高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
一、三角公式以及恒等變換
兩角的和與差公式:SinSinCosCosSin,S()
SinSinCosCosSin,S()CosCosCosSinSin,C()CosCosCosSinSin,C()
tantan,T()1tantantantantan,T()1tantantan二倍角公式:
Sin22SinCos2tantantan1tantan變形:tantantan1tantan
tantantantantantan其中,,為三角形的三個(gè)內(nèi)角Cos22Cos112SinCosSin2tantan21tan2222
半角公式:
Sin21Cos21CosCos222tan21CosSin1Cos
1Cos1CosSin降冪擴(kuò)角公式:Cos21Cos2,Sin21Cos2
21SinSin21積化和差公式:CosSinSinSin
21CosCosCosCos21SinSinCosCos2SinCosSinSin2SinCos22SS2SCSinSin2CosSin和差化積公式:22(SS2CS)
CC2CCCosCos2CosCosCC2SS22CosCos2SinSin222tanSin21tan22萬能公式:
1tan2Cos1tan222(STC)
tan2tan2
1tan2233三倍角公式:Sin33Sin4Sintan33tantan13tan2Cos34Cos33Cos
二、基本三角函數(shù)
2ⅠⅡⅢ2Ⅰ、Ⅲ2Ⅰ、ⅢⅡ、ⅣⅡ、Ⅳ2Ⅳ
三、終邊落在x軸上的角的集合:
2,z
,z2終邊落在y軸上的角的集合:終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合:,z2基本三角函數(shù)符號記1弧度“一全,二正弦,三切,四憶:112180Slrr余弦”221801弧度度180弧度lr360度2弧度.tancot1倒數(shù)關(guān)系:SinCsc1正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1
CosSec1
tan21Sec2平方關(guān)系:Sin2Cos2三個(gè)倒立三角形上底邊對應(yīng)三角函數(shù)的平方何等與對1邊對應(yīng)的三角函數(shù)的平方1Cot2Csc2乘積關(guān)系:SintanCos,頂點(diǎn)的三角函數(shù)等于相鄰的點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)乘積
四、誘導(dǎo)公式終邊相同的角的三角函數(shù)值相等
Sin2kSin,kz
Cos2kCos,kztan2ktan,kz角與角關(guān)于x軸對稱
SinSin
CosCostantan2
角與角關(guān)于y軸對稱
SinSinCosCostantan
角與角關(guān)于原點(diǎn)對稱SinSinCosCostantan
角2與角關(guān)于yx對稱SinCosSinCos22CosSinCosSin22tancottancot22上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限”
五、周期問題
2yACosx,A0,0,T
yASinx,A0,0,TyACosx,A0,0,TyASinxb,A0,0,b0,T2yASinx,A0,0,T2
2yACosxb,A0,0,b0,TTyAcotx,A0,0,yAtanx,A0,0,T
yAcotx,A0,0,TyAtanx,A0,0,T
六、三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ySinxRyCosxR1,12奇函數(shù)2k2,2k2,kz,增函數(shù)32k,2k,kz,減函數(shù)221,12偶函數(shù)2k,2k,kz,增函數(shù)2k,2k,kz,減函數(shù)對稱中心k,0,kzxkk,0,kz2xk,kz54對稱軸圖像2,kz3542y31y2x-8-2π-6-3π/2-4π-2π/2Oπ/22π43π/262π81-1π/2-83π/2O-1x6-2π-6-3π/2-4π-2π/22π42π8-2-2-3-3-4-4-5-5-6性質(zhì)定義域ytanxycotxxx,z2R奇函數(shù)xx,zR奇函數(shù)值域周期性奇偶性單調(diào)性k,k,kz,增函數(shù)22k,k,kz,增函數(shù)k,0,kz2對稱中心對稱軸圖像k,0,kz無108無y64y2x-15-10-5-3π/2ππ/2Oπ/2π3π/2510150x-2-4-6-8-10
怎樣由ySinx變化為yASinxk?
振幅變化:ySinxyASinx左右伸縮變化:
yASinx左右平移變化yASin(x)上下平移變化yASin(x)k
七、三角形中的三角問題
ABCABC,ABC,-22222ABCSinABSinCCosABCosCSinCos22
ABCCosSin22正弦定理:
abcabc2RSinASinBSinCSinASinBSinC余弦定理:
a2b2c22bcCosA,b2a2c22acCosBcab2abCosC222
b2c2a2a2c2b2CosA,CosB2bc2ac變形:222abcCosC2abtanAtanBtanCtanAtanBtanC
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高一數(shù)學(xué)公式總結(jié)
基本三角函數(shù)
Ⅰ2ⅠⅡⅢⅣⅡ終邊落在x軸上的角的集合:
2Ⅰ、Ⅲ2Ⅰ、Ⅲ2Ⅱ、ⅣⅡ、Ⅳy軸上的角的集合:
2,z終邊落在
,z終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合:,z
22基本三角函數(shù)符號記“一全,二正弦,三切,四1180弧度憶:112Slrr余弦”221801弧度度180弧度lr360度2弧度.tancot1倒數(shù)關(guān)系:SinCsc1正六邊形對角線上對應(yīng)的三角函數(shù)之積為1
CosSec1
tan21Sec2平方關(guān)系:Sin2Cos2三個(gè)倒立三角形上底邊對應(yīng)三角函數(shù)的平方何等與對1邊對應(yīng)的三角函數(shù)的平方1Cot2Csc2乘積關(guān)系:SintanCos,頂點(diǎn)的三角函數(shù)等于相鄰的點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)乘積
Ⅲ誘導(dǎo)公式終邊相同的角的三角函數(shù)值相等
Sin2kSin,kz
Cos2kCos,kztan2ktan,kz角與角關(guān)于x軸對稱
SinSinCosCostantan
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角與角關(guān)于y軸對稱
SinSinCosCostantan
角與角關(guān)于原點(diǎn)對稱SinSintantanCosCos
角與角關(guān)于yx對稱SinCosSinCos222Cos2SinCos2Sintan2cottan2cot上述的誘導(dǎo)公式記憶口訣:“奇變偶不變,符號看象限”
Ⅳ周期問題
yASinx,A0,0,T2
yACosx,A0,0,T2
yASinx,A0,0,TyACosx,A0,0,TyASinxb,A0,0,b0,T2yACosxb,A0,0,b0,T2yAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,T
yAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,TⅤ三角函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)ySinxyCosx定義域RR值域1,11,1周期性22奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)單調(diào)性2k,2k2k2,2k2,kz,增函數(shù),kz,增函數(shù)2k,2k,kz,減函數(shù)2k32,2k2,kz,減函數(shù)用心愛心專心115號編輯
2對稱中心k,0,kzk2,0,kz對稱軸xk2,kzxk,kz5圖4534y23y12像x1-8-2π-6-3π/2-4-π-2-π/2Oπ/22π43π/262π8-π/23π/2x-1-8-2π-6-3π/2-4-π-2Oπ/22π462π8-1-2-2-3-3-4-4-5-5-6性質(zhì)ytanxycotx定義域xx,zxx,z2值域RR周期性奇偶性奇函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性k,k,kz,增函數(shù)22k,k,kz,增函數(shù)對稱中心k,0,kzk2,0,kz對稱軸無無10y86圖y42x像-15-10-5-3π/2-π-π/2Oπ/2π3π/251015-20x-4-6-8-10怎樣由ySinx變化為yASinxk?
振幅變化:ySinxyASinx左右伸縮變化:
yASinx左右平移變化yASin(x)上下平移變化yASin(x)k
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3Ⅵ平面向量共線定理:一般地,對于兩個(gè)向量a,a0,b,如果有
一個(gè)實(shí)數(shù),使得ba,a0,則b與a是共線向量;反之如果b與a是共線向量那么又且只有一個(gè)實(shí)數(shù),使得ba.
Ⅶ線段的定比分點(diǎn)
點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比的定義式P1PPP2.線段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式線段定比分點(diǎn)向量公式x1x2x1OP1OP2.OPy1y2y11當(dāng)1時(shí)當(dāng)1時(shí)
線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式線段中點(diǎn)向量公式x1x2x2.OPOP1OP2yy2y122
Ⅷ向量的一個(gè)定理的類似推廣
向量共線定理:baa0推廣
其中e1,e2為該平面內(nèi)的兩個(gè)平面向量基本定理:aee,1122不共線的向量推廣
a1e12e23e3,空間向量基本定理:其中e,e,e為該空間內(nèi)的三個(gè)123不共面的向量Ⅸ一般地,設(shè)向量ax1,y1,bx2,y2且a0,如果a∥b那么x1y2x2y10反過來,如果x1y2x2y10,則a∥b.
Ⅹ一般地,對于兩個(gè)非零向量a,b有ababCos,其中θ為兩向量的夾角。
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Cosababx1x2y1y2x12y12x22y22
特別的,aaaa或者aⅪ
22aa
如果ax1,y1,bx2,y2且a0,則abx1x2y1y2特別的,abx1x2y1y20Ⅻ若正n邊形A1A2An的中心為O,則OA1OA2OAn0
三角形中的三角問題
ABCABC,ABC,-22222ABCSinABSinCCosABCosCSinCos22
ABCCosSin22正弦定理:
abcabc2RSinASinBSinCSinASinBSinC余弦定理:
a2b2c22bcCosA,b2a2c22acCosBcab2abCosC222
b2c2a2a2c2b2CosA,CosB2bc2ac變形:222abcCosC2abtanAtanBtanCtanAtanBtanC
三角公式以及恒等變換
兩角的和與差公式:SinSinCosCosSin,S()
SinSinCosCosSin,S()CosCosCosSinSin,C()CosCosCosSinSin,C()
tantan,T()1tantantantantan,T()1tantantan二倍角公式:
Sin22SinCostantantan1tantan變形:tantantan1tantan
tantantantantantan其中,,為三角形的三個(gè)內(nèi)角Cos22Cos2112Sin2Cos2Sin22tantan21tan2
半角公式:
Sin21Cos2tan21CosCos22
1CosSin1Cos
1Cos1CosSin用心愛心專心115號編輯
降冪擴(kuò)角公式:Cos21Cos2,Sin21Cos2
221SinSin21積化和差公式:CosSinSinSin
21CosCosCosCos21SinSinCosCos2SinCosSinSin2SinCos22SinSin2CosSin和差化積公式:22CosCos2CosCos22CosCos2SinSin222tanSinSS2SC(SS2CS)
CC2CCCC2SS21tan22萬能公式:
1tan2Cos1tan222(STC)
tan2tan2
1tan2233三倍角公式:Sin33Sin4Sintan33tantan213tanCos34Cos33Cos“三四立,四立三,中間橫個(gè)小扁擔(dān)”
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1.yaSinbCosa2b2Sin其中,tanba2.yaCosbSina2b2Sin其中,tanaba2b2Cos其中,tanba3.yaSinbCosa2b2Sin其中,tanbaa2b2Cos其中,tanab4.yaCosbSina2b2Sina2b2Sin其中,tanaba2b2Cos其中,tanba注:不同的形式有不同的化歸,相同的形式也有不同的化歸,進(jìn)而可以求解最值問題.不需要死記公式,只要記憶1.的推導(dǎo)即表達(dá)技巧,其它的就可以直接寫出.一般是表達(dá)式第一項(xiàng)是正弦的就用兩角和與差的正弦來靠,第一項(xiàng)是余弦的就用兩角和與差的與弦來靠.比較容易理解和掌握.
tantantan補(bǔ)充:1.由公式1tantan,T()tantantan1tantan,T()可以推導(dǎo):當(dāng)4時(shí),z,1tan1tan2
在有些題目中應(yīng)用廣泛。
2.tantantantantantan3.柯西不等式(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dR.
補(bǔ)充
1.常見三角不等式:(1)若x(0,2),則sinxxtanx.
(2)若x(0,2),則1sinxcosx2.(3)|sinx||cosx|1.
2.sin()sin()sin2sin2(平方正弦公式);
cos()cos()cos2sin2.
asinbcos=a2b2sin()(輔助角所在象限由點(diǎn)(a,b)的象限決
定,tanba).
3.三倍角公式:sin33sin4sin34sinsin(3)sin(3).cos34cos33cos4coscos()cos(33).用心愛心專心115號編輯
73tantan3tan3tantan()tan().
13tan2334.三角形面積定理:(1)S111ahabhbchc(ha、hb、hc分別表示a、b、c邊上的222高).
(2)S111absinCbcsinAcasinB.222221(|OA||OB|)(OAOB).(3)SOAB2CAB2C22(AB).222k5.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中,有
ABCC(AB)26.正弦型函數(shù)yAsin(x)的對稱軸為x(kZ);對稱中心為
(k,0)(kZ);類似可得余弦函數(shù)型的對稱軸和對稱中心;〈三〉易錯(cuò)點(diǎn)提示:
1.在解三角問題時(shí),你注意到正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域了嗎?你注意到正弦函數(shù)、
余弦函數(shù)的有界性了嗎?2.在三角中,你知道1等于什么嗎?(
這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)“1”的種
種代換有著廣泛的應(yīng)用.
3.你還記得三角化簡的通性通法嗎?(切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角,異名化同名,高次化低次)
4.你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎?(
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