初二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
初二數(shù)學(xué)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
1過兩點(diǎn)有且只有一條直線2兩點(diǎn)之間線段最短3同角或等角的補(bǔ)角相等4同角或等角的余角相等
5過一點(diǎn)有且只有一條直線和已知直線垂直
6直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中,垂線段最短7平行公理經(jīng)過直線外一點(diǎn),有且只有一條直線與這條直線平行8如果兩條直線都和第三條直線平行,這兩條直線也互相平行9同位角相等,兩直線平行10內(nèi)錯(cuò)角相等,兩直線平行11同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行12兩直線平行,同位角相等13兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等14兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)15定理三角形兩邊的和大于第三邊16推論三角形兩邊的差小于第三邊
17三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°18推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余
19推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和20推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角21全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等
22邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等23角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等24推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等25邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
26斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等27定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等28定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上29角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
30等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)31推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊32等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合33推論3等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°
34等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)
35推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形36推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形
37在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半38直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半
39定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等40逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上41線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合42定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形
43定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線44定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱,如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上
45逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱
46勾股定理直角三角形兩直角邊a、b的平方和、等于斜邊c的平方,即a^2+b^2=c^247勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長(zhǎng)a、b、c有關(guān)系a^2+b^2=c^2,那么這個(gè)三角形是直角三角形
48定理四邊形的內(nèi)角和等于360°49四邊形的外角和等于360°
50多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°51推論任意多邊的外角和等于360°
52平行四邊形性質(zhì)定理1平行四邊形的對(duì)角相等53平行四邊形性質(zhì)定理2平行四邊形的對(duì)邊相等54推論夾在兩條平行線間的平行線段相等
55平行四邊形性質(zhì)定理3平行四邊形的對(duì)角線互相平分
56平行四邊形判定定理1兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形57平行四邊形判定定理2兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形58平行四邊形判定定理3對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形59平行四邊形判定定理4一組對(duì)邊平行相等的四邊形是平行四邊形60矩形性質(zhì)定理1矩形的四個(gè)角都是直角學(xué)好初二數(shù)學(xué)的方法
一、該記的記,該背的背,不要以為理解了就行
數(shù)學(xué)的定義、法則、公式、定理等一定要記熟,有些最好能背誦,朗朗上口。比如大家熟悉的“整式乘法三個(gè)公式”,我看在座的有的背得出,有的就背不出。在這里,我向背不出的同學(xué)敲一敲警鐘,如果背不出這三個(gè)公式,將會(huì)對(duì)今后的學(xué)習(xí)造成很大的麻煩,因?yàn)榻窈蟮膶W(xué)習(xí)將會(huì)大量地用到這三個(gè)公式,特別是初二即將學(xué)的因式分解,其中相當(dāng)重要的三個(gè)因式分解公式就是由這三個(gè)乘法公式推出來的,二者是相反方向的變形。
對(duì)數(shù)學(xué)的定義、法則、公式、定理等,理解了的要記住,暫時(shí)不理解的也要記住,在記憶的基礎(chǔ)上、在應(yīng)用它們解決問題時(shí)再加深理解。打一個(gè)比方,數(shù)學(xué)的定義、法則、公式、定理就像木匠手中的斧頭、鋸子、墨斗、刨子等,沒有這些工具,木匠是打不出家具的;有了這些工具,再加上嫻熟的手藝和智慧,就可以打出各式各樣精美的家具。同樣,記不住數(shù)學(xué)的定義、法則、公式、定理就很難解數(shù)學(xué)題。而記住了這些再配以一定的方法、技巧和敏捷的思維,就能在解數(shù)學(xué)題,甚至是解數(shù)學(xué)難題中得心應(yīng)手。二、幾個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想1、“方程”的思想
數(shù)學(xué)是研究事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的,初中最重要的數(shù)量關(guān)系是等量關(guān)系,其次是不等量關(guān)系。最常見的等量關(guān)系就是“方程”。比如等速運(yùn)動(dòng)中,路程、速度和時(shí)間三者之間就有一種等量關(guān)系,可以建立一個(gè)相關(guān)等式:速度*時(shí)間=路程,在這樣的等式中,一般會(huì)有已知量,也有未知量,像這樣含有未知量的等式就是“方程”,而通過方程里的已知量求出未知量的過程就是解方程。我們?cè)谛W(xué)就已經(jīng)接觸過簡(jiǎn)易方程,而初一則比較系統(tǒng)地學(xué)習(xí)解一元一次方程,并總結(jié)出解一元一次方程的五個(gè)步驟。如果學(xué)會(huì)并掌握了這五個(gè)步驟,任何一個(gè)一元一次方程都能順利地解出來。初二、初三我們還將學(xué)習(xí)解一元二次方程、二元二次方程組、簡(jiǎn)單的三角方程;到了高中我們還將學(xué)習(xí)指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程、線性方程組、、參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程等。解這些方程的思維幾乎一致,都是通過一定的方法將它們轉(zhuǎn)化成一元一次方程或一元二次方程的形式,然后用大家熟悉的解一元一次方程的五個(gè)步驟或者解一元二次方程的求根公式加以解決。物理中的能量守恒,化學(xué)中的化學(xué)平衡式,現(xiàn)實(shí)中的大量實(shí)際應(yīng)用,都需要建立方程,通過解方程來求出結(jié)果。因此,同學(xué)們一定要將解一元一次方程和解一元二次方程學(xué)好,進(jìn)而學(xué)好其它形式的方程。
所謂的“方程”思想就是對(duì)于數(shù)學(xué)問題,特別是現(xiàn)實(shí)當(dāng)中碰到的未知量和已知量的錯(cuò)綜復(fù)雜的關(guān)系,善于用“方程”的觀點(diǎn)去構(gòu)建有關(guān)的方程,進(jìn)而用解方程的方法去解決它。2、“數(shù)形結(jié)合”的思想
大千世界,“數(shù)”與“形”無處不在。任何事物,剝?nèi)ニ馁|(zhì)的方面,只剩下形狀和大小這兩個(gè)屬性,就交給數(shù)學(xué)去研究了。初中數(shù)學(xué)的兩個(gè)分支棗-代數(shù)和幾何,代數(shù)是研究“數(shù)”的,幾何是研究“形”的。但是,研究代數(shù)要借助“形”,研究幾何要借助“數(shù)”,“數(shù)形結(jié)合”是一種趨勢(shì),越學(xué)下去,“數(shù)”與“形”越密不可分,到了高中,就出現(xiàn)了專門用代數(shù)方法去研究幾何問題的一門課,叫做“解析幾何”。在初三,建立平面直角坐標(biāo)系后,研究函數(shù)的問題就離不開圖象了。往往借助圖象能使問題明朗化,比較容易找到問題的關(guān)鍵所在,從而解決問題。在今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,要重視“數(shù)形結(jié)合”的思維訓(xùn)練,任何一道題,只要與“形”沾得上一點(diǎn)邊,就應(yīng)該根據(jù)題意畫出草圖來分析一番,這樣做,不但直觀,而且全面,整體性強(qiáng),容易找出切入點(diǎn),對(duì)解題大有益處。嘗到甜頭的人慢慢會(huì)養(yǎng)成一種“數(shù)形結(jié)合”的好習(xí)慣。3、“對(duì)應(yīng)”的思想
“對(duì)應(yīng)”的思想由來已久,比如我們將一支鉛筆、一本書、一棟房子對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“1”,將兩只眼睛、一對(duì)耳環(huán)、雙胞胎對(duì)應(yīng)一個(gè)抽象的數(shù)“2”;隨著學(xué)習(xí)的深入,我們還將“對(duì)應(yīng)”擴(kuò)展到對(duì)應(yīng)一種形式,對(duì)應(yīng)一種關(guān)系,等等。比如我們?cè)谟?jì)算或化簡(jiǎn)中,將對(duì)應(yīng)公式的左邊,對(duì)應(yīng)a,y對(duì)應(yīng)b,再利用公式的右邊直接得出原式的結(jié)果即。這就是運(yùn)用“對(duì)應(yīng)”的思想和方法來解題。初二、初三我們還將看到數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對(duì)應(yīng),直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)與一對(duì)有序?qū)崝?shù)之間的一一對(duì)應(yīng),函數(shù)與其圖象之間的對(duì)應(yīng)!皩(duì)應(yīng)”的思想在今后的學(xué)習(xí)中將會(huì)發(fā)揮越來越大的作用。三、自學(xué)能力的培養(yǎng)是深化學(xué)習(xí)的必由之路
在學(xué)習(xí)新概念、新運(yùn)算時(shí),老師們總是通過已有知識(shí)自然而然過渡到新知識(shí),水到渠成,亦即所謂“溫故而知新”。因此說,數(shù)學(xué)是一門能自學(xué)的學(xué)科,自學(xué)成才最典型的例子就是數(shù)學(xué)家華羅庚。
我們?cè)谡n堂上聽老師講解,不光是學(xué)習(xí)新知識(shí),更重要的是潛移默化老師的那種數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,逐漸地培養(yǎng)起自己對(duì)數(shù)學(xué)的一種悟性。我去佛山一中開家長(zhǎng)會(huì)時(shí),一中校長(zhǎng)的一番話使我感觸良多。他說:我是教物理的,學(xué)生物理學(xué)得好,不是我教出來的,而是他們自己悟出來的。當(dāng)然,校長(zhǎng)是謙虛的,但他說明了一個(gè)道理,學(xué)生不能被動(dòng)地學(xué)習(xí),而應(yīng)主動(dòng)地學(xué)習(xí)。一個(gè)班里幾十個(gè)學(xué)生,同一個(gè)老師教,差異那么大,這就是學(xué)習(xí)主動(dòng)性問題了。自學(xué)能力越強(qiáng),悟性就越高。隨著年齡的增長(zhǎng),同學(xué)們的依賴性應(yīng)不斷減弱,而自學(xué)能力則應(yīng)不斷增強(qiáng)。因此,要養(yǎng)成預(yù)習(xí)的習(xí)慣。在老師講新課前,能不能運(yùn)用自己所學(xué)過的已掌握的舊知識(shí)去預(yù)習(xí)新課,結(jié)合新課中的新規(guī)定去分析、理解新的學(xué)習(xí)內(nèi)容。由于數(shù)學(xué)知識(shí)的無矛盾性,你所學(xué)過的數(shù)學(xué)知識(shí)永遠(yuǎn)都是有用的,都是正確的,數(shù)學(xué)的進(jìn)一步學(xué)習(xí)只是加深拓廣而已。因此,以前的數(shù)學(xué)學(xué)得扎實(shí),就為以后的進(jìn)取奠定了基礎(chǔ),就不難自學(xué)新課。同時(shí),在預(yù)習(xí)新課時(shí),碰到什么自己解決不了的問題,帶著問題去聽老師講解新課,收獲之大是不言而喻的。有些同學(xué)為什么聽老師講新課時(shí)總有一種似懂非懂的感覺,或者是“一聽就懂、一做就錯(cuò)”,就是因?yàn)闆]有預(yù)習(xí),沒有帶著問題學(xué),沒有將“要我學(xué)”真正變?yōu)椤拔乙獙W(xué)”,力求把知識(shí)變?yōu)樽约旱。學(xué)來學(xué)去,知識(shí)還是別人的。檢驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)得好不好的標(biāo)準(zhǔn)就是會(huì)不會(huì)解題。聽懂并記憶有關(guān)的定義、法則、公式、定理,只是學(xué)好數(shù)學(xué)的必要條件,能獨(dú)立解題、解對(duì)題才是學(xué)好數(shù)學(xué)的標(biāo)志。四、自信才能自強(qiáng)
在考試中,總是看見有些同學(xué)的試卷出現(xiàn)許多空白,即有好幾題根本沒有動(dòng)手去做。當(dāng)然,俗話說,藝高膽大,藝不高就膽不大。但是,做不出是一回事,沒有去做則是另一回事。稍為難一點(diǎn)的數(shù)學(xué)題都不是一眼就能看出它的解法和結(jié)果的。要去分析、探索、比比畫畫、寫寫算算,經(jīng)過迂回曲折的推理或演算,才顯露出條件和結(jié)論之間的某種聯(lián)系,整個(gè)思路才會(huì)明朗清晰起來。你都沒有動(dòng)手去做,又怎么知道自己不會(huì)做呢?即使是老師,拿到一道難題,也不能立即答復(fù)你。也同樣要先分析、研究,找到正確的思路后才向你講授。不敢去做稍為復(fù)雜一點(diǎn)的題(不一定是難題,有些題只不過是敘述多一點(diǎn)),是缺乏自信心的表現(xiàn)。在數(shù)學(xué)解題中,自信心是相當(dāng)重要的。要相信自己,只要不超出自己的知識(shí)范疇,不管哪道題,總是能夠用自己所學(xué)過的知識(shí)把它解出來。要敢于去做題,要善于去做題。這就叫做“在戰(zhàn)略上藐視敵人,在戰(zhàn)術(shù)上重視敵人”。
具體解題時(shí),一定要認(rèn)真審題,緊緊抓住題目的所有條件不放,不要忽略了任何一個(gè)條件。一道題和一類題之間有一定的共性,可以想想這一類題的一般思路和一般解法,但更重要的是抓住這一道題的特殊性,抓住這一道題與這一類題不同的地方。數(shù)學(xué)的題目幾乎沒有相同的,總有一個(gè)或幾個(gè)條件不盡相同,因此思路和解題過程也不盡相同。有些同學(xué)老師講過的題會(huì)做,其它的題就不會(huì)做,只會(huì)依樣畫瓢,題目有些小的變化就干瞪眼,無從下手。當(dāng)然,做題先從哪兒下手是一件棘手的事,不一定找得準(zhǔn)。但是,做題一定要抓住其特殊性則絕對(duì)沒錯(cuò)。選擇一個(gè)或幾個(gè)條件作為解題的突破口,看由這個(gè)條件能得出什么,得出的越多越好,然后從中選擇與其它條件有關(guān)的、或與結(jié)論有關(guān)的、或與題目中的隱含條件有關(guān)的,進(jìn)行推理或演算。一般難題都有多種解法,條條大路通北京。要相信利用這道題的條件,加上自己學(xué)過的那些知識(shí),一定能推出正確的結(jié)論。
數(shù)學(xué)題目是無限的,但數(shù)學(xué)的思想和方法卻是有限的。我們只要學(xué)好了有關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí),掌握了必要的數(shù)學(xué)思想和方法,就能順利地對(duì)付那無限的題目。題目并不是做得越多越好,題海無邊,總也做不完。關(guān)鍵是你有沒有培養(yǎng)起良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,有沒有掌握正確的數(shù)學(xué)解題方法。當(dāng)然,題目做得多也有若干好處:一是“熟能生巧”,加快速度,節(jié)省時(shí)間,這一點(diǎn)在考試時(shí)間有限時(shí)顯得很重要;一是利用做題來鞏固、記憶所學(xué)的定義、定理、法則、公式,形成良性循環(huán)。
解題需要豐富的知識(shí),更需要自信心。沒有自信就會(huì)畏難,就會(huì)放棄;只有自信,才能勇往直前,才不會(huì)輕言放棄,才會(huì)加倍努力地學(xué)習(xí),才有希望攻克難關(guān),迎來屬于自己的春天。
201*年初二上學(xué)期數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)試卷一次函數(shù)201*.10
一、選擇題(每小題5分,共30分)
1.(04鎮(zhèn)江中考)已知abc≠0,并且則直線一定經(jīng)過()
A.第一、三象限B、第二、三象限C.第三、四象限D(zhuǎn)、第一、四象限
2.(12屆江蘇)無論k為何值,一次函數(shù)(2k-1)x-(k-3)y-(k-11)=0的圖像必經(jīng)過定點(diǎn)()
A.(0,0)B.(0,11)C.(2,3)D.無法確定
3.(05黑龍江競(jìng)賽題)已知正比例函數(shù)y=(2m-1)x的圖像上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),當(dāng)x1<x2時(shí),有y1>y2,那么m的取值范圍是()A.m<2B.m>2C.m<D.m>
4.(廣西)如右圖是函數(shù)y=x的圖像,設(shè)點(diǎn)P關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P’在y=x上,如果P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.5,那么P’的縱坐標(biāo)為()A.2.5B.-2.5C.-1D.-0.5
5.(18屆江蘇)在直角坐標(biāo)系中,若一點(diǎn)的縱、橫坐標(biāo)都是整數(shù),則稱該點(diǎn)為整點(diǎn),設(shè)k為整數(shù),當(dāng)直線y=x-2與y=kx+k的交點(diǎn)為整點(diǎn)時(shí),k的值可。ǎ〢.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)
6.(04黃岡中考)某班同學(xué)在探究彈簧的長(zhǎng)度與外力的變化關(guān)系時(shí),實(shí)驗(yàn)得到相應(yīng)數(shù)據(jù)如下表:
砝碼的質(zhì)量x(克)050100150201*50300400500指針位置y(厘米)2345677.57.57.5則y與x的函數(shù)圖像是()ABCD
二、填空題(每小題6分,共30分)
7.(05黑龍江)一次函數(shù)y=kx+2圖像與x軸交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為4,那么k的值為_____。8.(04呼和浩特)一次函數(shù)y=kx+b中,y隨x的增大而減小,且kb>0,則這個(gè)函數(shù)的圖像必定經(jīng)過第__________象限。
9.(江蘇省競(jìng)賽題)已知一次函數(shù)y=kx+b,kb<0,則這樣的一次函數(shù)的圖像必經(jīng)過的公共象限有_____個(gè),即第________象限。
10.(04無錫)點(diǎn)A為直線y=-2x+2上一點(diǎn),點(diǎn)A到兩坐標(biāo)軸距離相等,則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_________。
11.(05天津)若正比例函數(shù)y=kx與y=2x的圖像關(guān)于x軸軸對(duì)稱,則k的值等于_______。
三、解答題(每小題10分,共40分)
12、已知A(-2,3),B(3,1),P點(diǎn)在x軸上,且│PA│+│PB│最小,求點(diǎn)P的坐標(biāo)。
13、A單位有10人和B單位x人組成一個(gè)旅游團(tuán)去某地旅游,甲旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:如果買12張全票,則其余半價(jià)優(yōu)惠;乙旅行社的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:旅游團(tuán)購團(tuán)體票,按原價(jià)的70%優(yōu)惠,這兩家旅行社的每張票原價(jià)是300元。
(1)分別寫出旅游團(tuán)到甲、乙旅行社購票的總費(fèi)用y(元)與x的函數(shù)關(guān)系式。(2)你認(rèn)為選擇哪家旅行社更優(yōu)惠?
14、(05江西中考)如圖,直線L1、L2相交于點(diǎn)A,L1與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),L2與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),結(jié)合圖像解答下列問題:(1)求出直線L2表示的一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)當(dāng)x為何值時(shí),L1、L2表示的兩個(gè)一次函數(shù)的函數(shù)值都大于0?
15、(黃石市應(yīng)用能力測(cè)試題)新中國(guó)成立以來,東西部經(jīng)濟(jì)發(fā)展大致經(jīng)歷了兩個(gè)階段:第一階段是建國(guó)初期到1980年,這階段東西部的經(jīng)濟(jì)差距逐步縮;第二階段是1980年到1998年,這期間,由于各種原因,東西部的經(jīng)濟(jì)差距逐步拉大,僅就農(nóng)民人均年收入的差距來看,下表可以說明:
年份1978年1980年1998年
東西部農(nóng)民年收入差額(元)201*02700
如果1980年到1998年東西部農(nóng)民人均年收入差額每年增大值都相同,試根據(jù)表中有關(guān)數(shù)據(jù),
(1)建立1980年至1998年東西部農(nóng)民人均年收入差額y(元)隨年份變化的函數(shù)關(guān)系式;(2)請(qǐng)你推算出1990年東西部農(nóng)民人均年收入差額。
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初二數(shù)學(xué)(上)應(yīng)知應(yīng)會(huì)的知識(shí)點(diǎn)
因式分解
1.因式分解:把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解;注意:因式分解與乘法是相反的兩個(gè)轉(zhuǎn)化.
2.因式分解的方法:常用“提取公因式法”、“公式法”、“分組分解法”、“十字相乘法”.3.公因式的確定:系數(shù)的最大公約數(shù)相同因式的最低次冪.
注意公式:a+b=b+a;a-b=-(b-a);(a-b)2=(b-a)2;(a-b)3=-(b-a)3.4.因式分解的公式:
(1)平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b);
(2)完全平方公式:a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5.因式分解的注意事項(xiàng):
(1)選擇因式分解方法的一般次序是:一提取、二公式、三分組、四十字;(2)使用因式分解公式時(shí)要特別注意公式中的字母都具有整體性;(3)因式分解的最后結(jié)果要求分解到每一個(gè)因式都不能分解為止;(4)因式分解的最后結(jié)果要求每一個(gè)因式的首項(xiàng)符號(hào)為正;(5)因式分解的最后結(jié)果要求加以整理;
(6)因式分解的最后結(jié)果要求相同因式寫成乘方的形式.
6.因式分解的解題技巧:(1)換位整理,加括號(hào)或去括號(hào)整理;(2)提負(fù)號(hào);(3)全變號(hào);(4)換元;(5)配方;(6)把相同的式子看作整體;(7)靈活分組;(8)提取分?jǐn)?shù)系數(shù);(9)展開部分括號(hào)或全部括號(hào);(10)拆項(xiàng)或補(bǔ)項(xiàng).
7.完全平方式:能化為(m+n)2的多項(xiàng)式叫完全平方式;對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+px+q,有“x2+px+q是完全平方式分式
Apq22”.
1.分式:一般地,用A、B表示兩個(gè)整式,A÷B就可以表示為B的形式,如果B
A中含有字母,式子B叫做分式.
整式有理式分式2.有理式:整式與分式統(tǒng)稱有理式;即.
3.對(duì)于分式的兩個(gè)重要判斷:(1)若分式的分母為零,則分式無意義,反之有意義;(2)若分式的分子為零,而分母不為零,則分式的值為零;注意:若分式的分子為零,而分母也為零,則分式無意義.4.分式的基本性質(zhì)與應(yīng)用:
(1)若分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不為零的整式,分式的值不變;
(2)注意:在分式中,分子、分母、分式本身的符號(hào),改變其中任何兩個(gè),分式的值不變;即
分子分母分子分母分子分母分子分母
(3)繁分式化簡(jiǎn)時(shí),采用分子分母同乘小分母的最小公倍數(shù)的方法,比較簡(jiǎn)單.5.分式的約分:把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分;注意:分式約分前經(jīng)常需要先因式分解.
6.最簡(jiǎn)分式:一個(gè)分式的分子與分母沒有公因式,這個(gè)分式叫做最簡(jiǎn)分式;注意:分式計(jì)算的最后結(jié)果要求化為最簡(jiǎn)分式.
acac,bdbd7.分式的乘除法法則:
nna
bcdadadbcbc.
aan.(n為正整數(shù))b8.分式的乘方:b.
9.負(fù)整指數(shù)計(jì)算法則:
1(1)公式:a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0);(2)正整指數(shù)的運(yùn)算法則都可用于負(fù)整指數(shù)計(jì)算;
a(3)公式:bnnbananm,bbamn;
(4)公式:(-1)-2=1,(-1)-3=-1.
10.分式的通分:根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分;注意:分式的通分前要先確定最簡(jiǎn)公分母.11.最簡(jiǎn)公分母的確定:系數(shù)的最小公倍數(shù)相同因式的最高次冪.
abcabcabcdadbdbcbdadbcbd12.同分母與異分母的分式加減法法則:
c;.
13.含有字母系數(shù)的一元一次方程:在方程ax+b=0(a≠0)中,x是未知數(shù),a和b是用字母表示的已知數(shù),對(duì)x來說,字母a是x的系數(shù),叫做字母系數(shù),字母b是常數(shù)項(xiàng),我們稱它為含有字母系數(shù)的一元一次方程.注意:在字母方程中,一般用a、b、c等表示已知數(shù),用x、y、z等表示未知數(shù).
14.公式變形:把一個(gè)公式從一種形式變換成另一種形式,叫做公式變形;注意:公式變形的本質(zhì)就是解含有字母系數(shù)的方程.特別要注意:字母方程兩邊同時(shí)乘以含字母的代數(shù)式時(shí),一般需要先確認(rèn)這個(gè)代數(shù)式的值不為0.
15.分式方程:分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程;注意:以前學(xué)過的,分母里不含未知數(shù)的方程是整式方程.
16.分式方程的增根:在解分式方程時(shí),為了去分母,方程的兩邊同乘以了含有未知數(shù)的代數(shù)式,所以可能產(chǎn)生增根,故分式方程必須驗(yàn)增根;注意:在解方程時(shí),方程的兩邊一般不要同時(shí)除以含未知數(shù)的代數(shù)式,因?yàn)榭赡軄G根.
17.分式方程驗(yàn)增根的方法:把分式方程求出的根代入最簡(jiǎn)公分母(或分式方程的每個(gè)分母),若值為零,求出的根是增根,這時(shí)原方程無解;若值不為零,求出的根是原方程的解;注意:由此可判斷,使分母的值為零的未知數(shù)的值可能是原方程的增根.18.分式方程的應(yīng)用:列分式方程解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的方法一樣,但需要增加“驗(yàn)增根”的程序.數(shù)的開方
1.平方根的定義:若x2=a,那么x叫a的平方根,(即a的平方根是x);注意:(1)a叫x的平方數(shù),(2)已知x求a叫乘方,已知a求x叫開方,乘方與開方互為逆運(yùn)算.2.平方根的性質(zhì):
(1)正數(shù)的平方根是一對(duì)相反數(shù);(2)0的平方根還是0;(3)負(fù)數(shù)沒有平方根.
3.平方根的表示方法:a的平方根表示為也可以認(rèn)為是一個(gè)數(shù)開二次方的運(yùn)算.
4.算術(shù)平方根:正數(shù)a的正的平方根叫a的算術(shù)平方根,表示為平方根還是0.
5.三個(gè)重要非負(fù)數(shù):a2≥0,|a|≥0,0.
6.兩個(gè)重要公式:(1)aa2a和a.注意:
a可以看作是一個(gè)數(shù),
a.注意:0的算術(shù)
a≥0.注意:非負(fù)數(shù)之和為0,說明它們都是
2a;(a≥0)
(2)
(a0)aaa(a0)
.7.立方根的定義:若x3=a,那么x叫a的立方根,(即a的立方根是x).注意:(1)a叫x的立方數(shù);(2)a的立方根表示為8.立方根的性質(zhì):
(1)正數(shù)的立方根是一個(gè)正數(shù);(2)0的立方根還是0;
-3-
3a;即把a(bǔ)開三次方.(3)負(fù)數(shù)的立方根是一個(gè)負(fù)數(shù).9.立方根的特性:
3a3a.
10.無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù).注意:和開方開不盡的數(shù)是無理數(shù).11.實(shí)數(shù):有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實(shí)數(shù).
有理數(shù)實(shí)數(shù)無理數(shù)12.實(shí)數(shù)的分類:(1)
正有理數(shù)0負(fù)有理數(shù)有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)正無理數(shù)無限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無理數(shù)(2)
.13.?dāng)?shù)軸的性質(zhì):數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng).
14.無理數(shù)的近似值:實(shí)數(shù)計(jì)算的結(jié)果中若含有無理數(shù)且題目無近似要求,則結(jié)果應(yīng)該用無理數(shù)表示;如果題目有近似要求,則結(jié)果應(yīng)該用無理數(shù)的近似值表示.注意:(1)近似計(jì)算時(shí),中間過程要多保留一位;(2)要求記憶:21.414
52.236.
31.732
正實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)0負(fù)實(shí)數(shù)三角形
幾何A級(jí)概念:(要求深刻理解、熟練運(yùn)用、主要用于幾何證明)1.三角形的角平分線定義:三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交,這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.(如圖)2.三角形的中線定義:在三角形中,連結(jié)一個(gè)頂點(diǎn)和它的對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線.(如圖)3.三角形的高線定義:從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊畫垂-4-
BDCA幾何表達(dá)式舉例:(1)∵AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CADBDC(2)∵∠BAD=∠CAD∴AD是角平分線幾何表達(dá)式舉例:A(1)∵AD是三角形的中線∴BD=CD(2)∵BD=CD∴AD是三角形的中線幾何表達(dá)式舉例:(1)∵AD是ΔABC的高線,頂點(diǎn)和垂足間的線段叫做三角形的高線.(如圖)※4.三角形的三邊關(guān)系定理:三角形的兩邊之和大于第三邊,三角形的兩邊之差小于第三邊.(如圖)5.等腰三角形的定義:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.(如圖)6.等邊三角形的定義:有三條邊相等的三角形叫做等邊三角形.(如圖)BBBA∴∠ADB=90°(2)∵∠ADB=90°∴AD是ΔABC的高BDC幾何表達(dá)式舉例:(1)∵AB+BC>AC∴(2)∵AB-BC<ACAC∴幾何表達(dá)式舉例:A(1)∵ΔABC是等腰三角形∴AB=AC(2)∵AB=ACC∴ΔABC是等腰三角形幾何表達(dá)式舉例:(1)∵ΔABC是等邊三角形∴AB=BC=AC(2)∵AB=BC=ACAC∴ΔABC是等邊三角形幾何表達(dá)式舉例:(1)∵∠A+∠B+∠C=180°∴∴∠A+∠B=90°∴7.三角形的內(nèi)角和定理及推論:(1)三角形的內(nèi)角和180°;(如圖)(2)直角三角形的兩個(gè)銳角互余;(如圖)(如圖)角.BCA(3)三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;(2)∵∠C=90°※(4)三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)(3)∵∠ACD=∠A+∠B(4)∵∠ACD>∠A∴CBBCDAA(1)(2)(3)(4)8.直角三角形的定義:有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形.(如圖)CBA幾何表達(dá)式舉例:(1)∵∠C=90°∴ΔABC是直角三角形(2)∵ΔABC是直角三角形∴∠C=90°9.等腰直角三角形的定義:腰直角三角形.(如圖)A幾何表達(dá)式舉例:(1)∵∠C=90°CA=CB∴ΔABC是等腰直角三角形(2)∵ΔABC是等腰直角三角CB兩條直角邊相等的直角三角形叫等形∴∠C=90°CA=CB10.全等三角形的性質(zhì):(1)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等;(如圖)(2)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等.(如圖)BAE幾何表達(dá)式舉例:(1)∵ΔABC≌ΔEFG∴AB=EF(2)∵ΔABC≌ΔEFG∴∠A=∠ECFG幾何表達(dá)式舉例:(1)∵AB=EF∵∠B=∠F又∵BC=FG∴ΔABC≌ΔEFG(2)(3)在RtΔABC和RtΔEFG中∵AB=EF又∵AC=EG∴RtΔABC≌RtΔEFG11.全等三角形的判定:“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”“HL”.(如圖)BCFG(1)(2)CBF(3)GAEAE12.角平分線的性質(zhì)定理及逆定理:(1)在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等;(如圖)(2)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角平分線上.(如圖)13.線段垂直平分線的定義:-6-
OEBDCA幾何表達(dá)式舉例:(1)∵OC平分∠AOB又∵CD⊥OACE⊥OB∴CD=CE(2)∵CD⊥OACE⊥OB又∵CD=CE∴OC是角平分線幾何表達(dá)式舉例:垂直于一條線段且平分這條線段的直線,叫做這條線段的垂直平分線.(如圖)14.線段垂直平分線的性質(zhì)定理及逆定理:(1)線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等;(如圖)(2)和一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上.(如圖)15.等腰三角形的性質(zhì)定理及推論:AAOE(1)∵EF垂直平分AB∴EF⊥ABOA=OBB(2)∵EF⊥ABOA=OB∴EF是AB的垂直平分線幾何表達(dá)式舉例:(1)∵M(jìn)N是線段AB的垂直平FMP分線∴PA=PBBC(2)∵PA=PB∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上幾何表達(dá)式舉例:N(1)等腰三角形的兩個(gè)底角相等;(即等邊對(duì)等角)(如圖)(1)∵AB=AC(2)等腰三角形的“頂角平分線、底邊中線、底邊上的高”∴∠B=∠C三線合一;(如圖)(3)等邊三角形的各角都相等,并且都是60°.(如圖)A(2)∵AB=AC又∵∠BAD=∠CAD∴BD=CDAAAD⊥BC(3)∵ΔABC是等邊三角形CBC(1)BDC(2)B(3)∴∠A=∠B=∠C=60°幾何表達(dá)式舉例:∴AB=AC(2)∵∠A=∠B=∠C16.等腰三角形的判定定理及推論:也相等;(即等角對(duì)等邊)(如圖)(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;(如圖)(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角都相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)邊(1)∵∠B=∠C(3)有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形;(如圖)∴ΔABC是等邊三角形(4)在直角三角形中,如果有一個(gè)角等于30°,那么它所對(duì)(3)∵∠A=60°的直角邊是斜邊的一半.(如圖)A又∵AB=AC∴ΔABC是等邊三角形AA(4)∵∠C=90°∠B=30°1CBC(1)B(2)(3)CB(4)∴AC=2AB17.關(guān)于軸對(duì)稱的定理(1)關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形;(如圖)(2)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱,那么對(duì)稱軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線.(如圖)18.勾股定理及逆定理:的平方和等于斜邊c的平方,即a2+b2=c2;(如圖)(2)如果三角形的三邊長(zhǎng)有下面關(guān)系:a2+b2=c2,那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)19.RtΔ斜邊中線定理及逆定理:是斜邊的一半;(如圖)(2)如果三角形一邊上的中線是這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.(如圖)
MAOCFE幾何表達(dá)式舉例:(1)∵ΔABC、ΔEGF關(guān)于MN軸對(duì)稱∴ΔABC≌ΔEGFGNB(2)∵ΔABC、ΔEGF關(guān)于MN軸對(duì)稱∴OA=OEMN⊥AE幾何表達(dá)式舉例:(1)∵ΔABC是直角三角形A(1)直角三角形的兩直角邊a、b∴a2+b2=c2(2)∵a2+b2=c2∴ΔABC是直角三角形CB幾何表達(dá)式舉例:∵ΔABC是直角三角形∵D是AB的中點(diǎn)A(1)直角三角形中,斜邊上的中線D1∴CD=CB2AB(2)∵CD=AD=BD∴ΔABC是直角三角形幾何B級(jí)概念:(要求理解、會(huì)講、會(huì)用,主要用于填空和選擇題)一基本概念:
三角形、不等邊三角形、銳角三角形、鈍角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分線的集合定義、原命題、逆命題、逆定理、尺規(guī)作圖、輔助線、線段垂直平分線的集合定義、軸對(duì)稱的定義、軸對(duì)稱圖形的定義、勾股數(shù).二常識(shí):
1.三角形中,第三邊長(zhǎng)的判斷:另兩邊之差<第三邊<另兩邊之和.
2.三角形中,有三條角平分線、三條中線、三條高線,它們都分別交于一點(diǎn),其中前兩個(gè)交點(diǎn)都在三角形內(nèi),而第三個(gè)交點(diǎn)可在三角形內(nèi),三角形上,三角形外.注意:三角形的角平分線、中線、高線都是線段.
3.如圖,三角形中,有一個(gè)重要的面積等式,即:若CD⊥AB,BE⊥CA,則CDAB=BECA.
4.三角形能否成立的條件是:最長(zhǎng)邊<另兩邊之和.
5.直角三角形能否成立的條件是:最長(zhǎng)邊的平方等于另兩邊的平方和.
-8-
BDECA6.分別含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.
7.如圖,雙垂圖形中,有兩個(gè)重要的性質(zhì),即:(1)ACCB=CDAB;(2)∠1=∠B,∠2=∠A.8.三角形中,最多有一個(gè)內(nèi)角是鈍角,但最少有兩個(gè)外角是鈍角.邊是對(duì)應(yīng)邊.
10.等邊三角形是特殊的等腰三角形.
11.幾何習(xí)題中,“文字?jǐn)⑹鲱}”需要自己畫圖,寫已知、求證、證明.12.符合“AAA”“SSA”條件的三角形不能判定全等.
13.幾何習(xí)題經(jīng)常用四種方法進(jìn)行分析:(1)分析綜合法;(2)方程分析法;(3)代入分析法;(4)圖形觀察法.
14.幾何基本作圖分為:(1)作線段等于已知線段;(2)作角等于已知角;(3)作已知角的平分線;(4)過已知點(diǎn)作已知直線的垂線;(5)作線段的中垂線;(6)過已知點(diǎn)作已知直線的平行線.
15.會(huì)用尺規(guī)完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等邊三角形”、“等腰直角三角形”的作圖.
16.作圖題在分析過程中,首先要畫出草圖并標(biāo)出字母,然后確定先畫什么,后畫什么;注意:每步作圖都應(yīng)該是幾何基本作圖.
17.幾何畫圖的類型:(1)估畫圖;(2)工具畫圖;(3)尺規(guī)畫圖.※18.幾何重要圖形和輔助線:(1)選取和作輔助線的原則:
①構(gòu)造特殊圖形,使可用的定理增加;②一舉多得;
③聚合題目中的分散條件,轉(zhuǎn)移線段,轉(zhuǎn)移角;④作輔助線必須符合幾何基本作圖.
(2)已知角平分線.(若BD是角平分線)
①在BA上截取BE=BC構(gòu)造全等,轉(zhuǎn)②過D點(diǎn)作DE∥BC交AB于E,構(gòu)造等移線段和角;
(3)已知三角形中線(若AD是BC的中線)
①過D點(diǎn)作DE∥AC交AB②延長(zhǎng)AD到E,使DE=AD③∵AD是中線
-9-
BEDEDAAD12CB9.全等三角形中,重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn),對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角,對(duì)應(yīng)角所對(duì)的
腰三角形.ACBCABDC于E,構(gòu)造中位線;
BDCAE連結(jié)CE構(gòu)造全等,轉(zhuǎn)移線段和角;∴SΔABD=SΔADC(等底等高的三角形等面積)ABDC(4)已知等腰三角形ABC中,AB=AC
①作等腰三角形ABC底邊的中線AD②作等腰三角形ABC一邊的平行線DE,構(gòu)造(頂角的平分線或底邊的高)構(gòu)造全等三角形;
(5)其它作等邊三角形ABC一邊的平行線DE,構(gòu)造新的等邊三角形;
④多邊形轉(zhuǎn)化為三角⑤延長(zhǎng)BC到D,使⑥若a∥b,AC,BC是角平形;
BCEADOBDCBDC新的等腰三角形.AAAEDEBC②作CE∥AB,轉(zhuǎn)移角;③延長(zhǎng)BD與AC交于E,AE不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形;BCDDAEAEBDCBCCD=BC,連結(jié)AD,直角三角形轉(zhuǎn)化為等腰三角形;ABCD分線,則∠C=90°.BAaCb
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