北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

九（上）數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)答案

第一章證明（一）

1、你能證明它嗎？

（1）三角形全等的性質(zhì)及判定

全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角也相等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、

（2）等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論

性質(zhì)：等腰三角形的兩個(gè)底角相等（等邊對(duì)等角）

判定：有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形（等角對(duì)等邊）

推論：等腰三角形頂角的平分線(xiàn)、底邊上的中線(xiàn)、底邊上的高互相重合（即“三線(xiàn)合一”）（3）等邊三角形的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)定理：等邊三角形的三個(gè)角都相等，并且每個(gè)角都等于60度；等邊三角形的三條邊都滿(mǎn)足“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)；等邊三角形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，有3條對(duì)稱(chēng)軸。

判定定理：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形�；蛘呷齻�(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。

（4）含30度的直角三角形的邊的性質(zhì)

定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30度，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半。2、直角三角形

（1）勾股定理及其逆定理

定理：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。

逆定理：如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（2）命題包括已知和結(jié)論兩部分；逆命題是將倒是的已知和結(jié)論交換；正確的逆命題就是逆定理。

（3）直角三角形全等的判定定理

定理：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）3、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

（1）線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。

判定：到一條線(xiàn)段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。（2）三角形三邊的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)

三角形三條邊的垂直平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。

（3）如何用尺規(guī)作圖法作線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)

分別以線(xiàn)段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心，以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)M、N；作直線(xiàn)MN，則直線(xiàn)MN就是線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)。4、角平分線(xiàn)

（1）角平分線(xiàn)的性質(zhì)及判定定理

性質(zhì)：角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等；

判定：在一個(gè)角的內(nèi)部，且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線(xiàn)上。（2）三角形三條角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理

性質(zhì)：三角形的三條角平分線(xiàn)相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。（3）如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線(xiàn)

第二章一元二次方程

1、花邊有多寬

（1）整式方程及一元二次方程的概念

整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；

一元二次方程：只含有一個(gè)未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化作ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)的形式。

（2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義

2

一般式：ax+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)，其中，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)。

2、配方法

（1）直接開(kāi)平方法的定義

利用平方根的定義直接開(kāi)平方求一元二次方程的解的方法叫直接開(kāi)平方法。（2）配方法的步驟和方法

一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程化為（x+m）2=n(n≥0)的形式；三、直接用開(kāi)平方法求出它的解。3、公式法

（1）求根公式b-4ac≥0時(shí)，x=

22

bb4ac2a2

(2)求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義

一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0)；二、計(jì)算b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無(wú)實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫(xiě)出方程的兩個(gè)根。4、分解因式法

（1）分解因式的概念

當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，根據(jù)ab=0，那么a=0或b=0，這種解一元二次方程的方法稱(chēng)為分解因式。（2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟

一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元二次方程；四、解這兩個(gè)一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（1）什么叫黃金比

線(xiàn)段AB上一點(diǎn)C分線(xiàn)段AB成兩條線(xiàn)段AC，BC，若黃金分割點(diǎn)，其中

ACABACAB=

BCAC，則C點(diǎn)叫線(xiàn)段AB的

叫黃金比，其值為0.618。

（2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟

一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗(yàn)；七、答

第三章證明（三）

1、平行四邊行

（1）平行四邊形的定義、性質(zhì)及判定定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形

性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊分別平行；平行四邊形的對(duì)邊分別相等；平行四邊形的對(duì)角分別相等；平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分。判定：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊行。（2）等腰梯形的性質(zhì)及判定

性質(zhì)：等腰梯形在同一底上的兩個(gè)角相等；等腰梯形的兩條對(duì)角線(xiàn)相等。

判定：同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形。（3）三角形中位線(xiàn)定義及性質(zhì)

定義：連接三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn)。性質(zhì)：三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半。2、特殊平行四邊形

（1）矩形、菱形、正方形、直角三角形的性質(zhì)及判定

第四章視圖與投影

1、視圖

（1）三視圖的種類(lèi)及三種視圖之間的關(guān)系三視圖有主視圖、左視圖和俯視圖；三種視圖間的關(guān)系：主、俯長(zhǎng)對(duì)正；主、左高平齊；俯、左寬相等；（2）會(huì)畫(huà)圓柱、圓錐、球的三視圖

2、太陽(yáng)光與影子

（1）投影與平行投影的含義、平行投影的性質(zhì)

一般地，用光線(xiàn)照射物體，在某個(gè)平面上得到的影子叫做投影；由平行光線(xiàn)形成的投影是平行投影。

平行投影的性質(zhì)：物體上的點(diǎn)以及影子上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)互相平行；當(dāng)物體與投影面平行時(shí)，所形成的影子與物體全等；同一時(shí)刻，在平行光線(xiàn)下，互相平行的物體的高度與影子長(zhǎng)度的比值相等。

（2）物體影長(zhǎng)的變化規(guī)律，會(huì)將影長(zhǎng)與相似結(jié)合起來(lái)進(jìn)行計(jì)算

在太陽(yáng)光的照射下，不同時(shí)刻，物體影子的長(zhǎng)短也不一樣，早晚影子長(zhǎng)，中午影子短。（3）平行投影與視圖之間的關(guān)系

視圖實(shí)際上就是該物體在某一平行光線(xiàn)下的投影。3、燈光與影子

（1）中心投影的概念及應(yīng)用，區(qū)別平行投影與中心投影從一點(diǎn)發(fā)出的光線(xiàn)形成的投影稱(chēng)為中心投影。（2）視點(diǎn)、視線(xiàn)與盲區(qū)的概念

眼睛的位置稱(chēng)為視點(diǎn)；由視點(diǎn)發(fā)出的線(xiàn)稱(chēng)為視線(xiàn)；眼睛看不到的地方稱(chēng)為盲區(qū)。

第五章反比例函數(shù)

1、反比例函數(shù)

（1）反比例函數(shù)的概念

一般地，如果兩個(gè)變量x,y之間的關(guān)系可以表示成y=函數(shù)。反比例函數(shù)的自變量x不能為0。（2）掌握求反比例函數(shù)的解析式的方法

將一組x,y的值代入解析式中確定k的值即可。

kx的形式，那么稱(chēng)y是x的反比例2、反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)（1）反比例函數(shù)圖象的畫(huà)法

一般采用描點(diǎn)法：先列表，再描點(diǎn)，再連線(xiàn)。

（2）反比例函數(shù)的圖象及性質(zhì)，其表達(dá)式與圖象的關(guān)系，函數(shù)值大小的比較（表5-1）3、反比例函數(shù)的應(yīng)用

（1）用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的一般思路

1、根據(jù)問(wèn)題情境，設(shè)出所求的反比例函數(shù)表達(dá)式；

2、由問(wèn)題中的已知數(shù)據(jù)，代入所求表達(dá)式，列出方程（或方程組），求出方程的解，確定出待定系數(shù)的值，從而確定函數(shù)表達(dá)式；3、根據(jù)函數(shù)表達(dá)式，去解決實(shí)際問(wèn)題。

（2）反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的區(qū)別及綜合應(yīng)用（表5-1）

表5-1

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第二十一章二次根式

1.二次根式：式子

(a≥0)叫做二次根式。

2.最簡(jiǎn)二次根式：滿(mǎn)足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡(jiǎn)二次根式；（1）被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式。如

不是最簡(jiǎn)二次根式，因被開(kāi)方數(shù)中

含有4是可開(kāi)得盡方的因數(shù)，又如，，..........都不是最簡(jiǎn)二次根式，而

，，5，都是最簡(jiǎn)二次根式。

3.同類(lèi)二次根式：幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式以后，如果被開(kāi)方數(shù)相同，這幾個(gè)二次根式就叫做同類(lèi)二次根式。如它們與

,,

就是同類(lèi)二次根式，因?yàn)?/p>=2，=3，

的被開(kāi)方數(shù)均為2。

4.有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，則說(shuō)這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式。如理化因式。二次根式的性質(zhì)：1.

(a≥0)是一個(gè)非負(fù)數(shù),即

≥0;

)=a(a≥0)；

2

與，a+與a-，-與+，互為有

2.非負(fù)數(shù)的算術(shù)平方根再平方仍得這個(gè)數(shù)，即：(

3.某數(shù)的平方的算術(shù)平方根等于某數(shù)的絕對(duì)值，即=|a|==

（a

4.非負(fù)數(shù)的積的算術(shù)平方根等于積中各因式的算術(shù)平方根的積，即≥0,b≥0）。

5.非負(fù)數(shù)的商的算術(shù)平方根等于被除式的算術(shù)平方根除以除式的算術(shù)平方根，即=

（a≥0,b>0）。

21.2二次根式的乘除

1.二次根式的乘法

兩個(gè)二次根式相乘，把被開(kāi)方數(shù)相乘，根指數(shù)不變，即都是非負(fù)數(shù)；（2）

（≥0，≥0）可以推廣為（≥0，≥0，≥0，

（3）等式

≥0）。

（≥0，

（≥0，≥0）；（≥0，≥0）。

說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，、

（≥0，≥0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即

≥0）。也稱(chēng)“積的算術(shù)平方根”。它與二次根式的乘法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

2.二次根式的除法

兩個(gè)二次根式相除，把被開(kāi)方數(shù)相除，根指數(shù)不變，即0，在分母中，因此＞0；

（≥0，＞0）。

說(shuō)明：（1）法則中、可以是單項(xiàng)式，也可以是多項(xiàng)式，要注意它們的取值范圍，≥

（2）（≥0，＞0）可以推廣為（≥0，＞0，≠0）；

（3）等式（≥0，＞0）也可以倒過(guò)來(lái)使用，即（≥0，＞0）。也稱(chēng)“商的算術(shù)平方根”。它與二根式的除法結(jié)合，可以對(duì)一些二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn)。

3.最簡(jiǎn)二次根式

（1）被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)方開(kāi)得盡的因數(shù)或因式；（2）被開(kāi)方數(shù)中不含分母。

21.3二次根式的加減

1.同類(lèi)二次根式

注：判斷幾個(gè)二次根式是否為同類(lèi)二次根式，關(guān)鍵是先把二次根式準(zhǔn)確地化成最簡(jiǎn)二次根式，再觀察它們的被開(kāi)方數(shù)是否相同。

（2）合并同類(lèi)二次根式：合并同類(lèi)二次根式的方法與合并同類(lèi)項(xiàng)的方法類(lèi)似，系數(shù)相加減，二次根號(hào)及被開(kāi)方數(shù)不變。

2.二次根式的加減

（1）二次根式的加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再將同類(lèi)二次根式分別合并。（2）二次根式的加減法與多項(xiàng)式的加減法類(lèi)似，首先是化簡(jiǎn)，在化簡(jiǎn)的基礎(chǔ)上去括號(hào)再合并同類(lèi)二次根式，同類(lèi)二次根式相當(dāng)于同類(lèi)項(xiàng)。

一般地，二次根式的加減法可分以下三個(gè)步驟進(jìn)行：i）將每一個(gè)二次根式都化簡(jiǎn)成最簡(jiǎn)二次根式

ii）判斷哪些二次根式是同類(lèi)二次根式，把同類(lèi)二次根式結(jié)合成一組iii）合并同類(lèi)二次根式

3.二次根式的混合運(yùn)算

二次根式的混合運(yùn)算可以說(shuō)是二次根式乘法、除法、加、減法則的綜合應(yīng)用，在進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：

（1）觀察式子的結(jié)構(gòu)，選擇合理的運(yùn)算順序，二次根式的混合運(yùn)算與實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序一樣，

先乘方，后乘除，最后加減，有括號(hào)先算括號(hào)內(nèi)的。

（2）在運(yùn)算過(guò)程中，每個(gè)根式可以看作是一個(gè)“單項(xiàng)式”，多個(gè)不同類(lèi)的二次根式的和可以看作是“多項(xiàng)式”。

（3）觀察式中二次根式的特點(diǎn)，合理使用運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在實(shí)數(shù)和整式中的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)，在二次根式的運(yùn)算中都可以應(yīng)用。

4.分母有理化

（1）我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)中研究了分母形如綜合起來(lái)，常見(jiàn)的有理化因式有：①

形式的分式的分母有理化

，②

的有理化因式為

，③

的有理化因式為

的有理化因式為

因式為

，④的有理化因式為，⑤的有理化

（2）分母有理化就是通過(guò)分子和分母同乘以分母的有理化因式，將分母中的根號(hào)去掉的過(guò)程，混合運(yùn)算中進(jìn)行二次根式的除法運(yùn)算，一般都是通過(guò)分母有理化而進(jìn)行的。

第二十二章一元二次方程

22.1一元二次方程

在一個(gè)等式中，只含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次的整式方程叫做一元二次方程。

22.2降次解一元二次方程

解一元二次方程的基本思想方法是通過(guò)“降次”將它化為兩個(gè)一元一次方程。一元二次方程有四種解法：1、直接開(kāi)平方法：

用直接開(kāi)平方法解形如(x-m)2=n(n≥0)的方程，其解為x=±m(xù).2、配方法

1.轉(zhuǎn)化：2.系數(shù)化3.移項(xiàng)：4.配方：5.變形：6.開(kāi)方：3、公式法

公式法：把一元二次方程化成一般形式，然后計(jì)算判別式△=b2-4ac的值，當(dāng)b2-4ac≥0時(shí)，把各項(xiàng)系數(shù)a,b,c的值代入求根公式x=(b2-4ac≥0)就可得到方程的根。

因式分解法：把方程變形為一邊是零，把另一邊的二次三項(xiàng)式分解成兩個(gè)一次因式的積的形式，讓兩個(gè)一次因式分別等于零，得到兩個(gè)一元一次方程，解這兩個(gè)一元一次方程所得到的根，就是原方程的兩個(gè)根。這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

22.3實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程

列一元二次方程解應(yīng)用題是列一元一次方程解應(yīng)用題的繼續(xù)和發(fā)展

從列方程解應(yīng)用題的方法來(lái)講，列出一元二次方程解應(yīng)用題與列出一元一次方程解應(yīng)用題是非常相似的，由于一元一次方程未知數(shù)是一次，因此這類(lèi)問(wèn)題大部分都可通過(guò)算術(shù)方法來(lái)解決．如果未知數(shù)出現(xiàn)二次，用算術(shù)方法就很困難了，正由于未知數(shù)是二次的，所以可以用一元二次方程解決有關(guān)面積問(wèn)題，經(jīng)過(guò)兩次增長(zhǎng)的平均增長(zhǎng)率問(wèn)題，數(shù)學(xué)問(wèn)題中涉及積的一些問(wèn)題，經(jīng)營(yíng)決策問(wèn)題等等．

第二十三章旋轉(zhuǎn)

23.1圖形的旋轉(zhuǎn)

1.圖形的旋轉(zhuǎn)

（1）定義：在平面內(nèi)，將一個(gè)圓形繞一個(gè)定點(diǎn)沿某個(gè)方向（順時(shí)針或逆時(shí)針）轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)叫做旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)角。

（2）生活中的旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象大致有兩大類(lèi)：一類(lèi)是物體的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)，如時(shí)鐘的時(shí)針、分針、秒針的轉(zhuǎn)動(dòng)，風(fēng)車(chē)的轉(zhuǎn)動(dòng)等；另一類(lèi)則是由某一基本圖形通過(guò)旋轉(zhuǎn)而形成的圖案，如香港特別行政區(qū)區(qū)旗上的紫荊花圖案。

（3）圖形的旋轉(zhuǎn)不改變圖形的大小和形狀，旋轉(zhuǎn)是由旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角所決定，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上也可以在圖形外。

（4）會(huì)找對(duì)應(yīng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段和對(duì)應(yīng)角。2.旋轉(zhuǎn)的基本特征：

（1）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形中的每一個(gè)點(diǎn)都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)線(xiàn)段相等，對(duì)應(yīng)角相等；（3）圖形在旋轉(zhuǎn)時(shí)，圖形的大小和形狀都沒(méi)有發(fā)生改變。3.幾點(diǎn)說(shuō)明：

旋轉(zhuǎn)中心的確定分兩種情況，即在圖形上或在圖形外，若在圖形上，哪一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中位置沒(méi)有改變，哪一點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心；若在圖形外，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)的交點(diǎn)就是旋轉(zhuǎn)中心。

23.2中心對(duì)稱(chēng)

中心對(duì)稱(chēng)：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，假如它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么這個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱(chēng)或中心對(duì)稱(chēng)。

中心對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)：①關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的劉遇圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線(xiàn)段都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，而且被對(duì)稱(chēng)中心所平分。②關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的劉遇圖形是全等形。

中心對(duì)稱(chēng)圖形：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形。

對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律：①關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)：橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，②關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)：橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，縱坐標(biāo)不變，③關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)都互為相反數(shù)。

第二十四章圓第三章圓

1、定義：圓是平面上到定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合。其中定點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做圓的半徑，圓心定圓的位置，半徑定圓的大小，圓心和半徑確定的圓叫做定圓。對(duì)圓的定義的理解：①圓是一條封閉曲線(xiàn)，不是圓面；

②圓由兩個(gè)條件唯一確定：一是圓心（即定點(diǎn)），二是半徑（即定長(zhǎng)）。

2、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系及其數(shù)量特征：如果圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，則：

①點(diǎn)在圓上d=r；②點(diǎn)在圓內(nèi)dr。（P56-5，6、P58-16）證明若干個(gè)點(diǎn)共圓，就是證明這幾個(gè)點(diǎn)與一個(gè)定點(diǎn)的距離相等。

3、圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，其對(duì)稱(chēng)軸是任意一條過(guò)圓心的直線(xiàn)。圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心為圓心。直徑所在的直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱(chēng)軸。（P58-4、P59-9、P61-3、P63-16、P65-15）4、與圓相關(guān)的概念：

①弦和直徑。弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦。直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。

②圓弧、半圓、優(yōu)弧、劣弧。圓�。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧，用符號(hào)“⌒”表示，半圓：直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧叫做半圓。優(yōu)弧：大于半圓的弧叫做優(yōu)弧。劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧。(為了區(qū)別優(yōu)弧和劣弧，優(yōu)弧用三個(gè)字母表示。)③弓形：弦及所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形。

④同心圓：圓心相同，半徑不等的兩個(gè)圓叫做同心圓。

⑤等圓：能夠完全重合的兩個(gè)圓叫做等圓，半徑相等的兩個(gè)圓是等圓。

⑥等�。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。⑦圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。⑦弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。

5、垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。推論：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。

說(shuō)明：根據(jù)垂徑定理與推論可知對(duì)于一個(gè)圓和一條直線(xiàn)來(lái)說(shuō)，如果具備：①過(guò)圓心；②垂直

于弦；③平分弦；④平分弦所對(duì)的優(yōu)��；⑤平分弦所對(duì)的劣弧。

6、定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等、所對(duì)的弦相等、所對(duì)的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，

那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等。

7、1°的弧的概念：把頂點(diǎn)在圓心的周角等分成360份時(shí)，每一份的角都是1°的圓心角，相應(yīng)的

整個(gè)圓也被等分成360份，每一份同樣的弧叫1°弧。圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等。8、圓周角的定義：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫做圓周角。圓周角定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半。

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；反之，在同圓或等圓中，相等圓周角所對(duì)的弧也相等；

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑；（P66-5，7、P68-16）9、確定圓的條件：

①理解確定一個(gè)圓必須的具備兩個(gè)條件：圓心和半徑，圓心決定圓的位置，半徑?jīng)Q定圓的大小。經(jīng)過(guò)一點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)也可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓，其圓心在這個(gè)兩點(diǎn)線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)上。

②經(jīng)過(guò)三點(diǎn)作圓要分兩種情況：(1)經(jīng)過(guò)同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)不能作圓。(2)經(jīng)過(guò)不在同一直線(xiàn)

上的三點(diǎn)，能且僅能作一個(gè)圓。定理：不在同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。10、(1)三角形的外接圓和圓的內(nèi)接三角形：經(jīng)過(guò)一個(gè)三角形三個(gè)頂點(diǎn)的圓叫做這個(gè)三角形的外接圓，這個(gè)三角形叫做圓的內(nèi)接三角形。（P69-4,5、P70-15）

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心叫做這個(gè)三角形的外心。(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形外心到三頂點(diǎn)的距離相等。11、直線(xiàn)和圓的位置關(guān)系：（P72-3,5）

(1)相交：直線(xiàn)與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相交，這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的割線(xiàn)。

(2)相切：直線(xiàn)和圓有惟一公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相切，這時(shí)直線(xiàn)叫做圓的切線(xiàn)，惟一的公共點(diǎn)做切點(diǎn)。

(3)相離：直線(xiàn)和圓沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線(xiàn)和圓相離。

(4)直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的數(shù)量特征：設(shè)⊙O的半徑為r，圓心O到直線(xiàn)的距離為d，則

①dr直線(xiàn)L和⊙O相離。

12、切線(xiàn)的總判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這個(gè)條半徑的直線(xiàn)是圓的切線(xiàn)。

切線(xiàn)的性質(zhì)定理：圓的切線(xiàn)垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線(xiàn)的直線(xiàn)必經(jīng)過(guò)圓心。

結(jié)論：如果一條直線(xiàn)具備下列三個(gè)條件中的任意兩個(gè)，就可推出第三個(gè)。①垂直于切線(xiàn)；②過(guò)切點(diǎn)；③過(guò)圓心。（P73-13、P74-3、P75-14）

13、和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，這個(gè)三角形叫做圓的外切三角形。

三角形內(nèi)心的性質(zhì)：(1)三角形的內(nèi)心到三邊的距離相等。(2)過(guò)三角形頂點(diǎn)和內(nèi)心的射線(xiàn)平分三角形的內(nèi)角。由此性質(zhì)引出一條重要的輔助線(xiàn)：連接內(nèi)心和三角形的頂點(diǎn)，該線(xiàn)平分三角形的這個(gè)內(nèi)角。（P77-2、P78-14）

題15：如圖，PA是⊙O的切線(xiàn)，割線(xiàn)PBC與⊙O相交于點(diǎn)B、C，PA＝6、PB＝4則BC＝________．

AB的值為_(kāi)_______。AC

圖514、兩圓的位置關(guān)系：（P79-6、P81-13）

(1)外離：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外離。

(2)外切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，每個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的外部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓外切。這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

(3)相交：兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)叫做這個(gè)兩個(gè)圓相交。

(4)內(nèi)切：兩個(gè)圓有惟一的公共點(diǎn)，并且除了這個(gè)公共點(diǎn)以外，一個(gè)圓上的都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)切。這個(gè)惟一的公共點(diǎn)叫做切點(diǎn)。

(5)內(nèi)含：兩個(gè)圓沒(méi)有公共點(diǎn)，并且一個(gè)圓上的點(diǎn)都在另一個(gè)圓的內(nèi)部時(shí)，叫做這兩個(gè)圓內(nèi)含。兩圓同心是兩圓內(nèi)的一個(gè)特例。

(6)兩圓位置關(guān)系的性質(zhì)與判定：(1)兩圓外離d>R+r；(2)兩圓外切d=R+r；(3)兩圓相交R-r

24.3正多邊形和圓

1、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。

2、正多邊形與圓的關(guān)系：

(1)將一個(gè)圓n(n≥3)等分(可以借助量角器)，依次連結(jié)各等分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形。

(2)這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓。

3、正多邊形的有關(guān)概念：

(1)正多邊形的中心正多邊形的外接圓的圓心。(2)正多邊形的半徑正多邊形的外接圓的半徑。

(3)正多邊形的邊心距正多邊形中心到正多邊形各邊的距離。(4)正多邊形的中心角正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角。

4、正多邊形性質(zhì)：

(1)任何正多邊形都有一個(gè)外接圓。

(2)正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，當(dāng)邊數(shù)是偶數(shù)時(shí)，它又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，正n邊形的對(duì)稱(chēng)軸有n條。

(3)邊數(shù)相同的正多邊形相似。

重點(diǎn)：正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

知識(shí)講解

1、正多邊形定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

例如：正三角形、正四邊形(正方形)、正六邊形等等。如果一個(gè)正多邊形有n條邊，那么，這個(gè)多邊形叫正n邊形。

再如：矩形不是正多邊形，因?yàn)樗�只具有各角相等，而各邊不一定相等；菱形不是正多邊形，因�(yàn)�，它只具有各邊相等，而各角不一定相等�?/p>

2、正多邊形與圓的關(guān)系。正多邊形與圓有密切關(guān)系，把圓分成n(n≥3)等份，依次連結(jié)分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正n邊形。

相鄰分點(diǎn)間的弧相等，則所對(duì)的弦(正多邊形的邊)相等，相鄰兩弦所夾的角(多邊形的每個(gè)內(nèi)角)都相等，從而得出，所連的多邊形滿(mǎn)足了所有邊都相等，所有內(nèi)角都相等，從而這個(gè)多邊形就是正多邊形。如：將圓6等分，即

，則AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA。

觀察∠A、∠B、∠C、∠D、∠E、∠F所對(duì)的弧可以發(fā)現(xiàn)都是相等的弧，所以，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F。

所以，將一個(gè)圓6等分，依次連結(jié)各分點(diǎn)所得到的是⊙O的內(nèi)接正六邊形。

3、正多邊形的有關(guān)計(jì)算。

(1)首先要明確與正多邊形計(jì)算的有關(guān)概念：即正多邊形的中心O，正多邊形的半徑Rn就是其外接圓的半徑，正多邊形的邊心距rn，正多邊形的中心角αn，正多邊形的邊長(zhǎng)an。(2)正n邊形的n條半徑把正n邊形分成n個(gè)全等的等腰三角形，等腰三角形的頂角就是正n邊形的中心角都等于

；如果再作出正n邊形各邊的邊心距，這些邊心距又把這n個(gè)等腰

三角形分成了2n個(gè)全等的直角三角形。

如圖：是一個(gè)正n邊形ABCD根據(jù)以上講解，我們來(lái)分析RtΔAOM的基本元素：斜邊OA正n邊形的半徑Rn；

一條直角邊OM正n邊形的邊心距rn；

一條直角邊AM正n邊形的邊長(zhǎng)an的一半即AM＝an；銳角∠AOM正n邊形的中心角αn的一半即∠AOM＝銳角∠OAM正n邊形內(nèi)角的一半即∠OAM＝

；

[(n－2)180°]；

可以看到在這個(gè)直角三角形中的各元素恰好反映了正n邊形的各元素。因此，就可以把正n邊形的有關(guān)計(jì)算歸納為解直角三角形的問(wèn)題。4、正多邊形的有關(guān)作圖。(1)使用量角器來(lái)等分圓。(2)用尺規(guī)來(lái)等分圓。

對(duì)于一些特殊的正n邊形，還可以用圓規(guī)和直尺作出圖形。①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對(duì)的弧(即作∠AOB的平分線(xiàn)交逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)

通過(guò)簡(jiǎn)單計(jì)算可知，正六邊形的邊長(zhǎng)與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫(huà)一條直徑AB，

分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫(huà)弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點(diǎn)。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點(diǎn)。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對(duì)的弧，就可把⊙O12等分。

5、正多邊形的對(duì)稱(chēng)性。

正多邊形都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，一個(gè)正n邊形共有n條對(duì)稱(chēng)軸，每條對(duì)稱(chēng)軸都通過(guò)正n邊形的中心，如果正多邊形有偶數(shù)條邊，那么，它又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，它的中心就是對(duì)稱(chēng)中心。如：正三角形、正方形。

24.4弧長(zhǎng)和扇形面積

知識(shí)點(diǎn)1、弧長(zhǎng)公式

因?yàn)?60°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)就是圓周長(zhǎng)C＝2R，所以1°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是

，于是可得半徑為R的圓中，n°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l的計(jì)算公式：，

說(shuō)明：（1）在弧長(zhǎng)公式中，n表示1°的圓心角的倍數(shù)，n和180都不帶單位“度”，例如，圓的半徑R＝10，計(jì)算20°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)l時(shí)，不要錯(cuò)寫(xiě)成。（2）在弧長(zhǎng)公式中，已知l，n，R中的任意兩個(gè)量，都可以求出第三個(gè)量。

知識(shí)點(diǎn)2、扇形的面積

如圖所示，陰影部分的面積就是半徑為R，圓心角為n°的扇形面積，顯然扇形的面積是它所在圓的面積的一部分，因?yàn)閳A心角是360°的扇形面積等于圓面積扇形面積是

，由此得圓心角為n°的扇形面積的計(jì)算公式是

，扇形面積。

，所以圓心角為1°的

。

，所以又得到扇形面積的

又因?yàn)樯刃蔚幕￠L(zhǎng)另一個(gè)計(jì)算公式：

知識(shí)點(diǎn)3、弓形的面積

（1）弓形的定義：由弦及其所對(duì)的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。（2）弓形的周長(zhǎng)＝弦長(zhǎng)＋弧長(zhǎng)（3）弓形的面積

如圖所示，每個(gè)圓中的陰影部分的面積都是一個(gè)弓形的面積，從圖中可以看出，只要把扇形OAmB的面積和△AOB的面積計(jì)算出來(lái)，就可以得到弓形AmB的面積。

當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時(shí)，如圖1所示，當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時(shí)，如圖2所示，

當(dāng)弓形所含的弧是半圓時(shí)，如圖3所示，

例：如圖所示，⊙O的半徑為2，∠ABC＝45°，則圖中陰影部分的面積是（）（結(jié)果用表示）

分析：由圖可知由圓周角定理可知∠ABC＝2∠ABC＝90°，所以△OAC是直角三角形，所以

，

所以

注意：（1）圓周長(zhǎng)、弧長(zhǎng)、圓面積、扇形面積的計(jì)算公式。圓周長(zhǎng)弧長(zhǎng)圓面積扇形面積

∠AOC，所以∠AOC＝

公式（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別（2）扇形與弓形的聯(lián)系與區(qū)別圖示面積知識(shí)點(diǎn)4、圓錐的側(cè)面積

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形，如圖所示，設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2

，圓錐的側(cè)面積

，圓錐的全面積

說(shuō)明：（1）圓錐的側(cè)面積與底面積之和稱(chēng)為圓錐的全面積。

（2）研究有關(guān)圓錐的側(cè)面積和全面積的計(jì)算問(wèn)題，關(guān)鍵是理解圓錐的側(cè)面積公式，并明確圓錐全面積與側(cè)面積之間的關(guān)系。知識(shí)點(diǎn)5、圓柱的側(cè)面積

圓柱的側(cè)面積展開(kāi)圖是矩形，如圖所示，其兩鄰邊分別為圓柱的高和圓柱底面圓的周長(zhǎng)，若圓柱的底面半徑為r，高為h，則圓柱的側(cè)面積

，圓柱的全面積

知識(shí)小結(jié)：

圓錐與圓柱的比較名稱(chēng)圓錐

圓柱

圖形圖形的形成過(guò)程圖形的組成側(cè)面展開(kāi)圖的特征面積計(jì)算方法

由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到的，如Rt△SOA繞直線(xiàn)SO旋轉(zhuǎn)一周。一個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面扇形由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到的，如矩形ABCD繞直線(xiàn)AB旋轉(zhuǎn)一周。兩個(gè)底面和一個(gè)側(cè)面矩形第二十五章概率初步

25.1隨機(jī)事件與概率

1．隨機(jī)試驗(yàn)與樣本空間

具有下列三個(gè)特性的試驗(yàn)稱(chēng)為隨機(jī)試驗(yàn)：

(1)試驗(yàn)可以在相同的條件下重復(fù)地進(jìn)行；

(2)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止一個(gè)，但事先知道每次試驗(yàn)所有可能的結(jié)果；(3)每次試驗(yàn)前不能確定哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)．

第二十六章二次函數(shù)

1、定義：一般地，如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù)，a0)，那么y叫做x的二次函數(shù)。自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)。2、二次函數(shù)yax2的性質(zhì)：

（1）拋物線(xiàn)yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸；（2）函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系：

①當(dāng)a0時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；

②當(dāng)a0時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)。

2（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是y軸的拋物線(xiàn)的解析式形式為yax（a0）。（P21-12）

3、二次函數(shù)yaxbxc的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）y軸的拋物線(xiàn)。4、二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成：yaxhk的形式，

222b4acb2，k其中h。2a4a5、二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：

①yax；②yaxk；③yaxh；④yaxhk；⑤yaxbxc。

6、拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)。

222

①a的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)a0時(shí)，開(kāi)口向下；a相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同。

②平行于y軸（或重合）的直線(xiàn)記作xh.特別地，y軸記作直線(xiàn)x0。（P23-9,10）

7、頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置。幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同。8、求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法

b4acb2b4acb2（，）（1）公式法：yaxbxcax，∴頂點(diǎn)是，2a4a2a4ab對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)x。（P26-9）

2a2（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為yaxhk的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xh。

22（3）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn)。

注意：用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ(chēng)性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失。題11：拋物線(xiàn)y＝x2＋6x＋4的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(3，-5)B．(-3，-5)C．(3，5)D．(-3，5)9、拋物線(xiàn)yax2bxc中，a,b,c的作用（P29-例2,1,10）（1）a決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與yax2中的a完全一樣。

（2）b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置。由于拋物線(xiàn)yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)。

，故：①b0時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸；②0（即a、b同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y2aa

b軸左側(cè)；③0（即a、b異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)。

a（3）c的大小決定拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置。

x當(dāng)x0時(shí)，yc，∴拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）：①c0，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)；②c0,與y軸交于正半軸；③c0,與y軸交于負(fù)半軸。以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)，則10、幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：

函數(shù)解析式開(kāi)口方向b0。ayax2yax2k對(duì)稱(chēng)軸x0（y軸）頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)yaxh2yaxhk2當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向上當(dāng)a0時(shí)開(kāi)口向下x0（y軸）xhxhyaxbxc2bx2ab4acb2，()2a4a

11、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（P32-12、P34-7,8、P37-2,4、P42-1,2、P51-例、P54-16）（1）一般式：yaxbxc。已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式。（2）頂點(diǎn)式：yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式。

22（3）交點(diǎn)式：已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式：yaxx1xx2。

題12：已知關(guān)于x的一元二次方程x-2(m-1)x＋(m-1)＝0，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1、x2，且x1＋x2＝4．求m的值。

2222

x25x632題13：先化簡(jiǎn)，再求值：11，其中x＝32x33x3xx1

題14：在平面直角坐標(biāo)系中，B(3＋1，0)，點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，且∠AOB＝60°，∠ABO＝45°。(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)求過(guò)A、O、B三點(diǎn)的拋物線(xiàn)解析式；

(3)動(dòng)點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿OA運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A止，①若△POB的面積為S，寫(xiě)出S與時(shí)間t(秒)的函數(shù)關(guān)系；②是否存在t，使△POB的外心在x軸上，若不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)求出t的值。

圖4

（6）拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)之間的距離：

若拋物線(xiàn)yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1，0，Bx2，0，由于x1、x2是方程

ax2bxc0的兩個(gè)根，故：

bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2

aaaa2

7.特殊值的形式

①當(dāng)x=１時(shí)y=a+b+c②當(dāng)x=-1時(shí)y=a-b+c③當(dāng)x=2時(shí)y=4a+2b+c④當(dāng)x=-2時(shí)y=4a-2b+c

26．1用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程

1.如果拋物線(xiàn)yax2bxc與x軸有公共點(diǎn)，公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)是x0，那么當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一個(gè)根。

2.二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒(méi)有公共點(diǎn)，有一個(gè)公共點(diǎn)，有兩個(gè)公共點(diǎn)。這對(duì)應(yīng)著一元二次方程根的三種情況：沒(méi)有實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)

根。

26．2實(shí)際問(wèn)題與二次函數(shù)

在日常生活、生產(chǎn)和科研中，求使材料最省、時(shí)間最少、效率最高等問(wèn)題，有些可歸結(jié)為求二次函數(shù)的最大值或最小值。

第二十七章相似

27．1圖形的相似

概述

如果兩個(gè)圖形形狀相同,但大小不一定相等,那么這兩個(gè)圖形相似。判定

如果兩個(gè)多邊形滿(mǎn)足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)多邊形相似。相似比

相似多邊形的對(duì)應(yīng)邊的比叫相似比。相似比為1時(shí)，相似的兩個(gè)圖形全等。性質(zhì)

相似多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等。相似多邊形的周長(zhǎng)比等于相似比。

相似多邊形的面積比等于相似比的平方。

27．2相似三角形

判定

1.兩個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等2.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等3.三邊對(duì)應(yīng)成比例

4.平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊或兩邊延長(zhǎng)線(xiàn)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。例題

∵∠A=∠A";∠B=∠B"

∴△ABC∽△A"B"C"

性質(zhì)

1.相似三角形的一切對(duì)應(yīng)線(xiàn)段(對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)中線(xiàn)、對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)、外接圓半徑、內(nèi)切圓半徑等）的比等于相似比。

2.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比。

3.相似三角形面積的比等于相似比的平方

27．3位似

如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)交于一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，那么這兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱(chēng)為位似比。

性質(zhì)

位似圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和位似中心在同一直線(xiàn)上，它們到位似中心的距離之比等于相似比。

位似多邊形的對(duì)應(yīng)邊平行或共線(xiàn)。位似可以將一個(gè)圖形放大或縮小。

位似圖形的中心可以在任意的一點(diǎn)，不過(guò)位似圖形也會(huì)隨著位似中心的位變而位變。根據(jù)一個(gè)位似中心可以作兩個(gè)關(guān)于已知圖形一定位似比的位似圖形,這兩個(gè)圖形分布在位似中心的兩側(cè),并且關(guān)于位似中心對(duì)稱(chēng)。注意

1、位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以?xún)蓚�(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；

2、兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)；

3、兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)；4、位似比就是相似比．利用位似圖形的定義可判斷兩個(gè)圖形是否位似；

5、平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形位似。

第二十八章銳角三角函數(shù)

28．1銳角三角函數(shù)

銳角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,余切（cot）以及正割（sec），（余割csc）都叫做角A的銳角三角函數(shù)。正弦（sin）等于對(duì)邊比斜邊，余弦（cos）等于鄰邊比斜邊正切（tan）等于對(duì)邊比鄰邊；余切（cot）等于鄰邊比對(duì)邊

正切與余切互為倒數(shù)互余角的三角函數(shù)間的關(guān)系。

sin(90°-α)=cosα,cos(90°-α)=sinα,tan(90°-α)=cotα,cot(90°-α)=tanα.同角三角函數(shù)間的關(guān)系

平方關(guān)系：tanα=sinα/cosα，，sin2α+cos2α=1積的關(guān)系：倒數(shù)關(guān)系：tanαcotα=1sinαcscα=1cosαsecα=1直角三角形ABC中,

角A的正弦值就等于角A的對(duì)邊比斜邊,余弦等于角A的鄰邊比斜邊正切等于對(duì)邊比鄰邊,余切等于鄰邊比對(duì)邊三角函數(shù)值

（1）特殊角三角函數(shù)值

（2）0°～90°的任意角的三角函數(shù)值，查三角函數(shù)表。

（3）④tanA的值越大，梯子越陡，∠A越大；∠A越大，梯子越陡，tanA的值越大。（i）銳角三角函數(shù)值都是正值

（ii）當(dāng)角度在0°～90°間變化時(shí)，

正弦值隨著角度的增大（或減�。┒�增大（或減小）余弦值隨著角度的增大（或減�。┒鴾p�。ɑ蛟龃螅┱�切值隨著角度的增大（或減小）而增大（或減�。┯嗲兄惦S著角度的增大（或減�。┒鴾p小（或增大）（iii）當(dāng)角度在0°≤α≤90°間變化時(shí)，0≤sinα≤1,1≥cosα≥0,

當(dāng)角度在0°0.特殊的三角函數(shù)值

28．2解直角三角形

勾股定理，只適用于直角三角形（外國(guó)叫“畢達(dá)哥拉斯定理”）

a^2+b^2=c^2,其中a和b分別為直角三角形兩直角邊，c為斜邊。

勾股弦數(shù)是指一組能使勾股定理關(guān)系成立的三個(gè)正整數(shù)。比如：3，4，5。他們分別是3，4和5的倍數(shù)。

常見(jiàn)的勾股弦數(shù)有：3，4，5；6，8，10；等等.

直角三角形的特征

⑴直角三角形兩個(gè)銳角互余；

⑵直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜邊的一半；

⑶直角三角形中30°所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半；

⑷勾股定理：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，即：

222

在Rt△ABC中，若∠C＝90°，則a+b=c；

⑸勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，

222

則這個(gè)三角形是直角三角形，即：在△ABC中，若a+b=c，則∠C＝90°；

222

A⑹射影定理：AC=ADAB,BC=BDAB,CD=DADB．

銳角三角函數(shù)的定義：

c如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，

b∠A，∠B，∠C所對(duì)的邊分別為a,b,c,

ADCBaba則sinA=,cosA=,tanA=,

ccb

解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）

222

⑴三邊之間的關(guān)系：a+b=c．

⑵兩銳角之間的關(guān)系：∠A＋∠B＝90°．．⑶邊角之間的關(guān)系：sinA=

CaB

A的鄰邊bA的對(duì)邊a＝．＝,cosA=

斜邊c斜邊ctanA=

A的對(duì)邊aA的鄰邊b＝,cotA=＝．

A的鄰邊bA的對(duì)邊a⑷解直角三角形中常見(jiàn)類(lèi)型：

①已知一邊一銳角．②已知兩邊．

③解直角三角形的應(yīng)用．

1題6：計(jì)算：21213+

0cot45cos60tan60

cos30題7：小紅的運(yùn)動(dòng)服被一個(gè)鐵釘劃破一個(gè)呈直角三角形的洞，其中兩邊分別為1cm和2cm，若用同色形布將此洞全部遮蓋，那么這個(gè)圓的直徑最小應(yīng)等于()。

A．2cm

B．3cmC．2cm或3cm

D．2cm或5cm

題8：長(zhǎng)為12cm的鐵絲，圍成邊長(zhǎng)為連續(xù)整數(shù)的直角三角形，則斜邊上的中線(xiàn)為_(kāi)_______cm題9：如圖2，河對(duì)岸有鐵塔AB．在C處測(cè)得塔頂A的仰角為30°，向塔前進(jìn)14米到達(dá)D，在D處測(cè)得A的仰角為45°，求鐵塔AB的高。

圖2

題10：已知：四邊形ABCD中，∠B＝∠ADC＝90°，AB＝2、CD＝1、∠A＝60°，求：BC。

第二十九章投影與視圖

29．1投影

一般地，用光線(xiàn)照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影（projection），照射光線(xiàn)叫做投影線(xiàn)，投影所在的平面叫做投影面。

有時(shí)光線(xiàn)是一組互相平行的射線(xiàn)，例如太陽(yáng)光或探照燈光的一束光中的光線(xiàn)。由平行光線(xiàn)形成的投影是平行投影（parallelprojection).

由同一點(diǎn)（點(diǎn)光源發(fā)出的光線(xiàn)）形成的投影叫做中心投影（centerprojection)。投影線(xiàn)垂直于投影面產(chǎn)生的投影叫做正投影。投影線(xiàn)平行于投影面產(chǎn)生的投影叫做平行投影。

物體正投影的形狀、大小與它相對(duì)于投影面的位置有關(guān)。

29．2三視圖

三視圖是觀測(cè)者從三個(gè)不同位置觀察同一個(gè)空間幾何體而畫(huà)出的圖形。

將人的視線(xiàn)規(guī)定為平行投影線(xiàn)，然后正對(duì)著物體看過(guò)去，將所見(jiàn)物體的輪廓用正投影法繪制出來(lái)該圖形稱(chēng)為視圖。一個(gè)物體有六個(gè)視圖：從物體的前面向后面投射所得的視圖稱(chēng)主視圖能反映物體的前面形狀，從物體的上面向下面投射所得的視圖稱(chēng)俯視圖能反映物體的上面形狀，從物體的左面向右面投射所得的視圖稱(chēng)左視圖能反映物體的左面形狀，

還有其它三個(gè)視圖不是很常用。三視圖就是主視圖、俯視圖、左視圖的總稱(chēng)。

特點(diǎn)：一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν�一個(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。主視、俯視長(zhǎng)對(duì)正

物體的投影

主視、左視高平齊左視、俯視寬相等

在許多情況下，只用一個(gè)投影不加任何注解，是不能完整清晰地表達(dá)和確定形體的形狀和結(jié)構(gòu)的。如圖所示，三個(gè)形體在同一個(gè)方向的投影完全相同，但三個(gè)形體的空間結(jié)構(gòu)卻不相同�？梢�(jiàn)只用一個(gè)方向的投影來(lái)表達(dá)形體形狀是不行的。一般必須將形體向幾個(gè)方向投影，才能完整清晰地表達(dá)出形體的形狀和結(jié)構(gòu)。

一個(gè)視圖只能反映物體的一個(gè)方位的形狀，不能完整反映物體的結(jié)構(gòu)形狀。三視圖是從三個(gè)不同方向?qū)ν�一個(gè)物體進(jìn)行投射的結(jié)果，另外還有如剖面圖、半剖面圖等做為輔助，基本能完整的表達(dá)物體的結(jié)構(gòu)。畫(huà)法：根據(jù)各形體的投影規(guī)律，逐個(gè)畫(huà)出形體的三視圖。畫(huà)形體的順序：一般先實(shí)（實(shí)形體）后空（挖去的形體）；先大（大形體）后�。ㄐ⌒误w）；先畫(huà)輪廓，后畫(huà)細(xì)節(jié)。畫(huà)每個(gè)形體時(shí)，要三個(gè)視圖聯(lián)系起來(lái)畫(huà)，并從反映形體特征的視圖畫(huà)起，再按投影規(guī)律畫(huà)出其他兩個(gè)視圖。對(duì)稱(chēng)圖形、半圓和大于半圓的圓弧要畫(huà)出對(duì)稱(chēng)中心線(xiàn)，回轉(zhuǎn)體一定要畫(huà)出軸線(xiàn)。對(duì)稱(chēng)中心線(xiàn)和軸線(xiàn)用細(xì)點(diǎn)劃線(xiàn)畫(huà)出。

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