第一篇：向量積分配律的證明
向量積分配律的證明
三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對(duì)稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。
下面把向量外積定義為：
a×b=|a|·|b|·sin.
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗(yàn)證。有興趣的話請(qǐng)自己參閱參考文獻(xiàn)中的證明。
下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：
1)外積的反對(duì)稱性：
a×b=-b×a.
這由外積的定義是顯然的。
2)內(nèi)積(即數(shù)積、點(diǎn)積)的分配律：
a·(b+c)=a·b+a·c,
(a+b)·c=a·c+b·c.
這由內(nèi)積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。
3)混合積的性質(zhì)：
定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混合積，容易證明：
i)(a×b)·c的絕對(duì)值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號(hào)由a,b,c的定向決定(右手系為正，左手系為負(fù))。
從而就推出：
ii)(a×b)·c=a·(b×c)
所以我們可以記a,b,c的混合積為(a,b,c).
由i)還可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我們還有下面的一條顯然的結(jié)論：
iv)若一個(gè)矢量a同時(shí)垂直于三個(gè)不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。
下面我們就用上面的1)2)3)來(lái)證明外積的分配律。
設(shè)r為空間任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數(shù)積分配律2)，就有
r·(a×(b+c))
=(r×a)·(b+c)
=(r×a)·b+(r×a)·c
=r·(a×b)+r·(a×c)
=r·(a×b+a×c)
移項(xiàng)，再利用數(shù)積分配律，得
r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0
這說(shuō)明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一個(gè)矢量。按3)的iv)，這個(gè)矢量必為零矢量，即
a×(b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有
a×(b+c)=a×b+a×c.
證畢。
三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對(duì)稱性、內(nèi)積的分配律和混合積性質(zhì)，以代數(shù)方法證明。
下面把向量外積定義為：
a×b=|a|·|b|·sin.
分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗(yàn)證。有興趣的話請(qǐng)自己參閱參考文獻(xiàn)中的證明。
下面給出代數(shù)方法。我們假定已經(jīng)知道了：
1)外積的反對(duì)稱性：
a×b=-b×a.
這由外積的定義是顯然的。
2)內(nèi)積(即數(shù)積、點(diǎn)積)的分配律：
a·(b+c)=a·b+a·c,
(a+b)·c=a·c+b·c.
這由內(nèi)積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。
3)混合積的性質(zhì)：
定義(a×b)·c為矢量a,b,c的混合積，容易證明：
i)(a×b)·c的絕對(duì)值正是以a,b,c為三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負(fù)號(hào)由a,b,c的定向決定(右手系為正，左手系為負(fù))。
從而就推出：
ii)(a×b)·c=a·(b×c)
所以我們可以記a,b,c的混合積為(a,b,c).
由i)還可以推出：
iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)
我們還有下面的一條顯然的結(jié)論：
iv)若一個(gè)矢量a同時(shí)垂直于三個(gè)不共面矢a1,a2,a3，則a必為零矢量。
下面我們就用上面的1)2)3)來(lái)證明外積的分配律。
設(shè)r為空間任意矢量，在r·(a×(b+c))里，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數(shù)積分配律2)，就有
r·(a×(b+c))
=(r×a)·(b+c)
=(r×a)·b+(r×a)·c
=r·(a×b)+r·(a×c)
=r·(a×b+a×c)
移項(xiàng)，再利用數(shù)積分配律，得
r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0
這說(shuō)明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一個(gè)矢量。按3)的iv)，這個(gè)矢量必為零矢量，即
a×(b+c)-(a×b+a×c)=0
所以有
a×(b+c)=a×b+a×c.
證畢。
第二篇：1201*-向量數(shù)量積的運(yùn)算律
向量數(shù)量積的運(yùn)算律
制作人：張明娟審核人：葉付國(guó)使用時(shí)間：201*-5-8編號(hào)：1201* 學(xué)習(xí)目標(biāo)：
1、 掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其運(yùn)算；
2、 通過(guò)向量數(shù)量積分配律的學(xué)習(xí)，體會(huì)類比、猜想、證明的探索性學(xué)習(xí) 方法；
3、通過(guò)解題實(shí)踐，體會(huì)向量數(shù)量積的運(yùn)算方法.
學(xué)習(xí)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其應(yīng)用.
學(xué)習(xí)難點(diǎn)：向量數(shù)量積分配律的證明.
重點(diǎn)知識(shí)回顧：
1、兩個(gè)向量的夾角的范圍是：；
2、向量在軸上的正射影
正射影的數(shù)量為；
??3、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）：a·b=；
4、兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：
??（1）a?b?；
（2）a?aa
（3）cos?=；
向量數(shù)量積的運(yùn)算律
1（）a?b?b?a;
(2)(?
(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c
22 平面向量數(shù)量積的常用公式
(1)(a2
(2)(a?b)(a
證明：（1）
（2）
?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22
典例剖析：
例????1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，
??求：（1）b在a方向上的投影；
??（2）a在b方向上的投影；
（3）a ?2b?a?3b??
例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：
22 （）a?b；（2）a?
b；（3）（2a 1
（4?5
? ?b）（?a?3b）
??1,a與b夾角為120，問(wèn)t取何值0
?t
例
????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí)，向量a?kb與a?kb 互相垂直？
???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.
練習(xí)題:求證菱形的對(duì)角線互相垂直.
例
???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.
課堂小結(jié)：
跟蹤練習(xí)：
1、下列運(yùn)算不正確的是（）
a.??a??b??c??a????b?c??b.???a?b??c??a??c???b?c?
c.m???a???b?ma??mbd. ?a???b??c??a????b?c??
2、設(shè)e?、e?，則?2e????
12是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（
a.?99
2b. 2c.?8d.8
3、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；
4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4， ?b?2，求：
（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b
）
第三篇：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的教案說(shuō)明
《平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律》的教案說(shuō)明
新疆石河子第一中學(xué)曹麗梅
一、教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)：
本教案是人教版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）第五章平面向量的第六節(jié)內(nèi)容，整個(gè)課題按照課程標(biāo)準(zhǔn)分兩個(gè)課時(shí)，這是第一課時(shí)的教案。
平面向量數(shù)量積第一課時(shí)的教學(xué)，通常要求形成數(shù)量積的概念，得出數(shù)量積運(yùn)算的公式，并把培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和應(yīng)用意識(shí)的目標(biāo)，有機(jī)地融入知識(shí)學(xué)習(xí)和技能形成的過(guò)程之中。平面向量數(shù)量積是平面向量的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一，這一節(jié)主要介紹兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，是中學(xué)代數(shù)中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，與數(shù)的乘法有區(qū)別，同時(shí)這一節(jié)與下一節(jié)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示有著緊密聯(lián)系。由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換的橋梁。而這一切之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，平面向量的數(shù)量積功不可沒(méi)。通過(guò)對(duì)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積，幾何意義，重要性質(zhì)及運(yùn)算律，又可使學(xué)生了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度，角度，和垂直問(wèn)題，而且為平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)做了充分準(zhǔn)備，對(duì)后面正，余弦定理的證明起到至關(guān)重要的作用，因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容起著承前啟后的作用。
根據(jù)“平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律”在高中數(shù)學(xué)中的地位與作用，并且考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)以人為本注重對(duì)學(xué)生自主能力的培養(yǎng)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，觀察問(wèn)題，進(jìn)而得以解決問(wèn)題，在這一過(guò)程中希望能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。
二、教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用及滲透
平面向量作為一種工具，重在應(yīng)用，而且今后用向量方法特別便于研究空間里涉及直線和平面的各種問(wèn)題；而平面向量的數(shù)量積作為一種特殊的運(yùn)算也有它不可替代的作用，如：求向量的模長(zhǎng)，夾角，推導(dǎo)正、余弦定理等。
由于向量來(lái)源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用，眾所周知，物理與數(shù)學(xué)是密不可分的，而向量在物理中的應(yīng)用比比皆是，舉不勝舉，反過(guò)來(lái)物理又可為某些數(shù)學(xué)知識(shí)作有效的解釋。比如：本課時(shí)的引入就是以物體在力的作用下所做的功為模型，事實(shí)上這也就是平面向量數(shù)量積的物理意義，這樣可以更貼近生活，使學(xué)生更容易理解平面向量數(shù)量積的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。同時(shí)解析幾何也往往將向量作為有力的解題工具。
三、教學(xué)分析
《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)課程要實(shí)現(xiàn)：人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”同時(shí)，她倡導(dǎo)的“關(guān)注過(guò)程”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”“發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)”等都向我們昭示出高中數(shù)學(xué)課程的價(jià)值取向。
為使《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》得以順利實(shí)施，教師理應(yīng)不斷更新教學(xué)觀念，努力成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。通過(guò)精心設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反思，不斷改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段??以優(yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)的效率。課程設(shè)計(jì)必須從學(xué)生的角度出發(fā)，要與學(xué)生的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)、感悟和實(shí)踐過(guò)程。
基于以上認(rèn)識(shí)，對(duì)于“平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律”引入，我進(jìn)行了這樣的
教學(xué)設(shè)計(jì)： 首先演示一個(gè)外力作功的實(shí)驗(yàn)：www.7334dd.com)知識(shí)解決問(wèn)題的能力將得到提高。由于課堂教學(xué)準(zhǔn)備的較充分，基本能達(dá)到預(yù)定目標(biāo)。
教學(xué)反思，是教師對(duì)自身教學(xué)工作的檢查與評(píng)定，是整理教學(xué)中的反饋信息，適時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)、找出教學(xué)的成功與不足的重要過(guò)程。因此教學(xué)后適時(shí)的反思有利于促進(jìn)教學(xué)，以上就是我對(duì)本節(jié)課的理解和反思。
第四篇：用正弦定理證明三重向量積
用正弦定理證明三重向量積
作者：光信1002班 李立
內(nèi)容：通過(guò)對(duì)問(wèn)題的討論和轉(zhuǎn)化，最后用正弦定理來(lái)證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。
首先，根據(jù)叉乘的定義，a、b、a?b可以構(gòu)成一個(gè)右手系，而且對(duì)公式的觀察與分析我們發(fā)現(xiàn)，在公式中，a與b是等價(jià)的，所以我們不妨把a(bǔ)、b、a?b放在一個(gè)空間直角坐標(biāo)系中，讓a與b處于oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：
其中，向量c可以沿著z軸方向與平行于oxy平面的方向分解，即：
c?cz?cxy
將式子帶入三重向量積的公式中，發(fā)現(xiàn)，化簡(jiǎn)得：
（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個(gè)式子等價(jià)
現(xiàn)在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況，其他的角度情況以此類推。
由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，不妨設(shè)(
a?b)?c?xa?yb，
a,cxy
?(
?
,?),b,cxy
?(0,
?
)，所以：
在三角形中使用正弦定理，得
a?b）?csin[?-a,b]
?sin[
xa
?
yb
sin[a,cxy?
?k]
?
?b,cxy?
又因?yàn)閍?b）?c?abcsina,b
所以，解得k=abc， 于是解得：
x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy
?b?cxy ??a?cxy
由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆為負(fù)值，所以x，y都取負(fù)值，
所以，
（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b
其他的相對(duì)角度關(guān)系，以此類推，也能得到相同的答案，所以：
(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。
小結(jié)論：當(dāng)直觀解答有困難時(shí)，可以通過(guò)分析轉(zhuǎn)化的方法來(lái)輕松地解決。
第五篇：兩個(gè)向量的數(shù)量積
8、《兩個(gè)向量的數(shù)量積》說(shuō)課稿
尊敬的各位評(píng)委老師：
大家好！今天我說(shuō)課的內(nèi)容是《兩個(gè)向量的數(shù)量積》�，F(xiàn)代教育理論指出學(xué)生是教學(xué)的主體，教師的教應(yīng)本著從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律出發(fā)、以學(xué)生活動(dòng)為主線、在原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上、建構(gòu)新的知識(shí)體系。本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)中，我將此理念貫穿于整個(gè)教學(xué)過(guò)程中。下面就從教材分析、教學(xué)目標(biāo)分析、重難點(diǎn)分析、教法分析、學(xué)法分析、教學(xué)設(shè)計(jì)、板書設(shè)計(jì)及教學(xué)評(píng)價(jià)等方面進(jìn)行說(shuō)明。
一、教材分析
《兩個(gè)向量的數(shù)量積》是現(xiàn)行人教版高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)下第九章第5節(jié)的內(nèi)容。在本節(jié)之前，同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了空間向量的一些知識(shí)，包括空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算、共線向量和共面向量、空間向量基本定律，這些知識(shí)是學(xué)習(xí)本節(jié)的基礎(chǔ)。
向量概念的引入是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)捷徑，同時(shí)也引入了一種新的解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法：坐標(biāo)法，同時(shí)也引入了一種新的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合的思想。同時(shí)，兩個(gè)向量之間的位置關(guān)系可以通過(guò)數(shù)量積來(lái)表示。因此，研究?jī)蓚�(gè)向量的數(shù)量積是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重點(diǎn)知識(shí)。
二、教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)上述教材結(jié)構(gòu)與內(nèi)容分析，考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，制定如下教學(xué)目標(biāo)：
1．基礎(chǔ)知識(shí)目標(biāo)：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法，掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的概念、性質(zhì)、計(jì)算方法及運(yùn)算律；
2．能力訓(xùn)練目標(biāo)：掌握兩個(gè)向量數(shù)量積的主要用途，會(huì)用它解決立體幾何中的一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。
3．個(gè)性品質(zhì)目標(biāo)：訓(xùn)練學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，了解數(shù)量積在實(shí)際問(wèn)題中的初步應(yīng)用。
4．創(chuàng)新素質(zhì)目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想。
三、重難點(diǎn)分析
教學(xué)的重點(diǎn)是兩個(gè)向量數(shù)量積的計(jì)算方法及其應(yīng)用，在此基礎(chǔ)上應(yīng)該讓學(xué)生理解兩個(gè)向量數(shù)量積的幾何意義，這也就是本節(jié)課的難點(diǎn)。
下面，為了講清重點(diǎn)、難點(diǎn)，使學(xué)生能達(dá)到本節(jié)設(shè)定的教學(xué)目標(biāo)，我將從教法和學(xué)法上進(jìn)行講解。
四、教法
教學(xué)過(guò)程是教師和學(xué)生共同參與的過(guò)程，啟發(fā)學(xué)生自主性學(xué)習(xí)，充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性、主動(dòng)性；有效地滲透數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生素質(zhì)。根據(jù)這樣的原則和所要完成的教學(xué)目標(biāo)，并為激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，采用采用引導(dǎo)式、講練結(jié)合法進(jìn)行講解。
五、學(xué)法
教給學(xué)生方法比教給學(xué)生知識(shí)更重要，本節(jié)課注重調(diào)動(dòng)學(xué)生積極思考、主動(dòng)探索，盡可能地增加學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)的時(shí)間和空間，我進(jìn)行了以下學(xué)法指導(dǎo)：
(1)聯(lián)想法：要求學(xué)生聯(lián)想學(xué)過(guò)的向量知識(shí)，特別加深理解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的相互滲透性。1
(2)觀察分析法：讓學(xué)生要學(xué)會(huì)觀察問(wèn)題，分析問(wèn)題和解決問(wèn)題新。
(3)練習(xí)鞏固法：讓學(xué)生知道數(shù)學(xué)重在運(yùn)用，從而檢驗(yàn)知識(shí)的應(yīng)用情況，找出未掌握的內(nèi)容及其差距。
下面，我將具體談?wù)勥@堂課的教學(xué)過(guò)程。
六、教學(xué)程序及設(shè)想
七、板書設(shè)計(jì)
板書要基本體現(xiàn)整堂課的內(nèi)容與方法，體現(xiàn)課堂進(jìn)程，能簡(jiǎn)明扼要反映知識(shí)結(jié)構(gòu)及其相互聯(lián)系；能指導(dǎo)教師的教學(xué)進(jìn)程、引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)；同時(shí)不完全按課本上的呈現(xiàn)方式來(lái)編
排板書。即體現(xiàn)系統(tǒng)性、程序性、概括性、指導(dǎo)性、啟發(fā)性、創(chuàng)造性的原則；（原則性）
以上就是我說(shuō)課的內(nèi)容，希望各位老師對(duì)本堂課的說(shuō)課提出寶貴的意見(jiàn)。 謝謝。
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