第一篇：應用導數(shù)證明不等式

應用導數(shù)證明不等式

常澤武指導教師：任天勝

（河西學院數(shù)學與統(tǒng)計學院 甘肅張掖 734000）

摘要： 不等式在初等數(shù)學和高等代數(shù)中有廣泛的應用，證明方法很多，本文以函數(shù)的觀點來認識不等式，以導數(shù)為工具來證明不等式。

關(guān)鍵字： 導數(shù) 不等式最值中值定理單調(diào)性泰勒公式

中圖分類號： o13

application derivative to testify inequality

changzewww.7334dd.com monotonicity taylor formula

1.利用微分中值定理來證明不等式

在數(shù)學分析中，我們學到了拉格朗日中值定理，其內(nèi)容為：

定理1.如果函數(shù)f?x?在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，在開區(qū)間?a,b?上可導，則至少存在一點???a,b?，使得f"(?)?

拉格朗日中值定理是探討可微函數(shù)的的幾何特性及證明不等式的重要工具，我們可以根據(jù)以下兩種方法來證明。

（1）首先，分析不等式通過變形，將其特殊化。其次，選取合適的函數(shù)和范圍。第三，利用拉格朗日中值定理。最后，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最大值和最小值。

（2）我們可根據(jù)其兩種等價表述方式

①f(b)?f(a)?f"(a??(b?a))(b?a),0???1

②f?a?h??f?a??f"?a??h?h,0???1

我們可以?的范圍來證明不等式。 f(b)?f(a)。 b?a

11(x?0)例1.1證明不等式ln(1?)?x1?x

證明第一步變形1 ln(1?)?ln(1?x)?ln(x) x

第二步選取合適的函數(shù)和范圍

令f(x)?lntt??x,1?x?

第三步應用拉格朗日中值定理

存在???x,1?x?使得f"(?)?f(1?x)?f(x) (1?x)?(x)

即ln(1?x)?ln(x)?1

?而 ?<1+x 1 1?x

1?x1)?而0?x??? 即ln( x1?x?ln(1?x)?ln(x)?

例 1.2證明：?h>-1且h?0都有不等式成立：

h?ln(1?h)?h 1?h

證明：令f(x)=ln(1+x),有拉格朗日中值定理，????0,1?使得

ln(1?h)?f(h)?f(0)?f"(?h)h?

當h>0時有

1??h?1?1?h,

當?1?h?0時有

1?1??h?1?h?0,即h.1??h1h??h;1?h1??h1h??h.1?h1??h

2．利用函數(shù)單調(diào)性證明不等式

我們在初等數(shù)學當中學習不等式的證明時用到了兩種方法：一種是判斷它們差的正負，另一種是判斷它們的商大于1還是小于1.而我們今天所要討論的是根據(jù)函數(shù)的導數(shù)的思想來判斷大小。

定理：設(shè)函數(shù)f(x)在?a,b?上連續(xù)，在?a,b?可導，那么

（1） 若在?a,b?內(nèi)f"(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞增。

（2） 若在?a,b?內(nèi)f"(x)?0則f(x)在?a,b?內(nèi)單調(diào)遞減。

使用定理：要證明區(qū)間?a,b?上的不等式f(x)?g(x)，只需令f(x)?f(?x)。 g使在(x)?a,b?上f"(x)>0（f"(x)<0）且f(a)=0或（f(b)=0）例2.1 設(shè)x?0證明不等式ln(1?x)?xe?x

證明：令f(x)?ln(1?x)?xe?x（x>0）

顯然f(0)?0

1ex?x2?1?x?x（x>0） f"(x)??e?xe?x1?x(1?x)e

現(xiàn)在來證明ex?x2?1?0

令f(x)?ex?x2?1顯然f(0)?0

當x?0時f"(x)?ex?2x?0

于是得f(x)在x?0上遞增

故對x?0有f(x)?f(0)?f(x)?0

而(1?x)ex?0

所以f"(x)?0故f(x)遞增

又因為f(0)?0

所以f(x)?0

所以ln(1?x)?xe?x成立

3．利用函數(shù)的最大值和最小值證明不等式

當?shù)仁街泻�有�?”號時，不等式f(x)?g(x)(或f(x)?g(x))? g(x)?f(x)?0（或g(x)?f(x)?0），亦即等價于函數(shù)g(x)?g(x)?f(x)有最小值或f(x)?f(x?)g(有最大值。x)

證明思路：由待正不等式建立函數(shù)，通過導數(shù)求出極值并判斷時極大值還是極小值，在求出最大值或最小值，從而證明不等式。

1例3.1證明若p>1，則對于?0,1?中的任意x有p?1?xp?(1?x)p?1 2

證明：構(gòu)造函數(shù)f(x)?xp?(1?x)p(0?x?1)

則有f"(x)?pxp?1?p(1?x)p?1?p(xp?1?(1?x)p?1)

令f"(x)?0，可得xp?1?(1?x)p?1，于是有x?1?x，從而求得x?1。由于2

函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0,1?上連續(xù)，因而在閉區(qū)間?0,1?上有最小值和最大值。

由于函數(shù)f(x)內(nèi)只有一個駐點，沒有不可導點，又函數(shù)f(x)在駐點x?1和2

111p1?)?p?1,f(0)?f(1),區(qū)間端點(x?0和x?1)的函數(shù)值為f()?)p?(1所以2222

1f(x)在?0,1?的最小值為p?1，最大值為1，從而對于?0,1?中的任意x有2

11?f(x)?1?xp?(1?x)p?1。 ，既有p?1p?122

4．利用函數(shù)的泰勒展式證明不等式

若函數(shù)f(x)在含有x0的某區(qū)間有定義，并且有直到(n?1)階的各階導數(shù)，又在x0處有n階導數(shù)f(n)(x0)，則有展式： f"(x0)f""(x0)fn(x0)2(x?x0)?(x?x0)??(x?x0)n?rn(x)f(x)?f(x0)?1!2!n!

在泰勒公式中，取x0=0,變?yōu)辂溈藙诹止��?/p>

f"(0)f""(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)?rn(x) 1!2!n!

在上述公式中若rn(x)?0(或?0)則可得

f"(0)f""(0)2fn(0)nf(x)?f(0)?(x)?(x)??(x)， 1!2!n!

f"(0)f""(0)2fn(0)n(x)?(x)??(x)。 或f(x)?f(0)?1!2!n!

帶有拉格朗日余項的泰勒公式的實質(zhì)是拉格朗日微分中值定理的深化，他是一個定量估計式，該公式在不等式證明和微分不等式證明及較為復雜的極限計算中有廣泛的應用。

用此公式證明不等式就是要把所證不等式化簡，其中函數(shù)用此公式，在把公式右邊放大或縮小得到所證不等式。

例4.1若函數(shù)f(x)滿足：（1）在區(qū)間?a,b?上有二階導函數(shù)f""(x)，（2）

f"(a)?f"(b)?0，則在區(qū)間?a,b?內(nèi)至少存在一點c，使

f""(c)?4f(b)?f(a)。 2(b?a)

證明：由f(x)在x?a和x?b處的泰勒公式，并利用f"(a)?f"(b)?0，

得f(x)?f(a)?f""(?)(x?a)2

2! f""(?)f(x)?f(b)?(x?b)2,于是2!

a?bf""(?)(b?a)2a?bf()?f(a)??(a???),22!42

a?bf""(?)(b?a)2a?bf()?f(b)??(a???),22!42

f""(?)?f""(?)(b?a)2

相減，得f(b)-f(a)=,24

4f(b)?f(a)1(b?a)2

即?f""(?)?f(?)?,(b?a)224

當f""(?)?f""(?)時，記c??否則記c=?,那么

f""(c)?4f(b)?f(a)(a?b?c)(b?a)2

參 考 文 獻

《數(shù)學分析》上冊，高等教育出版社，1990. ?1?鄭英元，毛羽輝，宋國棟編，

?2?趙煥光，林長勝編《數(shù)學分析》上冊，四川大學出版社，201*。 ?3?歐陽光中，姚允龍，周淵編《數(shù)學分析》上冊，復旦大學出版社，201*. ?4?華東師范大學數(shù)學系編《數(shù)學分析》上冊，第三版，高等教育出版社201*.

第二篇：導數(shù)證明不等式

導數(shù)證明不等式

一、

當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

f(x)=x-ln(x+1)

f"(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)

x>1,所以f"(x)>0,增函數(shù)

所以x>1,f(x)>f(1)=1-ln2>0

f(x)>0

所以x>0時，x>ln(x+1)

二、

導數(shù)是近些年來高中課程加入的新內(nèi)容，是一元微分學的核心部分。本文就談談導數(shù)在一元不等式中的應用。

例1.已知x∈(0，)，

求證:sinx

第三篇：利用導數(shù)證明不等式

利用導數(shù)證明不等式

沒分都沒人答埃。。覺得可以就給個好評!

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f"(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點的值0，

求導數(shù)有sinx-x的導數(shù)是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點有最大值0，

知sinx

再證x-x³/6

對于函數(shù)x-x³/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數(shù)得

1-x²/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x²/2+cosx-1值為0

再次對它求導數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0

得x-x³/6

利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f"(x)=1-2x

當x∈時,f"(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈時,f"(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

第四篇：用導數(shù)證明不等式

用導數(shù)證明不等式

最基本的方法就是將不等式的的一邊移到另一邊，然后將這個式子令為一個函數(shù)f(x).對這個函數(shù)求導，判斷這個函數(shù)這各個區(qū)間的單調(diào)性，然后證明其最大值(或者是最小值)大于0.這樣就能說明原不等式了成立了!

1.當x>1時,證明不等式x>ln(x+1)

設(shè)函數(shù)f(x)=x-ln(x+1)

求導，f(x)\"=1-1/(1+x)=x/(x+1)>0

所以f(x)在(1，+無窮大)上為增函數(shù)

f(x)>f(1)=1-ln2>o

所以x>ln(x+1

2..證明：a-a^2>0其中0

f(a)=a-a^2

f\"(a)=1-2a

當00;當1/2

因此，f(a)min=f(1/2)=1/4>0

即有當00

3.x>0,證明：不等式x-x^3/6

先證明sinx

因為當x=0時，sinx-x=0

如果當函數(shù)sinx-x在x>0是減函數(shù)，那么它一定<在0點的值0，

求導數(shù)有sinx-x的導數(shù)是cosx-1

因為cosx-1≤0

所以sinx-x是減函數(shù)，它在0點有最大值0，

知sinx

再證x-x³/6

對于函數(shù)x-x³/6-sinx

當x=0時，它的值為0

對它求導數(shù)得

1-x²/2-cosx如果它<0那么這個函數(shù)就是減函數(shù)，它在0點的值是最大值了。

要證x²/2+cosx-1>0x>0

再次用到函數(shù)關(guān)系，令x=0時，x²/2+cosx-1值為0

再次對它求導數(shù)得x-sinx

根據(jù)剛才證明的當x>0sinx

x²/2-cosx-1是減函數(shù)，在0點有最大值0

x²/2-cosx-1<0x>0

所以x-x³/6-sinx是減函數(shù)，在0點有最大值0

得x-x³/6

利用函數(shù)導數(shù)單調(diào)性證明不等式x-x²>0，x∈(0,1)成立

令f(x)=x-x²x∈

則f\"(x)=1-2x

當x∈時,f\"(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當x∈時,f\"(x)<0,f(x)單調(diào)遞減

故f(x)的最大值在x=1/2處取得，最小值在x=0或1處取得

f(0)=0,f(1)=0

故f(x)的最小值為零

故當x∈(0,1)f(x)=x-x²>0。

i、m、n為正整數(shù)，且1

求證(1+m)^n>(1+n)^m

方法一：利用均值不等式

對于m+1個數(shù)，其中m個(2+m)，1個1,它們的算術(shù)平均數(shù)大于幾何平均數(shù)，即

/(m+1)>^

即1+m>(2+m)^

即(1+m)^(1/m)>^

由此說明數(shù)列{(1+m)^(1/m)}是單調(diào)遞減的。

方法二：導數(shù)方法

令f(x)=(1+x)^(1/x),x>0

求導數(shù)

f\"(x)=(1+x)^(1/x)*/x^2

為了考察f\"(x)的正負

令g(x)=x/(1+x)-ln(1+x),x>=0

g\"(x)=-x/(1+x)^2<0,x>0

因此g(x)0,亦即f\"(x)<0

因此f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

令a*b*c=k的3次方

求證(1+a)的-(1/2)次方加(1+b)的-(1/2)次方加(1+c)的-(1/2)次方>=(1+k)的-(1/2)次方

化成函數(shù)，f(x)，求導，可知其單調(diào)區(qū)間，然后求最大最小值即可。

理論上所有題目都可以用導數(shù)做，但有些技巧要求很高。

(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+c)^-1/2

=(1+a)^-1/2+(1+b)^-1/2+(1+k^3/ab)^-1/2=f(a,b)

對a求導，f"(a,b)a=0，可得一個方程，解出即得。

第五篇：導數(shù)在證明不等式中的應用

1.【作 者】 楊建輝;布春霞【刊 名】中學生數(shù)理化(學研版)【出版日期】201*

【期 號】第11期【頁 碼】2-3【參考文獻格式】楊建輝,布春霞.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].中學生數(shù)理化(學研版),201*,(第11期).

2.【作 者】 趙京之【刊 名】中國新技術(shù)新產(chǎn)品【出版日期】201*【期 號】第14期【參考文獻格式】趙京之.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].中國新技術(shù)新產(chǎn)品,201*,(第14期).【摘 要】不等式與等式一樣,在數(shù)學問題中都是非常重要的課題,不等式的研究范圍更廣,難度更大,以函數(shù)觀點認識不等式,應用導數(shù)為工具,不等式的證明將化難為易,迎刃而解,考慮的角度初步有:中值定理,taylor公式,函數(shù)的單調(diào)性,最值,以及jensen不等式。

3.【作 者】 劉偉【刊 名】電大理工【出版日期】201*【期 號】第3期【頁 碼】13-14【參考文獻格式】劉偉.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].電大理工,201*,(第3期).

4.【作 者】 顧慶菏【刊 名】邢臺師范高專學報【出版日期】1995【期 號】第1期【頁 碼】118-120【參考文獻格式】顧慶菏.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].邢臺師范高專學報,1995,(第1期).

5.【作 者】 劉開生;潘書林【刊 名】天水師范學院學報【出版日期】201*【期 號】第3期【頁 碼】115-116【參考文獻格式】劉開生,潘書林.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].天水師范學院學報,201*,(第3期).

6.【作 者】 陳萬鵬;陳萬超【刊 名】大學數(shù)學【出版日期】1990【期 號】第4期【頁 碼】67-71【參考文獻格式】陳萬鵬,陳萬超.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].大學數(shù)學,1990,(第4期).

7.【作 者】 高燕【刊 名】考試周刊【出版日期】201*【期 號】第60期【頁 碼】69-70【參考文獻格式】高燕.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].考試周刊,201*,(第60期).

8.導數(shù)法在證明不等式中的應用【作 者】 【刊 名】版)【出版日期】201*【期 號】第z1期【頁 碼】5

【參考文獻格式】郝文武.導數(shù)法在證明不等式中的應用[j].中學生數(shù)理化(高二版),201*,(第z1期).

9. 導數(shù)在證明不等式中的一些應用【作 者】 甘啟才【刊 名】廣西師范學院學報(自然科學版)【出版日期】201*【期 號】第s1期【頁 碼】73-75

【參考文獻格式】甘啟才.導數(shù)在證明不等式中的一些應用[j].廣西師范學院學報(自然科學版),201*,(第s1期).

10.【作 者】 王莉聞【刊 名】考試周刊【出版日期】201*【期 號】第82期【參考文獻格式】王莉聞.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].考試周刊,201*,(第82期).

【摘 要】導數(shù)知識是高等數(shù)學中極其重要的部分,它的內(nèi)容、思想和應用貫穿于整個高等數(shù)學的教學之中.利用導數(shù)證明不等式是一種行之有效的好方法,它能使不等式的證明化難為易,迎刃而解.在不等式證明的種種方法中,它占有重要的一席之地.本文將從利用函數(shù)的單調(diào)性,利用函數(shù)的最值（或極值）

11.【作 者】 王翠麗【刊 名】數(shù)學之友【出版日期】201*【期 號】第6期【頁 碼】84，86【參考文獻格式】王翠麗.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].數(shù)學之友,201*,(第6期).

12.【作 者】 王強;申玉芹【刊 名】中學數(shù)學【出版日期】201*【期 號】第9期【頁 碼】6【參考文獻格式】王強,申玉芹.導數(shù)在不等式中的應用[j].中學數(shù)學,201*,(第9期).

13.【作 者】 朱帝【刊 名】數(shù)理化學習【出版日期】201*【期 號】第3期【頁 碼】2-4【參考文獻格式】朱帝.導數(shù)在證明不等式中的應用[j].數(shù)理化學習,201*,(第3期).

14.【作 者】 王偉珠【刊 名】佳木斯教育學院學報【出版日期】201*【期 號】第6期【參考文獻格式】王偉珠.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].佳木斯教育學院學報,201*,(第6期).

15.【作 者】 張根榮;李連方【刊 名】中學數(shù)學研究【出版日期】201*【期 號】第11期【頁 碼】24-25【參考文獻格式】張根榮,李連方.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].中學數(shù)學研究,201*,(第11期).【摘 要】“問題是數(shù)學的心臟”，數(shù)學學習的核心就應該是培養(yǎng)解決數(shù)學問題的能力．正如波利亞指出的：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題．”“中學數(shù)學首要的任務就是加強解題的訓練”．在數(shù)學教學中，例題、習題的解答過程是學生建構(gòu)知識的重要基礎(chǔ)，是學生學習不可缺少的重要組成部分．因此在課堂教學有限的45分鐘內(nèi)，如何發(fā)揮例題的功能，

16.【作 者】 張萍【刊 名】西部大開發(fā)：中旬刊【出版日期】201*【期 號】第7期【頁 碼】176-177【參考文獻格式】張萍.導數(shù)在證明不等式中的有關(guān)應用[j].西部大開發(fā)：中旬刊,201*,(第7期).【摘 要】導數(shù)是高等數(shù)學中最基本最重要的內(nèi)容之一，用導數(shù)的方法證明不等式是不等式證明重要的組成部分，具有較強的靈活性和技巧性。掌握導數(shù)在不等式中的證明方法和技巧對學好高等數(shù)學有很大幫助。本文將通過舉例和說明的方式來闡述不等式證明中導數(shù)的一些方法和技巧，提高學生用導數(shù)證明不等式的能力．

17.【作 者】 李旭金【刊 名】新作文(教育教學研究)【出版日期】201*【期 號】第11期【頁 碼】31【參考文獻格式】李旭金.導數(shù)在不等式中的應用[j].新作文(教育教學研究),201*,(第11期).

18.【作 者】 李晉【刊 名】大視野【出版日期】201*【期 號】第3期【頁 碼】241-243【參考文獻格式】李晉.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].大視野,201*,(第3期).

第5期【頁 碼】24-26【參考文獻格式】高芳.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].商丘職業(yè)技術(shù)學院學報,201*,(第5期).

20.【作 者】 蔡金寶【刊 名】吉林省教育學院學報(學科版)【出版日期】201*

【期 號】第9期【頁 碼】85-86【參考文獻格式】蔡金寶.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].吉林省教育學院學報(學科版),201*,(第9期).

21. 淺談導數(shù)在不等式證明問題中的應用【作 者】 姜治國【刊 名】考試(高考 數(shù)學版)【出版日期】201*【期 號】第z5期【頁 碼】54-56【參考文獻格式】姜治國.淺談導數(shù)在不等式證明問題中的應用[j].考試(高考 數(shù)學版),201*,(第z5期).

22.導數(shù)在不等式中的一些應用【作 者】 陶毅翔【刊 名】寧德師專學報·自然科學版【出版日期】201*【期 號】第2期【頁 碼】123-124，127【參考文獻格式】陶毅翔.導數(shù)在不等式中的一些應用[j].寧德師專學報·自然科學版,201*,(第2期).

23.【作 者】 陳海蘭【刊 名】科技信息【出版日期】201*【期 號】第8期【參考文獻格式】陳海蘭.導數(shù)在不等式中的應用[j].科技信息,201*,(第8期).【摘 要】本文給出了幾種用導數(shù)來證明不等式的方法,通過這些方法,可以比較簡潔,快速地解決一些不等式的證明問題.

24.【作 者】 胡林【刊 名】科技咨詢導報【出版日期】201*【期 號】第5期

【頁 碼】95-96【參考文獻格式】胡林.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].科技咨詢導報,201*,(第5期).

25.【作 者】 胡林【刊 名】科技資訊【出版日期】201*【期 號】第36期【頁 碼】148【參考文獻格式】胡林.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].科技資訊,201*,(第36期).

26.【作 者】 周曉農(nóng)【刊 名】貴陽金筑大學學報【出版日期】201*【期 號】第3期【頁 碼】107-110+87【參考文獻格式】周曉農(nóng).導數(shù)在不等式證明中的應用[j].貴陽金筑大學學報,201*,(第3期).

27.【作 者】 葛江峰【刊 名】中學理科：綜合【出版日期】201*【期 號】第9期【頁 碼】52【參考文獻格式】葛江峰.導數(shù)在不等式中的應用[j].中學理科：綜合,201*,(第9期).【摘 要】新課程試卷將導數(shù)與傳統(tǒng)的不等式證明有機結(jié)合在一起設(shè)問，是一種新穎的命題模式，體現(xiàn)導數(shù)在分析和解決一些函數(shù)性質(zhì)問題的工具作用，以下介紹幾種應用導數(shù)證明不等式的方法，供大家參考。

28.【作 者】 梁俊平【刊 名】龍巖師專學報(自然科學版)【出版日期】1997

【期 號】第3期【頁 碼】167-170【作者單位】不詳【參考文獻格式】梁俊平.導數(shù)在不等式證明中的應用[j].龍巖師專學報(自然科學版),1997,(第3期).

期【頁 碼】48-53【參考文獻格式】楊耀池.導數(shù)在不等式中的應用[j].數(shù)學的實踐與認識,1985,(第2期).

30. 例說應用導數(shù)證明不等式【作 者】 馮仕虎【刊 名】數(shù)學學習與研究(教研版)【出版日期】201*【期 號】第11期【頁 碼】109-110【參考文獻格式】馮仕虎.例說應用導數(shù)證明不等式[j].數(shù)學學習與研究(教研版),201*,(第11期).

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