高三數(shù)學(xué) 高考公式大總結(jié)知識點(diǎn) 新人教版

高考公式大總結(jié)

【指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算】【三角函數(shù)的基本公式】

根式

當(dāng)n為奇數(shù)時，nana；

當(dāng)n為偶數(shù)時，nanaa,a0.a,a0正數(shù)的正（負(fù)）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

m1.annam(a0,m,nN*，且n1）2.amn1m(a0,m,nN*，且n1an）.

整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）arasarsa0,r,sQ;（2）arsarsa0,r,sQ；

（3）abrarbra0,b0,rQ.

（4）arasarsa0,r,sQ;

對數(shù)

（1）對數(shù)的性質(zhì)：①alogaNN；②logNaaN;

③logaNlogbNlog；

ba（換底公式）（2）對數(shù)的運(yùn)算法則：①logaMNlogaMlogaN;

②logMaNlogaMlogaN;

③logaMnnlogaM；

④lognaM1nlogaM

⑤lognnamMmlogaM

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

sin2cos21

sincostan（2k,kZ）

補(bǔ)充：tan21sec2，

cot21csc2，cotcossin，

tancot1，

sincsc1，

cossec1.

2.誘導(dǎo)公式

（1）角與k2kZ的三角函數(shù)間的關(guān)系

sink2sin

cosk2cos

tank2tan，其中kZ.

（2）角與的三角函數(shù)間的關(guān)系sinsin；

coscos；

tantan；

1

（3）角與的三角函數(shù)間的cottan

2（7）角與2的三角函數(shù)間的關(guān)系

關(guān)系

sinsin

coscos

tantan

sinsincoscostantan

（4）角與2的三角函數(shù)間的關(guān)系

sin2cos

cos2sin

tan2cot

cot2tan

（6）角與2的三角函數(shù)間的關(guān)系sin2cos

cos2sin

tancot2

sin22sincos;

cos2cos2sin2=2cos21

=12sin2;

tan22tan1tan2

三角恒等變換

sinsincoscossin；

簡記作：S

coscoscossinsin；

簡記作：C

tantantan1簡記作：

tantan；T

解三角形

1.正弦定理：

asinAbsinBcsinC2R正弦定理的三種變式：

aa2RsinA,b2RsinB,

c2RsinC

b.2

sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R.

c.a:b:csinA:sinB:sinC.

2.余弦定理：222cosAbca2bc,

22cosBacb22ac,

2cosCab2c22ab,

3.常用公式①ABC②S112absinC2bcsinA

12acsinB

③

sin(AB)sinC,cos(AB)cosC;

④

cosCB2sinA2,sinC2cosAB2;

⑤A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是

B60

⑥abABsinAsinB;

【導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算】

（1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

①fxc，則f"x0；

②fxxnnN*，則f"xnxn1；③fxsinx，則f"xcosx；④fxcosx，則f"xsinx；

⑤fxax，則f"xaxlna；

⑥fxex，則f"xex；

⑦fxlogf"ax，則x1xlogae；

⑧fxlnx，則f"x1x．

（2）導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則①fxgxf"xg"x；

②

fxgxf"xgxfxg"x

③fxf"xgxfxg"x；gxg2x

（3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

yx"y"uu"x或f"xf"ux.

3

1.特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見角知值，見值知角”。角角的弧度數(shù)sin0304560901201*023180270001061242332561230223222110不存在32－10cos2tan2－12－23－133133－330不存在2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（以下kZ）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性ysinxycosxytanxxxR,且xk,kZ2RRR1,121,12奇函數(shù)奇函數(shù)2k,2k22偶函數(shù)單調(diào)性2k,2k2k為減為增；32k,2k22,2k為增k,k為增22為減對稱中心對稱軸

4

k,0xkk,02k,022xk無

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高中數(shù)學(xué)必修1知識點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性.（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.（4）集合的表示法

①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾��?

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內(nèi)表示集合.③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合.（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集.②含有無限個元素的集合叫做無限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等名稱記號意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)性質(zhì)示意圖AB子集（或BA)ABA(3)若AB且BC，則AC(4)若AB且BA，則AB（1）A（A為非空子集）A(B)BA或真子集（或BA）AB，且B中至少有一元素不屬于ABA(2)若AB且BC，則AC集合相等A中的任一元素都屬AB于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合它有2nA有n(n1)個元素，則它有2n個子集，它有2n1個真子集，它有2n1個非空子集，

2非空真子集.

【1.1.3】集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

名稱記號意義性質(zhì)示意圖交集AB{x|xA,且xB}并集AB{x|xA,或xB}AAA（2）A（3）ABAABB（1）AAA（2）AA（3）ABAABB（1）1A(2A(UA)UUA)ABAB補(bǔ)集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)

【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0)|x|a(a0)把{x|axa}x|xa或xa}axb看成一個整體，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式來求解（2）一元二次不等式的解法

判別式b4ac二次函數(shù)201*yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1x2b2a無實(shí)根x2)

ax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|xb}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}

〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)

A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合

A中任何一個數(shù)x，在集合B）

中都有唯一確定的數(shù)叫做集合

那么這樣的對應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對應(yīng)法則ff(x)和它對應(yīng)，

A到B的一個函數(shù)，記作f:AB．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù)．（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù)，且ab，滿足axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿足

axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足axb，或axb的實(shí)數(shù)x的

集合叫做半開半閉區(qū)間，分別記做[a,b)，(a,b]；滿足xa,x合分別記做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：對于集合{x|aa,xb,xb的實(shí)數(shù)x的集

xb}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab．

（3）求函數(shù)的定義域時，一般遵循以下原則：

①②③

f(x)是整式時，定義域是全體實(shí)數(shù)．

f(x)是分式函數(shù)時，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．

f(x)是偶次根式時，定義域是使被開方式為非負(fù)值時的實(shí)數(shù)的集合．

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤

ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若

f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)

的定義域的交集．

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知的定義域應(yīng)由不等式af(x)的定義域?yàn)閇a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]g(x)b解出．

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母參數(shù)進(jìn)行分類討論．⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義．（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小（大）數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)

yf(x)可以化成一個系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)x2b(y)xc(y)0，則在a(y)0時，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有b2(y)4a(y)c(y)0，從而確定函數(shù)的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來表示兩個變量之間

的對應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f，對于集合

A中任何一個元素，在集合B中都

）叫做集合

有唯一的元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)（包括集合到B的映射，記作②給定一個集合

A，B以及A到B的對應(yīng)法則fAf:AB．

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于屬于定義域I內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值x1、x2,當(dāng)x

yf[g(x)]，令ug(x)，若

yf(u)為增，

ug(x)為增，則

yf[g(x)]為增；若yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為

增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為減；若yf(u)為減，ug(x)為增，則y

yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數(shù)

af(x)x(a0)的圖象與性質(zhì)

xox

f(x)分別在(,a]、[a,)上為增函數(shù)，分別在[a,0)、(0,a]上為減函數(shù)．

（3）最大（�。┲刀�義①一般地，設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域?yàn)镮f(x)M；

，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：（1）

對于任意的xI，都有（2）存在

x0I，使得f(x0)M．那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作

fmax(x)M．

②一般地，設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿足：（1）對于任意的xI，都有

（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作f(x)m；

fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函．．．．．．?dāng)?shù)．．函數(shù)的奇偶性如果對于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．．．．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對稱）②若函數(shù)

圖象判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱）f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

③奇函數(shù)在

y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

〖補(bǔ)充知識〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換

h0,左移h個單位yf(x)yf(xh)h0,右移|h|個單位k0,上移k個單位yf(x)yf(x)k

k0,下移|k|個單位②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)

1,縮0A1,縮yf(x)yAf(x)

A1,伸③對稱變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線yx原點(diǎn)yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)

去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)

保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|

將x軸下方圖象翻折上去（2）識圖

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，

獲得問題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時，

a的n次方根用符號na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時，正數(shù)a的正的n次方根用符號na表示，負(fù)的n次方

根用符號na表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根．

a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)

②式子nn為偶數(shù)時，a0．

③根式的性質(zhì)：

(na)na；當(dāng)

n為奇數(shù)時，

nana；當(dāng)

n為偶數(shù)時，

na(a0)an|a|．

a(a0)mn（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a冪等于0．

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0

aa

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)a10a1yaxy圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定義域值域xR(0,)Ox過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性圖象過定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x0時，非奇非偶在R上是增函數(shù)y1．在R上是減函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．〖2.2〗對數(shù)函數(shù)【2.2.1】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

（1）對數(shù)的定義①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，

N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)．③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x

logaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）幾個重要的對數(shù)恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：lgN，即log10N；自然對數(shù)：lnN，即logeN（其中e2.71828）．

0,N0，那么

（4）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a0,a1,M①加法：logaMlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnlogbNn(b0,且b1)logaM(b0,nR)⑥換底公式：logaNlogbab【2.2.2】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱定義函數(shù)對數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對數(shù)函數(shù)a10a1ylogaxyx1yx1ylogax圖象(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)

logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對圖象的影響(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)果對于子x在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．值域?yàn)镃，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如yf(x)的定義域?yàn)锳，

y在C中的任何一個值，通過式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式

(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，

習(xí)慣上改寫成

yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線yx對稱．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于

y軸對稱)；是奇函數(shù)時，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)；是非奇非偶

函數(shù)時，圖象只分布在第一象限．

②過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)．③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)

y軸．

的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x軸與

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpq（其中p,q互pqp質(zhì)，p和qZ），若是偶函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為奇數(shù)時，則yxqp是奇函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為偶數(shù)時，則yxp為偶數(shù)q為奇數(shù)時，則yx是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)

yx,x(0,)，當(dāng)1時，若0x1，其圖象在直線yx下方，若

x1，其圖象在直線yx上方，當(dāng)1時，若0x1，其圖象在直線yx上方，若x1，

其圖象在直線

yx下方．

〖補(bǔ)充知識〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時，宜用一般式．

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（�。┲涤嘘P(guān)時，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時，選用兩根式求

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb,頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a

b4acb2(,)．

2a4a②當(dāng)a0時，拋物線開口向上，函數(shù)在(,bbb]上遞減，在[,)上遞增，當(dāng)x2a2a2a時，

4acb2fmin(x)4ab遞減，當(dāng)x2a③二次函數(shù)

；當(dāng)a0時，拋物線開口向下，函數(shù)在(,bb]上遞增，在[,)上2a2a時，

4acb2fmax(x)4a．

f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)

|a|．

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布．設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩實(shí)根為x1,x2，且x1x2．令

b2a

f(x)ax2bxc，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向：a②對稱軸位置：x③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號．①k＜x1≤x2

yf(k)0ya0xb2ax2Okx1x2kOx1xxx②x1≤x2＜k

b2af(k)0

a0

ya0Ox1f(k)0yxOb2ax2kxxb2ax1x2kxa0

f(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2Ox1kx2f(k)0xx1Okxa0

④k1＜x1≤x2＜k2

yf(k1)0a0yk1xf(k2)0x1b2ak2Ok1x1x2k2xOx2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且僅有一個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

yf(k1)0a0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．（5）二次函數(shù)設(shè)

a0f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值

，最小值為m，令x0f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M（Ⅰ）當(dāng)a1(pq)．20時（開口向上）

①若bbbbq，則p，則mf(p)②若pq，則mf()③若2a2a2a2amf(q)

f(q)Of(p)x

Of(q)x

f(p)Obbf()(p))f(ba2Maf(q)②bx2①若，則Mf(p)x0，則0fx

b)2aff((q)2a2af(p)x0bbbbx(q)①若q，則p，則Mq，則Mf()③若0f(p)②若pO2a2a2a2ax

O(Ⅱ)當(dāng)a0時(開口向下)fx

Mf(q)

①若

fbf((p))2aff((q)bf()2ab)2abf()2aff(f(p)Of(p)x

O(q)x

Ob)2ax

f

(q)

(q)

f

(p)fbbx0，則mf(q)②x0，則mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off((q)x0b)2ax0x

fOf

(q)

x

(p)第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)

yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

yf(x)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

求函數(shù)

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)○

yf(x)的圖象聯(lián)系起來，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)

yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程ax函數(shù)有兩個零點(diǎn)．

bxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，二次

２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．３）△＜０，方程ax22bxc0無實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無交點(diǎn)，二次函數(shù)無零點(diǎn)．

高中數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫三視圖的原則：

長對齊、高對齊、寬相等3直觀圖：斜二測畫法4斜二測畫法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線長度變半，平行于x，z軸的線長度不變；（3）.畫法要寫好。

5用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個面面積之和

2圓柱的表面積Srl2r23圓錐的表面積S2rlr2

222SrlrRlRS4R4圓臺的表面積5球的表面積

（二）空間幾何體的體積

1VS底h2錐體的體積VS底h

31433臺體的體積V（S上S上S下S下)h4球體的體積VR

331柱體的體積

第二章直線與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無限延展的2平面的畫法及表示

（1）平面的畫法：水平放置的平面通常畫成一個平行四邊形，銳角畫成45，且橫邊畫

0

DαA

BC

成鄰邊的2倍長（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個頂點(diǎn)或者相對的兩個頂點(diǎn)的大寫字母來表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個公理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)符號表示為

A∈L

B∈L=>LαA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個平面。符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個不重合的平面有一個公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個平面是否相交的依據(jù)

Aα

LαC

AB

βLPα2.1.2空間中直線與直線之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個公共點(diǎn)；

共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線

a∥bc∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，與O的選擇無關(guān)，為簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；

②兩條異面直線所成的角θ

=>a∥c

③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。

∈(0，)；22.1.32.1.4空間中直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線在平面內(nèi)有無數(shù)個公共點(diǎn)（2）直線與平面相交有且只有一個公共點(diǎn)（3）直線在平面平行沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線與平面平行的判定

1、直線與平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。簡記為：線線平行，則線面平行。符號表示：

aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個平面平行的判定定理：一個平面內(nèi)的兩條交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行。

符號表示：

aβbβ

a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線的兩個平面平行。

2.2.32.2.4直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行。簡記為：線面平行則線線平行。符號表示：

a∥α

aβa∥bα∩β=b

作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。

2、定理：如果兩個平面同時與第三個平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：

α∥β

α∩γ=aa∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線與直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

1、定義

如果直線L與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線與平面垂直時,它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

Lpα

2、判定定理：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形

A

梭lβ

B

α2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個平面互相垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直。2.3.32.3.4直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個平面的兩條直線平行。

2性質(zhì)定理：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直。

本章知識結(jié)構(gòu)框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線、平面的位置關(guān)系直線與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系第三章直線與方程

3.1直線的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時,取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,規(guī)定α=0°.2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°.3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是k=tanα

當(dāng)直線l與x軸平行或重合時,α=0°,k=tan0°=0;當(dāng)直線l與x軸垂直時,α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線的斜率公式:

給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示直線P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那

么它們平行，即

注意:上面的等價是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線的點(diǎn)斜式方程

(x0,y0)，且斜率為k1、直線的點(diǎn)斜式方程：直線l經(jīng)過點(diǎn)P02、、直線的斜截式方程：已知直線l的斜率為k，且與

yy0k(xx0)

y軸的交點(diǎn)為(0,b)ykxb

其中

3.2.2直線的兩點(diǎn)式方程

1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線的截距式方A(a,0)，與

程：已知直線的交點(diǎn)為

P(x1,x2),P2(x2,y2)1(x1x2,y1y2)

lB與

x軸的交點(diǎn)為

，其中

y軸(0,b)a0,b0

3.2.3直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關(guān)于x,2、各種直線方程之間的互化。

y的二元一次方程AxByC0（A，B不同時為0）

3.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組

3x4y20得x=-2，y=22x2y20所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）

3.3.23.3.3

兩點(diǎn)間距離點(diǎn)

兩點(diǎn)間的距

PP12x2x2y2y122離公式

到直線的距離公式

1．點(diǎn)到直線距離公式：點(diǎn)P(x0,y0)到直線l:AxByC0的距離為：dAx0By0CAB22

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線l1和l2的一般式方程為l1：

AxByC10，C1C2AB22l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d第四章

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2

圓與方程

(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點(diǎn)在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點(diǎn)在圓上a)2(y0b)2

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1、用點(diǎn)到直線的距離來判斷直線與圓的位置關(guān)系．

設(shè)直線l：圓C：xyDxEyF0，圓的半徑為r，圓心(axbyc0，到直線的距離為d，則判別直線與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)dr時，直線l與圓C相離；（2）當(dāng)dr時，直線l與圓C相切；（3）當(dāng)dr時，直線l與圓C相交；

22DE,)224.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系．

設(shè)兩圓的連心線長為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)lr1r2時，圓C1與圓C2相離；（2）當(dāng)lr1r2時，圓C1與圓C2外切；（3）當(dāng)|r1r2|lr1r2時，圓C1與圓C2相交；

（4）當(dāng)l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)切；（5）當(dāng)l|r1r2|時，圓C1與圓C2內(nèi)含；

4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；2、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

RMOPQM"y4.3.1空間直角坐標(biāo)系

1、點(diǎn)M對應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、

z軸上的坐標(biāo)

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)

x3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M(x,y,z)，x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。

z4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式

1、空間中任意一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)到點(diǎn)P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

P1OP2

M1N1xMM2HN2yN

P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

高中數(shù)學(xué)必修3知識點(diǎn)

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來解決的某一類問題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點(diǎn):

(1)有限性：一個算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無限的.

(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開始，分為若干明確的步驟，每一個步驟只能有一個確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無誤，才能完成問題.(4)不唯一性：求解某一個問題的解法不一定是唯一的，對于一個問題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

一個程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線；程序框外必要文字說明。（二）構(gòu)成程序框的圖形符號及其作用

程序框起止框輸入、輸出框處理框判斷框分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時在出口處標(biāo)明“是”何需要輸入、輸出的位置。賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等的。表示一個算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任名稱功能表示一個算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少

或“Y”；不成立時標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識的時候，要掌握各個圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號只有一個進(jìn)入點(diǎn)和一個退出點(diǎn)。判斷框具有超過一個退出點(diǎn)的唯一符號。4、判斷框分兩大類，一類判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個結(jié)果；另一類是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號內(nèi)描述的語言要非常簡練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡單的算法結(jié)構(gòu)，語句與語句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個算法都離不開的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線將程序框自上而下地連接起來，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu)：

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過對條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個判斷結(jié)構(gòu)可以有多個判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類：

（1）、一類是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時不再執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)。

ABA

AP成立不成立P不成立成立

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

1.2.1輸入、輸出語句和賦值語句

1、輸入語句

（1）輸入語句的一般格式

INPUT“提示內(nèi)容”；變量圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容”，變量（2）輸入語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時其值是可以變化的量；（4）輸入語句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號“；”隔開，若輸入多個變量，變量與變量之間用逗號“，”隔開。2、輸出語句

（1）輸出語句的一般格式

PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式圖形計(jì)算器格式Disp“提示內(nèi)容”，變量（2）輸出語句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。3、賦值語句

（1）賦值語句的一般格式

（2）賦值語句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；（3）賦值語句中的“＝”稱作賦值號，與數(shù)學(xué)中的等號的意義是不同的。賦值號的左右兩邊不能對換，它將賦值號右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號左邊的變量；（4）賦值語句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對于一個變量可以多次賦值。

注意：①賦值號左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯誤的。②賦值號左右不能對換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡、因式分解、解方程等）④賦值號“=”與數(shù)學(xué)中的等號意義不同。1．2．2條件語句

1、條件語句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語句；（2）IFTHEN語句。2、IFTHENELSE語句

IFTHENELSE語句的一般格式為圖1，對應(yīng)的程序框圖為圖2。

變量＝表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量

IF條件THEN語句1ELSE語句2否滿足條件？是語句1語句2

ENDIF圖1圖2

分析：在IFTHENELSE語句中，“條件”表示判斷的條件，“語句1”表示滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語句2”表示不滿足條件時執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時，首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語句2。

3、IFTHEN語句

IFTHEN語句的一般格式為圖3，對應(yīng)的程序框圖為圖4。

IF條件THEN語句ENDIF（圖3）

是滿足條件？否內(nèi)容，條件語句注意：“條件”表示判斷的條件；“語句”表示滿足條件時執(zhí)行的操作

不滿足時，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時首先對IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語句。

（圖4）1．2．3循環(huán)語句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語句來實(shí)現(xiàn)的。對應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語句結(jié)構(gòu)。即WHILE語句和UNTIL語句。1、WHILE語句

（1）WHILE語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是

循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿足條件？否是（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語句時，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語句后，接著執(zhí)行WEND之后的語句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時也稱為“前測試型”循環(huán)。

2、UNTIL語句

（1）UNTIL語句的一般格式是對應(yīng)的程序框圖是

（2）直到型循環(huán)又稱為“后測試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語句時，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個過程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿足時，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語句后執(zhí)行其他語句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語句。

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語句中，是當(dāng)條件滿足時執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語句中，是當(dāng)條件不滿足時執(zhí)行循環(huán)

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體滿足條件？是否1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個商公約數(shù)；若

S0和一個余數(shù)

R0；（2）：若

R0＝0，則n為m，n的最大

R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)

R0得到一個商

S1和一個余數(shù)

R1；（3）：若

R1＝0，則

R1為m，

n的最大公約數(shù)；若算直至

R1≠0，則用除數(shù)

R0除以余數(shù)

R1得到一個商

S2和一個余數(shù)

R2；依次計(jì)

Rn＝0，此時所得到的

Rn1即為所求的最大公約數(shù)。

2、更相減損術(shù)

我國早期也有求最大公約數(shù)問題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：（1）：任意給出兩個正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析：（略）

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對較少，特別當(dāng)兩個數(shù)字大小區(qū)別較大時計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相

等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項(xiàng)式的值時，首先計(jì)算最內(nèi)層括號內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問題轉(zhuǎn)化成求n個一次多項(xiàng)式的值的問題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個，排一個。將第１個數(shù)放入數(shù)組的第１個元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡單，可以舉例說明）2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個數(shù)和第2個數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個數(shù)和第3個數(shù)......直到比較最后兩個數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過程,仍從第1個數(shù)開始,到最后第2個數(shù)......由于在排序過程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進(jìn)位制

1、概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號的個數(shù)稱為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱n進(jìn)位制，簡稱n進(jìn)制�，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對于任何一個數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)

第二章統(tǒng)計(jì)

2.1.1簡單隨機(jī)抽樣

1．總體和樣本

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對象的全體叫做總體．把每個研究對象叫做個體．把總體中個體的總數(shù)叫做總體容量．

為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：，，，

研究，我們稱它為樣本．其中個體的個數(shù)稱為樣本容量．

2．簡單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類、排隊(duì)等，完全隨

機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個單位完全獨(dú)立，彼此間無一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時，才采用這種方法。3．簡單隨機(jī)抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計(jì)算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調(diào)查對象群體中的每一個對象編號；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽

（3）對樣本中的每一個個體進(jìn)行測量或調(diào)查

例：請調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動情況。5．隨機(jī)數(shù)表法：

例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個樣本采用簡單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個體的排列對于研究的變量來說，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布�？梢栽谡{(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開始抽樣，對比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘Τ闃涌虻囊�求較低，實(shí)施也比較簡單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類型或?qū)哟�，然后再在各個類型或?qū)哟沃胁捎煤唵坞S機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個子樣本，最后，將這些子樣本合起來構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個個同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來抽取子樣本的方法。（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會非常少，此時采用該方法，主要是便于對不同層次的子總體進(jìn)行專門研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時，則需要先對各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xnns2

2、．樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s(x1x)2(x2x)2(xnx)2n

3．用樣本估計(jì)總體時，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會

有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)

差，而只是一個估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時，它們確實(shí)反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)乘以一個共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉淼膋倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；“去掉一個最高分，去掉一個最低分”中的科學(xué)道理

2.3.2兩個變量的線性相關(guān)

1、概念:

（1）回歸直線方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法

3．直線回歸方程的應(yīng)用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線回歸方程即可定量描述兩個變量間依存的數(shù)量關(guān)系（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測；把預(yù)報因子（即自變量x）代入回歸方程對預(yù)報量（即因變量Y）進(jìn)

行估計(jì)，即可得到個體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過控制x的范圍來實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如

已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車流量間的回歸方程，即可通過控制汽車流量來控制空氣中NO2的濃度。

4．應(yīng)用直線回歸的注意事項(xiàng)

（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；（3）回歸直線不要外延。

第三章概率

3.1.13.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機(jī)事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件A出

nA現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：

對于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值n，

它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B

為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

2、概率的基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當(dāng)事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A

與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；

（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.13.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=

A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個數(shù)

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）P（A）=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度（面積或體積）；

（2）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出

現(xiàn)的可能性相等．

高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)

第一章三角函數(shù)

正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為

k360k36090,k

k36090k360180,kk360180k360270,k

k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為終邊在

k180,k

k90,k

y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為

3、與角終邊相同的角的集合為

k360,k

4、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是

lr．

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．

1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長為l，周長為C，面積為S，則lr，

11C2rl，Slrr2．

228、設(shè)是一個任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)

的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是

yPTO本

關(guān)系

：；

rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx9、三角函數(shù)在各象限的符號：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線：sin11

、角

，cos，tan．

角函數(shù)

2MAx三的基

1sin2cos21sin1cos2,cos21sin22sintancossinsintancos,cos．

tan12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱不變，符號看象限．

5sincos2，

cossin2．

6sincos2，

cossin．

2口訣：正弦與余弦互換，符號看象限．13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來

的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象．

②數(shù)

ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個單位長度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來

的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)14、函數(shù)

ysinx的圖象．

ysinx0,0的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：函數(shù)

2；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

ysinx，當(dāng)xx1時，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時，取得最大值為ymax，

則

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域值域當(dāng)時RRxxk,k21,1x2k，1,1k；當(dāng)當(dāng)xR22kk時，最值ymax1ymax1；當(dāng)x2k既無最大值也無最小值x2k2k時，ymin1．k時，ymin1．周期性奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2

偶性在2k,2k22在單調(diào)性k上是增函數(shù)；在32k,2k222k,2kk上2k,2k在k是增函數(shù)；在2,k2k上是減函數(shù)．k上是增函數(shù)．k上是減函數(shù)．對稱中心對稱性對稱軸xk,0kk對稱中心對稱中心無對稱軸2kk,0k2對稱軸xk,0k2kk第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒有方向的量．有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度．零向量：長度為0的向量．單位向量：長度等于1個單位的向量．

平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長度相等且方向相同的向量．

17、向量加法運(yùn)算：

三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．三角形不等式：

ababab．

運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；

②結(jié)合律：

abcabc；③a00aa．

C

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

ab

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．

abCC

①

aa；

②當(dāng)0時，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時，a0．

運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線定理：向量aa0與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時，向量a、bb0共

線．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，

有且只有一對實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一

組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是

x1,y1，x2,y2，當(dāng)

xx2y1y212時，點(diǎn)的坐標(biāo)是1（當(dāng)1,時，就為中點(diǎn)公式。）．

1123、平面向量的數(shù)量積：

ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

；當(dāng)a性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時，abab與b反向時，abab22；aaaa或aaa．③

abab．

運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若ax,y，則

2ax2y2，或

ax2y2．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則

abx0．1x2y1y2設(shè)

a、

b都是非零向量，

ax1,y1．

22，

bx2,y2，

是

a與

b的夾角，則

x1x2y1y2abcos2abx12y12x2y

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：cossincoscossinsin；coscoscossinsin；

sincoscossin；sinsincoscossin；

tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos222tan2,1cos2sin2．

2tan1tan2．

萬能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan22226、半角公式:

α1cosαα1cosαcos;sin2222tanα1αsinα1cosαcos1α1cosαsin2cosα（后兩個不用判斷符號，更加好用）27、合一變形

把兩個三角函數(shù)的和或差化為“一個三角函數(shù)，一個角，一次方”的

yAsin(x)B形式。sincos22sin，其中tan．

28、三角變換是運(yùn)算化簡的過程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

（1）角的變換：在三角化簡，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，

倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問題獲解，對角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；

30o②15453060452ooooo；問：sin12；cos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常

化切為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的

代換變形有：

1sin2cos2tancotsin90otan45o

降冪公式有：；。降冪并非絕對，有時需要升冪，如對無理式

（4）冪的變換：降冪是三角變換時常用方法，對次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用

1cos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1tan1tan_______________；______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

（其中asinbcos=；）tan；1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無理化有理，特殊

值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

高中數(shù)學(xué)必修5知識點(diǎn)

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc2RsinsinsinC

②sinabc；③a:b:csin:sin:sinC；，sin，sinC2R2R2RC3、三角形面積公式：S111bcsinabsinCacsin．2222222b2c22bccos，推論：cosbca

4、余弦定理：在C中，有a2bc（二）數(shù)列：

1.數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子

集{1,2,3,,n}上的函數(shù)。

（2）通項(xiàng)公式：數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個公式來表示，這個公式即是該數(shù)列的

通項(xiàng)公式。如:

an2n21。

（3）遞推公式：已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與他的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）

可以用一個公式來表示，這個公式即是該數(shù)列的遞推公式。如:

a11,a22,anan1an2(n2)。

2．?dāng)?shù)列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點(diǎn)表示。（3）解析法：用通項(xiàng)公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．?dāng)?shù)列的分類：

有窮數(shù)列按項(xiàng)數(shù)無窮數(shù)列4．?dāng)?shù)列{an}及前n項(xiàng)和之間的關(guān)系:

常數(shù)列:an2n遞增數(shù)列:an2n1,an2

按單調(diào)性2遞減數(shù)列:ann1擺動數(shù)列:a(1)n2nnS1,(n1)anSnSn1,(n2)等比數(shù)列Sna1a2a3an

5．等差數(shù)列與等比數(shù)列對比小結(jié)：一、定義1．a(chǎn)na1n1d二、公式2．Sn等差數(shù)列anan1d(n2)anq(n2)an11．a(chǎn)na1qn1anamnmd,nmna1an2anamqnm,(nm)2dna1q12．Sna11qnaaqn1q11q1q1．a(chǎn),b,c成等比b2na1nn11．a(chǎn),b,c成等差2bac，三、性質(zhì)稱b為a與c的等差中項(xiàng)2．若mnac，稱b為a與c的等比中項(xiàng)，2．若mnpq（m、，pq（m、n、p、q*）n、p、q*）則amanapaq則amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

nn⑧ab0abn,n1．

小結(jié)：代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結(jié)論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗(yàn)證。3、一元二次不等式解法：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)式：ax線性規(guī)劃問題：

1．了解線性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解

2．線性規(guī)劃問題：求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題．3．解線性規(guī)劃實(shí)際問題的步驟：

（1）將數(shù)據(jù)列成表格；（2）列出約束條件與目標(biāo)函數(shù)；（3）根據(jù)求最值方法：①畫：畫可行域；②移：移與目標(biāo)函數(shù)一致的平行直線；③求：求最值點(diǎn)坐標(biāo)；④答；求最值；（4）驗(yàn)證。兩類主要的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:①z2（2）求出對應(yīng)的一元二次方程的根；bxc0,(a0)；

（3）畫出對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)不等號方向取出相應(yīng)的解集。

axby-----直線的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點(diǎn)的距離或圓的半徑；

ab0，b0，則ab2ab，即ab．

2ab；aba0,b0224、均值定理：若aab稱為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．25、均值定理的應(yīng)用：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

若x，則當(dāng)xy時，積xy取得最大值ys（和為定值）

s2．4若xy，則當(dāng)xy時，和xy取得最小值2p．p（積為定值）

注意：在應(yīng)用的時候，必須注意“一正二定三等”三個條件同時成立。

選修1-1,1-2知識點(diǎn)

第一部分簡單邏輯用語

1、命題：用語言、符號或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語句.假命題：判斷為假的語句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”否命題：“若p，則q”逆否命題：“若q，則p”4、四種命題的真假性之間的關(guān)系：

（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．5、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

利用集合間的包含關(guān)系：例如：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；

6、邏輯聯(lián)結(jié)詞：且(and)：命題形式pq；或（or）：命題形式pq；非（not）：命題形式p.

pqpqpqp

真真假假真假真假真假假假真真真假假假真真7、全稱量詞“所有的”、“任意一個”等，用“”表示；

全稱命題p：xM,p(x)；全稱命題p的否定p：xM,p(x)。存在量詞“存在一個”、“至少有一個”等，用“”表示；

特稱命題p：xM,p(x)；特稱命題p的否定p：xM,p(x)；

第二部分圓錐曲線

1、平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．即：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)。

這兩個定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21ab0a2b2y2x21ab0a2b2范圍axa且byb1a,0、2a,0bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0頂點(diǎn)10,b、20,b軸長焦點(diǎn)焦距對稱性離心率短軸的長2b長軸的長2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對稱cb2e120e1aa3、平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡

稱為雙曲線．即：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)。

這兩個定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距．4、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21a0,b0a2b2y2x21a0,b0a2b2范圍頂點(diǎn)軸長焦點(diǎn)焦距對稱性離心率xa或xa，yR1a,0、2a,0ya或ya，xR10,a、20,a虛軸的長2b實(shí)軸的長2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸對稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對稱cb2e12e1aa漸近線方程ybxayaxb5、實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線稱為等軸雙曲線．

6、平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線．7、拋物線的幾何性質(zhì)：y22px標(biāo)準(zhǔn)方程y22pxx22pyx22pyp0圖形頂點(diǎn)p0p0p00,

對稱軸x軸pF,02pF,02pF0,2y軸pF0,2焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程xp2xp2yp2yp2離心率e1范圍x0x0y0y08、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p．9、焦半徑公式：

p；2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0；

2若點(diǎn)x0,y0在拋物線y2pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx02

第三部分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率：

fx2fx1x2x1xx0

f(x0x)f(x0)；．

x2、導(dǎo)數(shù)定義：fx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yf(x0)limx03、函數(shù)yfx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線線的斜率．

4、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：①C0；②(x)nxx"xyfx在點(diǎn)

x0,fx0處的切

"n"n1；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

x"""⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)x"11"；⑧(lnx)xlnax5、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

1fxgxfxgx；

2

fxgxfxgxfxgx；

fxfxgxfxgxgx023gxgx．

6、在某個區(qū)間a,b內(nèi)，若fx0，則函數(shù)yfx在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若fx0，則函數(shù)yfx在這個區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

7、求函數(shù)yfx的極值的方法是：解方程fx0．當(dāng)fx00時：

1如果在x0附近的左側(cè)fx0，右側(cè)fx0，那么fx0是極大值；2如果在x0附近的左側(cè)fx0，右側(cè)fx0，那么fx0是極小值．

8、求函數(shù)yfx在a,b上的最大值與最小值的步驟是：

1求函數(shù)yfx在a,b內(nèi)的極值；

2將函數(shù)yfx的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值fa，fb比較，其中最大的一個是最

大值，最小的一個是最小值．

9、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：最優(yōu)化問題。

第四部分復(fù)數(shù)

1．概念：

(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；(2)z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；

(3)z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2

4．運(yùn)算律：（1）zzzmnmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1z2(m,nN);

z1z)1；zz。z2z2mm5．共軛的性質(zhì)：(z1z2)z1z2；z1z2z1z2；(6．模的性質(zhì)：||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；|z1z2||z1||z2|；

|

z1|z||1；|zn||z|n；z2|z2|第五部分統(tǒng)計(jì)案例

1．線性回歸方程

①變量之間的兩類關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；②制作散點(diǎn)圖，判斷線性相關(guān)關(guān)系

③線性回歸方程：ybxa（最小二乘法）

nxiyinxyi1bn2注意：線性回歸直線經(jīng)過定點(diǎn)(x,y)。2xinxi1aybx2．相關(guān)系數(shù)（判定兩個變量線性相關(guān)性）：r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yiy)2i1注：r>0時，變量x,y正相關(guān)；r

②R2越接近于1，，則回歸效果越好。4．獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類變量關(guān)系）：

隨機(jī)變量K2越大，說明兩個分類變量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。

第六部分推理與證明

一．推理：

合情推理：歸納推理和類比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱為合情推理。①歸納推理：由某類食物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或者有個別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱為歸納推理，簡稱歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。②類比推理：由兩類對象具有類似和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理，稱為類比推理，簡稱類比。注：類比推理是特殊到特殊的推理。

演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理�！叭�段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提---------已知的一般結(jié)論；小前提---------所研究的特殊情況；結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對特殊情況得出的判斷。

二．證明

⒈直接證明綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч�法。分析�?/p>

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2．間接證明------反證法一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

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