第一篇:向量法證明正弦定理
向量法證明正弦定理
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o于d.連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
2
如圖1,△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于向量ac,則j與向量ab的夾角為90°-a,j與向量cb的夾角為90°-c
由圖1,ac+cb=ab(向量符號打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·ac+cb=j·ab
∴│j││ac│co(更多請搜索www.7334dd.com,解三角形。
評述:此類問題結果為唯一解,學生較易掌握,先利用內(nèi)角和180°求出
第三角,再利用正弦定理.
7.能力提升
例2:在△abc中,
°,a=2,求b,b,c。
評述:此類問題結果為多解,學生容易產(chǎn)生漏解的情況,在此題的解題過程
中,讓學生自主練習,然后在課堂上討論,通過相互交流,總結出存在多解的情況,應與大邊對大角結合分情況討論,培養(yǎng)學生分類討論的思想。
8.課堂總結
總結本堂課的內(nèi)容:正弦定理、正弦定理適用范圍、正弦定理應該注意的問題
9.課后作業(yè)
(1)在?abc中,已知角
?b?45?,c?22,b???43,則角a的值是 ??a.15b.75c.105d.75或15
(2)在△abc中,若a?30?,b?60?,則a:b:c?
?b?60,b?76,a?14,則a=?abc (3)在中,若
?a?,b?2,b?45?abc (4)在中,已知,解三角形。
第三篇:向量證明正弦定理
向量證明正弦定理
表述:設三面角∠p-abc的三個面角∠bpc,∠cpa,∠apb所對的二面角依次為∠pa,∠pb,∠pc,則sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa=sin∠pc/sin∠apb。
目錄
1證明2全向量證明
證明
過a做oa⊥平面bpc于o。過o分別做om⊥bp于m與on⊥pc于n。連結am、an。顯然,∠pb=∠amo,sin∠pb=ao/am;∠pc=∠ano,sin∠pc=ao/an。另外,sin∠cpa=an/ap,sin∠apb=am/ap。則sin∠pb/sin∠cpa=ao×ap/(am×an)=sin∠pc/sin∠apb。同理可證sin∠pa/sin∠bpc=sin∠pb/sin∠cpa。即可得證三面角正弦定理。
全向量證明
如圖1,△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于向量ac,則j與向量ab的夾角為90°-a,j與向量cb的夾角為90°-c
由圖1,ac+cb=ab(向量符號打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·ac+cb=j·ab
∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)
=│j││ab│cos(90°-a)
∴asinc=csina
∴a/sina=c/sinc
同理,過點c作與向量cb垂直的單位向量j,可得
c/sinc=b/sinb
∴a/sina=b/sinb=c/sinc
2步驟1
記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)
=-asinc+csina=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.
在銳角△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步驟3.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o于d.連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
類似可證其余兩個等式。
3
用向量叉乘表示面積則s=cb叉乘ca=ac叉乘ab
=>absinc=bcsina(這部可以直接出來哈哈,不過為了符合向量的做法)
=>a/sina=c/sinc
201*-7-1817:16jinren92|三級
記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△abc中,證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,
4
過三角形abc的頂點a作bc邊上的高,垂足為d.(1)當d落在邊bc上時,向量ab與向量ad的夾角為90°-b,向量ac與向量ad的夾角為90°-c,由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等,有數(shù)量積的幾何意義可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-b)=向量的ac絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)當d落在bc的延長線上時,同樣可以證得
第四篇:用向量證明正弦定理
用向量證明正弦定理
如圖1,△abc為銳角三角形,過點a作單位向量j垂直于向量ac,則j與向量ab的夾角為90°-a,j與向量cb的夾角為90°-c
由圖1,ac+cb=ab(向量符號打不出)
在向量等式兩邊同乘向量j,得·
j·ac+cb=j·ab
∴│j││ac│cos90°+│j││cb│cos(90°-c)
=│j││ab│cos(90°-a)
∴asinc=csina
∴a/sina=c/sinc
同理,過點c作與向量cb垂直的單位向量j,可得
c/sinc=b/sinb
∴a/sina=b/sinb=c/sinc
2步驟1
記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,ca為向量a,b,c
∴a+b+c=0
則i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)
=-asinc+csina=0
接著得到正弦定理
其他
步驟2.
在銳角△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足為點h
ch=a·sinb
ch=b·sina
∴a·sinb=b·sina
得到a/sina=b/sinb
同理,在△abc中,
b/sinb=c/sinc
步驟3.
證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:
任意三角形abc,作abc的外接圓o.
作直徑bd交⊙o于d.連接da.
因為直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度
因為同弧所對的圓周角相等,所以∠d等于∠c.
所以c/sinc=c/sind=bd=2r
類似可證其余兩個等式。
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用向量叉乘表示面積則s=cb叉乘ca=ac叉乘ab
=>absinc=bcsina(這部可以直接出來哈哈,不過為了符合向量的做法)
=>a/sina=c/sinc
201*-7-1817:16jinren92|三級
記向量i,使i垂直于ac于c,△abc三邊ab,bc,接著得到正弦定理其他步驟2.在銳角△abc中,證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r:任意三角形abc,
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過三角形abc的頂點a作bc邊上的高,垂足為d.(1)當d落在邊bc上時,向量ab與向量ad的夾角為90°-b,向量ac與向量ad的夾角為90°-c,由于向量ab、向量ac在向量ad方向上的射影相等,有數(shù)量積的幾何意義可知向量ab*向量ad=向量ac*向量ad即向量ab的絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-b)=向量的ac絕對值*向量ad的絕對值*cos(90°-c)所以csinb=bsinc即b/sinb=c/sinc(2)當d落在bc的延長線上時,同樣可以證得
第五篇:用正弦定理證明三重向量積
用正弦定理證明三重向量積
作者:光信1002班 李立
內(nèi)容:通過對問題的討論和轉化,最后用正弦定理來證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。
首先,根據(jù)叉乘的定義,a、b、a?b可以構成一個右手系,而且對公式的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn),在公式中,a與b是等價的,所以我們不妨把a、b、a?b放在一個空間直角坐標系中,讓a與b處于oxy面上,a?b與z軸同向。如草圖所示:
其中,向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解,即:
c?cz?cxy
將式子帶入三重向量積的公式中,發(fā)現(xiàn),化簡得:
(a?b)?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個式子等價
現(xiàn)在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況,其他的角度情況以此類推。
由圖易得,(a?b)?c與a、b共面,a與b不共線,不妨設(
a?b)?c?xa?yb,
a,cxy
?(
?
,?),b,cxy
?(0,
?
),所以:
在三角形中使用正弦定理,得
a?b)?csin[?-a,b]
?sin[
xa
?
yb
sin[a,cxy?
?k]
?
?b,cxy?
又因為a?b)?c?abcsina,b
所以,解得k=abc, 于是解得:
x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy
?b?cxy ??a?cxy
由圖示和假定的條件,(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負值,所以x,y都取負值,
所以,
(a?b)?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b
其他的相對角度關系,以此類推,也能得到相同的答案,所以:
(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b,命題得證。
小結論:當直觀解答有困難時,可以通過分析轉化的方法來輕松地解決。
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