專題13：初中數(shù)學(xué)方法總結(jié)

專題：初中數(shù)學(xué)方法總結(jié)一，初中數(shù)學(xué)方法點(diǎn)滴

學(xué)了初中三年的數(shù)學(xué)，解了三年的數(shù)學(xué)題，感到學(xué)海無(wú)邊，題目無(wú)窮，在紛繁復(fù)雜的題目中，我們應(yīng)總結(jié)出一些數(shù)學(xué)方法，從解題實(shí)踐中提煉出方法，用方法來(lái)指導(dǎo)解題實(shí)踐。以下為個(gè)人就初中數(shù)學(xué)的解題方法的一些體會(huì)。一，代入法。

如，點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)就可以代入直線解析式。當(dāng)然反比例函數(shù)，二次函數(shù)亦然。又如，已知某個(gè)數(shù)是一元二次方程的根，則該數(shù)就可以代入方程。還有，分式的先化簡(jiǎn)再求值，則說(shuō)明必須先把分式化簡(jiǎn)，再作代入，當(dāng)然這里要注意代入的數(shù)要使原分式有意義。二，整體代入法。

在代數(shù)式的變形計(jì)算中，在一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系類題目中常有運(yùn)用。三，因式分解法。

提取公因式，平法差公式，完全平方公式，十字相乘法均屬此法。在因式分解，分式的化簡(jiǎn)，解一元二次方程等題目中都有運(yùn)用。四，配方法。

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為1時(shí)，加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方就叫配方法。它可以用于解一元二次方程，非負(fù)數(shù)取值的判斷，二次函數(shù)求頂點(diǎn)坐標(biāo)或最值或?qū)ΨQ軸等題目。五，換元法。

我們常用的換元法是用一個(gè)未知數(shù)表示若干個(gè)較為復(fù)雜的代數(shù)量或幾何線段，往往可以問(wèn)題容易理解或便于用方程解答。這是先設(shè)未知數(shù)再用方程解決問(wèn)題的方程思想的典型運(yùn)用。六，判別式法。

判別式除了可以判斷一元二次方程的解的情況，還可以和二次函數(shù)相聯(lián)系。七，求根公式法。

此法是由配方法演繹而得，為解一元二次方程的通用辦法。八，根與系數(shù)的關(guān)系法。

一元二次方程中，表示出兩根之和或兩根之積后，除了可以代入計(jì)算，還可以由此關(guān)系得到方程的另一根或其他系數(shù)。九，待定系數(shù)法。

初中的三大函數(shù)解析式的求法，均叫做待定系數(shù)法，它是代入法的延伸，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用。（三大函數(shù)，即，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)）十，直接得到法。

直接由數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)得到答案，常用與容易解決的基礎(chǔ)題。十一，排除法。

在選擇題中，有明顯錯(cuò)誤的選項(xiàng)可以先排除，以縮小選擇之范圍。十二，驗(yàn)證法。

我們知道，解分式方程必須檢驗(yàn)，在有些選擇題中，可以將選項(xiàng)作逐一代入檢驗(yàn)，得到正確答案。十三，特殊元素法。

在選擇題判斷一組代數(shù)式的大小時(shí)，可以選用此法，但要注意選擇的特殊元素要有代表性。十四，先易后難法。

在選擇題甚至整個(gè)試題中，先易后難可以提升效率、把握全局，也有利于思維的發(fā)揮。十五，順向思維法。

在圖形題中，可以根據(jù)已知條件，運(yùn)用所學(xué)圖形的性質(zhì)，進(jìn)行直接的推理，從而得到正確答案或要證明的結(jié)果，即為此法。此法往往應(yīng)用與較為常見或難度不大的題目。十六，逆向思維法。

在圖形題中，可以進(jìn)行逆向思維。即，要得此步，則必須得到什么，要必須得到什么，則又必須得到什么，如此逆推上去，直至與已知條件相連接。然后順向書寫下來(lái)。十七，順逆雙向思維法。

在較難的圖形題中，單用順向或逆向尚不能解決問(wèn)題，則采取兩個(gè)方向思維，力爭(zhēng)找到兩種思維方式的連接點(diǎn)。十八，劃歸思想法。

也在較難圖形題目中，有連續(xù)三問(wèn)，第二三問(wèn)的解答往往是運(yùn)用前面的探究方法。十九，動(dòng)中取靜、轉(zhuǎn)化問(wèn)題法。

動(dòng)點(diǎn)題目中，通常有一個(gè)或兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)。雖然，有其運(yùn)動(dòng)，但要抓住其不動(dòng)的條件，是為動(dòng)中取靜。其動(dòng)態(tài)問(wèn)題，往往需要通過(guò)分析，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相似（如模擬卷7的第26題）；或轉(zhuǎn)化為等腰三角形的兩腰相等、平行四邊形的對(duì)邊相等、直角三角形的勾股定理，通過(guò)方程的思想得到所求未知量；或轉(zhuǎn)化為三角形或四邊形的面積為一個(gè)函數(shù)表達(dá)式（一次函數(shù)或二次函數(shù)），通過(guò)自變量的取值（要注意其取值范圍）來(lái)確定其最值。二十，外部延伸法。

當(dāng)在圖形內(nèi)部分析無(wú)法解決時(shí)，思維要走向圖形整體的外部，在更廣闊的空間翱翔自己的思維。二十一，取長(zhǎng)補(bǔ)短法。

往往用于證明一條較長(zhǎng)線段等于兩條線段之和。

二十二，輔助線法（構(gòu)造法）。

無(wú)論內(nèi)部、外部，還是取長(zhǎng)補(bǔ)短法，都可以考慮作輔助線幫助解決問(wèn)題。此外，在梯形、平行四邊形等四邊形中作高，在等腰三角形中作高，在反比例函數(shù)中作直角三角形或矩形，在三角形面積中作高，在拋物線中作平行線和垂線等，都有其廣泛的運(yùn)用。二十三，面積法。

求三角形或四邊形的面積，有三種手段：1，直接用公式求面積，2，間接的加法，3間接的減法。當(dāng)然間接的方法也常用于求和圓有關(guān)的陰影部分的面積。二十四，幾何變換法。

三大變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱）中有重合即相等的元素，要準(zhǔn)確判斷，并合理選擇運(yùn)用。此法往往和勾股定理、扇形弧長(zhǎng)公式、扇形面積聯(lián)系運(yùn)用。二十五，相似法。

相似可以得到對(duì)應(yīng)邊成比例，還可以用來(lái)表示未知量。二十六，三角函數(shù)法。

三角函數(shù)除了運(yùn)用于解直角三角形，它也是一種比值。由此，可以通過(guò)設(shè)未知數(shù)將所求問(wèn)題表示成一個(gè)未知數(shù)表示的代數(shù)式，還可以得到其他對(duì)應(yīng)線段的比值。二十七，圖形法。

在無(wú)圖而可以作圖的題目中，畫圖可以幫助分析。在有圖的圖形題中，根據(jù)題目的描述，依次畫出圖形，避開干擾圖形也可以幫助分析圖形問(wèn)題。此法，往往用于解決圖形題目中的第一問(wèn)。二十八，數(shù)形結(jié)合法。

平時(shí)常說(shuō)草稿圖像法，即對(duì)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行分析時(shí)，作出函數(shù)的草稿圖像，可以簡(jiǎn)便快捷的進(jìn)行分析。在應(yīng)用題中，也可畫出圖示幫助分析。數(shù)學(xué)結(jié)合思想將代數(shù)與幾何相聯(lián)系，往往收到意想不到的效果，在數(shù)學(xué)中有著廣泛的運(yùn)用。二十九，反復(fù)降次法。

我們?cè)鴥纱巫鲞^(guò)一類小題，用到此法。三十，共加共減法。

在圖形的重疊部分運(yùn)用此法，可以得到兩個(gè)角相等。在直角頂點(diǎn)位于直線上時(shí)，根據(jù)角的傳遞性，可以得到兩角相等，帶來(lái)相似甚至全等。在判定切線或運(yùn)用切線時(shí)，也有此法的運(yùn)用，它也可以看做等量代換或等式的性質(zhì)。在圖形題中有著廣泛的運(yùn)用。

三十一，圖形轉(zhuǎn)化法。

將角所在的不規(guī)則三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的三角形，是轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用。三十二，代數(shù)轉(zhuǎn)化法。

解分式方程的第一步是兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母，轉(zhuǎn)化為一次方程。運(yùn)用因式分解法、配方法解一元二次方程是轉(zhuǎn)化為一元一次方程。解二元一次方程組，無(wú)論加減法還是代入法都是轉(zhuǎn)化為一元一次方程。

三十三，反證法。

先假設(shè)結(jié)論成立，然后從此結(jié)論推理出與已知或定理相矛盾的情形，則可以說(shuō)明結(jié)論不成立。但我們的所學(xué)和所解中很少運(yùn)用此法，同學(xué)們不到萬(wàn)不得已之時(shí)，不可采用此法。

三十四，動(dòng)手折紙法。

在三視圖、立方體展開圖、圖形的折疊中，運(yùn)用此法可以幫助用空間想象難以想清楚的問(wèn)題。三十五，就地取材法。

當(dāng)題目的主干條件不變，只是在第二問(wèn)、第三問(wèn)中添加條件時(shí)，那么，第前面所得的結(jié)論可以作為后問(wèn)的已知條件。三十六，數(shù)學(xué)感覺(jué)法。

如，已知一個(gè)點(diǎn)是中點(diǎn)，則迅速聯(lián)想到中線、中位線、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如，已知30°，除了分析度數(shù)外，還應(yīng)聯(lián)想直角三角形中，30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。如，已知直徑，則聯(lián)想所對(duì)的圓周角為90°。如見切點(diǎn)，連圓心。如看到切線，想到切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。如垂徑定理知二推三，弦、圓心角、弧、弦心距四者關(guān)系知一推三。

三十七，數(shù)學(xué)公式法。

初中數(shù)學(xué)中，有很多公式需要記憶，當(dāng)然也可推理。如三角形面積公式、直角三角形面積公式、等邊三角形面積公式、平行四邊形面積公式、菱形面積公式、矩形面積公式、正方形面積公式、梯形面積公式、等腰直角三角形斜邊與直角邊的關(guān)系、圓面積公式、圓周長(zhǎng)公式、扇形弧長(zhǎng)公式、扇形的兩個(gè)面積公式、圓錐的側(cè)面積公式等等都有著廣泛的計(jì)算運(yùn)用。

三十八，數(shù)學(xué)定理法。

如，角平分線、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、切線的判定定理和性質(zhì)定理需要有系統(tǒng)的熟記，它們?cè)趫D形的計(jì)算和證明中均有著廣泛的運(yùn)用。

以上方法來(lái)自數(shù)學(xué)解題和學(xué)習(xí)的總結(jié)，肯定還有更多更好的方法，因此，需不斷學(xué)習(xí)和總結(jié)。

二，直角或垂直的解題方法的聯(lián)想

判斷兩條直線的位置關(guān)系是否垂直，判斷一個(gè)三角形的形狀是否為直角三角形，已知直角三角形或垂直作何種運(yùn)用，它既可在圖形性質(zhì)或變化兩類題目中單列出現(xiàn)，也常在壓軸題中作為第二問(wèn)中出現(xiàn)。因此，既可串聯(lián)圖形題目，也有著相當(dāng)重要的地位。其解題方法不是單一的，常有以下24種。1，勾股定理的逆定理。

這常與拋物線相結(jié)合，需先做出垂直于坐標(biāo)軸的輔助線，明確各個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，再計(jì)算出所判定三角形的各邊長(zhǎng)，由勾股定理的逆定理可以判斷其形狀，而且，還可以斷定其直角所在。2，兩銳角互余。

這是常用手段，實(shí)際是用了三角形的內(nèi)角和定理。3，平角減法。

如果所求的角的頂點(diǎn)是在某一直線上，如能求出它與其兩邊與直線的兩個(gè)夾角的和為180度，則也能判定角為直角。4，平行法。

已知兩直線平行，若其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三直線。，當(dāng)然垂直于同一直線的兩條直線互相平行。也可以理解為是平行線的性質(zhì)。這也是圓中判定切線的常見手段。5，逆用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，將其逆用也可得到直角。實(shí)際上蘊(yùn)含著三角形的外接圓的圓周角定理，這是一種很容易被忽略而又輕便快捷的辦法。6，折疊法。

在圖形的變化類題目中，常出現(xiàn)圖形的折疊，雖然折痕常常為的分析切入點(diǎn)，但這里因?yàn)橹睾系睦砟钜舶挡刂�直角的玄機(jī)。它與勾股定理結(jié)合，運(yùn)用方程思想，常能打開貌似艱難的問(wèn)題。7，全等三角形判定。

如能求證所求角所在的三角形與某一個(gè)已知直角三角形全等，也可達(dá)到目的。此法往往和圓相結(jié)合。8，直徑所對(duì)的圓周角為90度。

圓中，每當(dāng)提到直徑，就應(yīng)該有這樣本能的反應(yīng)。若已知圓周角為直角，則它所對(duì)的弦是直徑。9，切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。

這是切線的性質(zhì)，也能帶來(lái)直角。反之切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。10，垂徑定理。

如果過(guò)圓心的直線平分所對(duì)的弦，那么該直線就垂直于這條弦。垂徑定理知二推三。11，菱形和正方形的對(duì)角線互相垂直。

在小題中常見已知菱形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，求其邊長(zhǎng)乃至周長(zhǎng)的問(wèn)題。12，等腰三角形三線合一

等腰三角形中，底邊上的高、中線、頂角的角平分線三線合一。13，共加或共減法。

在劃歸一類的題目中，常出現(xiàn)判斷兩條直線的位置關(guān)系，在較為復(fù)雜的幾個(gè)角的錯(cuò)綜復(fù)雜中，常用到這種方法，當(dāng)然需要先知道其中一處為90度，此類題目也常與三角形的全等相結(jié)合。14，四邊形的內(nèi)角和。

在類似于上一類的題目中，有出現(xiàn)某一個(gè)四邊形的一組對(duì)角和為180度，即可用四邊形的內(nèi)角和算出所求的角為90度。此外圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)也是不可忽略的情景或手段，平行四邊形的對(duì)角相等也可理解為此類之列。15，作輔助線構(gòu)造直角三角形。

如在解直角三角形中，已知一個(gè)鈍角三角形，往往需要構(gòu)造直角三角形來(lái)求得所求，當(dāng)然解直角三角形的前提是已知兩邊或一邊一銳。在等腰梯形中常作底邊的高來(lái)構(gòu)建直角三角形，在直角三角形中做斜邊上的高能帶來(lái)直角三角形的面積有兩種求法。在平行四邊形中作高也有用處。16，反比函數(shù)k的幾何意義。

過(guò)反比例函數(shù)的圖像即雙曲線上的一點(diǎn)，作坐標(biāo)軸的垂線段，并連接原點(diǎn)，可以構(gòu)造直角三角形，則此直角三角形的面積等于斜率K的絕對(duì)值的一半。17，兩坐標(biāo)軸的夾角為90度。

有一種題目，在坐標(biāo)系中求某一個(gè)圓周角的三角函數(shù)，那么可以把這個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中求解。18，斜率k的乘積為-1，則兩直線平行。

19，軸對(duì)稱圖形中，對(duì)稱軸必垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線段。20，三角形的外心是三條垂直平分線的交點(diǎn)。21，圓錐頂點(diǎn)與底面圓心的連線必垂直于底面。22,30度角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。

23，直角三角形的直角頂點(diǎn)共邊，可利用其角的傳遞性帶來(lái)相似或全等。24，直角三角形全等的HL，相似的兩角均只差一個(gè)條件就可以得到。

以上或許只是判定直角或垂直的諸多方法中的少數(shù)，如同滄海之一粟，更多方法尚待不斷學(xué)習(xí)中。

三，二次函數(shù)綜合題的解題方法體會(huì)

二次函數(shù)綜合題，是以二次函數(shù)的圖像性質(zhì)為主，結(jié)合其他圖形，涉及知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)的一種壓軸題。它是代數(shù)知識(shí)和幾何圖形的綜合，因此蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合的思想。

一，題目結(jié)構(gòu)。

第一問(wèn)，求拋物線的解析式，第二三問(wèn)為難度題目。二，解題思想。

數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想，方程思想，函數(shù)思想，轉(zhuǎn)化思想二，題目類型和解題思路方法。

第一問(wèn)，求拋物線的解析式。常見有三種以上方法可以選用。1.一般式。如全部代入，組成三元一次方程組，2.頂點(diǎn)式。如在已知頂點(diǎn)坐標(biāo)的情況下用頂點(diǎn)式，

3.雙根式。如已知拋物線與橫軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)的情況下用雙根式。

其他，如果已知拋物線的對(duì)稱軸則可根據(jù)對(duì)稱軸公式表示或求出a、b，如果已知拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)可先得c，或利用拋物線的對(duì)稱性可以有變化的求法。

第二問(wèn)或第三問(wèn)則為難度題目。常見的題型有以下等等。1，判斷三角形的形狀。勾股定理法：通常是利用勾股定理的逆定理來(lái)判斷是否直角三角形甚至等腰直角三角形（201*安順題即201*菏澤題，如201*昭通題即201*臨沂題，如201*湛江題，如201*年山東棗莊題）

2，求線段之和最短時(shí)的交點(diǎn)坐標(biāo)。

先為對(duì)稱交點(diǎn)法（作軸對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)的連線即為所求點(diǎn)的坐標(biāo)），之后可用相似法（相似三角形得對(duì)應(yīng)邊成比例，還可以設(shè)x利用相似來(lái)表示未知線段，此法也常見與動(dòng)點(diǎn)題目轉(zhuǎn)化為相似解決問(wèn)題）或解析式法（求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，可以聯(lián)立直線解析式和拋物線解析式組成方程組，求得交點(diǎn)坐標(biāo)）。（201*安順即201*菏澤）

3，求直角三角形形狀時(shí)與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)或在對(duì)稱軸上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)（前者如201*遵義題，201*遵義題，201*徐州題，后者如201*濟(jì)南題）

分類討論法（當(dāng)已知三角形的直角頂點(diǎn)未知時(shí)，當(dāng)兩個(gè)三角形相似但對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不明確是，要分情況討論），、解析式法。

4，當(dāng)三角形為等腰三角形時(shí)求對(duì)稱軸上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)（如201*年張家界題，201*來(lái)賓題，201*湖北十堰題）分類討論法（等腰三角形的兩腰不確定時(shí)采用，其中暗藏勾股定理，圓的定義，垂直平分線的知識(shí)）。5,與圓結(jié)合求三角形面積最小時(shí)或最大時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)（201*遵義題，201*安徽卷）圖形形狀分析法（結(jié)合圓和其他圖形的性質(zhì)判斷圖形形狀），如201*遵義題第三位需要分析三角形的形狀為等腰直角三角形。

6當(dāng)未知三角形面積是已知三角形的倍數(shù)時(shí)，求在拋物線上的點(diǎn)坐標(biāo)（201*銅仁，201*黔南，201*福建莆田題）平行法（也叫平移法，若兩條直線平行，則未知直線的斜率k等于已知直線的斜率k,再根據(jù)未知直線過(guò)某一已知點(diǎn)可以得到該直線的解析式），解析式法等結(jié)合。

7，求三角形面積的表達(dá)式，并求出當(dāng)自變量為何取值時(shí)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)。表示三角形的面積，并求三角形的面積。（201*南寧題201*濟(jì)南題，201*成都題）

三角形面積直接表示法（直接運(yùn)用三角形的面積公式，用含自變量的函數(shù)關(guān)系式來(lái)表示，而如何表示三角形的底和高將成為關(guān)鍵，此舉在動(dòng)點(diǎn)題中也常常出現(xiàn)），用銳角三角函數(shù)或相似表示出底邊上的高很關(guān)鍵。8，當(dāng)兩個(gè)三角形相似時(shí)，求在某直線上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)。（201*山東棗莊即201*云南曲靖題）相似法。

9，表示點(diǎn)和線段。

坐標(biāo)表示點(diǎn)、線段法（通常是先設(shè)一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在直線上或在拋物線上，用相同的未知數(shù)的代數(shù)式設(shè)出縱坐標(biāo)，然后縱向線段長(zhǎng)等于上點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下點(diǎn)橫坐標(biāo)，而橫向線段長(zhǎng)則等于右點(diǎn)橫坐標(biāo)減去左點(diǎn)橫坐標(biāo)）。此法常與解析式法相結(jié)合。典型題目如201*淄博題。10、判斷點(diǎn)是否在直線上

相似法，代入法（將點(diǎn)代入直線，判斷點(diǎn)是否在直線上）。如201*襄陽(yáng)題。

11，當(dāng)四邊形為平行四邊形時(shí)求拋物線上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)（如201*年陜西題，201*銅仁題，201*廣東湛江題，201*淄博題，201*南寧題）

圖形性質(zhì)法（利用圖形的性質(zhì)或判定，如一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形等來(lái)轉(zhuǎn)化問(wèn)題為方程問(wèn)題），坐標(biāo)表示點(diǎn)線段法、解析式法或相似法。12，當(dāng)四邊形為等腰梯形時(shí)求在拋物線上點(diǎn)的坐標(biāo)，（201*山東臨沂題）當(dāng)四邊形為直角梯形時(shí)求在拋物線上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)(201*年云南昭通題，201*襄陽(yáng)題）當(dāng)四邊形為正方形時(shí)，求拋物線上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)（201*成都卷）圖形性質(zhì)法，解析式法，平行法13，求不規(guī)則四邊形面積的最值。（201*十堰題）

圖形面積間接表示法（通常是把一個(gè)不規(guī)則的四邊形的面積表示成兩個(gè)或兩個(gè)以上的三角形的面積之和，或用梯形減去兩個(gè)或兩個(gè)以上三角形的面積來(lái)表示，之后可以得出四邊形面積為一個(gè)二次函數(shù)解析式，從而取其最值，當(dāng)然求最值時(shí)應(yīng)考慮自變量的取值范圍。）而間接表示三角形的面積也為此法。

14，當(dāng)直線平分平行四邊形的面積時(shí)，求拋物線上存在的點(diǎn)的坐標(biāo)（201*徐州題）

解題方法：平分平行四邊形的面積的直線必過(guò)對(duì)角線的交點(diǎn)，接著可用解析式法解決問(wèn)題。

總之，二次函數(shù)綜合題實(shí)際上是由很多知識(shí)的組合或綜合而成的，方法多樣而新穎，難度大，應(yīng)用心體會(huì)。

擴(kuò)展閱讀：初中數(shù)學(xué)13

201*年臨沂市中考數(shù)學(xué)試題

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至4頁(yè)，第Ⅱ卷5至12頁(yè)，滿分120分．考試時(shí)間120分鐘．

第Ⅰ卷（選擇題共42分）

注意事項(xiàng)：

1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考生號(hào)、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上．3.考試結(jié)束，將本試卷和答題卡一并收回．

一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）在每小題所給的4個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．9的相反數(shù)是（）A．

19B．19C．9D．9

2．某種流感病毒的直徑是0.00000008m，這個(gè)數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．810mC．810m

86

B．810mD．810m

45

3．下列各式計(jì)算正確的是（）A．xxxC．(x)x

42834

xxB．x2242510

D．xxx(x0)

4．下列圖形中，由AB∥CD，能得到12的是（）

AA1BBBA

1122CCCDDD2A．B．C．

5．計(jì)算27A．1

131812的結(jié)果是（）

AC

1B2D．

DB．1

b2C．32D．23

6．化簡(jiǎn)

2ab4a2b2a的結(jié)果是（）

C．2ab

D．b2a

A．2abB．b2a

7．已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直徑為9Cm，⊙O2的直徑為4cm．則O1O2的長(zhǎng)是（）

A．5cm或13cmB．2.5cm

AC．6.5cmD．2.5cm或6.5cm

P8．如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，

垂足分別為A，B．下列結(jié)論中不一定成立的是（）

OBA．PAPBB．PO平分APB

（第8題圖）

C．OAOBD．AB垂直平分OP

9．對(duì)于數(shù)據(jù)：80，88，85，85，83，83，84．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的有（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是84B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是85C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是84D．這組數(shù)據(jù)的方差是36A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

10．若xy，則下列式子錯(cuò)誤的是（）A．x3y3C．x3y2

B．3x3yD．

x3y3

AOB

CEF

（第11題圖）

D

11．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線ACBD于

點(diǎn)O，AEBC，DFBC，垂足分別為E、F，設(shè)AD=a，BC=b，則四邊形AEFD的周長(zhǎng)是（）A．3ab

B．2(ab)

C．2baD．4ab

12．如圖是一個(gè)包裝盒的三視圖，則這個(gè)包裝盒的體積是（）

12cm

4cm

（第12題圖）A．192πcm

3B．1152πcmC．2883cmD．3843cm

33313．從1，2，3，4這四個(gè)數(shù)字中，任意抽取兩個(gè)不同數(shù)字組成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)能被3整除的概率是（）A．

13B．

14C．

16D．

112

DHF

14．矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm．動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C開始A沿邊CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)沿邊CD向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)D停止．如圖可得到矩形CFHE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（單位：s），此時(shí)矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余

BC

E（第14題圖）

部分的面積為y(單位：cm)，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系用圖象表示大致是下圖中的（）

y(cm2)4816

46OA．

y(cm2)4816x(s)O46B．

x(s)4816O46C．

x(s)y(cm2)4816O4D．

6x(s)y(cm2)2第Ⅱ卷（非選擇題共78分）

注意事項(xiàng)：

1．第Ⅱ卷共8頁(yè)，用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上．2．答卷前將密封線內(nèi)的項(xiàng)目及座號(hào)填寫清楚．

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）把答案填在題中橫線上．15．分解因式：x2xyxy=_________________．

16．某制藥廠兩年前生產(chǎn)1噸某種藥品的成本是100萬(wàn)元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸這種藥品的成本為81萬(wàn)元，．則這種藥品的成本的年平均下降率為______________．17．若一個(gè)圓錐的底面積是側(cè)面積的

132，則該圓錐側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是_____度．

18．如圖，在菱形ABCD中，ADC72，AD的垂直平分線交對(duì)角線BD于點(diǎn)P，垂足為E，連接CP，則CPB________度．

DE

PCAB

（第18題圖）

19．如圖，過(guò)原點(diǎn)的直線l與反比例函數(shù)y1xlMyON（第19題圖）x的圖象交于M，N兩點(diǎn)，根據(jù)圖象猜想線

段MN的長(zhǎng)的最小值是___________．

三、開動(dòng)腦筋，你一定能做對(duì)！（本大題共3小題，共20分）20．（本小題滿分6分）解不等式組3(2x1)≥2102(1x)3(x1)，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)．

21．（本小題滿分7分）

為了了解全校1800名學(xué)生對(duì)學(xué)校設(shè)置的體操、球類、跑步、踢毽子等課外體育活動(dòng)項(xiàng)目的喜愛情況，在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽取了若干名學(xué)生．對(duì)他們最喜愛的體育項(xiàng)目（每人只選一項(xiàng)）進(jìn)行了問(wèn)卷調(diào)查，將數(shù)據(jù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)并繪制成了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖（均不完整）．

（1）在這次問(wèn)卷調(diào)查中，一共抽查了多少名學(xué)生？（2）補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

（3）估計(jì)該校1800名學(xué)生中有多少人最喜愛球類活動(dòng)？人數(shù)

3640其他12.5%3025%體操踢毽子20跑步

1010104球類0

體操球類踢毽子跑步其他項(xiàng)目

22．（本小題滿分7分）

如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個(gè)村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45方向上．

（1）求出A，B兩村之間的距離；

（2）為方便村民出行，計(jì)劃在公路邊新建一個(gè)公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請(qǐng)用尺規(guī)在圖中作出點(diǎn)P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡(jiǎn)要寫明作法）．

北

東ADlC

B

（第22題圖）

四、認(rèn)真思考，你一定能成功�。ū敬箢}共2小題，共19分）23．（本小題滿分9分）

如圖，AC是⊙O的直徑，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點(diǎn)，AB=6，PA=5．求（1）⊙O的半徑；（2）sinBAC的值．PBCAO

（第23題圖）

24．（本小題滿分10分）

在全市中學(xué)運(yùn)動(dòng)會(huì)800m比賽中，甲乙兩名運(yùn)動(dòng)員同時(shí)起跑，剛跑出200m后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起來(lái)繼續(xù)投入比賽，并取得了優(yōu)異的成績(jī)．圖中分別表示甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員所跑的路程y（m）與比賽時(shí)間x（s）之間的關(guān)系，根據(jù)圖像解答下列問(wèn)題：（1）甲摔倒前，________的速度快（填甲或乙）；（2）甲再次投入比賽后，在距離終點(diǎn)多遠(yuǎn)處追上乙？

y(m)CD甲800

乙P

200ABO401201*5x(s)（第24題圖）

五、相信自己，加油�。。ū敬箢}共2小題，共24分）25．（本小題滿分11分）

數(shù)學(xué)課上，張老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：

（1）小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，

C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）小華提出：如圖3，點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE=EF”仍然成立．你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．

FDDAADA

FF

BBECECGGBCEG圖1圖2圖3

（第25題圖）

26．（本小題滿分13分）

0)，B(1，0)，C(0，2)三點(diǎn)．如圖，拋物線經(jīng)過(guò)A(4，（1）求出拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點(diǎn)，使得以A，P，M為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點(diǎn)D，使得△DCA的面積最大，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．

yxOB14A

2C

（第26題圖）

201*年臨沂市中考數(shù)學(xué)試題

參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)

說(shuō)明：第三、四、五大題給出了一種或兩種解法，考生若用其它解法，應(yīng)參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)給分．

一、選擇題（每小題3分，共42分）題號(hào)答案1D2C3C4B5C6A7D8D9B10B11A12C13A14A二、填空題（每小題3分，共15分）

215．x(1y)16．10%17．1201*．7219．22

三、開動(dòng)腦筋，你一定能做對(duì)！（共20分）

20．解：解不等式32x1≥2，得x≤3．（2分）解不等式102(1x)3(x1)，得x1．（4分）所以原不等式組的解集為1x≤3．（5分）把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)為

10123

（6分）

21．解：（1）1012.5%80（人）．一共抽查了80人．（2分）（2）8025%20（人），圖形補(bǔ)充正確．（4分）（3）18003680810（人）．

估計(jì)全校有810人最喜歡球類活動(dòng)．（7分）

22．解：（1）方法一：設(shè)AB與CD的交點(diǎn)為O，根據(jù)題意可得AB45°．

（1分）△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．AO2，BO22．

A，B兩村的距離為ABAOBO．（4分）22232（km）

方法二：過(guò)點(diǎn)B作直線l的平行線交AC的延長(zhǎng)線于E．

易證四邊形CDBE是矩形，（1分）CEBD2．

在Rt△AEB中，由A45°，可得BEEA3．

AB3332（km）

22A，B兩村的距離為32km．（4分）

（2）作圖正確，痕跡清晰．（5分）作法：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于半徑作弧，兩弧交于兩點(diǎn)M，N，

作直線MN；

②直線MN交l于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求．（7分）四、認(rèn)真思考，你一定能成功�。ü�19分）23．解：（1）連接PO，OB．設(shè)PO交AB于D．PA，PB是⊙O的切線．

PAOPBO90°，

12AB的長(zhǎng)為

ACOPNDl

MB第22題圖

PBDAC

PAPB，APOBPO．

O（第23題圖）

ADBD3，PO⊥AB．（2分）PD（3分）534．

ADPDAOPAtanAPD．

15422在Rt△PAD和Rt△POA中，

AOADPAPD354154，即⊙O的半徑為．（5分）

2（2）在Rt△AOD中，DO9sinBACAOAD2291523．（7分）44OD3（9分）4．

15AO5424．解：（1）甲．（3分）（2）設(shè)線段OD的解析式為yk1x．

800)代入yk1x，得k1把(125，線段OD的解析式為y325．

325x（0≤x≤125）．（5分）

設(shè)線段BC的解析式為yk2xb．

200)，(120，800)分別代入yk2xb．把(40，15，201*0k2b，k2得解得2800120kb．2b100.線段BC的解析式為y152x100（40≤x≤120）．（7分）

321000yx,x，511解方程組得（9分）

640015y.x100.y112800640011240011．

240011m處追上了乙．（10分）

答：甲再次投入比賽后，在距離終點(diǎn)

五、相信自己，加油�。。ü�24分）

25．解：（1）正確．（1分）證明：在AB上取一點(diǎn)M，使AMEC，連接ME．（2分）BMBE．BME45°，AME135°．

AMBED

FCG

CF是外角平分線，DCF45°，ECF135°．AMEECF．

AEBBAE90°，AEBCEF90°，

BAECEF．

．（5分）△AME≌△BCF（ASA）

AEEF．（6分）

（2）正確．（7分）

證明：在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)N．使ANCE，連接NE．（8分）NFBNBE．DANPCE45°．四邊形ABCD是正方形，AD∥BE．

BCEGDAEBEA．

NAECEF．

．（10分）△ANE≌△ECF（ASA）

AEEF．（11分）

22)，可設(shè)該拋物線的解析式為yaxbx2．26．解：（1）該拋物線過(guò)點(diǎn)C(0，0)，B(1，0)代入，將A(4，1a，16a4b20，2得解得

ab20.5b.2此拋物線的解析式為y12x252x2．（3分）

（2）存在．（4分）

如圖，設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m，則P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為當(dāng)1m4時(shí)，AM4m，PM12m212m252m2，

y52m2．

DPAMEC4x又COAPMA90°，

①當(dāng)

BO12AMPMAOOC21時(shí)，

△APM∽△ACO，

（第26題圖）5m2．2即4m212m2

解得m12，m24（舍去），P(2，（6分）1)．②當(dāng)

AMPMOCOA12時(shí)，△APM∽△CAO，即2(4m)12m252m2．

解得m14，m25（均不合題意，舍去）

當(dāng)1m4時(shí)，P(2，1)．（7分）

2)．類似地可求出當(dāng)m4時(shí)，P(5，（8分）14)．當(dāng)m1時(shí)，P(3，1)或(5，14)．2)或(3，綜上所述，符合條件的點(diǎn)P為(2，（9分）

（3）如圖，設(shè)D點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t(0t4)，則D點(diǎn)的縱坐標(biāo)為過(guò)D作y軸的平行線交AC于E．由題意可求得直線AC的解析式為y1E點(diǎn)的坐標(biāo)為t，t2．

212212t252t2．

12x2．（10分）

DEt5121t2t2t2t．（11分）222S△DAC11222t2t4t4t(t2)4．22當(dāng)t2時(shí)，△DAC面積最大．

D(2，1)．（13分）

北京一線教師家教-一線教師一對(duì)一輔導(dǎo)

北京一線教師家教-一線教師一對(duì)一輔導(dǎo)老師NO.1:本人性格開朗、樂(lè)觀，做事耐心仔細(xì)，有責(zé)任心。初高中時(shí)成績(jī)優(yōu)異，理科生，由以數(shù)學(xué)、化學(xué)家教較好。中考全鄉(xiāng)第一，高考數(shù)學(xué)140分，化學(xué)優(yōu)等。

北京一線教師家教-一線教師一對(duì)一輔導(dǎo)老師NO.2:我的數(shù)學(xué)成績(jī)非常好，高考數(shù)學(xué)成績(jī)是143，在物理家教方面，我曾獲得過(guò)全國(guó)物理競(jìng)賽河南賽區(qū)二等獎(jiǎng)。我姐姐是教師，我曾在她辦的假期補(bǔ)習(xí)班中當(dāng)教員，并且到大學(xué)后也帶過(guò)家教。同時(shí)我比較有耐心，講題思路清晰。

北京一線教師家教-一線教師一對(duì)一輔導(dǎo)老師NO.3:性格開朗，善于交流，有耐心。曾做過(guò)高中數(shù)理化家教和初中數(shù)學(xué)方面的輔導(dǎo)，有豐富的教學(xué)輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)，保證能很好的完成輔導(dǎo)任務(wù)。成績(jī)優(yōu)異（尤其在數(shù)理化方面），榮獲三好學(xué)生、人民獎(jiǎng)學(xué)金等，在社團(tuán)中擔(dān)任重要職務(wù)，有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和責(zé)任心。

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