第一篇：幾何法證明不等式

幾何法證明不等式

用解析法證明不等式：

^2<(a^2+b^2)/2

(a,b∈r，且a≠b)

設一個正方形的邊為c,有4個直角三角形拼成這個正方形,設三角形的一條直角邊為a,另一條直角邊為b,(b>a)a=b,剛好構成,若a不等于b時,側中間會出現(xiàn)一個小正方形,所以小正方形的面積為(b-a)^2,經化簡有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因為(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2<=(a^2+b^2)/2,又因為a不等與b,所以不取等號

可以在直角三角形內解決該問題

=^2-(a^2+b^2)/2

=<2ab-(a^2+b^2)>/4

=-(a-b)^2/4

<0

能不能用幾何方法證明不等式，舉例一下。

比如證明sinx不大于x(x范圍是0到兀/2，閉區(qū)間)

做出一個單位圓，

以o為頂點，x軸為角的一條邊

任取第一象限一個角x，

它所對應的弧長就是1*x=x

那個角另一條邊與圓有一個交點

交點到x軸的距離就是sinx

因為點到直線，垂線段長度最小，

所以sinx小于等于x，當且盡當x=0時，取等

已經有的方法：第一數學歸納法2種;反向歸納法(特殊到一般從2^k過渡到n);重復遞歸利用結論法;凸函數性質法;

能給出其他方法的就給分

(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)

一個是算術，一個是幾何。人類認認識算術才有幾何，人類吃飽了就去研究細微的東西，所以明顯有后者小于前者的結論，這么簡單都不懂，叼佬就是叼佬^_^

搞笑歸搞笑，我覺得可以這樣做，題目結論相當于證

(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0

我們記f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)這時n看做固定的。我們討論f的極值，它是一個n元函數，它是沒有最大值的(這個顯然)

我們考慮各元偏導都等于0，得到方程組，然后解出

a1=a2=……=an

再代入f中得0，從而f≥0，里面的具體步驟私下聊，寫太麻煩了。

要的是數學法證明也就是代數法不是用向量等幾何法證明.....有沒有哪位狠人幫我解決下

【柯西不等式的證明】二維形式的證明

(a^2+b^2)(c^2+d^2)(a,b,c,d∈r)

=a^2·c^2+b^2·d^2+a^2·d^2+b^2·c^2

=a^2·c^2+2abcd+b^2·d^2+a^2·d^2-2abcd+b^2·c^2

=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2

≥(ac+bd)^2，等號在且僅在ad-bc=0即ad=bc時成立。

一般形式的證明

求證：(∑ai^2)(∑bi^2)≥(∑ai·bi)^2

證明：

當a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0時，一般形式顯然成立

令a=∑ai^2b=∑ai·bic=∑bi^2

當a1，a2，…，an中至少有一個不為零時，可知a>0

構造二次函數f(x)=ax^2+2bx+c，展開得：

f(x)=∑(ai^2·x^2+2ai·bi·x+bi^2)=∑(ai·x+bi)^2≥0

故f(x)的判別式△=4b^2-4ac≤0，

移項得ac≥b，欲證不等式已得證。

第二篇：不等式的導數法證明

龍源期刊網 http://.cn

不等式的導數法證明 作者：王鎖平

來源：《新高考·高二數學》201*年第02期

第三篇：比較法證明不等式

比較法證明不等式

1.比較法比較法是證明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是兩個實數大小順序和運算性質的直接應用，比較法可分為差值比較法(簡稱為求差法)和商值比較法(簡稱為求商法)。

(1)差值比較法的理論依據是不等式的基本性質：“a-b≥0a≥b;a-b≤0a≤b”。其一般步驟為：①作差：考察不等式左右兩邊構成的差式，將其看作一個整體;②變形：把不等式兩邊的差進行變形，或變形為一個常數，或變形為若干個因式的積，或變形為一個或幾個平方的和等等，其中變形是求差法的關鍵，配方和因式分解是經常使用的變形手段;③判斷：根據已知條件與上述變形結果，判斷不等式兩邊差的正負號，最后肯定所求證不等式成立的結論。應用范圍：當被證的不等式兩端是多項式、分式或對數式時一般使用差值比較法。

(2)商值比較法的理論依據是：“若a，b∈r+，a/b≥1a≥b;a/b≤1a≤b”。其一般步驟為：①作商：將左右兩端作商;②變形：化簡商式到最簡形式;③判斷商與1的大小關系，就是判定商大于1或小于1。應用范圍：當被證的不等式兩端含有冪、指數式時，一般使用商值比較法。

2.綜合法利用已知事實(已知條件、重要不等式或已證明的不等式)作為基礎，借助不等式的性質和有關定理，經過逐步的邏輯推理，最后推出所要證明的不等式，其特點和思路是“由因導果”，從“已知”看“需知”，逐步推出“結論”。其邏輯關系為：ab1b2b3…bnb，即從已知a逐步推演不等式成立的必要條件從而得出結論b。

a>b>0,求證：a^ab^b>(ab)^a+b/2

因a^a*b^b=(ab)^ab,

又ab>a+b/2

故a^a*b^b>(ab)^a+b/2

已知:a,b,c屬于(-2,2).求證：ab+bc+ca>-4.

用極限法取2或-2，結果大于等于-4，因屬于(-2，2)不包含2和-2就不等于-4，結果就只能大于-4

下面這個方法算不算“比較法”啊?

作差m=ab+bc+ca-(-4)=ab+bc+ca+4

構造函數m=f(c)=(a+b)c+ab+4

這是關于c的一次函數(或常函數)，

在com坐標系內，其圖象是直線，

而f(-2)=-2(a+b)+ab+4=(a-2)(b-2)>0(因為a<2,b<2)

f(2)=2(a+b)+ab+4=(a+2)(b+2)>0(因為a>-2,b>-2)

所以函數f(c)在c∈(-2,2)上總有f(c)>0

即m>0

即ab+bc+ca+4>0

所以ab+bc+ca>-4

設x,y∈r,求證x^2+4y^2+2≥2x+4y

(x-1)²≥0

(2y-1)²≥0

x²-2x+1≥0

4y²-4x+1≥0

x²-2x+1+4y²-4x+1≥0

x²+4y²+2≥2x+4x

除了比較法還有：

求出中間函數的值域：

y=(x^2-1)/(x^2+1)

=1-2/(x^2+1)

x為r，

y=2/(x^2+1)在x=0有最小值是2，沒有最大值，趨于無窮校

所以有：

-1<=y=1-2/(x^2+1)<1

原題得到證明

比較法：

①作差比較，要點是：作差——變形——判斷。

這種比較法是普遍適用的，是無條件的。

根據a-b>0a>b，欲證a>b只需證a-b>0;

②作商比較，要點是：作商——變形——判斷。

這種比較法是有條件的，這個條件就是“除式”的符號一定。

當b>0時，a>b>1。

比較法是證明不等式的基本方法，也是最重要的方法，有時根據題設可轉化為等價問題的比較(如冪、方根等)

綜合法是從已知數量與已知數量的關系入手，逐步分析已知數量與未知數量的關系，一直到求出未知數量的解題方法。

第四篇：g3.1038 不等式的證明—比較法

g3.1038 不等式的證明—比較法

一、基本知識

1、求差法：a＞b? a－b＞0

a2、求商法：a＞b＞0??1并且b?0 b

3、用到的一些特殊結論：同向不等式可以相加（正數可以相乘）；異向不等式可以相減；

4、分析法——執(zhí)果索因；模式：“欲證?，只需證?”；

5、綜合法——由因導果；模式：根據不等式性質等，演繹推理

6、分析法”證題的理論依據：尋找結論成立的充分條件或者是充要條件。我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表達.

二、基本訓練

1、已知下列不等式:

(1)x2?3?2x(x?r) (2)a5?b5?a3b2?a2b3(a,b?r)(3)a2?b2?2(a?b?1)其中正確的個數為 ???????????????????()

(a)0(b)1(c) 2(d) 3

2、1＞a＞b＞0，那么???????????????????（）

a?ba?b(a)a＞＞ab＞b(b) b＞＞ab＞a22

a?ba?b(c) a＞＞b＞ab(d) ＞ab＞a＞b 22

??3、如果－＜b＜a＜，則b－a的取值范圍是?????????（） 22

???(a)－?＜b－a＜0(b) －?＜b－a＜?(c) －＜b－a＜0(d) －＜b－a＜222

4a4、已知a?2,那么（填“>”或者“<”） 4?a2

a5、若a?1，0?b?1，則logb

a?logb的范圍是_____________

6、若a?b?c?1，則a2?b2?c2的最小值為_____________

三、例題分析：

例1、求證：若a、b>0,n>1,則an?bn?an?1b?abn?1

例2、已知：a、b

?

例3、a、b、c、d、m、n全是正數，比較p=ab?cdq=ma?nc?

例4、比較aabb與baab(0?a?b)的大小。 變題：求證：ab?(ab)

例5、a∈r，函數f(x)?a?2 x2?1aba?b2bd?的大小. mn(a?0,b?0)

(1)判斷此函數的單調性。

n2(2)f(n)=,當函數f(x)?a?x為奇函數時，比較f(n),f(n)的大小. n?12?1

例6、設二次函數f(x)?ax2?bx?c(a?0)，方程f(x)?x?0的兩個根x1、x2滿足0?x1?x2?1。 a

（1） 當x?(0,x1)時，證明：x?f(x)?x1

（2） 設函數f(x)的圖象關于直線x?x0對稱，證明：x0?

四、同步練習：g3.1038 不等式的證明—比較法

1、不等式：⑴x3＋3>2x；⑵a5＋b5<a3b2＋a2b3；⑶a2＋b2≥2(a＋b－1)；⑷|ab?|?2恒成立bax1。 2的有()

(a)⑴、⑵(b) ⑴、⑶(c) ⑶、⑷(d) ⑴、⑵、⑶、⑷

2、 對x?r都成立的不等式是????????????????????? ()

(a)lg(x2?1)?lg2x (b) x2?1?2x(c)

3、0＜a＜1，f=2a，g=1?a，h=12(d)x?4?4x?12x?11，那么f、g、h中最小的是???（） 1?a

(a)f(b) g(c) h(d) 不能確定

4、a>b>0，則下列不等式恒成立的是??????????????????（）

b2?1b22a?bb11(a)?2(c)a??b?(d) aa>bb ?(b)2a?2baaba?1a

5、x>100，那么lg2x,lgx2,lglgx從大到小的順序為.

7(2x?2y)6、若x、y滿足y?x2，則式log2?的符號是________。 8227、a＞0，b＞0，a＋b=1，比較m=x＋y與n=(ax＋by)2＋(bx＋ay)2的大小.

8、比較xn?1?yn?1與xny?xyn(n?n,x,y?r?)大小

9、已知△abc的外接圓半徑r=1，s?abc?

t?111??。求證：t?s abc1，令s?a??c，b、a、c是三角形的三邊，4

?a2??b2a?b2??() 10、設a、b為實數，求證：42

11、已知正數a、b、c滿足a?b?2c，求證：

（1）c2?ab

（2）c?c2?ab?a?c?c2?ab

答案：ddad5、lg2x>lgx2>lglgx6、“+”、m?n.8、xn?1?yn?1?xny?xyn

第五篇：函數法證明不等式

函數法證明不等式

已知函數f(x)=x-sinx,數列{an}滿足0

<1>證明0

<2>證明an+1<(1/6)×(an)^3

它提示是構造一個函數然后做差求導，確定單調性。可是還是一點思路都沒有，各位能不能給出具體一點的解答過程啊?

((推薦打開范文網www.7334dd.com是正數，求證：

p12例題2:已知a，b，m，都是正數，且a二、利用分式函數的奇偶性證明不等式

【例2】證明不等式：(x≠0)

證明：構造函數f(x)=

∵f(-x)=

=f(x)

∴f(x)是偶函數，其圖像關于y軸對稱。

當x>0時，<0，f(x)<0;

當x<0時，-x>0,故f(x)=f(-x)<0

∴<0，即

三、構造一次函數，利用一次函數的單調性證明不等式

【例3】已知|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：a+b+c證明：構造函數f(c)=(1-ab)c+a+b-2

∵|a|<1，|b|<1

∴-10

∴f(c)的(-1，1)上是增函數

∵f(1)=1-ab+a+b-2=a+b–ab-1=a(1-b)-(1-b)=(1-b)(a-1)<0

∴f(1)<0，即(1-ab)c+a+b-2<0

∴a+b+c。

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賦值法證明不等式

構造法證明不等式

向量法證明不等式

構造法證明不等式例說

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