高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_三角函數(shù)公式大全

要點(diǎn)重溫之三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)

1．研究一個(gè)含三角式的函數(shù)的性質(zhì)時(shí)一般先將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]：函數(shù)y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)周期的一半。

[舉例]函數(shù)ysin(x)cos(x)在x2時(shí)有最大值，則的一個(gè)值是,

22A、

4B、

2C、

1223D、

34

2解析：原函數(shù)可變?yōu)椋簓=（k-1）+

4sin(x2)，它在x2時(shí)有最大值，即22=2k+

，k∈Z，選A。（萬(wàn)不可分別去研究sin(2x)和cos(2。x)的最大值）

[鞏固]①函數(shù)y＝sin2xcos2x的最小正周期是；②函數(shù)y=tanx—cotx的周期為；③函數(shù)y=|

12+sim

x2|的周期為。

2．在解決函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般對(duì)ωx+φ作“整體化”處理。如：用“五

3點(diǎn)法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時(shí)，應(yīng)取ωx+φ=0、、、、2等，而不是取

22x等于它們；求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的取值范圍時(shí)，應(yīng)由x的范圍確定ωx+φ的范圍，再觀察三角函數(shù)的圖象（或單位圓上的三角函數(shù)線），注意：只需作出y=sin(把ωx+φ視為一個(gè)整體，即)的草圖，而無(wú)需畫y=Asin(ωx+φ)的圖象；求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)（ω>0）的單調(diào)區(qū)間時(shí)，也是視ωx+φ為一個(gè)整體，先指出ωx+φ的范圍，再求x的范圍；研究函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)的圖象對(duì)稱性時(shí)，則分別令ωx+φ=k+和ωx+φ=k（k∈Z）,從而得

2到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x，0）對(duì)

2稱（k∈Z），（正、余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱軸平行于Y軸且過(guò)函數(shù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，而對(duì)

k對(duì)稱，關(guān)于點(diǎn)（

k稱中心是圖象與“平衡軸”的交點(diǎn)）;對(duì)函數(shù)y=Acos(ωx+φ)也作完全類似的處理。

[舉例1]畫出函數(shù)ysin(2x)在[0，]內(nèi)的圖象并指出其有無(wú)對(duì)稱軸、對(duì)稱中心。

6解析：作函數(shù)ysin(2x6)的圖象不是先作函數(shù)ysinx的圖象，再由它伸宿、平移得

3]內(nèi)取x=0、、、、這五點(diǎn)，到，而是直接描點(diǎn)作圖。但不是在[0，而是視2x4246為一個(gè)角，2x6∈[

6，

136]，取2x6=

6、

2、、

32、2、

136六個(gè)點(diǎn)，

具體列表如下：

2x626512322321112136xy012601210-描點(diǎn)、作圖略。不難看出直線x6、x23都不是函數(shù)的對(duì)稱軸，點(diǎn)（

512，0）、（

1112，

0）也都不是函數(shù)圖象的對(duì)稱中心，因?yàn)槎�義域不關(guān)于它們對(duì)稱，所以無(wú)對(duì)稱軸、對(duì)稱中心。[舉例2]已知函數(shù)ysinxcosx3sin2（1）指出函數(shù)的對(duì)稱軸、對(duì)稱中心；x，

23,（2）指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）函數(shù)在(最大、最小值時(shí)的x的值。解析：y2sin(2x3)-

12]上的最大、最小值，并指出取得

32，（1）對(duì)稱軸：由2x3=k+

2得xk2k212，kZ；

對(duì)稱中心：由2x3=k得x3k26，∴函數(shù)圖象的對(duì)稱中心為（

25126，-

32）

kZ。（2）由2x∈[2k-

2，2k+]得x∈[k3，k123]，kZ，

,∴[k512，k612]，kZ。（3）將2x視為一個(gè)角，∵x(6212]12∴∈(,]，畫函數(shù)ysin的草圖，觀察∈(,]時(shí)函數(shù)值的范圍為[-1，

12]，

當(dāng)且僅當(dāng)=2時(shí)sin取得最小值-1，=

126時(shí)sin取得最大值

32；即x=512時(shí)原函

數(shù)最小值-2-

32，x=時(shí)原函數(shù)最大值1-。

5121112[鞏固][鞏固]有以下四個(gè)命題：①函數(shù)f(x)=sin(

3－2x)的一個(gè)增區(qū)間是[，]；②若3函數(shù)f(x)=sin(x+)為奇函數(shù)，則為的整數(shù)倍；③對(duì)于函數(shù)f(x)=tg(2x+f(x1)=f(x2)，則x1－x2必是的整數(shù)倍；④函數(shù)y=2sin(2x+其中正確的命題是（填上正確命題的序號(hào)）[遷移]函數(shù)f(x)=2sin2x+3sin2x-1（>0）

①若對(duì)任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值；②若對(duì)任意x∈R恒f(x)≤f(1)，試判斷f(x+1)的奇偶性；

③若f(x)在[0,]上是單調(diào)函數(shù),求整數(shù)的值；

4)，若

3)的圖像關(guān)于點(diǎn)（

3，0）對(duì)稱。

3．已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B（A>0，ω>0）的圖象求表達(dá)式，一般先根據(jù)函數(shù)的最大值

M、最小值m（最高、最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)），確定A、B（A+B=M,-A+B=m）；根據(jù)相鄰的最大、最

小值點(diǎn)間的距離d（最高、最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對(duì)值）確定ω(d)，最后用最高

（或最低）點(diǎn)的坐標(biāo)代入表達(dá)式確定φ。[舉例]已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,0(Ⅱ)f(x)=sin(2x+x+123)=cos(

6-2x)=cos(2x-

6)=cos[2(x-

12)],方案一：先左移

x212(x變成

)得到函數(shù)y=cos2x,再縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（x變成

x2）得到函數(shù)y=cosx；

6方案二：先縱坐標(biāo)不變橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（x變成6）得到函數(shù)y=cos(x-)，再左移

(x變成x+

6)得到函數(shù)y=cosx。注：（）圖象變換的問(wèn)題要特別注意題目要求由誰(shuí)變到

誰(shuí)，不要搞錯(cuò)了方向；（）變換的源頭和結(jié)果需化為同名的三角函數(shù)且角變量的系數(shù)同號(hào)（用誘導(dǎo)公式）才能實(shí)施；（）如果已知變換的結(jié)果探究變換的源頭，可以“倒行逆施”。[鞏固1]把函數(shù)y=cosx-3sinx的圖象向左平移m個(gè)單位（m＞0）所得的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則m的最小值是

25A.B.C.D.

6336[鞏固2]將函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|BsinA>sinB；sin(B+C)=sinA、cos(B+C)=-cosA、cos

BC20

=sin

A2、sin

BC2=cos

A2；△ABC中

cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0；在銳角三角形△ABC中sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA等；若A、B是鈍角三角形兩銳角，則sinA

簡(jiǎn)答

1．[鞏固]①

2②

2③4；2．[鞏固]①②④，[遷移]f(x)=2sin(2x-

6)，①由f(x1)

≤f(x)≤f(x2)知：x1、x2分別是函數(shù)y=f(x)的最小值、最大值點(diǎn)，最小、最大值點(diǎn)間最近的距離為半個(gè)周期，得函數(shù)y2sin在[-∴62，②偶，③視2x-262為一個(gè)角，則∈[--6643，

2-

6]，

，-

6]上單調(diào)，則

≤

2，得0

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高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全一一．三角函數(shù)基本知識(shí)

一、基本概念、定義：

1.角的概念推廣終邊角：2.弧度制：

3.任意角的三角函數(shù)：②三角函數(shù)線：

③同角三角函數(shù)關(guān)系式：

④誘導(dǎo)公式：

二、基本三角公式：1．和、差角公式

2．二倍角公式

倍角公式變形：降冪公式3．半角公式(書P45～46)

4．萬(wàn)能公式：．．

應(yīng)用公式解題的基本題型：基本技巧：

三、三角函數(shù)性質(zhì)

四、y＝Asin(ωx＋ψ)的圖像和性質(zhì)：

五、反三角定義：；

六、數(shù)學(xué)思想方法：（1）數(shù)形結(jié)合思想，（2）整體思想，

1．三角函數(shù)（約16課時(shí)）（1）任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制，能進(jìn)行弧度與角度的互化。（2）三角函數(shù)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義。

②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出誘導(dǎo)公式（π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切），能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像，了解三角函數(shù)的周期性。

③借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0，2π]，正切函數(shù)在（-π/2，π/2）上的性質(zhì)（如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點(diǎn)等）。

④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sin2x+cos2x=1，sinx/cosx=tanx。⑤結(jié)合具體實(shí)例，了解y=Asin（wx+f）的實(shí)際意義；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出y=Asin（wx+f）的圖像，觀察參數(shù)A，w，f對(duì)函數(shù)圖像變化的影響。

⑥會(huì)用三角函數(shù)解決一些簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。

二．函數(shù)與常見初等函數(shù)

（1）函數(shù)

①通過(guò)豐富實(shí)例，進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型，在此基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)用集合與對(duì)應(yīng)的語(yǔ)言來(lái)刻畫函數(shù)，體會(huì)對(duì)應(yīng)關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用；了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念。

②在實(shí)際情境中，會(huì)根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ǎㄈ纾瑘D像法、列表法、解析法）表示函數(shù)。

③通過(guò)具體實(shí)例，了解簡(jiǎn)單的分段函數(shù)，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用。

④通過(guò)已學(xué)過(guò)的函數(shù)特別是二次函數(shù)，理解函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值及其幾何意義；結(jié)合具體函數(shù)，了解奇偶性的含義。

⑤學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)（參見例1）。（2）指數(shù)函數(shù)

①通過(guò)具體實(shí)例（如，細(xì)胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景。

②理解有理指數(shù)冪的含義，通過(guò)具體實(shí)例了解實(shí)數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運(yùn)算。

③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。

④在解決簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型（參見例2）。（3）對(duì)數(shù)函數(shù)

①理解對(duì)數(shù)的概念及其運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；通過(guò)閱讀材料，了解對(duì)數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。

②通過(guò)具體實(shí)例，直觀了解對(duì)數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系，初步理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念，體會(huì)對(duì)數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型；能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)。

③知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)。（a>0,a≠1）（4）冪函數(shù)

通過(guò)實(shí)例，了解冪函數(shù)的概念；結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的圖像，了解它們的變化情況。（5）函數(shù)與方程

①結(jié)合二次函數(shù)的圖像，判斷一元二次方程根的存在性及根的個(gè)數(shù)，從而了解函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的聯(lián)系。

②根據(jù)具體函數(shù)的圖像，能夠借助計(jì)算器用二分法求相應(yīng)方程的近似解，了解這種方法是求方程近似解的常用方法。（6）函數(shù)模型及其應(yīng)用

①利用計(jì)算工具，比較指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長(zhǎng)差異；結(jié)合實(shí)例體會(huì)直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)等不同函數(shù)類型增長(zhǎng)的含義。

②收集一些社會(huì)生活中普遍使用的函數(shù)模型（指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等）的實(shí)例，了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用。（7）實(shí)習(xí)作業(yè)根據(jù)某個(gè)主題，收集17世紀(jì)前后發(fā)生的一些對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物（開普勒、伽利略、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲、歐拉等）的有關(guān)資料或現(xiàn)實(shí)生活中的函數(shù)實(shí)例，采取小組合作的方式寫一篇有關(guān)函數(shù)概念的形成、發(fā)展或應(yīng)用的文章，1、函數(shù)的概念與基本性質(zhì)，主要有函數(shù)的概念與運(yùn)算、單調(diào)性、奇偶性與對(duì)稱性、周期性、最值與值域、圖像等。

2、一些簡(jiǎn)單函數(shù)的研究，主要是二次函數(shù)、冪、指、對(duì)函數(shù)等。

3、函數(shù)綜合與實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，如函數(shù)-方程-不等式的關(guān)系與應(yīng)用，用函數(shù)思想解決的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題等

三．集合與簡(jiǎn)易邏輯（1）集合的含義與表示

①通過(guò)實(shí)例，了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的"屬于"關(guān)系。

②能選擇自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問(wèn)題，感受集合語(yǔ)言的意義和作用。（2）集合間的基本關(guān)系

①理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集。②在具體情境中，了解全集與空集的含義。（3）集合的基本運(yùn)算

①理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集。②理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集。

③能使用Venn圖表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算，體會(huì)直觀圖示對(duì)理解抽象概念的作用。高中數(shù)學(xué)知識(shí)要點(diǎn)總結(jié)概述大全二

一．平面向量基本知識(shí)

一、向量知識(shí)：（1）向量的運(yùn)算：

（2）平面向量的基本定理：（3）夾角、模、距離等計(jì)算：夾角：

（4）線段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：（5）平移公式

二、解斜三角形（1）正弦定理：

（2）余弦定理：（3）解三角形的幾種類型及步驟：

解三角形（約8課時(shí)）

（1）通過(guò)對(duì)任意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題。

（2）能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。

2．?dāng)?shù)列（約12課時(shí)）（1）數(shù)列的概念和簡(jiǎn)單表示法

通過(guò)日常生活中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法（列表、圖像、通項(xiàng)公式），了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。（2）等差數(shù)列、等比數(shù)列①通過(guò)實(shí)例，理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式。③能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題（參見例1）。④體會(huì)等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

二．直線和圓的方程

直線與方程①在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，探索確定直線位置的幾何要素。②理解直線的傾斜角和斜率的概念，經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過(guò)程，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式。③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。④根據(jù)確定直線位置的幾何要素，探索并掌握直線方程的幾種形式（點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式），體會(huì)斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)。⑥探索并掌握兩點(diǎn)間的距離公式、點(diǎn)到直線的距離公式，會(huì)求兩條平行直線間的距離。（2）圓與方程①回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標(biāo)系中，探索并掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程。②能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。③能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

（3）在平面解析幾何初步的學(xué)習(xí)過(guò)程中，體會(huì)用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想。（4）空間直角坐標(biāo)系①通過(guò)具體情境，感受建立空間直角坐標(biāo)系的必要性，了解空間直角坐標(biāo)系，會(huì)用空間直角坐標(biāo)系刻畫點(diǎn)的位置。②通過(guò)表示特殊長(zhǎng)方體（所有棱分別與坐標(biāo)軸平行）頂點(diǎn)的坐標(biāo)，探索并得出空間兩點(diǎn)間的距離公式。

三．不等式

1.不等式的性質(zhì)

2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)3.不等式的證明4.不等式的解法

5.含絕對(duì)值不等式的解法6.求最值的問(wèn)題

1．不等式（約16課時(shí)）（1）不等關(guān)系通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景。

（2）一元二次不等式①經(jīng)歷從實(shí)際情境中抽象出一元二次不等式模型的過(guò)程。②通過(guò)函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應(yīng)函數(shù)、方程的聯(lián)系。③會(huì)解一元二次不等式，對(duì)給定的一元二次不等式，嘗試設(shè)計(jì)求解的程序框圖。（3）二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題①?gòu)膶?shí)際情境中抽象出二元一次不等式組。②了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組。（參見例2）③從實(shí)際情境中抽象出一些簡(jiǎn)單的二元線性規(guī)劃問(wèn)題，并能加以解決。（參見例3）（4）基本不等式：（a,b≥0）①探索并了解基本不等式的證明過(guò)程。②會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（�。﹩�(wèn)題（參見例4）。說(shuō)明與建議

1．解三角形的教學(xué)要重視正弦定理和余弦定理在探索三角形邊角關(guān)系中的作用，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)它們是解決測(cè)量問(wèn)題的一種方法，不必在恒等變形上進(jìn)行過(guò)于繁瑣的訓(xùn)練。

2．等差數(shù)列和等比數(shù)列有著廣泛的應(yīng)用，教學(xué)中應(yīng)重視通過(guò)具體實(shí)例（如教育貸款、購(gòu)房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長(zhǎng)等），使學(xué)生理解這兩種數(shù)列模型的作用，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)列模型的能力。

3．在數(shù)列的教學(xué)中，應(yīng)保證基本技能的訓(xùn)練，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)必要的練習(xí)，掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系。但訓(xùn)練要控制難度和復(fù)雜程度。

4．一元二次不等式教學(xué)中，應(yīng)注重使學(xué)生了解一元二次不等式的實(shí)際背景。求解一元二次不等式，首先可求出相應(yīng)方程的根，然后根據(jù)相應(yīng)函數(shù)的圖像求出不等式的解；也可以運(yùn)用代數(shù)的方法求解。鼓勵(lì)學(xué)生設(shè)計(jì)求解一元二次不等式的程序框圖。

5．不等式有豐富的實(shí)際背景，是刻畫區(qū)域的重要工具�？坍媴^(qū)域是解決線性規(guī)劃問(wèn)題的一個(gè)基本步驟，教學(xué)中可以從實(shí)際背景引入二元一次不等式組。

6．線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一。在本模塊的教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)線性規(guī)劃的基本思想，借助幾何直觀解決一些簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題，不必引入很多名詞。

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