比值相等。

（2）物體影長的變化規(guī)律，會將影長與相似結(jié)合起來進(jìn)行計(jì)算

在太陽光的照射下，不同時刻，物體影子的長短也不一樣，早晚影子長，中午影子短。（3）平行投影與視圖之間的關(guān)系

視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線下的投影。3、燈光與影子

（1）中心投影的概念及應(yīng)用，區(qū)別平行投影與中心投影從一點(diǎn)發(fā)出的光線形成的投影稱為中心投影。（2）視點(diǎn)、視線與盲區(qū)的概念

眼睛的位置稱為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線稱為視線；眼睛看不到的地方稱為盲區(qū)。

第五章反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)

（1）反比例函數(shù)的概念

一般地，如果兩個變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為0。（2）掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法

將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。

kx的形式，那么稱y是x的反比例2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）反比例函數(shù)圖象的畫法

一般采用描點(diǎn)法：先列表，再描點(diǎn)，再連線。

（2）反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，其表達(dá)式與圖象的關(guān)系，函數(shù)值大小的比較（表5-1）3、反比例函數(shù)的應(yīng)用

（1）用反比例函數(shù)解決實(shí)際問題的一般思路

1、根據(jù)問題情境，設(shè)出所求的反比例函數(shù)表達(dá)式；

2、由問題中的已知數(shù)據(jù)，代入所求表達(dá)式，列出方程（或方程組），求出方程的解，確定出待定系數(shù)的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式；3、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，去解決實(shí)際問題。

（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別及綜合應(yīng)用（表5-1）

表5-1

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