高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié):第二章_直線與平面的位置關(guān)系
高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第二章直線與平面的位置關(guān)系
2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1.1
1平面含義:平面是無(wú)限延展的2平面的畫(huà)法及表示
(1)平面的畫(huà)法:水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,銳角畫(huà)成45,且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)
(2)平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示,如平面AC、平面ABCD等。3三個(gè)公理:
(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為
A∈L
B∈L=>LαA∈αB∈α
公理1作用:判斷直線是否在平面內(nèi)
(2)公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為:A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α,使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:確定一個(gè)平面的依據(jù)。
(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L公理3作用:判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)
0DαA
BCAα
LαC
ABβLPα2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:
相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);
共面直線
平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);
異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為:設(shè)a、b、c是三條直線
a∥bc∥b
強(qiáng)調(diào):公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。
3等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn):
①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定,與O的選擇無(wú)關(guān),為簡(jiǎn)便,點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上;
②兩條異面直線所成的角θ∈(0,);=>a∥c
③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b;④兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形;
2
⑤計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。
2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
1、直線與平面有三種位置關(guān)系:
(1)直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)直線在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)
指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來(lái)表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行。符號(hào)表示:
aα
bβ=>a∥αa∥b
2.2.2平面與平面平行的判定
1、兩個(gè)平面平行的判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。
符號(hào)表示:
aβbβ
a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種:(1)用定義;(2)判定定理;
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。
2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)
1、定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行。符號(hào)表示:
a∥α
aβa∥bα∩β=b
作用:利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。
2、定理:如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。
符號(hào)表示:
α∥β
α∩γ=aa∥bβ∩γ=b
作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面。如圖,直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。
Lpα2、判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。
注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
A梭lβ
Bα2、二面角的記法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。
2性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。
本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖
平面(公理1、公理2、公理3、公理4)空間直線、平面的位置關(guān)系
直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系
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高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第二章直線與平面的位置關(guān)系
2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
2.1.1
1平面含義:平面是無(wú)限延展的2平面的畫(huà)法及表示
(1)平面的畫(huà)法:水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形,銳角畫(huà)成450,且橫邊畫(huà)成鄰邊的2倍長(zhǎng)(如圖)
(2)平面通常用希臘字母α、β、γ等表示,如平面α、平面β等,也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫字母來(lái)表示,如平面AC、平面ABCD等。3三個(gè)公理:
(1)公理1:如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi)符號(hào)表示為
A∈L
B∈L=>LαA∈αB∈α
公理1作用:判斷直線是否在平面內(nèi)
(2)公理2:過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為:A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α,使A∈α、B∈α、C∈α。
公理2作用:確定一個(gè)平面的依據(jù)。
(3)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。符號(hào)表示為:P∈α∩β=>α∩β=L,且P∈L公理3作用:判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)
DαA
BCAα
LαC
ABβLPα2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系
1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系:
相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);
共面直線
平行直線:同一平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn);
異面直線:不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒(méi)有公共點(diǎn)。2公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號(hào)表示為:設(shè)a、b、c是三條直線
a∥bc∥b
強(qiáng)調(diào):公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性,在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用:判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。
3等角定理:空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn):
①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定,與O的選擇無(wú)關(guān),為簡(jiǎn)便,點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上;②兩條異面直線所成的角θ∈(0,);
=>a∥c
2③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí),我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直,記作a⊥b;④兩條直線互相垂直,有共面垂直與異面垂直兩種情形;
⑤計(jì)算中,通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。
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2.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系
1、直線與平面有三種位置關(guān)系:
(1)直線在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)(2)直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)(3)直線在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)
指出:直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外,可用aα來(lái)表示
aαa∩α=Aa∥α
2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定
1、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行。簡(jiǎn)記為:線線平行,則線面平行。符號(hào)表示:
aα
bβ=>a∥αa∥b
2.2.2平面與平面平行的判定
1、兩個(gè)平面平行的判定定理:一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行。
符號(hào)表示:
aβbβ
a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α
2、判斷兩平面平行的方法有三種:(1)用定義;(2)判定定理;
(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。
2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)
1、定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡(jiǎn)記為:線面平行則線線平行。符號(hào)表示:
a∥α
aβa∥b
α∩β=b
作用:利用該定理可解決直線間的平行問(wèn)題。
2、定理:如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。符號(hào)表示:
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α∥β
α∩γ=aa∥bβ∩γ=b
作用:可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
2.3.1直線與平面垂直的判定
1、定義
如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說(shuō)直線L與平面α互相垂直,記作L⊥α,直線L叫做平面α的垂線,平面α叫做直線L的垂面。如圖,直線與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。
Lpα2、判定定理:一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直。
注意點(diǎn):a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;
b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。
2.3.2平面與平面垂直的判定
1、二面角的概念:表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形
A梭lβB
α2、二面角的記法:二面角α-l-β或α-AB-β
3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理:一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直。2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。
2性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。
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平面(公理1、公理2、公理3、公理4)空間直線、平面的位置關(guān)系歸海木心QQ:6341025歸海木心QQ:634102564
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