0可知原不等式等價(jià)于不等式:|a|+|b|≤(√2)|a+b|該" />
第一篇:分析法證明不等式
分析法證明不等式
已知非零向量a,b,a⊥b,求證|a|+|b|/|a+b|<=√2
【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由題設(shè)條件可知,
a+b≠0(向量)
∴|a+b|≠0.
具體的,即是|a+b|>0
【2】
顯然,由|a+b|>0可知
原不等式等價(jià)于不等式:
|a|+|b|≤(√2)|a+b|
該不等式等價(jià)于不等式:
(|a|+|b|)²≤².
整理即是:
a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)
【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²
又ab=0,故接下來(lái)就有】】
a²+b²≤2a²+2b²
0≤a²+b²
∵a,b是非零向量,
∴|a|≠0,且|b|≠0.
∴a²+b²>0.
推上去,可知原不等式成立。
作為數(shù)學(xué)題型的不等式證明問(wèn)題和作為數(shù)學(xué)證明方法的分析法,兩者皆為中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)難點(diǎn)。本文僅就用分析法證明不等式這一問(wèn)題稍作探討。
注:“本文中所涉及到的圖表、公式注解等形式請(qǐng)以pdf格式閱讀原文。”
就是在其兩邊同時(shí)除以根號(hào)a+根號(hào)b,就可以了。
下面我給你介紹一些解不等式的方法
首先要牢記一些我們常見(jiàn)的不等式。比如均值不等式,柯西不等式,還有琴深不等式(當(dāng)然這些是翻譯的問(wèn)題)
然后要學(xué)會(huì)用一些函數(shù)的方法,這是解不等式最常見(jiàn)的方法。分析法,綜合法,做減法,假設(shè)法等等這些事容易的。
在考試的時(shí)候方法最多的是用函數(shù)的方法做,關(guān)鍵是找到函數(shù)的定義域,還有求出它的導(dǎo)函數(shù)。找到他的最小值,最大值。
在結(jié)合要求的等等
一句話要靈活的用我們學(xué)到的知識(shí)解決問(wèn)題。
還有一種方法就是數(shù)學(xué)證明題的最會(huì)想到的。就是歸納法
這種方法最好,三部曲。你最好把它掌握好。
若正數(shù)a,b滿(mǎn)足ab=a+b+3,則ab的取值范圍是?
解:ab-3=a+b>=2根號(hào)ab
令t=根號(hào)ab,
t^2-2t-3>=0
t>=3ort<=-1(舍)
即,根號(hào)ab>=3,
故,ab>=9(當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3是取等號(hào))。
第二篇:分析法證明不等式08
分析法證明不等式
教學(xué)目標(biāo):
1.掌握分析法證明不等式;
2.理解分析法實(shí)質(zhì)——執(zhí)果索因;
3.提高證明不等式證法靈活性.
教學(xué)重點(diǎn):
分析法
教學(xué)難點(diǎn):
分析法實(shí)質(zhì)的理解
教學(xué)過(guò)程:
一.分析法:
證明不等式時(shí),有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種方法通常叫做分析法.
例1求證3?7?25 證明:因?yàn)?和2都是正數(shù),所以為了證明??2 只需證明(3?7)2?(2)2
展開(kāi)得10?221?20
即221?10,21?25
因?yàn)?1?25成立,所以
(3?7)2?(2)2成立 即證明了??2
注意:①分析法是“執(zhí)果索因”,步步尋求上一步成立的充分條件,它與
綜合法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法.綜合法是“由因?qū)Ч?/p>
②分析法論證“若a則b”這個(gè)命題的模式是:為了證明命題b為真,這只需要證明命題b1為真,從而有??
這只需要證明命題b2為真,從而又有??
這只需要證明命題a為真
而已知a為真,故b必真
例2證明:通過(guò)水管放水,當(dāng)流速相同時(shí),如果水管截面的周長(zhǎng)相等,那么截面是圓的水管比截面是正方形的水管流量大.
分析:當(dāng)水的流速相同時(shí),水管的流量取決于水管截面面積的大小,
ll設(shè)截面的周長(zhǎng)為l,則周長(zhǎng)為l的圓的半徑為,截面積為t1()2;周2?2?
ll長(zhǎng)為l的正方形邊長(zhǎng)為,截面積為()2.所以本題只需證明44
ll?()2?()2. 2?(本文來(lái)源公文素材庫(kù)www.7334dd.com均是正數(shù),且a< b,求證:
ab?≥2 baa?ma> b+mb
例4、已知a 、b、c?r,求證:a?b?c≥ab?bc?ca
例5、已知a 、b、c、d?r,求證: a?b
例6、已知a 、b、c是正數(shù),求證:a?b?c≥3abc并指出等號(hào)成立的條件
例7、已知a、b、c是不全相等的正數(shù),且abc?1。求證:a?b?c?
五、課堂練習(xí):
(1)xy?0,求證:xy?333222?22??c2?d2?≥?ac?bd? 2111?? abc1xy???4xyyx
28江蘇省鄭梁梅高級(jí)中學(xué)高二數(shù)學(xué)作業(yè)(理)
班級(jí)姓名學(xué)號(hào)_______
1、設(shè)x?r下列式子正確的有
(1)、xg(l1)2xg)(l?
(3)、2?(2)、x2?12x?11(4)、?1x??2 x2?1x
a2?b2aba?b22、若a,b?r,且ab?0,則在①?ab②??2③ab??? 2ba2
a?b2a2?b2
④?這四個(gè)式子中,恒成立的個(gè)數(shù)是??22
3、已知a,b,c均大于1,且logac?logbc?4,則下列式子正確的是
(1)、ac?b(2)、ab?c(3)、bc?a(4)、ab?c
4、設(shè)m?xcos??ysin??n?xsin??ycos?,比較大。簃n____xy
5、若x?3y-1?0,則2?8的最小值為_(kāi)__________
6、比較大。簂g9?lg11______1
三、簡(jiǎn)答題:
7、已知a,b,c?r。求證:
8、已知a,b?r且a?b。求證:
?2222xy?bccaab???a?b?c abcab?ba?a?b
9、已知a、b、c是互不相等的實(shí)數(shù)。求證:
a4?b4?c4?a2b2?b2c2?c2a2?abc(a?b?c)
10、已知a,b,c?r,且abc?1。求證:(1?a)(1?b)(1?c)?8
11、已知a,b,c?r。求證:
12、已知a、b、c均是正數(shù),且a?b?c?1。求證:(1?a)(1-b)(1-c)?8abc
13、已知a、b、c是不全相等的正數(shù)。
求證: a(b?c)?b(c?a)?c(b?a)?6abc
222222??b?c-ac?a-ba?b-c???3 abc
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