高一數(shù)學(xué)必修1函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

函數(shù)

映射定義：設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：B為從集合A到集合B的一個(gè)映射傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量x,y,并且對(duì)于x在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值，定義按照某個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系f,y都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)。那么y就是x的函數(shù)。記作yf(x).近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。定義域函數(shù)及其表示函數(shù)的三要素值域?qū)��?yīng)法則解析法函數(shù)的表示方法列表法圖象法傳統(tǒng)定義：在區(qū)間a,b上，若ax1x2b,如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x1)f(x2)，則f(x)在a,b上遞減,a,b是的遞減區(qū)間。單調(diào)性導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間a,b上，若f(x)0，則f(x)在a,b上遞增,a,b是遞增區(qū)間；如f(x)0a,b是的遞減區(qū)間。則f(x)在a,b上遞減,最大值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)M；函數(shù)函數(shù)的基本性質(zhì)最值（2）存在x0I，使得f(x0)M。則稱M是函數(shù)yf(x)的最大值最小值：設(shè)函數(shù)yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)N滿足：（1）對(duì)于任意的xI，都有f(x)N；（2）存在x0I，使得f(x0)N。則稱N是函數(shù)yf(x)的最小值(1)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。奇偶性(2)f(x)f(x),x定義域D，則f(x)叫做偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱周期性：在函數(shù)f(x)的定義域上恒有f(xT)f(x)(T0的常數(shù))則f(x)叫做周期函數(shù)，T為周期；T的最小正值叫做f(x)的最小正周期，簡(jiǎn)稱周期（1）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線向左平移個(gè)單位：y1y,x1axyf(xa)向右平移a個(gè)單位：yy,xaxyf(xa)11平移變換向上平移b個(gè)單位：xx,y11byybf(x)向下平移b個(gè)單位：x1x,y1byybf(x)橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1縮短（當(dāng)w1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0w1時(shí)）到原來的1/w倍（縱坐標(biāo)不變），即xwxyf(wx)1伸縮變換縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)y伸長(zhǎng)（A1)或縮短（0A1)到原來的A倍1函數(shù)圖象的畫法（橫坐標(biāo)不變），即y1y/Ayf(x)（xx12x0x12x0x2）變換法關(guān)于點(diǎn)(x,y)對(duì)稱：2y0yf(2x0x)00yy12y0y12y0y關(guān)于直線xx0對(duì)稱：xx12x0x12x0xyf(2x0x)yy1y1y對(duì)稱變換xx1xx關(guān)于直線yy0對(duì)稱：12y0yf(x)yy2yy12y0y10xx11yf(x)關(guān)于直線yx對(duì)稱：yy1一、函數(shù)的定義域的常用求法：

1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零；4、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；5、三角函數(shù)正切函數(shù)ytanx中

xk2(kZ)；余切函數(shù)ycotx中；6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)

依據(jù)自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。二、函數(shù)的解析式的常用求法：

1、定義法；2、換元法；3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法；6、配方法三、函數(shù)的值域的常用求法：

1、換元法；2、配方法；3、判別式法；4、幾何法；5、不等式法；6、單調(diào)性法；7、直接法

四、函數(shù)的最值的常用求法：

1、配方法；2、換元法；3、不等式法；4、幾何法；5、單調(diào)性法五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：

1、若f(x),g(x)均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則f(x)g(x)在這個(gè)區(qū)間上也為增（減）函數(shù)

2、若f(x)為增（減）函數(shù)，則f(x)為減（增）函數(shù)

3、若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同，則yf[g(x)]是增函數(shù)；若f(x)與g(x)的單調(diào)性不同，則yf[g(x)]是減函數(shù)。

4、奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。

5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。

六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：

1、如果一個(gè)奇函數(shù)在x0處有定義，則f(0)0，如果一個(gè)函數(shù)yf(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f(x)0（反之不成立）

2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。

4、兩個(gè)函數(shù)yf(u)和ug(x)復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。5、若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則f(x)可以表示為

f(x)12[f(x)f(x)]12[f(x)f(x)]，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和

一個(gè)偶函數(shù)的和。

mn根式：a,n為根指數(shù)，a為被開方數(shù)nmnaa分?jǐn)?shù)指數(shù)冪arasars(a0,r,sQ)指數(shù)的運(yùn)算rsrs指數(shù)函數(shù)性質(zhì)(a)a(a0,r,sQ)rrs(ab)ab(a0,b0,rQ)定義：一般地把函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1對(duì)數(shù)：xlogaN,a為底數(shù)，N為真數(shù)loga(MN)logaMlogaN;基本初等函數(shù)MloglogaMlogaN;a.N對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)nlogaMnlogaM;(a0,a1,M0,N0)對(duì)數(shù)函數(shù)logcblogab(a,c0且a,c1,b0)換底公式：logac對(duì)數(shù)函數(shù)定義：一般地把函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)：見表1冪函數(shù)定義：一般地，函數(shù)yx叫做冪函數(shù)，x是自變量，是常數(shù)。性質(zhì)：見表2

表1

指數(shù)函數(shù)yaxa0,a1-3-

對(duì)數(shù)數(shù)函數(shù)ylogaxa0,a定義域值域xRx0,y0,yR圖象過定點(diǎn)(0,1)減函數(shù)x(,0)時(shí)，y(1,)x(0,)時(shí)，y(0,1)過定點(diǎn)(1,0)增函數(shù)x(,0)時(shí)，y(0,1)x(0,)時(shí)，y(1,)減函數(shù)x(0,1)時(shí)，y(0,)x(1,)時(shí)，y(,0)增函數(shù)x(0,1)時(shí)，y(,0)x(1,)時(shí)，y(0,)性質(zhì)abababab表2pq冪函數(shù)yx(R)00111p為奇數(shù)q為奇數(shù)奇函數(shù)p為奇數(shù)q為偶數(shù)p為偶數(shù)q為奇數(shù)增函數(shù)偶函數(shù)第一象限性質(zhì)減函數(shù)（0，1）過定點(diǎn)

擴(kuò)展閱讀：高一數(shù)學(xué)必修一第一章集合與函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)[1]

高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章集合與函數(shù)概念

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無(wú)序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰

洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

1）列舉法：{a,b,c……}2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。

{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2

=－5｝二、集合間的基本關(guān)系1.包含關(guān)系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．相等關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實(shí)例：設(shè)A={x|x2

-1=0}B={-1,1}元素相同則兩集合相等即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個(gè)元素的集合，含有2n個(gè)子集，2n-1

個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算交集并集補(bǔ)集類型定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設(shè)S是一個(gè)集合，A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個(gè)子集，由S中的集合,叫做A,B的組成的集合，叫做A,B所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子交集．記作AB（讀的并集．記作：AB集A的補(bǔ)集（或余集）作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），即

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AB=｛x|xA，且xB｝．AB={x|xA，或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩圖示SS記作CSA，即ABABA圖1圖2(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．AA=A性AΦ=ΦA(chǔ)B=BAABA質(zhì)ABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB

例題：

1.下列四組對(duì)象，能構(gòu)成集合的是（）A某班所有高個(gè)子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合{a，b，c}的真子集共有個(gè)

3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關(guān)系是.

2

4.設(shè)集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是

5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn)，已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有40人，化正確得有31人，

兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人，則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)（含邊界上的點(diǎn)）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若∩C=Φ，求m的值

2222

學(xué)實(shí)驗(yàn)做得

B∩C≠Φ，A

二、函數(shù)的有關(guān)概念

1．函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù)．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域．注意：

1．定義域：能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零；(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零；

(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么，它的定義域是使各

第2頁(yè)共5頁(yè)部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零，

(7)實(shí)際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問題有意義.

相同函數(shù)的判斷方法：①表達(dá)式相同（與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān)）；

②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見課本21頁(yè)相關(guān)例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納

(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo)，函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x，y)的集合C，叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x，y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點(diǎn)法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對(duì)稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無(wú)窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數(shù)軸表示．5．映射

一般地，設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f，使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng)，那么就稱對(duì)應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作f（對(duì)應(yīng)關(guān)系）：A（原象）B（象）

對(duì)于映射f：A→B來說，則應(yīng)滿足：

(1)集合A中的每一個(gè)元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè)；(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補(bǔ)充：復(fù)合函數(shù)

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

二．函數(shù)的性質(zhì)

1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))（1）增函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1注意：函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)；（2）圖象的特點(diǎn)

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù)，那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的，減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.

(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法：

○

1任取x1

，x2

∈D，且x1

○

2利用圖象求函數(shù)的最大（�。┲怠�

3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大（小）值：如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[b，c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數(shù)的定義域：⑴yx22x15⑵

x33y1(x12x1)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0，1]，則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)開_

3.若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)閇2，3]，則函數(shù)f(2x1)的定義域是

x4.函數(shù)f(x)2(x1)x2(1x2)，若f(x)3，則x=2x(x2)5.求下列函數(shù)的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數(shù)f(x1)x24x，求函數(shù)f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函數(shù)

f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。

8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x[0,)時(shí),f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時(shí)f(x)=

f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x1

10.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論．211.設(shè)函數(shù)f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．1x2x

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