第一篇:證明極限不存在
證明極限不存在
二元函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中一個很重要的內(nèi)容,因為其定義與一元函數(shù)極限的定義有所不同,需要定義域上的點趨于定點時必須以任意方式趨近,所以與之對應(yīng)的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數(shù)的方式趨近,代入二元函數(shù),使之變?yōu)橐辉瘮?shù)求極限.若最后的極限值與參數(shù)有關(guān),則說明二重極限不存在.但在證明這類型的題目時,除了選y=kx這種趨近方式外,許多學(xué)生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函數(shù)極限不存在的一種簡單方法.例1證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對于(1)選擇當(dāng)(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近于(0,0)時,有l(wèi)im(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.對于(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近于(0,0),則有l(wèi)..
2
是因為定義域d={(x,y)|x不等于y}嗎,從哪兒入手呢,請高手指點
沿著兩條直線y=2x
y=-2x趨于(0,0)時
極限分別為-3和-1/3不相等
極限存在的定義要求延任何過(0,0)直線求極限時極限都相等
所以極限不存在
3
lim(x和y)趨向于無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
證明該極限不存在
lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)
=1-lim8/
因為不知道x、y的大校
所以lim(x和y)趨向于無窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)
極限不存在
4
如圖用定義證明極限不存在~謝謝!!
反證法
若存在實數(shù)l,使limsin(1/x)=l,
取ε=1/2,
在x=0點的任意小的鄰域x內(nèi),總存在整數(shù)n,
①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x,有sin=1,
②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x,有sin=-1,
使|sin-l|<1/3,
和|sin-l|<1/3,
同時成立。
即|1-l|<1/2,|-1-l|<1/2,同時成立。
這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發(fā)生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=l成立的實數(shù)l不存在。
第二篇:如何證明極限不存在
如何證明極限不存在
反證法
若存在實數(shù)l,使limsin(1/x)=l,
取ε=1/2,
在x=0點的任意小的鄰域x內(nèi),總存在整數(shù)n,
①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x,有sin=1,
②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x,有sin=-1,
使|sin-l|<1/3,
和|sin-l|<1/3,
同時成立。
即|1-l|<1/2,|-1-l|<1/2,同時成立。
這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發(fā)生矛盾。
所以,使limsin(1/x)=l成立的實數(shù)l不存在。
反證法:
一個數(shù)列{an}極限存在,另一個數(shù)列{bn}極限不存在
假設(shè)兩數(shù)列之和{cn}的極限存在,那么bn=cn-an極限也存在(兩個數(shù)列和的極限等于兩個數(shù)列極限的和)
矛盾
所以原命題成立
令y=x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0
令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y
=lim(x趨于0)x^3-x^2/x^2=-1
兩種情況極限值不同,故原極限不存在
2答案:首先需要二項式定理:
(a+b)^n=∑c(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)
用數(shù)學(xué)歸納法證此定理:
n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1
a+b
故此,n=1時,式一成立。
設(shè)n1為任一自然數(shù),假設(shè)n=n1時,(式一)成立,即:
(a+b)^n1=∑c(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)
則,當(dāng)n=n1+1時:
式二兩端同乘(a+b)
*(a+b)=*(a+b)
=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據(jù)乘法分配律)
因此二項式定理(即式一成立)
下面用二項式定理計算這一極限:
(1+1/n)^n(式一)
用二項式展開得:
(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n
由于二項展開式系數(shù)項的分子乘積的最高次項與(1/n)的次數(shù)相同,而系數(shù)為1,因此,最高次項與(1/n)的相應(yīng)次方剛好相約,得1,低次項與1/n的相應(yīng)次方相約后,分子剩下常數(shù),而分母總余下n的若干次方,當(dāng)n-+∞,得0。因此總的結(jié)果是當(dāng)n-+∞,二項展開式系數(shù)項的各項分子乘積與(1/n)的相應(yīng)項的次方相約,得1。余下分母。于是式一化為:
(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)
當(dāng)n-+∞時,你可以用計算機(jī),或筆計算此值。這一數(shù)值定義為e。
第三篇:證明二重極限不存在
證明二重極限不存在
如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細(xì)的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時,一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過(或趨于)定點(x0,y0)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(x0,y0),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時,所得的結(jié)論就不同(這時f(x,y)→1)。為什么會出現(xiàn)這種情況呢?仔細(xì)分析一下就不難得到答案
2
若用沿曲線,(,y)一g(,y)=0趨近于(,y0)來討論,一0g,y。?赡軙霈F(xiàn)錯誤,只有證明了(,)不是孤立點后才不會出錯。o13a1673-3878(201*)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難點,在這里筆者對這一問題不打算做詳細(xì)的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時。一個值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limf(x,y)不存在,通常x—’10y—’y0的方法是:找?guī)讞l通過(或趨于)定點(xo,yo)的特殊曲線,如果動點(x,y)沿這些曲線趨于(xo,y。)時,f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limf(x,y)不存在,這一方i—’10r’y0法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時,是有一定技巧的,不過不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(xo,y。),并且定點是這條曲線的非孤立點,這一點很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對于型如2的極限,在判卜’iogx,yy—·y0斷其不存在時,不少人找的曲線是f(x,y)一g(x,y):0,這樣做就很容易出錯。
3
當(dāng)沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時,極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;
當(dāng)沿直線y=x趨于(00)時,極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。
4
x-y+x^2+y^2
f(x,y)=————————
x+y
它的累次極限存在:
x-y+x^2+y^2
limlim————————=-1
y->0x->0x+y
x-y+x^2+y^2
limlim————————=1
x->0y->0x+y
當(dāng)沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時,易證極限不同,所以它的二重極限不存在。
第四篇:極限不存在的證明
不如何證明極限不存在
一、歸結(jié)原則
原理:設(shè)f在u0(x0;?")內(nèi)有定義,limf(x)存在的充要條件是:對任何含于
x?x0
u(x0;?)且以x0為極限的數(shù)列?xn?極限limf(xn)都存在且相等。
"
n??
例如:證明極限limsin
x?0
1x
不存在
12n??
證:設(shè)xn??
1n?
?,xn?
?
2
(n?1,2,?),則顯然有
xn?0,xn?0(n??),si由歸結(jié)原則即得結(jié)論。
??
?0?0,si?1?1(n??)??xnxn
二、左右極限法
原理:判斷當(dāng)x?x0時的極限,只要考察左、右極限,如果兩者相等,則極限存在,否則極限不存在。例如:證明f(x)?arctan(因為limarctan(
x?0
?
1x
)
當(dāng)x
?0
時的極限不存在。
1x)?
1x
)??
?
2
x=0,limarctan(
x?0
?
?
2
,limarctan(
x?0
?
1x
)?lim?arctan(
x?0
1x
),
所以當(dāng)x?0時,arctan(
1x
)的極限不存在。
三、證明x??時的極限不存在
原理:判斷當(dāng)x?
?
時的極限,只要考察x???與x???時的極限,如果兩者
相等,則極限存在,否則極限不存在。例如:證明f(x)?ex在x?
x???
?
時的極限不存在
x???
x???
xxxx
因為lime?0,lime???;因此,lime?lime
x???
所以當(dāng)x?
四、柯西準(zhǔn)則
?
時,ex的極限不存在。
0"
原理:設(shè)f在u(x0;?)內(nèi)有定義,limf(x)存在的充要條件是:任給?
x?x0
?0
,存
在正數(shù)?(???),使得對任何x?,x???u0(x0;?),使得f(x?)?f(x??)??0。 例如:在方法一的例題中,取?0?1,對任何??0,設(shè)正數(shù)n?
x??1
n?,x???1
n??1?,令?
2即證。
五、定義法
原理:設(shè)函數(shù)f(x)在一個形如(a,??)的區(qū)間中有定義,對任何a?r,如果存在
?0?0,使對任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,則f(x)在x???
x???時沒有極限。 例如:證明limcosx不存在
設(shè)函數(shù)f(x)?cosx,f(x)在(0,??)中有定義,對任何a?r,不妨設(shè)a?取?0?120,,于是對任何??0,取?0?0 反證法(利用極限定義) 數(shù)學(xué)歸納法
第五篇:極限證明
極限證明
1.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微,且f(x)??(xn)(n???),求證當(dāng)k?n?1時,?x, limf(k)(x)?0. x???
2.設(shè)f(x)??0sinntdt,求證:當(dāng)n為奇數(shù)時,f(x)是以2?為周期的周期函數(shù);當(dāng)n為
偶數(shù)時f(x)是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和. x
f(n)(x)?0.?{xn}?3.設(shè)f(x)在(??,??)上無窮次可微;f(0)f?(0)?0xlim求證:n?1,???
?n,0?xn?xn?1,使f(n)(xn)?0.
sin(f(x))?1.求證limf(x)存在. 4.設(shè)f(x)在(a,??)上連續(xù),且xlim???x???
5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。
6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明:若limxn?1?x,則limxn?x. n??xn??n
7.用肯定語氣敘述:limx???f?x????.
8.a1?1,an?1?1,求證:ai有極限存在。 an?1
t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上,如果對每點x??a,b?,極限limf?t?存在且有限(當(dāng)x?a或b時,
為單側(cè)極限)。證明:函數(shù)f在?a,b?上有界。
10.設(shè)limn??an?a,證明:lima1?2a2???nana?. n??2n2
11.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義,并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。
12.證明:若???
af?x?dx收斂且limx???f?x???,則??0.
11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證:22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?
n
14.證明公式?k?11k?2n?c??n,其中c是與n無關(guān)的常數(shù),limn???n?0.
15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f"?xn??0.
16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù),且limu???f"?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0
??
?r?0?.
i
?1?證明:limu??f?u????;?2?求ir???f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2
r??
d
r
17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo),且f"?x??c?0?c為常數(shù)?,證明:
?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。
18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n語言證明lim
ana?.
n???bbn
?sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?sn?x??的每一項sn?x?都在x0連續(xù),u是以x0為中心的某個開區(qū)間,
在u??x0?內(nèi)閉一致收斂于s?x?,又limn??sn?x0????,證明:lims?x????.
x?x0
20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?
??a
23.設(shè)?
f(x)= 0. 證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續(xù),???
24.設(shè)a1>0,an?1=an+,證明=1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界,對于充分小的h,m?h?與m?h?分別表示f?x?在
?a?h,a?h?上的上、下確界,又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列,證明:
1)limn??m?hn?與limn??m?hn?都存在;
2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;
3)f?x?在x?a處連續(xù)的充要條件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26設(shè)?xn?滿足:|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。
27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a
28.設(shè)x1?0,xn?1?
31?xn
,(n?1,2,?),證明limxn存在并求出來。
n??3?xn
??
29.用“???語言”證明lim30.設(shè)f(x)?
(x?2)(x?1)
?0
x?1x?3
x?2
,數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義:x0?1,xn?1?f(xn),(n?0,x?1
n??
1,2,?),求證:limxn?2。
31.設(shè)fn(x)?cosx?cos2x???cosnx,求證:
(a)對任意自然數(shù)n,方程fn(x)?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個正根;
(b)設(shè)xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根,則limxn??/3。
n??
32.設(shè)函數(shù)f(t)在(a,b)連續(xù),若有數(shù)列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使
limf(xn)?a(n??)及l(fā)imf(yn)?b(n??),則對a,b之間的任意數(shù)?,
可找到數(shù)列xn?a,使得limf(zn)??
33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù),且
f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?
?exp{
b?a
,試證明:n
1b
lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a
式
2?
?
2?
ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)
f(b)?f(a)
?k
b?a
34.設(shè)f‘(0)?k,試證明lim
a?0?b?0?
35.設(shè)f(x)連續(xù),?(x)??0f(xt)dt,且lim
x?0
論?"(x)在x?0處的連續(xù)性。
f(x)
,求?"(x),并討?a(常數(shù))
x
36. 給出riemann積分?af(x)dx的定義,并確定實數(shù)s的范圍使下列極限收斂
i1
lim?()s。 n??ni?0n
?x322
,x?y?0?2
37.定義函數(shù)f?x???x?y2. 證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。
?0,x?y?0?
n?1
b
38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù),并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無窮正實數(shù)列,試證存在無窮正實數(shù)列x1,x2,?,使得:limn???f?xn?rn??f?xn???0.
39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù),且limx?0
f?2x??f?x??a,求證:f"?0?存在且等于a.
x
1n
40.無窮數(shù)列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.
n??ni?1
41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù),且f"?x??0,f""有界,則limt??f"?t??0
42.用???分析定義證明limt??1
x?31
? x2?92
43.證明下列各題
?1?設(shè)an??0,1?,n?1,2,?,試證明級數(shù)?2nann?1?an?n收斂;
n?1
?
?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項數(shù)列,級數(shù)?n201*an收斂,試證明limn201*an?0;
n??
n?1
?
?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義,試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是:對任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.
?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項數(shù)列,級數(shù)?anln?1?an?0???收斂,試證明limn??n?n?1?
a?1。 45.設(shè)an?0,n=1,2, an?a?0,(n??),證 limn
n??
?
46.設(shè)f為上實值函數(shù),且f(1)=1,f?(x)=〔1(內(nèi)容來源好 范文網(wǎng)www.7334dd.comf(x)存在且小于1+。
x?+?4
,證明x?1)2
x2+f(x)
?
47.已知數(shù)列{an}收斂于a,且
a?a???asn?,用定義證明{sn}也收斂于a
n
48.若f?x?在?0,???上可微,lim
n??
f(x)
?0,求證?0,???內(nèi)存在一個單
x??x
調(diào)數(shù)列{?n},使得lim?n???且limf?(?n)?0
n??
x??e?sinx?cosx?,x?0
49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f""?x?在???,??處處存在。
??ax?bx?c,x?0
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