高一上半期關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總結(jié)(I)

高一上半期關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總結(jié)（I）

《解決抽象函數(shù)的有關(guān)問題》

作者：高448班彭斐然

注意：本篇總結(jié)選取四個(gè)例題進(jìn)行分析討論和總結(jié)。例題出自平常做過的習(xí)題，“建�！迸c“總結(jié)”兩欄皆為原創(chuàng)，“解析”方面有部分參照了參考書。另外，函數(shù)公式、算式皆是自己本人所打，不足之處還望指正。問題：已知函數(shù)

xy=xx對(duì)于一切實(shí)數(shù)

xx、y滿足時(shí)，，x，且當(dāng)時(shí)yx0，x0，則當(dāng)時(shí)的取值范圍是。解析：令答案：建模：

特殊模型正比例函數(shù)xkxk0xxaxx0a1，易得當(dāng)時(shí)，x1。x1xa(xa0)抽象函數(shù)xyxy冪函數(shù)xxyxy或xyxy（a為常數(shù)）指x數(shù)a(x函a0且,數(shù)axyx或y)xxyy1xyxx或yyx對(duì)數(shù)函數(shù)y

總結(jié)：對(duì)于此類抽象函數(shù)的方法是將一般問題特殊化，即將抽象函數(shù)轉(zhuǎn)化成為學(xué)過的、熟悉的函數(shù)模型來求解，能夠使解題更加有效率。上表中列出的抽象函數(shù)與其特殊模型，可在解題中加以利用。----------------------------------------------------------問題：設(shè)函數(shù)(x)的定義域?yàn)?0,)，且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x、y都有

(xy)(x)(y)恒成立，若已知(2)1。

試求（1）(解析：（1）令x(1)0

12)的值；（2）(2n)的值，其中為n正整數(shù)。

y1，則有(1)(1)(1)

再令x2，y(1212，則(1)(2)()

21)(2)12111)()()()2

4221111(23)()()()()38222（2）由于(2

依此類推可得(2n)答案:(1)1;(2)n

n（其中n為正整數(shù)）

建模：賦值換元法解抽象函數(shù)。

總結(jié)：此類題型在作業(yè)、考試中十分常見，可建立模型賦值換元法，所謂賦值還原法，望文生義，即為通過觀察思考，取出一個(gè)或是幾個(gè)特殊值，最終求出所要求的值。在解題過程中觀察思考的能

力十分重要。

----------------------------------------------------------問題：已知x在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)，a，b都是實(shí)數(shù)，若

abab，求證：ab0

解析：假設(shè)ab0，則有ab，ba。因?yàn)閤在實(shí)數(shù)集R上是增函數(shù)故

ab，

ba，兩式相加

abab，這與題中abab矛盾，故假

設(shè)不成立，即有ab0。答案：如解析中所示。建模：反證法解抽象函數(shù)。

總結(jié)：此題若用直接證法求解難以下手，但若使用初中就已學(xué)過的反證法就容易的多，這就需要我們擁有正難則反的策略，能夠換個(gè)角度思考，化難為易。

----------------------------------------------------------問題：已知x是R的奇函數(shù)，在區(qū)間(0,)上是增函數(shù)，又。，那么xx的解集是（）A．xB．xC．xD．x3x0或x3x3或0x3x3或0x33x0或0x3

解析：根據(jù)題意，可畫出該函數(shù)的大致的圖像，如下圖所示：

如上圖所示，因?yàn)閤是奇函數(shù)，故。又xx，所以x與x異號(hào)，由上圖知3答案:D

建模：數(shù)形結(jié)合思想解決抽象函數(shù)。

總結(jié)：解此類題時(shí)，如若能夠根據(jù)已知條件畫出相應(yīng)的草圖，就會(huì)使題目更加直觀、形象，能夠幫助分析。

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------總而言之，對(duì)于解決抽象函數(shù)很難用一般的方法解決，這就需要我們通過認(rèn)真的觀察與思考，找到一些特殊的方法來幫助解題，提高解題的效率。

------------------------------------------------------（完）

x0或0x3

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高一上半期關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總結(jié)（II）《必修二“圓與方程”一章的重要題型》

作者：高448班彭斐然

注意：本篇總結(jié)選取本章中比較重要的題型進(jìn)行分析討論和總結(jié)。問題皆出自平常做過的習(xí)題、例題。本章重要的計(jì)算公式：

斜率的計(jì)算公式兩點(diǎn)間的距離公式點(diǎn)到直線的距離公式兩平行線間的距離公式直線方程的各種表達(dá)方式：

名稱點(diǎn)斜式斜截式兩點(diǎn)式方程yy0k(xx0)ky2y1x2x122dx2x1dy2y1Ax0By0CABC1C2AB2222d使用要求直線有斜率直線有斜率直線的斜率存在且不為零ykxyy1y2y1bxx1x2x1截距式xayb1直線在坐標(biāo)軸上都有截距一般式AxBy0C適用于任何直線圓的方程的表達(dá)方式：

標(biāo)準(zhǔn)方程一般方程xa222ybr22xyDxEyF0兩條直線的位置關(guān)系應(yīng)滿足的條件

關(guān)系平行重合垂直條件A1B2A2B10BCBC01221A1B2A2B10B1C2B2C10A1B2A2B10--------------------------------------------------------問題：求出滿足下列條件的直線方程：

（1）經(jīng)過點(diǎn)A3,2，且與直線4xy20平行。（2）經(jīng)過點(diǎn)B3,0，且與直線2xy50垂直。

解析：（1）與直線4xy20平行的直線可設(shè)為4xya0，再將點(diǎn)A3,2帶入即可得出所求。

（2）與直線2xy50垂直的直線可設(shè)為x2yb0，再將點(diǎn)B3,0帶入即可得出所求。

答案：（1）4xy140；（2）x2y30。建模：已知直線AxByC10與之平行的直線為AxByC20

與之垂直的直線為BxAyC30

總結(jié)：做題貴在思考和總結(jié)，將學(xué)過的知識(shí)作出總結(jié)，那么到下次做到同樣的題時(shí)便可事半功倍了。

--------------------------------------------------------問題：按要求解題：

（1）求直線l1:8x7y40關(guān)于點(diǎn)M1,0的對(duì)稱直線l2的方程。

（2）求直線a:2xy40關(guān)于直線l:3x4y10的對(duì)稱的直線的方程。

（3）若兩平行直線3x4y10與6x8y30關(guān)于直線l對(duì)稱，求l的方程。

解析：（1）設(shè)Px,y為直線l2上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)M1,0對(duì)稱的點(diǎn)

P12x,y在直線l1上，所以8(2x)7y40，即

8x7y200。故直線l2的方程為8x7y200

（2）設(shè)直線b上任意一點(diǎn)Px,y關(guān)于直線l:3x4y10的對(duì)

xx0yy0341022稱點(diǎn)為Qx0,y0，則yy043xx07x24y6x025，解得y24x7y8025

因?yàn)辄c(diǎn)

225Qx0,y0在直線

40

a:2xy40上，所以有

7x24y624x7y825化簡，得2x11y160，即為直線b的方程。

（3）所求直線與兩直線平行且距離相等，設(shè)l:6x8yc0，則c36822c36822，所以c，即l:6x8y21120。

120。

答案：（1）8x7y200；（2）2x11y160；（3）6x8y建模：（一）直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線

設(shè)點(diǎn)Pm,n，直線l:AxByC0，Pl，直線l關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱直線為l

1求法：由幾何性質(zhì)知直線l與l平行，故可設(shè)直線的方

1程為AxByC1則點(diǎn)P0，到直線l的距離等于點(diǎn)P到l的距離，

11由點(diǎn)到直線的距離公式即可求得C，從而得到直線的方程。

（二）直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線設(shè)直線l1:A1xB1y+C102，直線l:AxByC0，直線l關(guān)

1于直線l的對(duì)稱直線為l。（1）若l程為AxByC21lA1A且B1B，則l2l，故可設(shè)直線l的方

20。

12因?yàn)橹本�l到直線l，l的距離相等，所以C化簡，得C21CCC2，

2CC1。

1（2）若llP，則Pl，且直線l上的點(diǎn)到直線l，l的

212距離相等。設(shè)出直線的方程，在直線上任取一點(diǎn)（異于點(diǎn)P），利用點(diǎn)到直線的距離公式，求的直線l的方程。

2總結(jié)：對(duì)于此類型的題目應(yīng)該建立好模型，以便于節(jié)省做題時(shí)間。

----------------------------------------------------問題：如圖，已知定點(diǎn)A2,0，點(diǎn)Q是圓xAOQ2y42上的動(dòng)點(diǎn)，

的平分線交AQ于M，當(dāng)點(diǎn)Q在圓上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的

軌跡方程。

（圖）

2xax2a22解析：設(shè)點(diǎn)Qx,y，Ma,b，則可知，即y2b2yb2

又Q在圓x22y422上

2a22b4

化簡得，a1M2b1

2點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡方程為a22ay220

答案：a2ay02

建模：代入法解決有關(guān)軌跡方程問題

總結(jié)：如果動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程依賴另一動(dòng)點(diǎn)的軌跡，而又在已知曲線上，則可先列出關(guān)于的方程組，利用表示出，把代入已知曲線方程便可得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，但需要注意，有些不符合的點(diǎn)在最后結(jié)論中應(yīng)表示舍去。

----------------------------------------------------問題：如圖，已知過點(diǎn)M3,3的直線l被圓x截得得弦長為4

2y4y210所

25，求直線的方程。

（圖）

解析：將圓的方程寫成標(biāo)準(zhǔn)式：x2y225

2由此可知，圓的圓心坐標(biāo)是0,2，半徑長是r5由題設(shè)條件可求出圓心到所截弦的距離，即弦心距為

4525225。圓心到直線l的距離為5。

若直線無斜率，則直線的方程為x3，由題設(shè)條件可

求出此時(shí)直線被圓所截得的弦長為845，故直線有斜率。

設(shè)直線的斜率為k，則直線的方程為y3kx3。根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：d或k2

故直線的方程為y3x3或y32x3

2123k3k12解得k12化為一般式，得x2y90或2xy30。

答案：直線方程為x2y90或2xy30。

建模：熟練運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式，解決此類題目。

總結(jié)：關(guān)于直線與圓的位置關(guān)系，不外乎有三種，直線與圓相離、

相切、相交。而其中相交一類的題目最多，常弦長等來出題，解決這類問題的時(shí)候可以考慮圓心到直線的距離，利用公式，來列出關(guān)系式，得出所求。解題中還需注意的是，若直線的方程未知，則需對(duì)直線的斜率進(jìn)行討論，不可貿(mào)然設(shè)出斜率，這樣容易丟失答案。

--------------------------------------------------------問題：已知圓C1:xy2x8y8022，圓C2:xy4x4y2022，

試判斷圓C1與圓C2的位置關(guān)系。

解析：把圓C1的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得:x1圓C1的圓心是點(diǎn)1,4，半徑長r15。把圓C2的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，得:x2知圓C2的圓心是點(diǎn)，半徑長r21022y425，可知

2y2102，可

。

35圓C1與圓C2的連心線長為122422又由題設(shè)條件知r1r2

51035510510，r1r2510。

r1r235r1r2圓C1與圓C2相交。答案:圓C1與圓C2相交。

建模：半徑和、半徑差與圓心距比較大小判斷兩圓的位置關(guān)系�？偨Y(jié)：解決此類問題還可以建立方程求解，但計(jì)算量相對(duì)而言較大，致使解題過慢。應(yīng)建立以上模型，加快解題速度。

--------------------------------------------------------問題：求經(jīng)過點(diǎn)M2,2，以及圓x2

y6x0與圓xy4222交點(diǎn)

的圓的方程。

解析：設(shè)所求圓的方程為x2y26xx2y240

即12x212y6x40

2將M2,2代入上式得4444124，解得4444124

故所求圓的方程為2x22y26x40即x2y3x20

y3x20

22答案：圓的方程為x2建模：

若圓C相交于

221:xyD1xE1yF1022與圓C2:xyD2xE2yF2022A、

B兩點(diǎn)，則過這兩點(diǎn)的圓系方程為

22xyD1xE1yF1xyD2xE2yF201。當(dāng)兩圓相切

時(shí)，方程表示過切點(diǎn)且與兩圓都相切的圓系方程，若示公共弦所在直線的方程。

1，則表

總結(jié)：建立圓系方程的模型，對(duì)解題大有益處，免去了列三個(gè)方程解題的麻煩。

--------------------------------------------------------問題：某圓拱橋的水面跨度是20m,拱高4m,現(xiàn)有一船，寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過？解析:可畫出簡圖如下：

由題意，設(shè)A10,0，B10,0，P0,4，D5,0，E5,0。設(shè)所求方程為xaa102b2r2222有a10br222ab4r2ybr22，于是

a0；解得b10.5

r14.52所以圓拱橋的圓的方程為x2y10.514.520y4

把D點(diǎn)的橫坐標(biāo)x5代入上式，得y3.1。由于船在水面上高3m，而33.1，所以船可以從橋下通過。答案：可以通過。

建模：利用圓的方程解決此類問題

總結(jié)：這類型的題在考試中較為常見，比較簡單，掌握方法即可。----------------------------------------------------（完）

友情提示：本文中關(guān)于《高一上半期關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總結(jié)(I)》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，高一上半期關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的總結(jié)(I)：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

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