高一數(shù)學集合知識點總結

高一數(shù)學集合知識點總結

一．知識歸納：1．集合的有關概念。

1）集合(集)：某些指定的對象集在一起就成為一個集合（集）．其中每一個對象叫元素

注意：①集合與集合的元素是兩個不同的概念，教科書中是通過描述給出的，這與平面幾何中的點與直線的概念類似。

②集合中的元素具有確定性（a?A和a?A，二者必居其一）、互異性（若a?A，b?A，則a≠b）和無序性（{a,b}與{b,a}表示同一個集合）。

③集合具有兩方面的意義，即：凡是符合條件的對象都是它的元素；只要是它的元素就必須符號條件

2）集合的表示方法：常用的有列舉法、描述法和圖文法3）集合的分類：有限集，無限集，空集。4）常用數(shù)集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、補集、空集、全集等概念。1）子集：若對x∈A都有x∈B，則AB（或AB）；2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；記為AB（或，且）3）交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}4）并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}5）補集：CUA={x|xA但x∈U}注意：①?A，若A≠?，則?A；②若，，則；

③若且，則A=B（等集）

3．弄清集合與元素、集合與集合的關系，掌握有關的術語和符號，特別要注意以下的符號：（1）與、?的區(qū)別；（2）與的區(qū)別；（3）與的區(qū)別。4．有關子集的幾個等價關系

①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。5．交、并集運算的性質(zhì)

①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A；③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；

6．有限子集的個數(shù)：設集合A的元素個數(shù)是n，則A有2n個子集，2n－1個非空子集，2n－2個非空真子集。二．例題講解：

【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，則M,N,P滿足關系

A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：從判斷元素的共性與區(qū)別入手。

解答一：對于集合M：{x|x=,m∈Z}；對于集合N：{x|x=,n∈Z}

對于集合P：{x|x=,p∈Z}，由于3(n-1)+1和3p+1都表示被3除余1的數(shù)，而6m+1表示被6除余1的數(shù)，所以MN=P，故選B。分析二：簡單列舉集合中的元素。

解答二：M={…，，…}，N={…，,,，…}，P={…，,，…}，這時不要急于判斷三個集合間的關系，應分析各集合中不同的元素。=∈N，∈N，∴MN，又=M，∴MN，=P，∴NP又∈N，∴PN，故P=N，所以選B。

點評：由于思路二只是停留在最初的歸納假設，沒有從理論上解決問題，因此提倡思路一，但思路二易人手。

變式：設集合，，則（B）A．M=NB．MNC．NMD．解：

當時，2k+1是奇數(shù)，k+2是整數(shù)，選B

【例2】定義集合A*B={x|x∈A且xB}，若A={1,3,5,7},B={2,3,5}，則A*B的子集個數(shù)為

A）1B）2C）3D）4

分析：確定集合A*B子集的個數(shù)，首先要確定元素的個數(shù)，然后再利用公式：集合A={a1，a2，…，an}有子集2n個來求解。解答：∵A*B={x|x∈A且xB}，∴A*B={1,7}，有兩個元素，故A*B的子集共有22個。選D。

變式1：已知非空集合M{1,2,3,4,5}，且若a∈M，則6?a∈M，那么集合M的個數(shù)為A）5個B）6個C）7個D）8個變式2：已知{a,b}A{a,b,c,d,e},求集合A.解：由已知，集合中必須含有元素a,b.

集合A可能是{a,b},{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d},{a,b,c,e},{a,b,d,e}.評析本題集合A的個數(shù)實為集合{c,d,e}的真子集的個數(shù)，所以共有個.

【例3】已知集合A={x|x2+px+q=0},B={x|x2?4x+r=0},且A∩B={1},A∪B={?2,1,3},求實數(shù)p,q,r的值。

解答：∵A∩B={1}∴1∈B∴12?4×1+r=0,r=3.

∴B={x|x2?4x+r=0}={1,3},∵A∪B={?2,1,3},?2B,∴?2∈A∵A∩B={1}∴1∈A∴方程x2+px+q=0的兩根為-2和1，∴∴

變式：已知集合A={x|x2+bx+c=0},B={x|x2+mx+6=0},且A∩B={2},A∪B=B，求實數(shù)b,c,m的值.

解：∵A∩B={2}∴1∈B∴22+m?2+6=0,m=-5∴B={x|x2-5x+6=0}={2,3}∵A∪B=B∴又∵A∩B={2}∴A={2}∴b=-(2+2)=4,c=2×2=4∴b=-4,c=4,m=-5

【例4】已知集合A={x|(x-1)(x+1)(x+2)>0},集合B滿足：A∪B={x|x>-2}，且A∩B={x|1

分析：先化簡集合A，然后由A∪B和A∩B分別確定數(shù)軸上哪些元素屬于B，哪些元素不屬于B。

解答：A={x|-21}。由A∩B={x|1-2}可知[-1,1]B，而(-∞,-2)∩B=ф。綜合以上各式有B={x|-1≤x≤5}

變式1：若A={x|x3+2x2-8x>0}，B={x|x2+ax+b≤0},已知A∪B={x|x>-4}，A∩B=Φ,求a,b。（答案：a=-2，b=0）

點評：在解有關不等式解集一類集合問題，應注意用數(shù)形結合的方法，作出數(shù)軸來解之。變式2：設M={x|x2-2x-3=0},N={x|ax-1=0}，若M∩N=N，求所有滿足條件的a的集合。解答：M={-1,3},∵M∩N=N,∴NM①當時，ax-1=0無解，∴a=0②綜①②得：所求集合為{-1，0，}

【例5】已知集合，函數(shù)y=log2(ax2-2x+2)的定義域為Q，若P∩Q≠Φ，求實數(shù)a的取值范圍。

分析：先將原問題轉化為不等式ax2-2x+2>0在有解，再利用參數(shù)分離求解。解答：（1）若，在內(nèi)有有解令當時，

所以a>-4,所以a的取值范圍是

變式：若關于x的方程有實根,求實數(shù)a的取值范圍。解答：

點評：解決含參數(shù)問題的題目，一般要進行分類討論，但并不是所有的問題都要討論，怎樣可以避免討論是我們思考此類問題的關鍵。三.隨堂演練選擇題

1．下列八個關系式①{0}=②=0③{}④{}⑤{0}⑥0⑦{0}⑧{}其中正確的個數(shù)（A）4（B）5（C）6（D）72．集合{1，2，3}的真子集共有

（A）5個（B）6個（C）7個（D）8個3．集合A={x}B={}C={}又則有

（A）（a+b）A(B)(a+b)B(C)(a+b)C(D)(a+b)A、B、C任一個4．設A、B是全集U的兩個子集，且AB，則下列式子成立的是（A）CUACUB（B）CUACUB=U（C）ACUB=（D）CUAB=5．已知集合A={}，B={}則A=（A）R（B）{}（C）{}（D）{}

6．下列語句：（1）0與{0}表示同一個集合；（2）由1，2，3組成的集合可表示為{1，2，3}或{3，2，1}；（3）方程（x-1）2(x-2)2=0的所有解的集合可表示為{1，1，2}；（4）集合{}是有限集，正確的是

（A）只有（1）和（4）（B）只有（2）和（3）（C）只有（2）（D）以上語句都不對

7．設S、T是兩個非空集合，且ST，TS，令X=S那么S∪X=（A）X（B）T（C）Φ（D）S

8設一元二次方程ax2+bx+c=0(a解答題15.a=-1

16.提示：A={0，-4}，又AB=B，所以BA（Ⅰ）B=時，4（a+1）2-4(a2-1)

擴展閱讀：高一數(shù)學集合、函數(shù)知識點總結、相應試題及答案

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

1)元素的確定性如：世界上最高的山

2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，

{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃

球隊員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R1）列舉法：{a,b,c}2）描述法：將集合中的元素的公共屬

性描述出來，寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3）語言描述法：例：{不是直角三角形

的三角形}4）Venn圖:4、集合的分類：(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合(3)空集不含任何元素的集合

例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；

（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集

B或BA合A,記作A2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。AA②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算類型定由所有屬于A由所有屬于集設S是一個集合，義且屬于B的元合A或屬于集合A是S的一個子素所組成的集B的元素所組成集，由S中所有合,叫做A,B的的集合，叫做不屬于A的元素交集．記作A,B的并集．記組成的集合，叫AB（讀作‘A作：AB（讀作做S中子集A的交B’），即‘A并B’），補集（或余集）AB=｛x|xA，即且xB｝．A交集并集補集B記作CSA，即={x|xA，或CSA={x|xS,且xA}xB})．韋恩圖示性AA=AAΦ=ΦAB=BAABAAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）

A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實數(shù)

2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.

4.設集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31

ABABSA圖1圖2質(zhì)ABB人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

(1)已知A=｛x-3相同函數(shù)的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數(shù)值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數(shù)關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數(shù)對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間

（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；

(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；

(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)

設函數(shù)y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1，x2，當x1調(diào)性）．

(B)圖象法(從圖象上看升降)(C)復合函數(shù)的單調(diào)性

復合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構成它的函數(shù)u=g(x)，y=f(u)的單調(diào)性密切相關，其規(guī)律：“同增異減”

注意：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

8．函數(shù)的奇偶性（整體性質(zhì)）（1）偶函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．（2）．奇函數(shù)

一般地，對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(－x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．（3）具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征偶函數(shù)的圖象關于y軸對稱；奇函數(shù)的圖象關于原點對稱．

利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

1首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其是否關于○

原點對稱；

2確定f(－x)與f(x)的關系；○

3作出相應結論：若f(－x)=f(x)或f(－○

x)－f(x)=0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(－x)=－f(x)或f(－x)＋f(x)=0，則f(x)是奇函數(shù)．注意：函數(shù)定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件．首先看函數(shù)的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱，(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)／f(-x)=±1來判定;(3)利用定理，或借助函數(shù)的圖象判定.

9、函數(shù)的解析表達式

（1）.函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數(shù)關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數(shù)的定義域.（2）求函數(shù)的解析式的主要方法有：1)湊配法2)待定系數(shù)法3)換元法4)消參法10．函數(shù)最大（�。┲担ǘ�義見課本p36頁）1利用二次函數(shù)的性質(zhì)（配方法）求函數(shù)的最大○

（�。┲�

2利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲怠�

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（�。┲担骸�

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：⑴yx22x15x33⑵y1(x12)x122.設函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，則函數(shù)f(x)的定義域為__3.若函數(shù)f(x1)的定義域為[2，3]，則函數(shù)f(2x1)的定義域是4.函數(shù)

x2(x1)，若f(x)3，則x=f(x)x2(1x2)2x(x2)5.求下列函數(shù)的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數(shù)f(x1)x24x，求函數(shù)f(x)，f(2x1)的解析式7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。8.設f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x[0,)時,

x(,0)時

f(x)x(13x),則當

f(x)=f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴

yx22x3⑵

yx22x3⑶

yx26x1

10.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結論．11.設函數(shù)

1x2f(x)1x2判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．

x（數(shù)學1必修）第一章（上）集合

[基礎訓練A組]

一、選擇題

1．下列各項中，不可以組成集合的是（）A．所有的正數(shù)B．等于2的數(shù)C．接近于0的數(shù)D．不等于0的偶數(shù)2．下列四個集合中，是空集的是（）

A．{x|x33}B．{(x,y)|y2x2,x,yR}C．{x|x20}D．{x|x2x10,xR}3．下列表示圖形中的陰影部分的是（）A．(AC)(BC)ABB．(AB)(AC)C．(AB)(BC)

D．(AB)C

C4．下面有四個命題：

（1）集合N中最小的數(shù)是1；

（2）若a不屬于N，則a屬于N；（3）若aN,bN,則ab的最小值為2；

（4）x212x的解可表示為1,1；其中正確命題的個數(shù)為（）

A．0個B．1個C．2個D．3個5．若集合Ma,b,c中的元素是△ABC的三邊長，則△ABC一定不是（）

A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形

6．若全集U0,1,2,3且CUA2，則集合A的真子集共有（A．3個B．5個C．7個D．8個

二、填空題

）1．用符號“”或“”填空（1）0______N,5______N,16______N

（2）12______Q,_______Q,e______CRQ（e是個無理數(shù)）（3）2323________x|xa6b,aQ,bQ

2.若集合Ax|x6,xN，B{x|x是非質(zhì)數(shù)}，CAB，則C的

非空子集的個數(shù)為。

3．若集合Ax|3x7，Bx|2x10，則AB_____________．4．設集合A{x3x2},B{x2k1x2k1},且AB，

則實數(shù)k的取值范圍是。

5．已知Ayyx22x1,Byy2x1，則AB_________。三、解答題

1．已知集合A8xN|6xN，試用列舉法表示集合A。2．已知A{x2x5}，B{xm1x2m1}，BA,求m的取值范圍。3．已知集合Aa2,a1,3,Ba3,2a1,a21，若AB3，

求實數(shù)a的值。4

．設全集

UR，

Mm|方程mx2x10有實數(shù)根Nn|方程x2xn0有實數(shù)根,求CUMN.

1必修）第一章（上）集合

[綜合訓練B組]

一、選擇題

1．下列命題正確的有（）（1）很小的實數(shù)可以構成集合；

（2）集合y|yx21與集合x,y|yx21是同一個集合；

（3）1,3,6,1242,0.5這些數(shù)組成的集合有5個元素；（4）集合x,y|xy0,x,yR是指第二和第四象限內(nèi)的點集。

，

（數(shù)學A．0個B．1個C．2個D．3個

2．若集合A{1,1}，B{x|mx1}，且ABA，則m的值為（）

A．1B．1C．1或1D．1或1或0

3．若集合M(x,y)xy0,N(x,y)xy0,xR,yR，則有（）

A．MNMB．MNNC．MNMD．MN4．方程組22xy1xy922的解集是（）

A．5,4B．5,4C．5,4D．5,4。5．下列式子中，正確的是（）

A．RRB．Zx|x0,xZ

C．空集是任何集合的真子集D．6．下列表述中錯誤的是（）A．若AB,則ABAB．若ABB，則ABC．(AB)A(AB)

D．CUABCUACUB

二、填空題

1．用適當?shù)姆�號填�?/p>

（1）3______x|x2,1,2____x,y|yx1（2）25_______x|x23，（3）x|1x,xR_______x|x3x0x2．設UR,Ax|axb,CUAx|x4或x3則a__________。_,b__________3．某班有學生55人，其中體育愛好者43人，音樂愛好者34人，還有4人既不愛好體育也

不愛好音樂，則該班既愛好體育又愛好音樂的人數(shù)為人。

24．若A1,4,x,B1,x且ABB，則x。

5．已知集合A{x|ax23x20}至多有一個元素，則a的取值范圍；若至少有一個元素，則a的取值范圍。三、解答題

1．設yxaxb,Ax|yxa,M222a,b,求M

22．設A{xx4x0},B{xx2(a1)xa10},其中xR,

如果ABB，求實數(shù)a的取值范圍。

22223．集合Ax|xaxa190，Bx|x5x60，Cx|x2x80

滿足AB,，AC,求實數(shù)a的值。

224．設UR，集合Ax|x3x20，Bx|x(m1)xm0；

若(CUA)B，求m的值。

（數(shù)學1必修）第一章（上）集合

[提高訓練C組]

一、選擇題

1．若集合X{x|x1}，下列關系式中成立的為（）A．0XB．0X

C．XD．0X

2．50名同學參加跳遠和鉛球測驗，跳遠和鉛球測驗成績分別為及格40人和31人，

2項測驗成績均不及格的有4人，2項測驗成績都及格的人數(shù)是（）A．35B．25

C．28D．153．已知集合Ax|xmx10,若AR，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．m4B．m4

C．0m4D．0m44．下列說法中，正確的是（）

A．任何一個集合必有兩個子集；

B．若AB,則A,B中至少有一個為C．任何集合必有一個真子集；

D．若S為全集，且ABS,則ABS,5．若U為全集，下面三個命題中真命題的個數(shù)是（）

（1）若AB,則CUACUBU（2）若ABU,則CUACUB（3）若AB，則AB

A．0個B．1個C．2個D．3個

6．設集合M{x|xk1,kZ}，N{x|xk1,kZ}，則（）

4224A．MNB．MC．NN

MD．MN

7．設集合A{x|x2x0},B{x|x2x0}，則集合AB（）A．0B．0C．D．1,0,1

二、填空題

1．已知My|yx24x3,xR，Ny|yx22x8,xR則MN__________。2．用列舉法表示集合：M{m|10Z,mZ}=。m13．若Ix|x1,xZ，則CIN=。

（AB）C。4．設集合A1,2,B1,2,3,C2,3,4則

5．設全集U(x,y)x,yR,集合M(x,y)y21，N(x,y)yx4,x2那么(CUM)(CUN)等于________________。三、解答題

1．若Aa,b,Bx|xA,MA,求CBM.

22．已知集合Ax|2xa,By|y2x3,xA,Cz|zx,xA,

且CB,求a的取值范圍。

323．全集S1,3,x3x2x，A1,2x1，如果CSA0,則這樣的

實數(shù)x是否存在？若存在，求出x；若不存在，請說明理由。4．設集合A1,2,3,...,10,求集合A的所有非空子集元素和的和。（數(shù)學1必修）第一章（中）函數(shù)及其表示

[基礎訓練A組]一、選擇題

1．判斷下列各組中的兩個函數(shù)是同一函數(shù)的為（）

(x3)(x5)，y2x5；

x3⑵y1x1x1，y2(x1)(x1)；

⑴y1⑶f(x)x，g(x)x2；

⑷f(x)3x4x3，F(xiàn)(x)x3x1；⑸f1(x)(2x5)2，f2(x)2x5。A．⑴、⑵B．⑵、⑶C．⑷D．⑶、⑸

2．函數(shù)yf(x)的圖象與直線x1的公共點數(shù)目是（）A．1B．0C．0或1D．1或2

423．已知集合A1,2,3,k,B4,7,a,a3a，且aN*,xA,yB

使B中元素y3x1和A中的元素x對應，則a,k的值分別為（）A．2,3B．3,4C．3,5D．2,5

x2(x1)4．已知f(x)x2(1x2)，若f(x)3，則x的值是（）

2x(x2)A．1B．1或

33C．1，或3D．3225．為了得到函數(shù)yf(2x)的圖象，可以把函數(shù)yf(12x)的圖象適當平移，

這個平移是（）

1個單位21C．沿x軸向左平移1個單位D．沿x軸向左平移個單位

2A．沿x軸向右平移1個單位B．沿x軸向右平移

x2,(x10)6．設f(x)則f(5)的值為（）

f[f(x6)],(x10)A．10B．11C．12D．13

二、填空題1x1(x0),2若f(a)a.則實數(shù)a的取值范圍是。1．設函數(shù)f(x)1(x0).x2．函數(shù)yx2的定義域。

x243．若二次函數(shù)yax2bxc的圖象與x軸交于A(2,0),B(4,0)，且函數(shù)的最大值為9，

則這個二次函數(shù)的表達式是。

4．函數(shù)y(x1)0xx的定義域是_____________________。

5．函數(shù)f(x)x2x1的最小值是_________________。三、解答題

31．求函數(shù)f(x)x1的定義域。x12．求函數(shù)yx2x1的值域。

23．x1,x2是關于x的一元二次方程x2(m1)xm10的兩個實根，又yx12x22，

求yf(m)的解析式及此函數(shù)的定義域。

4．已知函數(shù)f(x)ax2ax3b(a0)在[1,3]有最大值5和最小值2，求a、b的值。

2（數(shù)學1必修）第一章（中）函數(shù)及其表示

[綜合訓練B組]

一、選擇題

1．設函數(shù)f(x)2x3,g(x2)f(x)，則g(x)的表達式是（）

A．2x1B．2x1

C．2x3D．2x72．函數(shù)f(x)cx3,(x)滿足f[f(x)]x,則常數(shù)c等于（）2x32A．3B．3C．3或3D．5或3

1x21f()等于（）(x0)3．已知g(x)12x,f[g(x)]，那么

2x2A．15B．C．3D．30

4．已知函數(shù)yf(x1)定義域是[2，3]，則yf(2x1)的定義域是（）

52C.[5，5]D.[3，7]

A．[0，]B.[1，4]

5．函數(shù)y2x24x的值域是（）

A．[2,2]B．[1,2]C．[0,2]D．[2,2]

1x1x26．已知f(，則f(x)的解析式為（）)21x1xx2xB．

1x21x22xxC．D．221x1xA．

二、填空題

3x24(x0)1．若函數(shù)f(x)(x0)，則f(f(0))=．

0(x0)2．若函數(shù)f(2x1)x2x，則f(3)=.3．函數(shù)f(x)221x2x32的值域是。

4．已知f(x)1,x0，則不等式x(x2)f(x2)5的解集是。

1,x05．設函數(shù)yax2a1，當1x1時，y的值有正有負，則實數(shù)a的范圍。三、解答題

1．設,是方程4x4mxm20,(xR)的兩實根,當m為何值時,

222有最小值?求出這個最小值.

2．求下列函數(shù)的定義域（1）yx83x（2）yx211x2

x（3）y1

1111xx3．求下列函數(shù)的值域（1）y3x4x（2）y52x24x3（3）y12xx4．作出函數(shù)yx26x7,x3,6的圖象。

函數(shù)及其表示[提高訓練C組]

一、選擇題

1．若集合Sy|y3x2,xR，Ty|yx21,xR，

則ST是()A．SB.TC.D.有限集

2．已知函數(shù)yf(x)的圖象關于直線x1對稱，且當x(0,)時，

有f(x)1x,則當x(,2)時，f(x)的解析式為（）A．111xB．x2C．x2D．1x2

3．函數(shù)yxxx的圖象是（）

4．若函數(shù)yx23x4的定義域為[0,m],值域為[254，4]，則m的取值范圍是（A．0,4B．[32，4]

C．[32，3]D．[32，）5．若函數(shù)f(x)x2，則對任意實數(shù)x1,x2，下列不等式總成立的是（）

A．f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(2)2B．f(12)x2)2）

C．f(x1x2f(x1)f(x2)xx2f(x1)f(x2)))D．f(122222xx2(0x3)6．函數(shù)f(x)2的值域是（）

x6x(2x0)A．RB．9,C．8,1D．9,1

二、填空題

1．函數(shù)f(x)(a2)x22(a2)x4的定義域為R，值域為,0，

則滿足條件的實數(shù)a組成的集合是。

2．設函數(shù)f(x)的定義域為[0，1]，則函數(shù)f(x2)的定義域為__________。3．當x_______時，函數(shù)f(x)(xa1)2(xa2)2...(xan)2取得最小值。4．二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點A(,),B(1,3),C(2,3)，則這個二次函數(shù)的解析式為。

1324x21(x0)5．已知函數(shù)f(x)，若f(x)10,則x。

2x(x0)三、解答題

1．求函數(shù)yx12x的值域。

2x22x32．利用判別式方法求函數(shù)y的值域。

x2x13．已知a,b為常數(shù)，若f(x)x4x3,f(axb)x10x24,則求5ab的值。

4．對于任意實數(shù)x，函數(shù)f(x)(5a)x6xa5恒為正值，求a的取值范圍。

222（數(shù)學1必修）第一章（下）函數(shù)的基本性質(zhì)

[基礎訓練A組]一、選擇題

1．已知函數(shù)f(x)(m1)x(m2)x(m7m12)為偶函數(shù)，

則m的值是（）A.1B.2C.3D.42．若偶函數(shù)f(x)在,1上是增函數(shù)，則下列關系式中成立的是（）

A．f()f(1)f(2)B．f(1)f()f(2)C．f(2)f(1)f()D．f(2)f()f(1)

3．如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)且最大值為5，那么f(x)在區(qū)間7,3上是（）

A．增函數(shù)且最小值是5B．增函數(shù)且最大值是5C．減函數(shù)且最大值是5D．減函數(shù)且最小值是54．設f(x)是定義在R上的一個函數(shù)，則函數(shù)F(x)f(x)f(x)在R上一定是（）

A．奇函數(shù)B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D．非奇非偶函數(shù)。5．下列函數(shù)中,在區(qū)間0,1上是增函數(shù)的是（）A．yxB．y3xC．y323232321D．yx24x6．函數(shù)f(x)x(x1x1)是（）A．是奇函數(shù)又是減函數(shù)B．是奇函數(shù)但不是減函數(shù)C．是減函數(shù)但不是奇函數(shù)D．不是奇函數(shù)也不是減函數(shù)

二、填空題

1．設奇函數(shù)f(x)的定義域為5,5，若當x[0,5]時，

f(x)的圖象如右圖,則不等式f(x)0的解是

2．函數(shù)y2xx1的值域是________________。3．已知x[0,1]，則函數(shù)y5．下列四個命題（1）f(x)x21x的值域是.

24．若函數(shù)f(x)(k2)x(k1)x3是偶函數(shù)，則f(x)的遞減區(qū)間是.

x21x有意義;（2）函數(shù)是其定義域到值域的映射;

2x,x0（3）函數(shù)y2x(xN)的圖象是一直線；（4）函數(shù)y2的圖象是拋物線，

x,x其中正確的命題個數(shù)是____________。

三、解答題

1．判斷一次函數(shù)ykxb,反比例函數(shù)y單調(diào)性。

2．已知函數(shù)f(x)的定義域為1,1，且同時滿足下列條件：（1）f(x)是奇函數(shù)；（2）f(x)在定義域上單調(diào)遞減；（3）f(1a)f(1a2)0,求a的取值范圍。3．利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)yx12x的值域；4．已知函數(shù)f(x)x2ax2,x5,5.

2k，二次函數(shù)yax2bxc的x①當a1時，求函數(shù)的最大值和最小值；

②求實數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間5,5上是單調(diào)函數(shù)。

（數(shù)學1必修）第一章（下）函數(shù)的基本性質(zhì)[綜合訓練B組]

一、選擇題

1．下列判斷正確的是（）

1xx22xA．函數(shù)f(x)是奇函數(shù)B．函數(shù)f(x)(1x)是偶函數(shù)

x21xC．函數(shù)f(x)xx21是非奇非偶函數(shù)D．函數(shù)f(x)1既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2．若函數(shù)f(x)4xkx8在[5,8]上是單調(diào)函數(shù)，則k的取值范圍是（）A．,40B．[40,64]C．,4064,D．64,3．函數(shù)y2x1x1的值域為（）

C．A．,2B．0,2

4．已知函數(shù)fxx2a1x2在區(qū)間,4上是減函數(shù)，

22,D．0,

則實數(shù)a的取值范圍是（）

A．a(chǎn)3B．a(chǎn)3C．a(chǎn)5D．a(chǎn)3

5．下列四個命題：(1)函數(shù)f(x)在x0時是增函數(shù)，x0也是增函數(shù)，所以f(x)是增函數(shù)；

2(2)若函數(shù)f(x)axbx2與x軸沒有交點，則b8a0且a0；(3)yx2x3的

22遞增區(qū)間為1,；(4)y1x和y(1x)2表示相等函數(shù)。其中正確命題的個數(shù)是()

A．0B．1C．2D．3

6．某學生離家去學校，由于怕遲到，所以一開始就跑步，等跑累了再走余下的路程.在下圖中縱軸表示離學校的距離，橫軸表示出發(fā)后的時間，則下圖中的四個圖形中較符合該學生走法的是（）

dd0OA．t0tdd0OB．t0tdd0OC．t0tdd0OD．t0t二、填空題

1．函數(shù)f(x)xx的單調(diào)遞減區(qū)間是____________________。2．已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)，當x0時，f(x)x2|x|1，

那么x0時，f(x).3．若函數(shù)f(x)2xa在1,1上是奇函數(shù),則f(x)的解析式為________.

x2bx14．奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[3,7]上是增函數(shù)，在區(qū)間[3,6]上的最大值為8，

最小值為1，則2f(6)f(3)__________。

5．若函數(shù)f(x)(k3k2)xb在R上是減函數(shù)，則k的取值范圍為__________。

2三、解答題

1．判斷下列函數(shù)的奇偶性

1x2（1）f(x)（2）f(x)0,x6,22,6

x222．已知函數(shù)yf(x)的定義域為R，且對任意a,bR，都有f(ab)f(a)f(b)，且當x0時，f(x)0恒成立，證明：（1）函數(shù)yf(x)是R上的減函數(shù)；（2）函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)。

3．設函數(shù)f(x)與g(x)的定義域是xR且x1,f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù),且f(x)g(x)1,求f(x)和g(x)的解析式.x4．設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)x2|xa|1，xR

（1）討論f(x)的奇偶性；（2）求f(x)的最小值。

（數(shù)學1必修）第一章（下）函數(shù)的基本性質(zhì)

[提高訓練C組]一、選擇題

1．已知函數(shù)fxxaxaa0，hxx2xx0x2xx0，則fx,hx的奇偶性依次為（）

A．偶函數(shù)，奇函數(shù)B．奇函數(shù)，偶函數(shù)C．偶函數(shù)，偶函數(shù)D．奇函數(shù)，奇函數(shù)

2．若f(x)是偶函數(shù)，其定義域為,，且在0,上是減函數(shù)，

則f(3)與f(a22a522)的大小關系是（）

A．f(32)>f(a22a52)B．f(32)C．(a,f(a))D．(a,f(a))

二、填空題

1．設f(x)是R上的奇函數(shù)，且當x0,時，f(x)x(13x)，

則當x(,0)時f(x)_____________________。

2．若函數(shù)f(x)axb2在x0,上為增函數(shù),則實數(shù)a,b的取值范圍是。

x2111f(1)f(2)f()f(3)f()f(4)f()＝_____。3．已知f(x)，那么22341x4．若f(x)ax1在區(qū)間(2,)上是增函數(shù)，則a的取值范圍是。x24(x[3,6])的值域為____________。5．函數(shù)f(x)x2三、解答題

1．已知函數(shù)f(x)的定義域是(0,)，且滿足f(xy)f(x)f(y),f()1,

如果對于0xy,都有f(x)f(y),（1）求f(1)；（2）解不等式

12f(x)f(3x)2。

2．當x[0,1]時，求函數(shù)f(x)x2(26a)x3a2的最小值。

3．已知f(x)4x4ax4aa在區(qū)間0,1內(nèi)有一最大值5，求a的值.

224．已知函數(shù)f(x)ax321111x的最大值不大于，又當x[,]時,f(x)，求a的值。26428（數(shù)學1必修）第一章（上）[提高訓練C組]

一、選擇題

1.D01,0X,0X1.

B全班分4類人：設兩項測驗成績都及格的人數(shù)為x人；僅跳遠及格的人數(shù)為40x人；僅鉛球及格的人數(shù)為31x人；既不愛好體育又不愛好音樂的

人數(shù)為4人�！�40x31xx450，∴x25。

3.C由AR得A，(m)240,m4,而m0,∴0m4；4.D選項A：僅有一個子集，選項B：僅說明集合A,B無公共元素，

選項C：無真子集，選項D的證明：∵(AB)A,即SA,而AS，∴AS；同理BS，∴ABS；

5.D（1）(CUA)(CUB)CU(AB)CUU；

（2）(CUA)(CUB)CU(AB)CUU；

（3）證明：∵A(AB),即A,而A，∴A；

同理B，∴AB；

6.BM:2k1奇數(shù)k2整數(shù),,；N:，整數(shù)的范圍大于奇數(shù)的范圍44447．BA0,1,B1,0二、填空題

1.x|1x9

2My|yx24x3,xRy|y（x2）1122（x1）99Ny|yx2x8,xRy|y,6,3,2,0,1,4,9m110,5,2,或1（10的約數(shù)）2.113.1I1N，CIN14.1，2，2，3，4AB15.2,2M:yx4(x2)，M代表直線yx4上，但是

挖掉點(2,2)，CUM代表直線yx4外，但是包含點(2,2)；

N代表直線yx4外，CUN代表直線yx4上，

∴(CUM)(CUN)(2,2)。三、解答題

1.解：xA,則x,a,b,或a,b，B∴CBM,a,b,a,b

,a,b

1,而2a0,這是矛盾的；222.解：Bx|1x2a3，當2a0時，Cx|ax4，

而CB則2a34,即a當0a2時，Cx|0x4，而CB，則2a34,即a11,即a2；222當a2時，Cx|0xa，而CB，

則2a3a2,即2a3；∴

1a323.解：由CSA0得0S，即S1,3,0，A1,3，

2x13∴，∴x1

32x3x2x04.解：含有1的子集有2個；含有2的子集有2個；含有3的子集有2個；…，

含有10的子集有2個，∴(123...10)2928160。

9999（數(shù)學1必修）第一章（中）[提高訓練C組]

一、選擇題

1.BSR,T1,,TS

2.D設x2，則x20，而圖象關于x1對稱，

得f(x)f(x2)11，所以f(x)。

x2x2x1,x03.Dy

x1,x04.C作出圖象m的移動必須使圖象到達最低點

5.A作出圖象圖象分三種：直線型，例如一次函數(shù)的圖象：向上彎曲型，例如二次函數(shù)f(x)x的圖象；向下彎曲型，例如二次函數(shù)f(x)x的圖象；6.C作出圖象也可以分段求出部分值域，再合并，即求并集

22二、填空題

1.2當a2時，f(x)4,其值域為-4,0

a20當a2時，f(x)0,則,a224(a2)16(a2)02.4,903.

x21,得2x3,即4x9

a1a2...anf(x)nx22(a1a2...an)x(a12a22...an2)

na1a2...an時，f(x)取得最小值

n134.yx2x1設y3a(x1)(x2)把A(,)代入得a1

24當x5.3由100得f(x)x2110,且x0,得x3

三、解答題

1t21t211,ytt2t1.解：令12xt,(t0)，則x2222y1(t12)，當1t1時，ymax1,所以y,122.解：y(x2x1)2x22x3,(y2)x2(y2)xy30,(*)顯然y2，而（*）方程必有實數(shù)解，則(y22，∴)4y(2y)(3)0y(2,10]33.解：f(axb)(axb)24(axb)3x210x24,a2x2(2ab4a)x2b4b32x10x24,a21a1a1∴2ab4a，或10得b3b7b24b324∴5ab2。

4.解：顯然5a0，即a5，則5a0

364(5a)(a5)0a5得2,∴4a4.

a160（數(shù)學1必修）第一章（下）[綜合訓練B組]一、選擇題

1.C選項A中的x2,而x2有意義，非關于原點對稱，選項B中的x1,

而x1有意義，非關于原點對稱，選項D中的函數(shù)僅為偶函數(shù)；

2.C對稱軸x3.Bykkk，則5，或8，得k40，或k648882,x1,y是x的減函數(shù)，

x1x當x1,y2,0y24.A對稱軸x1a,1a4,a31.A（1）反例f(x)1；（2）不一定a0，開口向下也可；（3）畫出圖象x可知，遞增區(qū)間有1,0和1,；（4）對應法則不同

6.B剛剛開始時，離學校最遠，取最大值，先跑步，圖象下降得快！二、填空題

1．(,],[0,]畫出圖象

2.xx1設x0，則x0，f(x)xx1，

∵f(x)f(x)∴f(x)xx1,f(x)xx13.f(x)22221212x2x1∵f(x)f(x)∴f(0)f(0),f(0)0,a0,a01x11,f(1)f(1),,b0即f(x)2xbx12b2b4.15f(x)在區(qū)間[3,6]上也為遞增函數(shù)，即f(6)8,f(3)12f(6)f(3)f25.(1,2)k3k20,1k2三、解答題

2(6f)(3)1x21．解：（1）定義域為1,00,1，則x22x，f(x),

x1x2∵f(x)f(x)∴f(x)為奇函數(shù)。

x（2）∵f(x)f(x)且f(x)f(x)∴f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。2．證明：(1)設x1x2，則x1x20，而f(ab)f(a)f(b)∴f(xx2x2x)1)f(1f(1x2x)(f2x)(fx)∴函數(shù)yf(x)是R上的減函數(shù);

(2)由f(ab)f(a)f(b)得f(xx)f(x)f(x)即f(x)f(x)f(0)，而f(0)0

∴f(x)f(x)，即函數(shù)yf(x)是奇函數(shù)。

3．解：∵f(x)是偶函數(shù),g(x)是奇函數(shù)，∴f(x)f(x)，且g(x)g(x)

11,得f(x)g(x),x1x111即f(x)g(x)，x1x11x∴f(x)2，g(x)2。

x1x1而f(x)g(x)4．解：（1）當a0時，f(x)x2|x|1為偶函數(shù)，

2當a0時，f(x)x|xa|為非奇非偶函數(shù)；122（2）當xa時，f(x)xxa1(x)a123,4113時，f(x)minf()a，2241當a時，f(x)min不存在；

21232當xa時，f(x)xxa1(x)a,

241當a時，f(x)2a，1minf(a)2113當a時，f(x)minf()a。

224當a（數(shù)學1必修）第一章（下）[提高訓練C組]一、選擇題

1.Dfxxaxaxaxaf(x)，畫出h(x)的圖象可觀察到它關于原點對稱

或當x0時，x0，則h(x)xx(xx)h(x);當x0時，x0，則h(x)xx(xx)h(x);

2222h(x)h(x)

22.Ca2a533335(a1)2，f()f()f(a22a)2222223.B對稱軸x2a,2a4,a4.D由xf(x)0得x0x0或而f(3)0,f(3)0

f(x)0f(x)0即x0x0或

f(x)f(3)f(x)f(3)5.D令F(x)f(x)4ax3bx，則F(x)ax3bx為奇函數(shù)F(2)f(2)46,F(2)f(2)46,f(2)10

33336.Bf(x)x1x1x1x1f(x)為偶函數(shù)

(a,f(a)一定在圖象上，而)f(a)f(a，∴)(a,f(a)一定在圖象上)二、填空題

1．x(13x)設x0，則x0，f(x)x(13x)x(13x)

∵f(x)f(x)∴f(x)x(13x)

2.a0且b0畫出圖象，考慮開口向上向下和左右平移

x27111f(),f(x)f()13.f(x)，

2x1x2x1x21111f(1),f(2)f()1,f(3)f()1,f(4)f()1

22344.(,)設x1x22,則f(x1)f(x2)，而f(x1)f(x2)

12ax11ax212ax1x22ax2x1(x1x2)(2a1)0，則2a10x12x22(x12)(x22)(x12)(x22)4的遞減區(qū)間，把3,6分別代入得最大、小值x25.1,4區(qū)間[3,6]是函數(shù)f(x)三、解答題

1．解：（1）令xy1，則f(1)f(1)f(1),f(1)0

（2）f(x)f(3x)2f()

1211f(x)f()f(3x)f()0f(1)

22x3xx3xf()f()f(1)，f()f(1)

22x203x0,1x0。則2x3x2212．解：對稱軸x3a1,

1時，0,1是f(x)的遞增區(qū)間，f(x)minf(0)3a2；32當3a11，即a時，0,1是f(x)的遞減區(qū)間，f(x)minf(1)3a26a3；

312當03a11，即a時，f(x)minf(3a1)6a26a1。

33aa3．解：對稱軸x，當0,即a0時，0,1是f(x)的遞減區(qū)間，

22當3a10，即a則f(x)maxf(0)4aa25，得a1或a5，而a0，即a5；

a1,即a2時，0,1是f(x)的遞增區(qū)間，則f(x)maxf(1)4a25，2a得a1或a1，而a2，即a不存在；當01,即0a2時，

2a555則f(x)maxf()4a5,a，即a；∴a5或。

24443a2121214．解：f(x)(x)a,f(x)a,得1a1，

23666當

對稱軸xa3111，當1a時，,是f(x)的遞減區(qū)間，而f(x)，3484212a313,a1與1a矛盾，即不存在；2884113a1a11423當a1時，對稱軸x，而，且434333281a313即f(x)minf(),a1，而a1，即a1

22884∴a1

即f(x)minf()

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