初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸頂點(diǎn)增減性最大（�。┲祔=ax2a>0時(shí)，開(kāi)口向上；a0時(shí)，在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，=0；當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，=c；當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x=h時(shí)，y最小=0；當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x=h時(shí)，y最小=k；當(dāng)a0時(shí)，當(dāng)x=h時(shí)，y最小=k；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口方向向上；a1.二次函數(shù)圖像是軸對(duì)稱(chēng)圖形。對(duì)稱(chēng)軸為直線x=h或者x=-b/2a對(duì)稱(chēng)軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)h=0時(shí)，

二次函數(shù)圖像的對(duì)稱(chēng)軸是y軸（即直線x=0）a,b同號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)b=0,對(duì)稱(chēng)軸是y軸a,b異號(hào)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)頂點(diǎn)

2.二次函數(shù)圖像有一個(gè)頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(h,k)當(dāng)h=0時(shí)，P在y軸上；當(dāng)k=0時(shí)，P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a開(kāi)口

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開(kāi)口方向和大小。當(dāng)a>0時(shí)，二次函數(shù)圖像向上開(kāi)口；當(dāng)a0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；因?yàn)閷?duì)稱(chēng)軸在左邊則對(duì)稱(chēng)軸小于0，也就是-b/2a0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab<0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右。事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值�？赏ㄟ^(guò)對(duì)二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的因素

5.常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k)與y軸交于（0,C)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)

6.二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)a0或a>0;k0時(shí)，函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k，在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變�。�，二次函數(shù)圖像的開(kāi)口向上，函數(shù)的值域是y>k當(dāng)ah范圍內(nèi)事增函數(shù)，在x且X（X1+X2）/2時(shí)Y隨X的增大而減小此時(shí)，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個(gè)x軸交點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1X2值。兩圖像對(duì)稱(chēng)

①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)；②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)；③y=ax2+bx+c與y=-a(x-h2+k關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；④y=ax2+bx+c與y=-a(x+h2-k關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。

擴(kuò)展閱讀：史上最全初三數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)

二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)歸納及相關(guān)典型題

第一部分基礎(chǔ)知識(shí)

1.定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)

（1）拋物線yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸.（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.

①當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a0時(shí)拋物線開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).

（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2（a0）.3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）y軸的拋物線.

b2a4acb4a224.二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，其中h22，k.

25.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①yax2；②yax2k；③yaxh；④yaxhk；⑤yax2bxc.

6.拋物線的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).

①a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；

a相等，拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

②平行于y軸（或重合）的直線記作xh.特別地，y軸記作直線x0.

7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.

8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法（1）公式法：yax2b4acbbxcax2a4a22b4acb（，），對(duì)稱(chēng)軸是直線x，∴頂點(diǎn)是.

2a2a4a2b2（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線

xh.

（3）運(yùn)用拋物線的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)

稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線yax2bxc中，a,b,c的作用

（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax2中的a完全一樣.

（2）b和a共同決定拋物線對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線

xb2a，故：①b0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②

ba0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；③

ba0（即a、

b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).

（3）c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

當(dāng)x0時(shí)，yc，∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：①c0，拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式y(tǒng)axyax22ba0.

開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸x0（y軸）x0（y軸）頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)4acb，(2a4ab2k2當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a0時(shí)xhxhxb2ayaxhyaxhk2yax2bxc開(kāi)口向下)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

（1）一般式：yaxbxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

22（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)

（1）y軸與拋物線yaxbxc得交點(diǎn)為(0,c).

-2-

（2）與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ah（3）拋物線與x軸的交點(diǎn)

2bhc).

二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩

個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交；

②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）0拋物線與x軸相切；③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

同（3）一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k，則橫

坐標(biāo)是ax2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

（5）一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn)，由方程組

ykxnyax2bxc的解的數(shù)目來(lái)確定：①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)

l與G只有一個(gè)交點(diǎn)；③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

（6）拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是

方程ax2bxc0的兩個(gè)根，故

x1x2ba,x1x2ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaa2b4aca2a

第二部分典型習(xí)題

１.拋物線y＝x2＋2x－2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（D）

A.（2，－2）B.（1，－2）C.（1，－3）D.（－1，－3）２.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（C）

Ａ．a(chǎn)b＞0，c＞0Ｂ．a(chǎn)b＞0，c＜0Ｃ．a(chǎn)b＜0，c＞0Ｄ．a(chǎn)b＜0，c＜0

AEFDC

B

第２,３題圖第4題圖

３.二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（Ｄ）A．a(chǎn)＞0，b＜0，c＞0B．a(chǎn)＜0，b＜0，c＞0C．a(chǎn)＜0，b＞0，c＜0D．a(chǎn)＜0，b＞0，c＞0

４.如圖，已知ABC中，BC=8，BC上的高h(yuǎn)4，D為BC上一點(diǎn)，EF//BC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F（EF不過(guò)A、

B），設(shè)E到BC的距離為x，則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為（Ｄ）

y4444O2A4xO2B4O2C24O2D4

EF84x4EF82x,yx4x

５.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，則AB的長(zhǎng)為4．

6.已知二次函數(shù)y＝kx2＋(2k－1)x－1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2（x1＜x2），則對(duì)于下列結(jié)論：①當(dāng)x＝－2時(shí)，y＝1；②當(dāng)x＞x2時(shí)，y＞0；③方程kx2＋(2k－1)x1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2；④x1＜1，x2＞－1；⑤

1＋4kk2x2－x1＝，其中所有正確的結(jié)論是①③④（只需填寫(xiě)序號(hào)）．

7.已知直線y2xbb0與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B；一拋物線的解析式為yx2b10xc.（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)B，且它的頂點(diǎn)P在直線y2xb上，試確定這條拋物線的解析式；

（2）過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸交于點(diǎn)C，若拋物線的對(duì)稱(chēng)軸恰好過(guò)C點(diǎn)，試確定直線y2xb的解析式.解：（1）yx10或yx4x6

b102b16b1004222將得cb.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(（0，b)代入，,)，由題意得2b102bb16b10042，

解得b110,b26.

（2）y2x2

8.有一個(gè)運(yùn)算裝置，當(dāng)輸入值為x時(shí)，其輸出值為y，且y是x的二次函數(shù)，已知輸入值為2,0,1時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4．

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在所給的坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫(xiě)出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)輸入值x的取值范圍.解：（1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc,

a(2)2b(2)c5c3a1則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.（2)函數(shù)圖象如圖所示.

由圖象可得，當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)，輸入值x的取值范圍是x1或x3．

9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同．他們將一頭駱駝前兩晝圖．請(qǐng)根據(jù)圖象回答：

⑴第一天中，在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時(shí)間?⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中10時(shí)到22時(shí)的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式．

解：⑴第一天中，從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的

體溫是上升的

它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39℃⑶y116x2x2410x22

22夜的體溫變化情況繪制成下

的體溫是上升的?它的體溫

第9題

10.已知拋物線yax(433a)x4與x軸交于A、

B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．是否存在實(shí)數(shù)a，使得△ABC為直角三角形．若存在，請(qǐng)求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：依題意，得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4）．

設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x1，0），（x2，0），

由ax2(433a)x40，解得x13，x243a243a．

∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（-3，0），（∴AB|43a3|，AC2，0）．5，

AOOC43aBCBOOC43a222169a169a2||4．

43a169a222∴AB2|AC23|22316．

98a9，

25，BC2〈〉當(dāng)AB2AC2BC2時(shí)，∠ACB＝90°．由AB2AC2BC2，得

169a28a925(14169a216)．

解得a∴當(dāng)a14．

163時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（，0），AB25269，AC225，BC24009．

于是AB2AC2BC2．∴當(dāng)a214時(shí)，△ABC為直角三角形．

22〈〉當(dāng)ACABBC時(shí)，∠ABC＝90°．

222由ACABBC，得25(169a28a9)(169a216)．

解得a當(dāng)a4949．

43a432時(shí)，493，點(diǎn)B（-3，0）與點(diǎn)A重合，不合題意．

〈〉當(dāng)BCACAB時(shí)，∠BAC＝90°．由BCACAB，得解得a4922222169a21625(169a28a9)．

．不合題意．

14綜合〈〉、〈〉、〈〉，當(dāng)a時(shí)，△ABC為直角三角形．

11.已知拋物線y＝－x2＋mx－m＋2.

（1）若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，并且AB＝5，試求m的值；

（2）設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn)，若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)M、N，并且△MNC的面積等于27，試求m的值.解:(1)Ａ（x21，0）,B(x2，0).則x1，x2是方程x－mx＋m－2＝0的兩根.

∵x1＋x2＝m,x1x2=m－2＜0即m＜2;

又AB＝x1x2＝（x21+x2）4x1x25,∴m2－4m＋3=0.

解得：m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.yC（2）M(a，b)，則N(－a，－b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),

2M∴amam2b,①

xa2mam2b.②ON①＋②得：－2a2－2m＋4＝0.∴a2＝－m＋2.∴當(dāng)m＜2時(shí)，才存在滿(mǎn)足條件中的兩點(diǎn)M、N.∴a2m.

這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為2m,又點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2－m）,而S△MNC=27,∴2

12（2－m）2m=27.∴解得m=－7.

12.已知：拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0）．（1）求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）D是拋物線與y軸的交點(diǎn)，C是拋物線上的一點(diǎn)，且以AB為

求此拋物線的解析式；

（3）E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn)，如果

且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，問(wèn)：在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上長(zhǎng)最小?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．解法一：

（1）依題意，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為x＝－2．∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），

∴由拋物線的對(duì)稱(chēng)性，可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，0）．

-7-

一底的梯形ABCD的面積為9，

點(diǎn)E在（2）中的拋物線上，是否存在點(diǎn)P，使△APE的周

（2）∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．

∴D（0，3a）．∴梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線y＝ax2＋4ax＋3a上，∵C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．∵梯形ABCD的面積為9，∴∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x2＋4x＋3或y＝x24ax3．（3）設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為（x0，y0）.依題意，x0＜0，y0＜0，且

y0x0＝5212(ABCD)OD＝9．∴

12(2＋4)3a＝9．

．∴y0＝－52x0．

①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y＝x2＋4x＋3上，

2∴y0＝x0＋4x0＋3．

15x＝，0x0＝6，y0＝－x0,2解方程組得2y＝15；50y＝x2＋4x＋3y＝．00004∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的同側(cè)，∴點(diǎn)E坐標(biāo)為（12，

54）．

設(shè)在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸x＝－2上存在一點(diǎn)P，使△APE的周長(zhǎng)最�。�∵AE長(zhǎng)為定值，∴要使△APE的周長(zhǎng)最小，只須PA＋PE最小．∴點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是B（－3，0），∴由幾何知識(shí)可知，P是直線BE與對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的交點(diǎn)．設(shè)過(guò)點(diǎn)E、B的直線的解析式為y＝mx＋n，15m＝,1m＋n＝,2∴24解得3－3m＋n＝0.n＝.2∴直線BE的解析式為y＝∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，

1212x＋32．∴把x＝－2代入上式，得y＝12．

）．

2②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y＝x24x3上，∴y0＝x04x03．

5x0,3y0＝－2解方程組消去y0，得x0x0＋3＝0．22y＝x24x3.000∴△＜0.∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根．綜上，在拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上存在點(diǎn)P（－2，解法二：

（1）∵拋物線y＝ax2＋4ax＋t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（－1，0），∴a(－1)2＋4a(－1)＋t＝0．∴t＝3a．∴y＝ax2＋4ax＋3a．令y＝0，即ax2＋4ax＋3a＝0．解得x1＝－1，x2＝－3．∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為（－3，0）．

（2）由y＝ax2＋4ax＋3a，得D（0，3a）．∵梯形ABCD中，AB∥CD，且點(diǎn)C在拋物線

y＝ax＋4ax＋3a上，

212），使△APE的周長(zhǎng)最�。�

∴C（－4，3a）．∴AB＝2，CD＝4．

∵梯形ABCD的面積為9，∴(AB＋CD)OD＝9．解得OD＝3．

21∴3a＝3．∴a±1．

∴所求拋物線的解析式為y＝x＋4x＋3或y＝－x－4x－3．

（3）同解法一得，P是直線BE與對(duì)稱(chēng)軸x＝－2的交點(diǎn)．∴如圖，過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q．設(shè)對(duì)稱(chēng)軸與x軸的交由PF∥EQ，可得

BFBQ＝PFEQ1222點(diǎn)為F．

．∴

152＝PF54．∴PF＝12．

∴點(diǎn)P坐標(biāo)為（－2，以下同解法一．

）．

13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示．

（1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo)．

（2）若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)Q．當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)N不與點(diǎn)B，點(diǎn)M重合），設(shè)NQ的長(zhǎng)為l，四邊形NQAC的面積為S，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍；

（3）在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使△PAC為直角三角形?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（4）將△OAC補(bǔ)成矩形，使△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂形這一邊的對(duì)邊上，試直接寫(xiě)出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)（不需要計(jì)算過(guò)

點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩程）．

解：（1）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x1)(x2)，

∴2a1(2)．∴a1．∴yx2x2．其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是1，9．24（2）設(shè)線段BM所在的直線的解析式為ykxb，點(diǎn)N的坐標(biāo)為N（t，h），

02kb，∴91．解得k3，b342．

2kb.∴線段BM所在的直線的解析式為y32x3．∴h32t3，其中

12t2．∴s121212(223t3)t34t212t1．

∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是S3114t22t1，自變量t的取值范圍是

2t2．

（3）存在符合條件的點(diǎn)P，且坐標(biāo)是P573512，4，P2，2．4設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m，n)，則nm2m2．

PA2(m1)2n2，PC2m2(n2)2，AC25．

分以下幾種情況討論：i）若∠PAC＝90°，則PC2PA2AC2．

∴nm2m2，

m2(n2)2(m1)2n25.解得：m152，m21（舍去）．∴點(diǎn)P15，74．

2

ii）若∠PCA＝90°，則PA2PC2AC2．

2nmm2，∴

2222(m1)nm(n2)5.解得：m3353．∴點(diǎn)P2，－．，m40（舍去）

242iii）由圖象觀察得，當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)時(shí)，PAAC，所以邊AC的對(duì)角∠APC不可能是直角．

（4）以點(diǎn)O，點(diǎn)A（或點(diǎn)O，點(diǎn)C）為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊OA（或邊OC）的對(duì)邊上，如圖a，此

時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D（－1，－2），

以點(diǎn)A，點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)，第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上，如圖b，此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E12，，55F，548．5

圖a圖b

14.已知二次函數(shù)y＝ax－2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，－1）．求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的個(gè)

數(shù)．

解：根據(jù)題意，得a－2＝－1.

∴a＝1．∴這個(gè)二次函數(shù)解析式是y＝x2．

因?yàn)檫@個(gè)二次函數(shù)圖象的開(kāi)口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，－2），所以該函數(shù)圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)．

15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分．在大橋截面1∶11000的比例圖上，跨度AB＝5cm，拱高OC＝0.9cm，

線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng)，DE∥AB，如圖（1）．在比例圖上，以直線AB為x軸，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為y軸，以1cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）．

22

（1）求出圖（2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫(xiě)出函數(shù)定義域；

（2）如果DE與AB的距離OM＝0.45cm，求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)（備用數(shù)據(jù)：21.4，計(jì)算結(jié)果精確到1米）．解：（1）由于頂點(diǎn)C在y軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為

2y＝ax＋910559185因?yàn)辄c(diǎn)A（，0）（或B（，0））在拋物線上，所以0＝a()2＋，得a＝－．

22210125．

因此所求函數(shù)解析式為y＝－（2）因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為（－545454918125x＋2910920(52x18125522)．91020，所以

920－x＋54，得x＝2，

920542．

2，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（）．

所以DE＝2－(2)＝522．

因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為

522110000.01＝275．2385（米）

16.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，如圖．二次函數(shù)

y＝ax＋bx＋c（a≠0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B，與y軸相交于點(diǎn)C．

2

（1）a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?

（2）如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng)，試證

a、c互為倒數(shù)；

（3）在（2）的條件下，如果b＝－4，AB＝43，求a、c的值．解:

（1）a、c同號(hào)．或當(dāng)a＞0時(shí)，c＞0；當(dāng)a＜0時(shí)，c＜0．

（2）證明：設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x1，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（x2，0），則0＜x1＜x2．∴OAx1，OBx2，OCc．

2據(jù)題意，x1、x2是方程ax＋bx＋c0(a0)的兩個(gè)根．∴x1x2ca．

由題意，得OAOB＝OC2，即＝c＝c2．

ac2所以當(dāng)線段OC長(zhǎng)是線段OA、OB長(zhǎng)的比例中項(xiàng)時(shí)，a、c互為倒數(shù)．（3）當(dāng)b4時(shí)，由（2）知，x1＋x2＝－ba＝4a＞0，∴a＞0．

解法一：AB＝OB－OA＝x2－x1＝(x1＋x2)24x1x2，∴AB42c()－4()aa23a164aca223a．

∵AB43，∴＝43．得a12．∴c＝2.

解法二：由求根公式，x＝4164ac2a＝41642a＝2a3，

∴x1＝2a3，x2＝2a3．

∴AB＝OB－OA＝x2－x1＝2a3－2－3a12＝23a．

∵AB＝43，∴

3323a3＝43，得a＝．∴c＝2．

17.如圖，直線yx分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B，⊙E經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn)．

（1）C是⊙E上一點(diǎn)，連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D，若∠COD＝∠CBO，求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式：

（3）若延長(zhǎng)BC到P，使DP＝2，連結(jié)AP，試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．

解：（1）連結(jié)EC交x軸于點(diǎn)N（如圖）．∵A、B是直線y33x3

分別與x軸、y軸的交點(diǎn)．∴A（3，0），B(0,3)．

的中點(diǎn)．∴EC⊥OA．

又∠COD＝∠CBO．∴∠CBO＝∠ABC．∴C是∴ON12OA32,ENOB232．

連結(jié)OE．∴ECOE3．∴NCECEN32．∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（,2332）．

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為yaxx3．∵C（∴y32,322）．∴23832a33(3)22．∴a293．

239xx為所求．33（3）∵tanBAO，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝50°．

12ABO126030．

由（1）知∠OBD＝∠ABD．∴OBD∴OD＝OBtan30°－1．∴DA＝2．

∵∠ADC＝∠BDO＝60°，PD＝AD＝2．∴△ADP是等邊三角形．∴∠DAP＝60°．

∴∠BAP＝∠BAO＋∠DAP＝30°＋60°＝90°．即PA⊥AB．即直線PA是⊙E的切線．

友情提示：本文中關(guān)于《初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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