高一數(shù)學(xué)解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及習(xí)題練習(xí)

相信自己，你行的！

解三角形

一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理1正弦定理：asinAsinBsinCb2Rc2R=

b=

c=2R（R為△ABC外接圓半徑），了解正弦定理以

下變形：

a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCsinAa2RbsinB,sinB,sinC

a:b:csinA:sinB:sinCa

sinAcsinCabcsinAsinBsinC最常用三角形面積公式：SABC12aha12absinC12acsinB12bcsinA

2正弦定理可解決兩類(lèi)問(wèn)題：1．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；（唯一解）

2．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角（解可能不唯一）了解：已知a,b和A,用正弦定理求B時(shí)的各種情況:

3．余弦定理：a2bc2bccosAcosA2222bca22222

2bca2accosBcab2abcosC4．余弦定理可以解決的問(wèn)題：（1）已知三邊，求三個(gè)角；（解唯一）

2222cosBcosC2bccab2caabc22

2

2ab（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個(gè)角（解唯一）：

（3）兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊，進(jìn)而可求其它的邊和角（解

可能不唯一）

自己決定自己的未來(lái)相信自己，你行的！

2[課前熱身]

1．(教材習(xí)題改編)已知△ABC中，a＝2，b＝3，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°2．在△ABC中，a2b2c2bc，則A等于()A．60°B．45°C．120°D．30°

3．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，則△ABC的面積是()A.

4．(201*年高考廣東卷)已知a，b，c分別是△ABC的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，則sinA＝________.5．

5．在△ABC中，如果A＝60°，c＝2，a＝6，則△ABC的形狀是________．3[考點(diǎn)突破]

33153153153B.C.D.4248

考點(diǎn)一正弦定理的應(yīng)用

利用正弦定理可解決以下兩類(lèi)三角形：一是已知兩角和一角的對(duì)邊，求其他邊角；二是已知兩邊和一邊的對(duì)角，求其他邊角．

例1、(1)(201*年高考山東卷)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若a

＝2，b＝2，sinB＋cosB＝2，則角A的大小為_(kāi)_______．(2)滿(mǎn)足A＝45°，a＝2，c＝6的△ABC的個(gè)數(shù)為_(kāi)_______．

考點(diǎn)二余弦定理的應(yīng)用

利用余弦定理可解兩類(lèi)三角形：一是已知兩邊和它們的夾角，求其他邊角；二是已知三邊求其他邊角．由于這兩種情況下的三角形是惟一確定的，所以其解也是惟一的．π

例2、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是a，b，c，已知c＝2，C＝.

3

(1)若△ABC的面積等于3，求a，b的值；(2)若sinB＝2sinA，求△ABC的面積．

考點(diǎn)三三角形形狀的判定

判斷三角形的形狀，應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．

自己決定自己的未來(lái)相信自己，你行的！

例3、(201*年高考遼寧卷)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC.(1)求A的大��；

(2)若sinB＋sinC＝1，試判斷△ABC的形狀．

互動(dòng)探究

1若本例條件變?yōu)椋簊inC＝2sin(B＋C)cosB，試判斷三角形的形狀．．

方法感悟:方法技巧

解三角形常見(jiàn)題型及求解方法

abc

(1)已知兩角A、B與一邊a，由A＋B＋C＝180°及＝＝，可求出角C，再求出b，

sinAsinBsinC

c.

(2)已知兩邊b，c與其夾角A，由a2＝b2＋c2－2bccosA,求出a，再由正弦定理，求出角B，C.

(3)已知三邊a、b、c，由余弦定理可求出角A、B、C.

ab

(4)已知兩邊a、b及其中一邊的對(duì)角A，由正弦定理＝求出另一邊b的對(duì)角B，由C

sinAsinBacab

＝π－(A＋B)，求出C，再由＝，求出c，而通過(guò)＝求B時(shí)，可能出現(xiàn)一解，

sinAsinCsinAsinB兩解或無(wú)解的情況，其判斷方法如下表：

失誤防范

1．用正弦定理解三角形時(shí)，要注意解題的完整性，謹(jǐn)防丟解．

2．要熟記一些常見(jiàn)結(jié)論，如三內(nèi)角成等差數(shù)列，則必有一角為60°；若三內(nèi)角的正弦值成等差數(shù)列，則三邊也成等差數(shù)列；三角形的內(nèi)角和定理與誘導(dǎo)公式結(jié)合產(chǎn)生的結(jié)論：sinA＝

B＋CA

sin(B＋C)，cosA＝－cos(B＋C)，sin＝cos，sin2A＝－sin2(B＋C)，cos2A＝cos2(B＋C)

22

自己決定自己的未來(lái)相信自己，你行的！

等．

3．對(duì)三角形中的不等式，要注意利用正弦、余弦的有界性進(jìn)行適當(dāng)“放縮”．

五、規(guī)范解答

(本題滿(mǎn)分12分)(201*年高考大綱全國(guó)卷Ⅱ)在△ABC中，D為邊BC上的一點(diǎn)，BD＝53

，cos∠ADC＝，求AD的長(zhǎng)．135

3π

【解】由cos∠ADC＝>0知∠B相信自己，你行的！

π

∵0相信自己，你行的！

6△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c.

1（Ⅰ）若b2c2a2bc，求cosA的值；

2BC2（Ⅱ）若A∈[，]，求sin2cos2A的取值范圍.

232

7在△ABC中，求證：

8在銳角△ABC中，求證：sinAsinBsinCcosAcosBcosC.

abbac(cosBbcosAa)

自己決定自己的未來(lái)

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修五第一章解三角形知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及練習(xí)題

第一章解三角形

1、正弦定理：

在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，R為C的外接圓的半徑，則有：

abc2R．sinsinsinC2、正弦定理的變形公式：

①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc，sin，sinC；2R2R2R③a:b:csin:sin:sinC；

abcabc④．sinsinsinCsinsinsinC②sin注意：正弦定理主要用來(lái)解決兩類(lèi)問(wèn)題：1、已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角，求其余的量。

2、已知兩角和一邊，求其余的量。

⑤對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況。（一解、兩解、無(wú)解三中情況）如：在三角形ABC中，已知a、b、A（A為銳角）求B。具體的做法是：數(shù)形結(jié)合思想畫(huà)出圖：法一：把a(bǔ)擾著C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，看所得軌跡以AD有無(wú)交點(diǎn)：C當(dāng)無(wú)交點(diǎn)則B無(wú)解、

當(dāng)有一個(gè)交點(diǎn)則B有一解、

a當(dāng)有兩個(gè)交點(diǎn)則B有兩個(gè)解。b法二：是算出CD=bsinA,看a的情況：bsinA當(dāng)a

6、如何判斷三角形的形狀：

設(shè)a、b、c是C的角、、C的對(duì)邊，則：①若abc，則C90；②若abc，則C90；③若abc，則C90．7、正余弦定理的綜合應(yīng)用：如圖所示：隔河看兩目標(biāo)A、B,

但不能到達(dá)，在岸邊選取相距3千米的C、D兩點(diǎn)，

并測(cè)得∠ACB=75,∠BCD=45,∠ADC=30,

OC∠ADB=45(A、B、C、D在同一平面內(nèi))，求兩目標(biāo)A、B之間的距離。附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線(xiàn)交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線(xiàn)相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

練習(xí)題

一、選擇題

1、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,則c等于（B）

A．103

B．10O

OO

222222222BAD31

C．31D．103

2、三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程5x27x60的根，則三角形的另一邊長(zhǎng)為

A．52

B．213C．16

D．4

3、在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，則A（C）

A90B60C120D150

00004、在△ABC中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（D）A．b=10，A=45°，B=70°B．a(chǎn)=60，c=48，B=100°C．a(chǎn)=7，b=5，A=80°D．a(chǎn)=14，b=16，A=45°5、已知△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶2，則A∶B∶C等于(A)A．1∶2∶3

C．1：3：2

B．2∶3∶1D．3：1：2

6、若△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是103，A＝60°，則BC邊的長(zhǎng)是（C）A．5B．6二、填空題（每題5分,共25分）

C．7

D．8

7、在ABC中，已知sinA:sinB:sinC6:5:4，則cosA___________

abc8、在△ABC中，A=60°,b=1,面積為3，則=

sinAsinBsinC9、在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊的中線(xiàn)AD7，那么BC=27，且C60，又△ABC的210、在△ABC中，已知角A、B、C所對(duì)的邊分別是a、b、c，邊c面積為33，則ab________________2三．解答題（2小題，共40分）13、在ABC中，sin(CA)1,sinB=

1.（I）求sinA的值；(II)設(shè)AC=6，求ABC的面積.3

知識(shí)點(diǎn)鞏固練習(xí)（一）

一、選擇題

1．在△ABC中，若C90,a6,B30，則cb等于（）A．1B．1C．23D．23

2．若A為△ABC的內(nèi)角，則下列函數(shù)中一定取正值的是（）A．sinAB．cosAC．tanAD．

001tanA3．在△ABC中，角A,B均為銳角，且cosAsinB,

則△ABC的形狀是（）

A．直角三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．等腰三角形

04．等腰三角形一腰上的高是3，這條高與底邊的夾角為60，

則底邊長(zhǎng)為（）A．2B．

3C．3D．2325．在△ABC中，若b2asinB，則A等于（）

A．30或60B．45或60C．120或60D．30或1506．邊長(zhǎng)為5,7,8的三角形的最大角與最小角的和是（）

3

000000

A．90B．120C．135D．150二、填空題

1．在Rt△ABC中，C90，則sinAsinB的最大值是_______________。2．在△ABC中，若abbcc,則A_________。3．在△ABC中，若b2,B30,C135,則a_________。

4．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，則C_____________。三、解答題

1．在△ABC中，若acosAbcosBccosC,則△ABC的形狀是什么？

2．在△ABC中，求證：

0022201*00abcosBcosAc()baba

3．在銳角△ABC中，求證：sinAsinBsinCcosAcosBcosC。

知識(shí)點(diǎn)鞏固練習(xí)（二）

一、選擇題

1．在△ABC中，A:B:C1:2:3，則a:b:c等于（）A．1:2:3B．3:2:1C．1:3:2D．2:3:12．在△ABC中，若角B為鈍角，則sinBsinA的值（）A．大于零B．小于零C．等于零D．不能確定3．在△ABC中，若A2B，則a等于（）

A．2bsinAB．2bcosAC．2bsinBD．2bcosB

4．在△ABC中，若lgsinAlgcosBlgsinClg2，則△ABC的形狀是（）A．直角三角形B．等邊三角形C．不能確定D．等腰三角形5．在△ABC中，若(abc)(bca)3bc,則A()A．90B．60C．135D．1506．在△ABC中，若a7,b8,cosC000013，則最大角的余弦是（）141111A．B．C．D．

56780二、填空題

1．若在△ABC中，A60,b1,SABC3,則

abc=_______。

sinAsinBsinC2．若A,B是銳角三角形的兩內(nèi)角，則tanAtanB_____1（填>或

2．在銳角△ABC中，求證：tanAtanBtanC1。

3．在△ABC中，求證：sinAsinBsinC4cos

4．在△ABC中，若AB120，則求證：

5．在△ABC中，若acos

6

2ABCcoscos。2220ab1。bcacCA3b，則求證：ac2bccos22

知識(shí)點(diǎn)鞏固練習(xí)（三）

一、選擇題

1．A為△ABC的內(nèi)角，則sinAcosA的取值范圍是（）A．(2,2)B．(2,2)C．(1,2]D．[2,2]

ab等于（）cABABABABA．2cosB．2cosC．2sinD．2sin

22222．在△ABC中，若C90,則三邊的比

03．在△ABC中，若a7,b3,c8，則其面積等于（）A．12B．

21C．28D．63204．在△ABC中，C90，0A45，則下列各式中正確的是（）

00A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB

5．在△ABC中，若(ac)(ac)b(bc)，則A（）A．90B．60C．120D．150

0000tanAa26．在△ABC中，若，則△ABC的形狀是（）tanBb2A．直角三角形B．等腰或直角三角形C．不能確定D．等腰三角形

二、填空題

1．在△ABC中，若sinAsinB,則A一定大于B，對(duì)嗎？填_________（對(duì)或錯(cuò)）2．在△ABC中，若cosAcosBcosC1,則△ABC的形狀是______________。3．在△ABC中，∠C是鈍角，設(shè)xsinC,ysinAsinB,zcosAcosB,則x,y,z的大小關(guān)系是___________________________。4．在△ABC中，若ac2b，則cosAcosCcosAcosC2221sinAsinC______。35．在△ABC中，若2lgtanBlgtanAlgtanC,則B的取值范圍是_______________。6．在△ABC中，若bac，則cos(AC)cosBcos2B的值是_________。

2三、解答題

22221．在△ABC中，若(ab)sin(AB)(ab)sin(AB)，請(qǐng)判斷三角形的形狀。

2．如果△ABC內(nèi)接于半徑為R的圓，且2R(sinAsinC)(2ab)sinB,

求△ABC的面積的最大值。

3．已知△ABC的三邊abc且ac2b,AC

222，求a:b:c

334．在△ABC中，若(abc)(abc)3ac，且tanAtanC為43，求角A,B,C的大小與邊a,b,c的長(zhǎng)

，AB邊上的高

答案

知識(shí)點(diǎn)鞏固練習(xí)（一）一、選擇題1.C

btan300,batan30023,c2b44,cb23a2.A0A,sinA03.CcosAsin(4.D作出圖形

5.Db2asinB,sinB2sinAsinB,sinA2A)sinB,2A,B都是銳角，則

2AB,AB2,C2

1,A300或1500252827216.B設(shè)中間角為，則cos,600,18006001200為所求

2582二、填空題1.

111sinAsinBsinAcosAsin2A2220b2c2a212.120cosA,A1200

2bc23.62A15,00abbsinA62,a4sinA4sin1504sinAsinBsinB44.120a∶b∶csinA∶sinB∶sinC7∶8∶13，

a2b2c21,C1200令a7k,b8k,c13kcosC2ab2三、解答題

1.解：acosAbcosBccosC,sinAcosAsinBcosBsinCcosC

sin2Asin2Bsin2C,2sin(AB)cos(AB)2sinCcosCcos(AB)cos(AB),2cosAcosB0

cosA0或cosB0，得A所以△ABC是直角三角形。

2或B2

a2c2b2b2c2a22.證明：將cosB，cosA代入右邊

2ac2bca2c2b2b2c2a22a22b2)得右邊c(

2abc2abc2ab

a2b2ab左邊，

abba∴

abcosBcosAc()baba3．證明：∵△ABC是銳角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

2∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC

知識(shí)點(diǎn)鞏固練習(xí)（二）一、選擇題1.CA6,B3,C2,a:b:csinA:sinB:sinC132::1:3:22222.AAB,AB，且A,B都是銳角，sinAsin(B)sinB3.DsinAsin2B2sinBcosB,a2bcosB4.DlgsinAsinAlg2,2,sinA2cosBsinC

cosBsinCcosBsinCsin(BC)2cosBsinC,sinBcosCcosBsinC0,sin(BC)0,BC，等腰三角形

5.B(abc)(bca)3bc,(bc)a3bc,

22b2c2a21,A600bca3bc,cosA2bc22226.Ccab2abcosC9,c3，B為最大角，cosB二、填空題1.

222172391133,c4,a213,a13SABCbcsinAc3222

abca13239sinAsinBsinCsinA332

sin(B)22.AB,AB，即tanAtan(B)

222cos(B)2cosB11，tanA,tanAtanB1

sinBtanBtanBsinBsinC3.2tanBtanCcosBcosCsinBcosCcosBsinCsin(BC)2sinA1cosBcosCsinAsinA24.銳角三角形C為最大角，cosC0,C為銳角

8433bca311045.60cosA

2bc6222(31)22222222三、解答題1.解：SABC221bcsinA3,bc4,22abc2bccosA,bc5，而cb

所以b1,c4

2.證明：∵△ABC是銳角三角形，∴AB∴sinAsin(2,即

2A2B0

2B)，即sinAcosB；同理sinBcosC；sinCcosA

∴sinAsinBsinCcosAcosBcosC,∴tanAtanBtanC1

sinAsinBsinC1

cosAcosBcosCABABcossin(AB)22ABABABAB2sincos2sincos2222ABABAB2sin(coscos)

222CAB2cos2coscos

222ABC4coscoscos

222ABC∴sinAsinBsinC4coscoscos

2223.證明：∵sinAsinBsinC2sin

a2acb2bcab4．證明：要證1，1，只要證2abbcaccbcac即abcab而∵AB120,∴C60

02220a2b2c22cosC,ab2c22abcos600ab

2ab∴原式成立。

CA3bccos22221cosC1cosA3sinB∴sinAsinC222即sinAsinAcosCsinCsinCcosA3sinB

5．證明：∵acos2∴sinAsinCsin(AC)3sinB即sinAsinC2sinB，∴ac2b

知識(shí)點(diǎn)鞏固練習(xí)（三）

一、選擇題

1.CsinAcosA2sin(A),

4而0A,2.B

4A452sin(A)1424absinAsinBsinAsinBcsinCABABAB2sincos2cos2221103.DcosA,A60,SABCbcsinA63224.DAB90則sinAcosB,sinBcosA，0A45,sinAcosA，45B90,sinBcosB

5.Cacbbc,bcabc,cosA,A120

22222201*00120sinAcosBsin2AcosBsinA,,sinAcosAsinBcosB6.B2cosAsinBsinBcosAsinBsin2Asin2B,2A2B或2A2B二、填空題

1.對(duì)sinAsinB,則2.直角三角形

ababAB2R2R1(1cos2A1cos2B)cos2(AB)1,21(cos2Acos2B)cos2(AB)0,2cos(AB)cos(AB)cos2(AB)0

cosAcosBcosC0

3.xyzAB2,A2B,sinAcosB,sinBcosA,yz

cab,sinCsinAsinB,xy,xyz

ACACACACcos4sincos2222ACACACACcos2cos,coscos3sinsin

2222221C2A則sinAsinC4sinsin23221cosAcosCcosAcosCsinAsinC

3AC(1cosA)(1cosC)14sin2sin2

22ACAC2sin22sin24sin2sin211

2222tanAtanC25.[,)tanBtanAtanC,tanBtan(AC)

32tanAtanC1tanAtanCtanBtan(AC)

tan2B14．1sinAsinC2sinB,2sintan3BtanBtanAtanC2tanAtanC2tanB

tan3B3tanB,tanB0tanB3B223

6．1bac,sinBsinAsinC,cos(AC)cosBcos2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sin2B

cosAcosCsinAsinCcosB12sinAsinCcosAcosCsinAsinCcosB1cos(AC)cosB11

三、解答題

a2b2sin(AB)a2sinAcosBsin2A,21.解：222absin(AB)bcosAsinBsinB

cosBsinA,sin2Asin2B,2A2B或2A2BcosAsinB∴等腰或直角三角形

2.解：2RsinAsinA2RsinCsinC(2ab)sinB,

asinAcsinC(2ab)sinB,a2c22abb2,

a2b2c22abc2ab,cosC,C4502ab2222

c2R,c2RsinC2R,a2b22R22ab,sinC2R22R2abab2ab,ab222221222R2SabsinCab,Smax24422另法：S212R2122absinCab2RsinA2RsinB24422RsinA2RsinB2R2sinAsinB412R2[cos(AB)cos(AB)]

2122R2[cos(AB)]22

22R2(1)22Smax212R此時(shí)AB取得等號(hào)23.解：sinAsinC2sinB,2sinACACACACcos4sincos2222sinB1AC2B14BB7cos,cos,sinB2sincos222424224AC2,ACB,A3BB,C4242sinAsin(33371B)sincosBcossinB4444

sinCsin(B)sincosBcossinB444714a:b:csinA:sinB:sinC(77):7:(77)

4.解：(abc)(abc)3ac,a2c2b2ac,cosB1,B6002tan(AC)tanAtanC33,3,

1tanAtanC1tanAtanCtanAtanC23，聯(lián)合tanAtanC3300tanA23tanA1A75A45或或得，即00tanC1tanC23C45C75當(dāng)A75,C45時(shí)，b00434(326),c8(31),a8sinA4346,c4(31),a8sinA當(dāng)A45,C75時(shí)，b00000∴當(dāng)A75,B60,C45時(shí)，a8,b4(326),c8(31),當(dāng)A45,B60,C75時(shí)，a8,b46,c4(31)。

解三角形單元測(cè)試題

一、選擇題：

1、在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，那么B等于（）

A．30°B．45°C．60°D．120°2、在△ABC中，a＝10，B=60°,C=45°,則c等于（）

A．103

B．1000031

C．31D．103

）

3、在△ABC中，a＝23，b＝22，B＝45°，則A等于（

A．30°B．60°C．30°或120°D．30°或150°4、在△ABC中，a＝12，b＝13，C＝60°，此三角形的解的情況是（）

A．無(wú)解B．一解C．二解D．不能確定5、在△ABC中，已知abcbc，則角A為（）

A．

2223B．

6C．

23D．

2或33

6、在△ABC中，若acosAbcosB，則△ABC的形狀是（）

A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形7、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為1，3，a，則a的范圍是（）

A．8,10

B．

8,10

C．

8,10

D．

10,8

8、在△ABC中，已知2sinAcosBsinC,那么△ABC一定是()

A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形9、△ABC中，已知ax,b2,B60°，如果△ABC兩組解，則x的取值范圍()

43310、在△ABC中，周長(zhǎng)為7.5cm，且sinA：sinB：sinC＝4：5：6,下列結(jié)論：①a:b:c4:5:6

A．x2

B．x2

C．2xD．2x②a:b:c2:5:6③a2cm,b2.5cm,c3cm④A:B:C4:5:6其中成立的個(gè)數(shù)是()

A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè)D．3個(gè)11、在△ABC中，AB4333,AC1,∠A＝30°，則△ABC面積為（）

34

C．

A．

32B．

3或32D．

33或4212、已知△ABC的面積為

A．30°

3，且b2,c3，則∠A等于（）2

D．60°或120°

B．30°或150°C．60°

13、已知△ABC的三邊長(zhǎng)a3,b5,c6，則△ABC的面積為（）

A．14

B．214

C．15

D．215

A

14、某市在“舊城改造”中計(jì)劃內(nèi)一塊如圖所示的三角形空

20米150030米地上種植草皮以美化環(huán)境，已知這種草皮每平方米a元，則

購(gòu)買(mǎi)這種草皮至少要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元BC15、甲船在島B的正南方A處，AB＝10千米，甲船以每小

時(shí)4千米的速度向正北航行，同時(shí)乙船自B出發(fā)以每小時(shí)6千米的速度向北偏東60°的方向駛?cè)�，�?dāng)甲，乙兩船相距最近時(shí)，它們所航行的時(shí)間是（）

A．

150分鐘7B．

15分鐘7C．21.5分鐘D．2.15分鐘

16、飛機(jī)沿水平方向飛行，在A處測(cè)得正前下方地面目標(biāo)C得俯角為30°，向前飛行10000

米，到達(dá)B處，此時(shí)測(cè)得目標(biāo)C的俯角為75°，這時(shí)飛機(jī)與地面目標(biāo)的水平距離為（）

A．5000米

B．50002米C．4000米

D．40002米

17、在△ABC中，asin10°，bsin50°，∠C＝70°，那么△ABC的面積為（）

A．

164B．

132C．

116D．

18

18、若△ABC的周長(zhǎng)等于20，面積是103，A＝60°，則BC邊的長(zhǎng)是（）A．5B．6C．7D．8

19、已知銳角三角形的邊長(zhǎng)分別為2、3、x，則x的取值范圍是（）

A．1x5B．5x13C．0x20、在△ABC中，若

5D．13x5

cosAcosBsinC，則△ABC是（）abcB．等腰直角三角形

D．等邊三角形

A．有一內(nèi)角為30°的直角三角形C．有一內(nèi)角為30°的等腰三角形

二、填空題

21、在△ABC中，若∠A:∠B:∠C=1:2:3,則a:b:c22、在△ABC中，a33,c2,B150°，則b＝

23、在△ABC中，A＝60°，B＝45°，ab12，則a＝；b＝24、已知△ABC中，a181,b209,A121°，則此三角形解的情況是25、已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為1和3，第三邊上的中線(xiàn)長(zhǎng)為1，則三角形的外接圓半徑為.

26、在△ABC中，bc:ca:ab4:5:6，則△ABC的最大內(nèi)角的度數(shù)是三、解答題

27、在△ABC中，已知AB102，A＝45°，在BC邊的長(zhǎng)分別為20，下，求相應(yīng)角C。

28、在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x23x20的兩個(gè)根，且2cosAB1。

2203，5的情況3求：(1)角C的度數(shù)；(2)AB的長(zhǎng)度。

29、在△ABC中，證明：

cos2Acos2B11。a2b2a2b230、在△ABC中，ab10，cosC是方程2x3x20的一個(gè)根，求△ABC周長(zhǎng)的最小值。

解三角形單元測(cè)試答案

一、選擇題

1-5.CBCBC6-10.DBBCC11-15.BDBDA16-20.ACCBB二、填空題

21、1:3:222、723、36126,1262424、無(wú)解25、126、120°三、解答題

2ABsinA10BCBC1（1）當(dāng)BC＝20時(shí)，sinC＝；BCABACC30°

227、解：由正弦定理得sinC（2）當(dāng)BC＝

3203時(shí)，sinC＝；

23ABsin45BCABC有兩解C60或120°

（3）當(dāng)BC＝5時(shí)，sinC＝2>1；C不存在

128、解：（1）cosCcosABcosABC＝120°

2

（2）由題設(shè)：

ab2ab2223

ABACBC2ACBCcosCab2abcos120

222a2b2ababab2322210

sin2Asin2Bcos2Acos2B12sin2A12sin2B1122229、證明：222222abababbasin2Asin2B由正弦定理得：22abcos2Acos2B112222abab230、解：2x3x20x12,x221212又cosC是方程2x3x20的一個(gè)根cosC由余弦定理可得：cab2ab則：c100a10aa575

2222212abab2當(dāng)a5時(shí)，c最小且c7553此時(shí)abc1053

△ABC周長(zhǎng)的最小值為105331、解：（1）由sinAsinBsinCcosAcosB可得2sin2C1cosC0即C＝90°21abc1sinAsinB12221sinA242212△ABC是以C為直角頂點(diǎn)得直角三角形（2）內(nèi)切圓半徑r212內(nèi)切圓半徑的取值范圍是0,

1．常見(jiàn)三角不等式

（1）若x(0,(2)若x(0,2)，則sinxxtanx.)，則1sinxcosx2.2(3)|sinx||cosx|1.2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

sin2cos21，tan=

3.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式

nn(1)2sin,sin()n12(1)2cos,sin，tancot1.cos(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))

nn(1)2cos,cos()n12(1)2sin,(n為偶數(shù))(n為奇數(shù))4.和角與差角公式

sin()sincoscossin;

cos()coscossinsin;

tan()tantan.

1tantansin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);cos()cos()cos2sin2.

asinbcos=a2b2sin()(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決

定,tanb).a45.二倍角公式

sin2sincos.

cos2cos2sin22cos2112sin2.

tan22tan.

1tan2

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